【北京卷中考数学压轴题模拟预测】 专题3 函数综合 压轴大题模拟预测题强化训练（尖子生难题突破）解析版.docx

1、【北京卷中考数学压轴题模拟预测】专题3 函数综合压轴大题模拟预测题强化训练（尖子生难题突破）一、解答题1（2022北京朝阳二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线(1)求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；(2)若点（1，），（a，），（1，）在抛物线上，且，求a的取值范围【答案】(1)直线(2)或【解析】【分析】（1）直接根据函数表达式代入对称轴求解即可；（2）分三种情况进行讨论分析：当时，当时，当时，根据二次函数的基本性质及图象求解即可得出结果(1)解：抛物线表达式为，对称轴为直线；(2)解：由题意可知抛物线开口向上当时，由，得解得由，得解得当时，由，得解得由，得解得当时，由，得解得由，

2、得解得无解综上，或【点睛】题目主要考查二次函数的基本性质及数形结合思想，理解题意，对a的值进行分类讨论是解题关键2（2022北京朝阳二模）某公园在垂直于湖面的立柱上安装了一个多孔喷头，从喷头每个孔喷出的水柱形状都相同，可以看作是抛物线的一部分，当喷头向四周同时喷水时，形成一个环状喷泉，安装后，通过测量其中一条水柱，获得如下数据，在距立柱水平距离为d米的地点，水柱距离湖面的高度为h米，请解决以下问题：d（米）01.03.05.07.0h（米）3.24.25.04.21.8(1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；(2)结合表中所给数据或所画图象，直接写出这条水

3、柱最高点距离湖面的高度；(3)求所画图象对应的函数表达式；(4)从安全的角度考虑，需要在这个喷泉外围设立一圈正方形护栏，这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于1米，请通过计算说明公园至少需要准备多少米的护栏（不考虑接头等其他因素）【答案】(1)见解析(2)5(3)(4)72米【解析】【分析】（1）在表格中建立坐标系，然后描点、连线即可；（2）观察图象即可；（3）由表中点（1.0，4.2），（5.0，4.2），可确定抛物线的对称轴及顶点坐标，则设抛物线解析式为顶点式即可，再找点（1.0，4.2）代入即可求得解析式；（4）在求得的解析式中令h=0，则可求得d的值，即可确定所需护栏

4、的长度(1)坐标系及图象如图所示(2)由图象知，水柱最高点距离湖面的高度为5米(3)抛物线经过点（1.0，4.2），（5.0，4.2），抛物线的对称轴为抛物线的顶点坐标为（3.0，5.0）设抛物线的函数表达式为 把（1.0，4.2）代入，解得所画图象对应的函数表达式为(4)令，解得（舍），每条水柱在湖面上的落点到立柱的水平距离为8米这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于1米，正方形护栏的边长至少为18米则公园至少需要准备184=72（米）的护栏【点睛】本题是二次函数的实际问题，考查了画二次函数图象，求二次函数解析式，二次函数与一元二次方程的关系等知识，二次函数的相关知识是解题

5、的关键3（2022北京东城二模）如图，在平面直角坐标系中，双曲线经过点，直线：经过点(1)求的值；(2)过点作垂直于轴的直线，与双曲线交于点，与直线交于点当时，判断与的数量关系；当时，结合图象，直接写出的取值范围【答案】(1)k=-2，b=2；(2)CD=CP；【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法即可确定这两个值；（2）过点P(n,0)(n0)作垂直于x轴的直线，与双曲线交于点C，与直线l交于点D，由（1）得，双曲线的解析式为，直线的解析式为：y=-2x+2，得出C(n，)，D（n，-2n+2），得出DC=，CP=，当n=2时，代入求解即可；考虑当CD=CP时，解方程确定n的值，然后作出函

6、数图象，结合图象求解即可(1)解：双曲线经过点A(2,-1)，k=2(-1)=-2，直线l经过点B（2，-2），-2=-22+b，解得b=2，即k、b的值分别为：-2；2；(2)过点P(n,0)(n0)作垂直于x轴的直线，与双曲线交于点C，与直线l交于点D，由（1）得，双曲线的解析式为，直线的解析式为：y=-2x+2，C(n，)，D（n，-2n+2）DC=，CP=，当n=2时，P(2,0)、C(2,-1)、D(2,-2)，此时点C与点A重合，点D与点B重合，CD=-1-（-2）=1，CP=0-(-1)=1，CD=CP；设直线l：y=-2x+2与x轴交于K，如图：在y=-2x+2中，令y=0得x

7、=1，K（1，0），由图可知，当P位于K及右侧，（2，0）及左侧时，CDCP，1n2【点睛】题目主要考查一次函数与反比例函数综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，坐标系中两点间的距离及数形结合思想等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键4（2022北京东城二模）小强用竹篱笆围一个面积为平方米的矩形小花园，他考虑至少需要几米长的竹篱笆（不考虑接缝），根据学习函数的经验，他做了如下的探究，请你完善他的思考过程(1)建立函数模型：设矩形小花园的一边长为米，则矩形小花园的另一边长为_米（用含的代数式表示）；若总篱笆长为米，请写出总篱笆长（米）关于边长（米）的函数关系式_；(2)列表：根据函数的表达

8、式，得到了与的几组对应值，如下表：12345106表中_， _；(3)描点、画出函数图象：如图，在平面直角坐标系中，将表中未描出的点，补充完整，并根据描出的点画出该函数的图象；(4)解决问题：根据以上信息可得，当_时，有最小值由此，小强确定篱笆长至少为_米【答案】(1)，(2)6.25，10(3)见解析(4)1.5，6【解析】【分析】（1）根据矩形的面积公式，求得另一边的长，根据矩形的周长列出函数关系式；（2）将与代入（1）中函数关系式即可求解；（3）表中未描出的点，补充完整，并根据描出的点画出该函数的图象；（4）结合函数图像即可求解(1)解：面积为平方米的矩形小花园，设矩形小花园的一边长为米

9、，则矩形小花园的另一边长为若总篱笆长为米，则 故答案为：，(2)当时，当时，故答案为：6.25，10(3)在坐标系描出点，并用平滑的曲线连接点，如图，(4)根据以上信息可得，当1.5时，有最小值为6由此，小强确定篱笆长至少为6米故答案为：1.5，6【点睛】本题考查了描点法画函数图象，根据函数图象获取信息，求函数值，理解题意，掌握描点法画函数图象是解题的关键5（2022北京东城二模）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线(1)直接写出抛物线与轴的交点坐标；(2)求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）；(3)若抛物线与轴相交于两点，且，求的取值范围【答案】(1)（0，1）；(2)（3，9a+1）；

10、(3)a【解析】【分析】（1）根据y轴上点的坐标特征，即可求出答案；（2）根据抛物线的对称轴为直线x3，求出b6a，进而得出抛物线解析式，最后将代入抛物线解析式求出顶点坐标的纵坐标，即可得出结论；（3）当a0时，抛物线开口向下，不妨设点A在点B的左侧，由（1）知，抛物线与y轴的交点为（0，1），进而判断出xA0，xB6，得出AB|xBxA|6，判断出此种情况不符合题意，当a0时，抛物线的开口向上，判断出在x轴上关于抛物线的对称轴x3对称且距离为4的两点的坐标为（1，0），（5，0），再由当x1时，得出a6a+10，求出a，再根据y顶点9a+10，即可得出答案(1)针对于抛物线yax2+bx+1

11、，令x0，则y1，抛物线与y轴的交点坐标为（0，1）；(2)抛物线yax2+bx+1（a0）的对称轴是直线x3，3，b6a，抛物线的解析式为yax26ax+1，当x3时，y9a18a+19a+1，抛物线的顶点坐标为（3，9a+1）；(3)当a0时，抛物线开口向下，不妨设点A在点B的左侧，由（1）知，抛物线yax2+bx+1与y轴的交点为（0，1），抛物线yax2+bx+1的对称轴为直线x3，xA0，xB6，AB|xBxA|6，AB4，此种情况不符合题意，当a0时，抛物线的开口向上，由（2）知，抛物线的解析式为yax26ax+1，在x轴上关于抛物线的对称轴x3对称且距离为4的两点的坐标为（1，0

12、），（5，0），AB4，当x1时，yax26ax+1a6a+10，a，抛物线与x轴有两个交点，y顶点9a+10，a，a【点睛】此题主要考查了二次函数的图像和性质，顶点坐标的求法，掌握二次函数的性质是解本题的关键6（2022北京平谷二模）在平面直角坐标系xOy中，点、是抛物线上三个点(1)直接写出抛物线与y轴的交点坐标；(2)当时，求b的值；(3)当时，求b的取值范围【答案】(1)（0，1）；(2)-2；(3)-2b-1；【解析】【分析】（1）令x=0，代入抛物线求得y值即可解答；（2）利用抛物线的对称性求得对称轴，再计算求值即可；（3）根据，将x的值代入抛物线解不等式，再求不等式的解的公共部分

13、即可；(1)解：令x=0，得：y=0+0+1=1，抛物线与y轴的交点坐标（0，1）；(2)解：当时，由点，可得抛物线对称轴为x=1，b=-2，(3)解：由可得：1+b+11，b-1，由可得：1-b+11，b1，由可得：9+3b+11-b+1，b-2，当时，-2b-1；【点睛】本题考查了二次函数的综合，一元一次不等式的应用，掌握二次函数的性质是解题关键7（2022北京平谷二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象由函数平移得到，且过点(1)求这个一次函数的表达式；(2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，求m的取值范围【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）先根据一次函数图象

14、的平移可得，再将点代入即可得；（2）先根据可得，从而问题可转化为当时，函数的值大于0，再分和两种情况，解不等式即可得(1)解：一次函数的图象由函数平移得到，一次函数的图象经过点，则这个一次函数的表达式为(2)解：当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，则，即，则所求问题可转化为当时，函数的值大于0，当时，符合题意；当时，则，解得，所以此时的取值范围为，综上，的取值范围为【点睛】本题考查了一次函数图象的平移、待定系数法、一元一次不等式的应用，较难的是题（2），正确将问题进行转化，并分两种情况讨论是解题关键8（2022北京市燕山教研中心一模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交点为点和点B

15、(1)用含a的式子表示b；(2)求抛物线的对称轴和点B的坐标；(3)分别过点和点作x轴的垂线，交抛物线于点M和点N，记抛物线在M，N之间的部分为图象G（包括M，N两点）记图形G上任意一点的纵坐标的最大值是m，最小值为n当时，求的最小值；若存在实数t，使得，直接写出a的取值范围【答案】(1)(2)，(3)1；或【解析】【分析】（1）把点代入即可得；（2）由对称轴公式可得抛物线的对称轴为直线，由抛物线对称性得点坐标；（3）当时，即得抛物线与轴交点坐标为，与轴交点坐标为，顶点坐标为，当图象为对称图形时有最小值，可得，即得的最小值为；由（1）知抛物线为，得，顶点坐标为，可分四种情况讨论的取值：（）当，

16、且时，解得，可得；（）当，且时，可得，（）当，且时，可得；（）当，且时，可得，即知当时，同理可得：当时，也符合条件(1)解：把点代入得：，；(2)解：由（1）知抛物线为，抛物线的对称轴为直线，而关于直线的对称点是，由抛物线对称性得：点坐标；(3)解：如图：当时，抛物线与轴交点坐标为，与轴交点坐标为，顶点坐标为，由图象知：当图象为对称图形时有最小值，又，过点和点作轴的垂线，交抛物线于点和点，顶点坐标为，的最小值为；点和点作轴的垂线，交抛物线于点和点，由（1）知抛物线为，又抛物线对称轴为直线，顶点坐标为，根据、点的相对位置和抛物线的开口方向可分以下四种情况讨论的取值：（）当，且时，即图象在对称轴左

17、侧时，此时点的纵坐标最大，点的纵坐标最小，解得，又，且，；（）当，且时，即图象在对称轴右侧时，此时点的纵坐标最大，点的纵坐标最小，解得，又，且，（）当，且时，即最低点是抛物线顶点且点纵坐标大时，此时，解得，又，；（）当，且时，即最低点是抛物线顶点时且点纵坐标大，此时，解得，又，综上所述，当时，同理可得：当时，也符合条件，的取值范围为或【点睛】本题考查二次函数的综合应用，难度较大，解题的关键是分类讨论图象上纵坐标的大小值9（2022北京市十一学校二模）在平面直角坐标系xOy中，已知点，函数(1)当函数的图象经过点Q时，求m的值并画出直线y=xm(2)若P，Q两点中恰有一个点的坐标（x，y）满足不

18、等式组（m0），求m的取值范围【答案】(1)m=4，画图见解析(2)3m0或m4【解析】【分析】（1）根据待定系数法，将Q点坐标代入即可求值，进而画出直线的图象；（2）不等式组表达含义为P、Q中的一点位于反比例函数图象上方，位于一次函数图象下方，根据m0的条件，数形结合即可求出m的取值范围(1)解：函数的图象经过点Q，m=22=4，一次函数的解析式为：y=x+4，图象如下(2)解：由题意知，P、Q中的一点位于反比例函数图象上方，位于一次函数图象下方，m0，反比例函数经过二、四象限，故P点在反比例函数图象上方，存在两种情况，Q在反比例函数图象上方，在一次函数图象下方，P在一次函数图象上或上方，即

19、：，解得：3m0；Q在反比例函数图象上或下方，P在一次函数图象下方，即：，解得：m4；综上所述，m的取值范围为：3m5【解析】【分析】（1）根据二次函数解析式确定二次函数图象过点（0，2），再根据点A的坐标即可求出二次函数对称轴的表达式（2）根据点（0，2）和点A坐标用t表示二次函数对称轴，再根据二次函数的最值情况列出方程并求解即可根据二次函数开口方向进行分类讨论，根据二次函数的增减性和点B坐标列出不等式（组）并求解即可(1)解：二次函数解析式为，当x=0时，y=2二次函数图象经过点（0，2）t=4，点A（4，2）在二次函数的图象上二次函数图象的对称轴是直线(2)解：二次函数的图象经过点（0，

20、2）和（t，2），二次函数的对称轴为直线当时，二次函数取得最值二次函数的最小值为0，且点也在这个二次函数的图象上，当a5或或t5当a0时二次函数对称轴是直线，在时，y随x的增大而增大，点也在这个二次函数的图象上，该不等式组无解综上所述，t的取值范围是或t5【点睛】本题考查二次函数的对称性，二次函数的最值，二次函数的增减性，解一元一次方程，解一元一次不等式（组），正确应用数形结合思想是解题关键11（2022北京东城一模）在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A点是抛物线上的任意一点，且不与点A重合，直线经过A，B两点(1)求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；(2)若点，在抛物线上，则a_b（

21、用“”填空）；(3)若对于时，总有，求m的取值范围【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】（1）由，可得抛物线的顶点坐标；（2）由（1）可知，抛物线的对称轴为直线，可知关于对称轴对称的点坐标为，进而可知的关系；（3）将代入，得，则，过A，B两点的直线解析式为，当时，由题意知，当时，随的增大而减小，即，可得，可得；当时，由题意知，当时，随的增大而减小，点关于直线的对称点为，则，计算求出此时的取值范围；进而可得的取值范围(1)解：，抛物线的顶点坐标为(2)解：由（1）可知，抛物线的对称轴为直线，关于对称轴对称的点坐标为，故答案为：(3)解：将代入，得，将代入，解得，当时，由题意知，当时，随的增大

22、而减小，即，解得，；当时，由题意知，当时，随的增大而减小，点关于直线的对称点为，对于时，总有，解得，；综上所述，的取值范围为【点睛】本题考查了二次函数的顶点式，二次函数的图象与性质，二次函数与一次函数的综合等知识解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用12（2022北京海淀二模）由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”某公司设计了一款新型汽车，现在对它的刹车性能（车速不超过150 km/h）进行测试，测得数据如下表：车速v（km/h）0306090120150刹车距离s（m）07.819.234.252.875(1)以车速v为横坐标，刹车距

23、离s为纵坐标，在坐标系中描出表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接这些点；(2)由图表中的信息可知：该型汽车车速越大，刹车距离越（填“大”或“小”）；若该型汽车某次测试的刹车距离为40 m，估计该车的速度约为km/h；(3)若该路段实际行车的最高限速为120 km/h，要求该型汽车的安全车距要大于最高限速时刹车距离的3倍，则安全车距应超过m【答案】(1)见解析(2) 大； 100；(3)158.4【解析】【分析】（1）依题意描点连线即可（2）从所画的图像可以看出：s随v的增大而增大，据此解答即可；从图像可以看出：若该型汽车某次测试的刹车距离为40 m，估计该车的速度约为100km/h；（3）

24、从图像可以看出：该车的速度约为120km/h，则该型汽车测试的刹车距离为52.8 m，据此解答即可(1)如图所示：(2)从所画的图像可以看出：s随v的增大而增大，该型汽车车速越大，刹车距离越大；从图像可以看出：若该型汽车某次测试的刹车距离为40 m，估计该车的速度约为100km/h；故答案为： 大； 100；(3)从图像可以看出：该车的速度约为120km/h，则该型汽车测试的刹车距离为52.8 m，该路段实际行车的最高限速为120 km/h，要求该型汽车的安全车距要大于最高限速时刹车距离的3倍，则安全车距应超过158.4m故答案为：158.4【点睛】本题考查从函数中获取信息此题为数学建模题，借

25、助函数图像解决实际问题13（2022北京海淀二模）在平面直角坐标系xOy中，点（m 2, y1），（m, y2），（2- m, y3）在抛物线y = x22ax + 1上，其中m1且m2(1)直接写出该抛物线的对称轴的表达式（用含a的式子表示）；(2)当m = 0时，若y1= y3，比较y1与y2的大小关系，并说明理由；(3)若存在大于1的实数m，使y1y2y3，求a的取值范围【答案】(1)(2)，理由见解析(3)a的取值范围是【解析】【分析】（1）直接根据对称轴公式求即可；（2）当时，这三个点分别为（，），（0，），（2，），再结合y1= y3，即可求出函数解析式，判断即可；（3）将（m 2

26、, y1），（m, y2），（2- m, y3）代入y = x22ax + 1中，再解不等式即可；(1)解：；(2)当时，这三个点分别为（，），（0，），（2，）， ， （，）与（2，）关于对称轴对称， 抛物线的对称轴为，即函数解析式为 （0，）为抛物线的顶点 抛物线的开口向上， 当时，为函数的最小值 (3)将，和分别代入，得：，则有：，于是成立，即为和同时成立，也即为和同时成立 当时，故，不存在大于1的实数m； 当时，要使，则，也不存在大于1的实数m； 当时，不符合题意； 时，只需取满足的m即可满足前述两个不等式同时成立，即成立综上所述，a的取值范围是【点睛】本题考查二次函数的性质，熟悉二次

27、函数的性质是解题的关键，（3）需要注意分类讨论14（2022北京市十一学校模拟预测）已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为D(1)直接写出函数图象的对称轴：_；(2)若是等腰直角三角形，求的值；(3)当时，y的最大值m减去y的最小值n的结果不大于3，求a的取值范围【答案】(1)直线(2)或(3)当时，当时，；当时，；当时，当时，；当时，【解析】【分析】（1）根据对称轴的公式代入计算即可；（2）根据题意，求出D坐标为，设抛物线与x轴交于点C，表示出AB的长度，根据，建立关于a的方程，求解即可；（3）分类讨论，当时，当时，当时；当时，当时，当时，根据“y的最大值m减去y

28、的最小值n的结果不大于3”列不等式进行求解即可(1)，对称轴为直线，故答案为：直线；(2)由题意得，D坐标为，设抛物线的对称轴与x轴交于点C，此时，令，则，解得，整理得，解得或或或，二次函数，且当时，二次函数与x轴只有一个交点，故不符合题意；综上，或；(3)当时，当时，y的最大值为时，y的最小值为时，解得，；当时，y的最大值为时，y的最小值为时，解得，；当时，当时，y的最大值为时，y的最小值为时，解得，；当时，y的最大值为时，y的最小值为时，解得，；综上，当时，当时，；当时，；当时，当时，；当时，【点睛】本题考查了二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，二次函数的最值问题，熟练掌握知识点并能够运

29、用数形结合的思想是解题的关键15（2022北京房山二模）已知二次函数(1)二次函数图象的对称轴是直线_；(2)当时，y的最大值与最小值的差为9，求该二次函数的表达式；(3)若，对于二次函数图象上的两点，当时，均满足，请结合函数图象，直接写出t的取值范围【答案】(1)2；(2)或；(3)0t4【解析】【分析】（1）由对称轴是直线x=-，可求解；（2）分a0和a0两种情况讨论，分别用含a的式子表示出最大值和最小值，列出关于a的方程，求出a即可；（3）求出x=5时对应的y的值，找到满足条件的t的范围(1)解：（1）由题意可得：对称轴是直线x=2，故答案为：2；(2)，二次函数的顶点坐标为（2，-4a

30、），当a0时，在0x5中，最大值是当x=5时y的值，即，最小值是当x=2时y的值，即-4a，5a-（-4a）=9，a=1，该二次函数的解析式为，当a0时，在0x5中，最大值是当x=2时y的值，即-4a，最小值是当x=5时y的值，即，-4a-5a=9，a=-1，该二次函数的表达式为，综上所述，该二次函数的表达式为或；(3)由（2）知抛物线的对称轴为x=2，当x=5时，y15a，由抛物线的对称性知x=-1时，y=5a，又a0，-1t-1，t+15，0t4【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，关键是要会求抛物线与x轴的交点坐标，熟记抛物线的对称轴的公式，增减性等基本性质16（2022北京平谷一模

31、）在平面直角坐标系xOy中，一次函数ykx+b（k0）的图象经过点（1，0），（0，2）(1)求这个一次函数的表达式；(2)当x2时，对于x的每一个值，函数ymx（m0）的值小于一次函数ykx+b（k0）的值，直接写出m的取值范围【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）通过待定系数法将点，代入解析式求出的值，进而可得一次函数表达式；（2）由题意知，将代入得，则，根据题意：， 如图，当时，与平行，可知当时，成立；当时，将代入中得，解得，由一次函数的图象与性质可知，当时，当时，成立；进而可得m的取值范围(1)一次函数的图象经过点，解得：，一次函数的表达式为：(2)解：由（1）得：，将代入得，则根

32、据题意：， 如图，当时，与平行，可知当时，成立；当时，将代入中得，解得由一次函数的图象与性质可知，当时，当时，成立；综上所述，m的取值范围为【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象与性质运用数形结合的思想是解题的关键17（2022北京门头沟一模）某景观公园内人工湖里有一组喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是一条抛物线现测量出如下数据，在距水枪水平距离为米的地点，水柱距离湖面高度为米（米）012.03（米）1.62.12.52.10(1)在下边网格中建立适当平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑曲线连接(2)结合表中所给数据

33、或所画的图象，直接写出水柱最高点距离湖面的高度；(3)求水柱在湖面上的落点距水枪的水平距离是多少？(4)现公园想通过喷泉设立一个新的游玩项目准备通过调节水枪高度使得公园的平顶游船能从喷泉最高点的正下方通过（两次水柱喷出水嘴的初速度相同），如果游船宽度为3米，顶棚到水面的高度为2米，为了避免游船被淋到，顶棚到水柱的垂直距离不小于0.8米问应如何调节水枪的高度才能符合要求？请通过计算说明理由【答案】(1)见解析；(2)2.5米；(3)2.5米；(4)水枪高度调节到2.1米以上，理由见解析【解析】【分析】（1）建立坐标系，描点、用平滑的曲线连接即可；（2）直接由图像可得结果；（2）观察图象并根据二次

34、函数图象的性质求出最高点的高度，设二次函数的顶点式，求解即可；（3）由题意知设出二次函数图象平移后的解析式，根据题意求解即可(1)以水枪与湖面的交点为原点，水枪所在的直线为纵轴建立平面直角坐标系，如图所示：(2)由图象可知水柱最高点距离湖面的高度为2.5米；(3)根据图象设二次函数的解析式为h=a（d-2）2+2.5将（1，2.1）代入h=a（d-2）2+2.5得a=-，抛物线的解析式为，即，令h=0，则，解得：，4.5-2=2.5，水柱在湖面上的落点距水枪的水平距离是2.5米；(4)设水枪高度至少向上调节m米，由题意知调节后的水枪所喷出的抛物线的解析式为，当横坐标为2+=3.5时，纵坐标的值

35、大于等于2 +0.8=2.8，解得：m1.2，水枪高度至少向上调节1.2米0.9+1.2=2.1水枪高度调节到2.1米以上【点睛】本题考查了二次函数喷泉的应用，二次函数解析式，二次函数图象的平移解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象建立二次函数模型18（2022北京十一学校一分校一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线M：和直线l：(1)抛物线M的对称轴是直线 (2)若直线与抛物线M有两个公共点，它们的横坐标记为x1，x2，直线与直线l的交点横坐标记为x3若当时，总有，请结合函数图象，求a的取值范围【答案】(1)；(2)【解析】【分析】（1）根据对称轴公式求解即可；（2）画出函数的大致图象，当，由可

36、得：，当时，结合函数图像可知：即可求出a的范围(1)解：由题意可知：对称轴，抛物线M的对称轴是直线 (2)解：中，二次函数与x轴有两个交点，图象大致如下：当时，由可得：，解之得：当时，直线与直线的交点横坐标记为x3若当时，总有，解之得【点睛】本题考查二次函数图象及其性质及不等式，解题的关键在于根据函数图像得出关于a的不等式19（2022北京朝阳一模）在平面直角坐标系中，点在抛物线上(1)若，求的值；(2)若，求值的取值范围【答案】(1)0(2)【解析】【分析】（1）将和分别代入函数解析式，根据，可解出b的值，再将代入函数解析式，可解出c的值；（2）若，由于函数图像开口向上，函数值越小离对称轴越

37、近，函数值越大离对称轴越远，结合二次函数对称性可判断出对称轴的取值范围，把点带入中求出，进而可求出值的取值范围(1)解：将和分别代入解析式，得，解得，把点带入中，得，解得，函数解析式为当，；(2)解：，中，函数图像开口向上，又，解得，把点带入中，得，将代入解析式，得，即【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式和二次函数图像的性质，牢固掌握以上知识点并学会数形结合是做出本题的关键20（2022北京西城一模）在平面直角坐标系xOy中，直线与坐标轴分别交于，两点将直线在x轴上方的部分沿x轴翻折，其余的部分保持不变，得到一个新的图形，这个图形与直线分别交于点C，D(1)求k，b的值；(2)横、

38、纵坐标都是整数的点叫做整点记线段AC，CD，DA围成的区域（不含边界）为W当m=1时，区域W内有_个整点；若区域W内恰有3个整点，直接写出m的取值范围【答案】(1)(2)1；【解析】【分析】（1）利用待定系数法可求得直线的解析式；（2）画出图象，确定点B关于x轴的对称点及与直线的交点C，根据图象可求解；利用图象找到区域W内恰好有1个整点和恰有3个整点时的m的取值即可求解(1)直线与坐标轴分别交于，两点,，解得，且(2)如图所示，点B关于x轴的对称点坐标为(0，-4)当m=1时，直线l2的解析式为，恰好过(0，-4)，即为交点C，此时区域W内有1个整点E，故答案为：1如图所示，当m=1时，直线l

39、2的解析式为，恰好经过整点G，F，当直线恰好经过整点H时，区域W内恰有3个整点，此时把整点H的坐标(0，-5)代入得，解得，区域W内恰有3个整点时，m的取值范围为：【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，利用图象求解问题，通过画图象确定临界点是解题的关键21（2022北京东直门中学模拟预测）在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点满足时，称点Q是点P的等和点已知点(1)在，中，点P的等和点有_；(2)点A在直线上，若点P的等和点也是点A的等和点，求点A的坐标；(3)已知点和线段MN，对于所有满足的点C，线段MN上总存在线段PC上每个点的等和点若MN的最小值为5，直接写出b的取值范围【答案

40、】(1)，；(2)；(3)【解析】【分析】（1）根据新定义计算即可；（2）由（1）可知，P的等和点纵坐标比横坐标大2，根据等和点的定义，A的横坐标比纵坐标大2，由此可得方程，求解即可；（3）因为线段MN上总存在线段PC上每个点的等和点且MN的最小值为5，所以PC的最大距离不能超过5，分别找到点P和点C的等和点所在的区域或直线，然后得到MN取得最大值时，b的边界即可(1)解：由题意可知：，点Q1是点P的等和点；，点Q2不是点P的等和点；，点Q3是点P的等和点；点P的等和点有，(2)解：设，由（1）可知，P的等和点纵坐标比横坐标大2，点P的等和点也是点A的等和点，A的横坐标比纵坐标大2，则，解之得

41、：，故，(3)解：P（2，0），P点的等和点在直线y=x+2上，B（b，0），B点的等和点在直线y=x+b上，设直线y=x+b与y轴的交点为B（0，b），BC=1，C点在以B为圆心，半径为1的圆上，点C的等和点是两条直线及其之间与其平行的所有平行线上，以B为圆心，1为半径作圆，过点B作y=x+2的垂线交圆与N点，交直线于M点，MN的最小值为5，BM最小值为4，在RtBMP中，BP=，PB=，OB=，同理当B点在y轴左侧时OB=，b【点睛】本题考查新定义，涉及到平面直角坐标系，坐标轴上两点之间的距离，一次函数，解题的关键是理解题意，根据题意进行求解，（3）较难，需理解题意将其转化为求PC最大值问

42、题22（2022北京市第五中学分校模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2+bx+2（a0）经过点A（1，1），与y轴交于点B(1)直接写出点B的坐标；(2)点P（m，n）是抛物线上一点，当点P在抛物线上运动时，n存在最大值N若N2，求抛物线的表达式；若9a2，结合函数图象，直接写出N的取值范围【答案】(1)B（0，2）(2)；2N3【解析】【分析】（1）根据y轴上点的坐标特征求得即可；（2）由题意得抛物线的顶点为（0，2），把A（1，1）代入即可求出a的值，继而求出抛物线的表达式；把点A（1，1）代入yax2bx2得出a与b的关系，再把a9和a3代入求出对应b的值，从而求出抛物线解

43、析式，利用解析式求出最大值，即可得到N的取值范围(1)解：把x0代入yax2bx2得，y2，B（0，2）；(2)解：依题意，当N2时，该抛物线的顶点为（0，2），设抛物线的解析式为，由抛物线过A（1，1），得a21，解得a3，抛物线的表达式为；抛物线yax2+bx+2（a0）经过点A（1，1），1ab2，b3a，由题意得N是抛物线顶点的纵坐标，设 ，其函数图象如下图所示，由函数图象可知时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大当x3时，则，此时，函数有最小值为2，当x2时，则，当x9时，则，此时，函数有最大值为3，2N3【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，用待定系数法求二次函数解析式，掌

44、握二次函数的图象与性质及最值的求法是解决问题的关键23（2022北京市第五中学分校模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：yax（a0）过点A（2，1），直线l2：ymx+n过点B（1，3）(1)求直线l的解析式；(2)用含m的代数式表示n；(3)当x2时，对于x的每一个值，函数yax的值小于函数ymx+n的值，求m的取值范围【答案】(1)直线l1：；(2)；(3)m的取值范围为【解析】【分析】（1）利用待定系数法将A（2，1）代入yax（a0）即可求解；（2）将点B（1，3）代入ymx+n即可用含m的代数式表示n；（3）由，得直线l2：ymx+m+3，解得l1、 l2的交点横坐标为 ，

45、由当x2时，对于x的每一个值，函数yax的值小于函数ymx+n的值，得 且 ，进而分两种情况讨论求解即可(1)解：yax（a0）过点A（2，1），直线l1：；(2)解：直线l2：ymx+n过点B（1，3），；(3)，直线l2：ymx+m+3，解得，当x2时，对于x的每一个值，函数yax的值小于函数ymx+n的值， 且 ，当即时，有，解得，这与相矛盾，当即时，有，解得，故，m的取值范围为【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式、一次函数的性质以及一次函数与不等式的关系，分类讨论求解不等式是解题的关键24（2022北京市三帆中学模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，点，在抛物线上(1)若，

46、求该抛物线的对称轴并比较，的大小；(2)已知抛物线的对称轴为，若，求t的取值范围【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）首先可求得抛物线的解析式及对称轴所在的直线，再根据二次函数的性质，即可得结论；（2）分两种情况，即开口向上和向下时，分别讨论计算即可求得(1)解：，该抛物线的开口向下，对称轴为直线，当x=-1时，y取最大值，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小(2)解：当x=0时，y=c，当时，若， 则函数图象如图所示：当时， 当时， 当时，抛物线开口向下 时，y随x的增大而减小，与不符合故不存在此种情况综上，t的取值范围为【点睛】本题考查了根据二次函数的图象比较函数值的大小，采用数形结合的

47、思想是解决此类题的关键25（2022北京模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：yx1的图象与反比例函数y（x0）的图象交于点A（3，m）(1)求m、k的值；(2)点P（xp，0）是x轴上的一点，过点P作x轴的垂线，交直线l于点M，交反比例函数y（x0）的图象于点N横、纵坐标都是整数的点叫做整点记y（x0）的图象在点A，N之间的部分与线段AM，MN围成的区域（不含边界）为W当xp5时，直接写出区域W内的整点的坐标为_；若区域W内恰有6个整点，结合函数图象，求出xp的取值范围【答案】(1)m2，k6(2)（4，2）；当 0xp1或6xP7时，区域W内有6个整点【解析】【分析】（1）将A

48、（3，m）代入y=x-1，得到m=2，A（3，2），再把A（3，2）代入y=，得到k=6；（2）当时，根据A（3，2）、M（5，4）、N（5，），知道，区域W内的整点坐标为（4，2）；结合函数图象可知，当0xp1时，区域W内有6个整点；当6xP7时，区域W内有6个整点(1)直线l：yx1的图象与反比例函数y（x0）的图象交于点A（3，m），m312，点A（3，2），反比例函数y过点A，k326；(2)当xp5时，M、N两点的坐标为M（5，4）、N（5，），A（3，2），区域W内的整点的坐标为（4，2），当点P在点A左边时，如图1，结合函数图象可知，当0xp1时，区域W内有6个整点；当点P在点A

49、右时，如图2，结合函数图象可知，当6xP7时，区域W内有6个整点；综上所述：当 0xp1或6xP7时，区域W内有6个整点【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数，新定义整点，解决问题的关键是熟练掌握待定系数法求解析式，熟练运用先定义整点，结合函数与不等式26（2022北京十一学校一分校模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线yx2+（2a2）xa2+2a上，其中x1x2(1)求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；(2)当xa时，求y的值；若y1y20，求x1的值（用含a的式子表示）(3)若对于x1+x24，都有y1y2，求a的取值范围【答案】(1)对称

50、轴为直线xa1(2)y=0；x1a2(3)a1【解析】【分析】（1）根据抛物线的对称轴x求解即可；（2）将xa代入yx2+（2a2）xa2+2a求解即可；若y1y20，则x2+（2a2）xa2+2a0，解方程并根据x1x2，求出x1的值（3）由题意得出x12，则只需讨论x1a1的情况，分两种情况：当a1时，又有两种情况：x1x2a1，x1a1x2，分别结合二次函数的性质及x1+x24计算即可；当a1时，令x1a1，x22，此时x1+x24，但y1y2，不符合题意(1)解：抛物线的对称轴为直线xa1；(2)解：当xa时，ya2+（2a2）aa2+2aa2+2a22aa2+2a0；当y1y20时，

51、x2+（2a2）xa2+2a0，x2（2a2）x+a22a0，（xa+2）（xa）0，x1x2，x1a2；(3)解：当a1时，x1x2，x1+x24，x12，只需讨论x1a1的情况若x1x2a1，xa1时，y随着x的增大而增大，y1y2，符合题意；若x1a1x2，a12，2（a1）4，x1+x24，x1+x22（a1）x12（a1）x2x2（a1）x2时，y1y2，xa1时，y随着x的增大而增大，y1y2，符合题意当a1时，令x1a1，x22，此时x1+x24，但y1y2，不符合题意；综上所述，a的取值范围是a1【点睛】本题属于二次函数的综合题，涉及二次函数的性质、求函数值、运用二次函数求不等

52、式等知识点，灵活运用二次函数的性质成为解答本题的关键27（2022北京石景山一模）在平面直角坐标xOy中，点在抛物线上(1)求抛物线的对称轴；(2)抛物线上两点，且，当时，比较，的大小关系，并说明理由；若对于，都有，直接写出t的取值范围【答案】(1)(2)，理由见详解；或【解析】【分析】（1）对于抛物线，令，可得，可知点（0，2）在抛物线上，根据点也在抛物线上，由抛物线的对称性，可知该抛物线的对称轴为；（2）根据题意，大致画出抛物线图象当时，根据题意可计算、的取值范围，再结合抛物线图象判断，的大小即可；分情况讨论，当、三种情况下，区域和区域的位置及移动方向，确定满足条件的t的取值范围(1)解：

53、对于抛物线，令，可得，即该抛物线与y轴的交点为点（0，2），又点也在抛物线上，根据抛物线的对称性，可知该抛物线的对称轴为；(2)根据题意，大致画出抛物线图象，如下图，当时，根据题意可知，即有，由图象可知，；若对于，都有，可分情况讨论，如下图：当时，由图象对称性可知，成立；当时，区域向左移动，区域向右移动且都移动t个单位，由图象对称性可知，成立；当时，区域、区域相向移动，两区域相遇时，有，解得，在时，成立；相遇后，再继续运动，两区域分离时，有，解得；分离后，即时，随着t的增大，由图象对称性可知，成立；综上所述，满足条件的t的取值范围为：或【点睛】本题主要考查了二次函数图象与性质及二次函数的综合应

54、用，解题关键是根据题意画出图形，用数形结合和分情况讨论的数学思想分析问题28（2022北京中国人民大学附属中学分校一模）有这样一个问题：探究函数的图象与性质小亮根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究下面是小亮的探究过程，请补充完整：(1)函数中自变量x的取值范围是 ；(2)表格是y与x的几组对应值x02345ym直接写出m的值 ；(3)在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；(4)根据画出的函数图象，发现下列特征：该函数的图象与直线越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线 越来越靠近而永不相交请再写出此函数的一条性质： (5)已知不等

55、式的解集为或，则的值为 【答案】(1)x1(2)1(3)见解析(4)y=-3；y随x的增大而减小(5)【解析】【分析】（1）根据分母不为0即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出结论；（2）将x=3代入函数解析式中求出m值即可；（3）连点成线即可画出函数图象；（4）观察函数图象即可求解（5）根据不等式的解集确定函数 y=kx+b 图象经过的点，代入求出k，b的值(1)由题意得：x-10，解得：x1故答案为x1；(2)当x=时，m=-3=4-3=1，即m的值为1，故答案为1；(3)图象如图所示：(4)根据画出的函数图象，发现下列特征：该函数的图象与直线x=1越来越靠近而永不相交，该函数的图象

56、还与直线y=-3越来越靠近而永不相交，故答案为y=-3 y随x的增大而减小，故答案为y随x的增大而减小；(5)不等式的解集为或，直线y=kx+b过(2,-1)，(4, )两点，故答案为【点睛】本题考查了函数图象和性质，自变量的取值范围，画函数图象，函数与不等式，熟练掌握由函数有意义的条件求自变量的取值范围，连点成曲线画出函数图象，根据不等式解集确定两个函数图象的交点坐标，是解题的关键29（2022北京中国人民大学附属中学分校一模）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点与的“非常距离”，给出如下定义：若，则点P1与点P2的“非常距离”为；若，则点P1与点P2的“非常距离”为(1)已知点，B为y轴

57、上的一个动点，若点A与点B的“非常距离”为4，直接写出点B的坐标： ；求点A与点B的“非常距离”的最小值；(2)已知C是直线上的一个动点，若点D的坐标是(0，1)，求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；若点E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E和点C的坐标【答案】(1)点B的坐标是（0，4）或（0，-4）；点A与点B的“非常距离”的最小值为；(2)点C与点D的“非常距离”的最小值是1，点C的坐标是；点C与点E的“非常距离”的最小值是，点E的坐标是；点C的坐标是.【解析】【分析】（1）根据点B位于y轴上，可以设点B的坐标为（0

58、，y）由“非常距离”的定义可以确定|0y|4，据此可以求得y的值；当|b|时，点A与点B的“非常距离”的最小值为即可；（2）设点C坐标为，分三种情况讨论：当a时，当a-4时，及当-4a0时，求出点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标即可；设点C坐标为，分三种情况讨论：当a时，当a-4时，及当-4a0时，判断出 当点E在过原点且与直线垂直的直线上时，点C与点E的“非常距离”最小，据此求出点C与点E的“非常距离”的最小值以及相应的点C和点E的坐标即可.(1)解：B为y轴上的一个动点，设点B的坐标为（0，y），|0|4，|0y|4，解得，y4或y-4；点B的坐标是（0，4）或（0，-4）

59、；|0|，当|b|时，点A与点B的“非常距离”的最小值为；(2)解：如图：设点C坐标为当a时，点A的坐标为（0，2），点D的坐标为（0，1），点C与点D的“非常距离”的最小值是，当a-4时，点B的坐标为（-4，0），点D的坐标为（0，1），点C与点D的“非常距离”的最小值是；当-4a0时，当CE=DE时，点C与点D的“非常距离”最小，此时-1=-a，解得a=，=，点C与点D的“非常距离”的最小值是，点C的坐标是；综上，点C与点D的“非常距离”的最小值是1，点C的坐标是；如图：设点C坐标为，点E的坐标为（x，y），当a时，点A的坐标为（0，2），圆与y轴正半轴交点的坐标为（0，1），点C与点E的

60、“非常距离”的最小值是，当a-4时，点B的坐标为（-4，0），圆与x轴负半轴交点的坐标为（-1，0），点C与点E的“非常距离”的最小值是；当-4a0时，当点E在过原点且与直线垂直的直线上时，点C与点E的“非常距离”最小，解得，由解得a=，=，-=，点C与点E的“非常距离”的最小值是，点E的坐标是；点C的坐标是.【点睛】此题主要考查了一次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力.还考查了对“非常距离”的含义的理解，要熟练掌握，并能求出两点之间的“非常距离”.30（2022北京中国人民大学附属中学朝阳学校一模）

61、在平面直角坐标系xOy中，为抛物线上两点，其中(1)求抛物线与x轴的交点坐标；(2)若，点M，N在抛物线上运动，当时，求a的值；(3)记抛物线在M，N两点之间的部分为图象G（包含M，N两点），若图象G上最高点与最低点的纵坐标之差为1，直接写出t的取值范围【答案】(1)（0，0），（1，0）(2)或(3)【解析】【分析】（1）令，解得，即可得到答案；（2）把，分别代入抛物线，求出、与a的关系式，然后代入，即可求得答案；（3）当点M、N在对称轴同侧时，当点M、N均为对称轴的右侧时，即，则，进而求解；当点M、N均在对称轴左侧时，同理可解；当点M、N在对称轴两侧时，同理可解(1)解：令，解得：，抛物线

62、与x轴的交点坐标为：（0，0），（1，0）；(2)解：当时，把，分别代入抛物线，得：，当时，得：，解得：或；(3)解：由抛物线解析式可知，顶点坐标为，当点M、N在对称轴同侧时，当点M、N均为对称轴的右侧时，即，则，解得：，当点M、N均在对称轴左侧时，同理可得：，；当点M、N在对称轴两侧时，则最小值为，最大值为或，当最大值为时，则，即：，解得：，则与点M关于抛物线对称轴对称的点的横坐标为，故点N的横坐标在和之间，即：，解得：，当最大值为时，同理可得：，所以综上所述，若图象G上最高点与最低点的纵坐标之差为1，t的取值范围是：【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图像和性质、解不等式等，解题的关键是掌握二次函数的图像的点的坐标特征和运用分类讨论思想、避免遗漏