【机构秘籍】小学奥数题库《几何》-直线型-蝴蝶模型-5星题（含解析）全国通用版【唯一店：教师学科网资料】.docx

1、几何-直线型几何-蝴蝶模型-5星题课程目标知识点考试要求具体要求考察频率蝴蝶模型C1.了解蝴蝶模型及其公式2.能够熟练运用任意四边形蝴蝶模型和梯形蝴蝶模型的来解决复杂的几何知识少考知识提要蝴蝶模型 任意四边形蝴蝶模型（1）S1:S2=S4:S3 （2）OA:OC=(S1+S2):(S4+S3) 梯形蝴蝶模型（1）S2=S4 （2）S1:S2=S4:S3 （3）S1:S3:S2:S4:S梯形=a2:b2:ab:ab:(a+b)2 精选例题蝴蝶模型 1. 如图，ABCD 是一个四边形，M、N 分别是 AB、CD 的中点如果 ASM、MTB 与 DSN 的面积分别是 6、7 和 8，且图中所有三角形

2、的面积均为整数，则四边形 ABCD 的面积为 【答案】60【分析】连接 MN、AC、BD由于 M 是 AB 的中点，所以 AMN 与 BMN 的面积相等，而 MTB 比 ASM 的面积大 1，所以 MSN 比 MTN 的面积大 1；又由于 N 是 CD 的中点，所以 DMN 的面积与 CMN 的面积相等，那么 CTN 的面积比 DSN 的面积大 1，所以 CTN 的面积为 9假设 MTN 的面积为 a，则 MSN 的面积为 a+1根据几何五大模型中的蝴蝶定理，可知 ASD 的面积为 48a+1，BTC 的面积为 63a要使这两个三角形的面积为整数，a 可以为 1，3 或 7由于 ADM 的面积

3、为 ABD 面积的一半，BCN 的面积为 BCD 面积的一半，所以 ADM 与 BCN 的面积之和为四边形 ABCD 面积的一半，所以 ADM 与 BCN 的面积之和等于四边形 BMDN 的面积，即：48a+1+6+63a+9=7+a+a+1+8，得 48a+1+63a=2a+1将 a=1、3、7 分别代入检验，只有 a=7 时等式成立，所以 MTN 的面积为7，MSN、ASD、BTC 的面积分别为 8、6、9四边形 ABCD 的面积为 6+7+8+92=60小结：本题中“且图中所有三角形的面积均为整数”这个条件是多余的 2. 下图中，四边形 ABCD 都是边长为 1 的正方形，E、F、G、H

4、 分别是 AB，BC，CD，DA 的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数 mn，那么，(m+n) 的值等于 【答案】5【分析】左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积如下图所示，在左图中连接 EG设 AG 与 DE 的交点为 M左图中 AEGD 为长方形，可知 AMD 的面积为长方形 AEGD 面积的 14，所以三角形 AMD 的面积为 121214=18又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面积为 1-184=12如上图所示，在右图中连接 A

5、C、EF设 AF、EC 的交点为 N可知 EFAC 且 AC=2EF那么三角形 BEF 的面积为三角形 ABC 面积的 14，所以三角形 BEF 的面积为 121214=18，梯形 AEFC 的面积为 12-18=38在梯形 AEFC 中，由于 EF:AC=1:2，根据梯形蝴蝶定理，其四部分的面积比为：12:12:12:22=1:2:2:4，所以三角形 EFN 的面积为 3811+2+2+4=124，那么四边形 BENF 的面积为 18+124=16而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为 1-164=13那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为 12:13=3

6、:2，即 mn=32，那么 m+n=3+2=5 3. 如图，长方形 ABCD 的面积是 36，E 是 AD 的三等分点，AE=2ED，则阴影部分的面积为 【答案】2.7【分析】如图，连接 OE根据蝴蝶定理，ON:ND=SCOE:SCDE=12SCAE:SCDE=1:1，所以 SOEN=12SOED； OM:MA=SBOE:SBAE=12SBDE:SBAE=1:4，所以 SOEM=15SOEA又 SOED=1314S矩形ABCD=3，SOEA=2SOED=6，所以阴影部分面积为：312+615=2.7 4. 如图，在正方形 ABCD 中，E、F 分别在 BC 与 CD 上，且 CE=2BE，CF

7、=2DF，连接 BF、DE，相交于点 G，过 G 作 MN、PQ 得到两个正方形 MGQA 和 PCNG，设正方形 MGQA 的面积为 S1，正方形 PCNG 的面积为 S2，则 S1:S2= 【答案】9:4【分析】连接 BD、EF设正方形 ABCD 边长为 3，则CE=CF=2,BE=DF=1,所以，EF2=22+22=8,BD2=32+32=18.因为EF2BD2=818=144=122,所以EFBD=12.由梯形蝴蝶定理，得SGEF:SGBD:SDGF:SnBGE=EF2:BD2:EFBD:EFBD=8:18:12:12=4:9:6:6,所以，SBGE=64+9+6+6S梯形BDFE=6

8、25S梯形BDFE.因为SBCD=332=92,SCEF=222=2,所以S梯形BDFE=SBCD-SCEF=52,所以，SBGE=62552=35.由于 BGE 底边 BE 上的高即为正方形 PCNG 的边长，所以CN=3521=65,ND=3-65=95,所以AM:CN=DN:CN=3:2,则S1:S2=AM2:CN2=9:4. 5. 如图，在一个边长为 6 的正方形中，放入一个边长为 2 的正方形，保持与原正方形的边平行，现在分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点，形成了图中的阴影图形，那么阴影部分的面积是多少？【答案】14【分析】本题中小正方形的位置不确定，所以可以通过取特殊值

9、的方法来快速求解，也可以采用梯形蝴蝶模型来解决一般情况解法一：取特殊值，使得两个正方形的中心相重合，如右图所示，图中四个空白三角形的高均为 1.5，因此空白处的总面积为 61.524+22=22，阴影部分的面积为 66-22=14解法二：连接两个正方形的对应顶点，可以得到四个梯形，这四个梯形的上底都为 2，下底都为 6，上底、下底之比为 2:6=1:3，根据梯形蝴蝶模型，这四个梯形每个梯形中的四个小三角形的面积之比为 12:13:13:32=1:3:3:9，所以每个梯形中的空白三角形占该梯形面积的 916，阴影部分的面积占该梯形面积的 716，所以阴影部分的总面积是四个梯形面积之和的 716，

10、那么阴影部分的面积为 716(62-22)=14 6. 如图，在三角形 ABC 中，AF=2BF，CE=3AE，CD=2BD连接 CF 交 DE 于 P 点，求 EPDP 的值【答案】94【分析】连接 DF、FE因为 AF=2BF，所以SBFC=12+1SABC=13SABC.又因为 CD=2BD，所以SDFC=22+1SBFC=2313SABC=29SABC.因为 AF=2BF，所以SAFC=22+1SABC=23SABC.又因为 CE=3AE，所以SEFC=31+3SAFC=3423SABC=12SABC.所以EPPD=SFECSEFD=12SABC29SABC=94. 7. 如图，边长为

11、 1 的正方形 ABCD 中，BE=2EC，CF=FD，求三角形 AEG 的面积【答案】27【分析】连接 EF因为 BE=2EC，CF=FD，所以SDEF=121312SABCD=112SABCD.因为SAED=12SABCD,根据蝴蝶模型，AG:GF=12:112=6:1,所以SAGD=6SGDF=67SADF=6714SABCD=314SABCD.所以SAGE=SAED-SAGD=12SABCD-314SABCD=27SABCD=27,即三角形 AEG 的面积是 27 8. 如图所示，在正方形 ABCD 内，红色、绿色正方形的面积分别是 48 和 12，且红、绿两个正方形有一个顶点重合黄色

12、正方形的一个顶点位于红色正方形两条对角线的交点，另一个顶点位于绿色正方形两条对角线的交点那么黄色正方形的面积是多少？ 【答案】27【分析】由于黄色正方形的两个顶点分别在红色正方形和绿色正方形的中心，所以红色正方形与黄色正方形重合部分的面积为1448=12绿色正方形与黄色正方形重合部分的面积为1412=3黄色正方形可分为 4 部分，如右上图所示，除了与其它两个正方形重合的两个部分，另外两个部分的面积相等，设为 a在其中可类似运用四边形中的蝴蝶定理，可得a2=123=36=62所以 a=6所以黄色正方形的面积为12+3+62=27 9. 如图，等腰直角三角形 DEF 的斜边在等腰直角三角形 ABC

13、 的斜边上，连接 AE、AD、AF，于是整个图形被分成五块小三角形图中已标出其中三块的面积，那么三角形 ABC 的面积是 【答案】36【分析】方法一：延长 AD 交 BC 于点 M，连接 BD、CD，应用燕尾模型，得S1=25,S2=35,再由蝴蝶模型，SBDE=SADE，所以SBDM=2+25=125,同理 SCDM=185，而MD:DA=25:2=1:5,所以 SABD=5SBDM，同理 SACD=5SCDM，所以SABC=6SBDC=6125+185=36.方法二：由于等腰直角三角形 DEF 的面积是 1，所以 EF2，而SAEF=1+2+3=6,所以等腰直角 ABC 的高为622=6,

14、所以 ABC 的面积是6622=36.10. 如图，已知 D 是 BC 中点，E 是 CD 的中点，F 是 AC 的中点三角形 ABC 由 这 6 部分组成，其中 比 多 6 平方厘米那么三角形 ABC 的面积是多少平方厘米？【答案】48【分析】因为 E 是 DC 中点，F 为 AC 中点，有 AD=2FE 且 EF 平行于 AD，则四边形 ADEF 为梯形在梯形 ADEF 中有 =，=，:=AD2:FE2=4又已知 -=6，所以 =6(4-1)=2，=4=8，所以 =16，而 =，所以 =4，梯形 ADEF 的面积为 、 四块图形的面积和，为 8+4+4+2=18有 CEF 与 ADC 的面积比为 CE 平方与 CD 平方的比，即为 1:4所以 ADC 面积为梯形 ADEF 面积的 44-1=43，即为 1843=24因为 D 是 BC 中点，所以 ABD 与 ADC 的面积相等，而 ABC 的面积为 ABD、ADC 的面积和，即为 24+24=48(平方厘米)三角形 ABC 的面积为 48 平方厘米