【机构秘籍】小学奥数题库《数论》因数和倍数-倍数-2星题（含解析）全国通用版【唯一店：教师学科网资料】.docx

1、数论-因数和倍数-倍数-2星题课程目标知识点考试要求具体要求考察频率倍数C1、理解倍数的定义2、能够准确写出一个数的较小的倍数。少考知识提要倍数 定义对于整数 a 和 b，如果 ab，我们就称 b 是 a 的倍数。精选例题倍数 1. 一个四位数 2abc 扩大 3 倍后，变成了 abc8，这个四位数是 【答案】2856【分析】根据题意，c3 的个位数字是 8，知道 c=6，b3 的个位数字是 6-1=5，所以 b=5，a3 的个位数字是 5-1=4，所以 a=8，因此这个四位数是 2856 2. 有 n 个自然数相加：1+2+n=aaa，那么 a= 【答案】36【分析】1+2+3+n=(1+n

2、)n2=111a，(1+n)n=2337a，a 取 19n 和 n+1 中有一个是 37 的倍数，如果 n=37k，则 37k2+k=6a54，所以 k=1，此时 a 不是整数只有 n+1=37k，则 37k2-k=6a，同样地k只能能取 1，此时 a=6所以 n=36 3. 一只小蜜蜂发现了一处蜜源，它立刻回巢招来 10 个同伴，可还是采不完于是，每只蜜蜂回去分头各找来 10 只蜜蜂，大家再接着干，还是剩下很多蜜没有采于是，蜜蜂们又回去叫同伴，每只蜜蜂又叫来 10 个同伴，但仍然采不完蜜蜂们再回去，每只蜜蜂又叫来 10 个同伴这一次，终于把这一片蜜源采完了你来算一算采这块蜜源的蜜蜂一共有 只

3、【答案】14641【分析】每只小蜜蜂每次都叫来 10 只蜜蜂，所以每次新叫来的蜜蜂是原来蜜蜂数目的 10 倍，即每叫一次，蜜蜂数目变为原来的 11 倍，共叫了 4 次现在的蜜蜂共有 111111111=14641（只） 4. 阿凡达有一个出了故障的计算器当打开电源时，视窗上显示数字 0如果按下“+”键则它会加上 51；按下“-”键则它会减去 51；按下“”键则它会加上 85；按下“”键则它会减去 85；而其他的按键则无效阿凡达打开计算器电源，任意操作上述按键，那么他可以得到最接近 2010 的数是 【答案】2006【分析】该题关键在于发现 51 与 85 均为 17 的倍数，因为初始显示是 0

4、，那么不管怎么按 +,-, 四个按键，得到的一定是 17 的倍数，而最接近 2010 的 17 的倍数为 2006，并且 2006=17118 是可以操作出来的如按 23 次“”键，再按一次“+”键 5. 2011年3月11日，日本发生里氏 9 级大地震在3月15日，日本本州岛东海岸附近海域再次发生 5 级地震已知里氏地震级数每升 2 级，地震释放能量扩大到原来的 1000 倍，那么3月11日的大地震释放能量是3月15日东海岸地震的 倍【答案】1000000【分析】10001000=1000000 6. 已知 x，y 是大于 0 的自然数，且 x+y=150，若 x 是 3 的倍数，y 是 5

5、 的倍数，则 (x,y) 的不同取值有 对【答案】9【分析】由题意得，x，y 为 3 和 5 的公倍数才符合要求，公倍数有 15、30、45、60、75、90、105、120、135，则共有 9 对不同取值 7. 橘子、苹果、梨共有六箱，这六箱水果的重量分别为 15、16、18、19、20、31 千克，其中苹果的重量是梨的一半，橘子只有一箱这箱橘子重 千克【答案】20【分析】因题目中提到“苹果的重量是梨的一半，橘子只有一箱”，这表明除去橘子后，剩下的水果重量恰好等于苹果重量的 3 倍，也就是说重量是 3 的倍数而事实上，在 15、16、18、19、20、31 这六个数中，只有除去 20 后剩下

6、的五个数之和恰好是 3 的倍数，所以这箱橘子重 20 千克 8. abc 是三位数，若 a 是奇数，且 abc 是 3 的倍数，则最小是 【答案】102【分析】a 为奇数，且要求最小，则 a=1，b=0又要求为 3 的倍数，则 a+b+c 为 3 的倍数，所以 b=0，c=2 9. 将 1 从开始到 100 的连续的自然数相乘，得到 123499100记为 100！（读作 100 的阶乘）用 3 除 100！，显然，100！ 被 3 整除，得到一个商：再用 3 除这个商，这样一直用 3 除下去，直到所得的商不能被 3 整除为止，那么，在这个过程中用 3 整除了 次【答案】48【分析】从 1 到

7、 100 里，3 的倍数有 3、6、9、99（根据等差数列）共 33 个；其中 9=33，9 的倍数有 9、18、27、99，共 11 个；27=333，27 的倍数有 27、54、81，共有 3 个；81=3333，1 个；所以，在这个过程中用 3 整除了33+11+3+1=48(次).10. （1）11000 中有 个 3 的倍数（2）1100 中有 个是 2 的倍数也是 3 的倍数的数【答案】（1）333；（2）67【分析】（1）高斯记号作为“记号”的应用实例，10003=333；（2）2 的倍数的个数：1002=50; 3 的倍数的个数：1003=33; 6 的倍数的个数：1006=1

8、6;所以50+33-16=67.11. 将 1 至 8 填入方格中，使得数列 ,9, 从第三个项开始，每一项都等于前面两项的和，那么这个数列的所有项之和是 【答案】198【分析】第三个数比第一个数多 9，第四个数比第三个数多 9；若第一个数除以 9 余 a，则第三个数和第四个数也余 a，第五个数则余 2a，五个数总和除以 9 余 4a；而由于1+2+3+9=45是 9 的倍数，易知 a=0，即这五个数都是 9 的倍数；若设第一个数为 18，则这五个数分别为 18，9，27，36，63；6 出现两次不符合要求；若设第一个数为 27，则这五个数分别为 27，9，36，45，81；符合要求所有项之和

9、为27+9+36+45+81=19812. 已知和数 1+2+3+n 的个位数为 6，十位数为 0，百位数不为 0则 n 最小是 【答案】28【分析】详解：由题意得：4+5+6+n（n3）的末两位是 00，因而是 100 的倍数即 (4+n)(n-3)2 是 100 的倍数，所以 (4+n)(n-3) 是 200 的倍数又因为 4+n、n-3 两数互质，因而两个数中必有一个数是 8 的倍数，也必有一个数是 25 的倍数于是有四种情形：8(4+n)25(n-3)，8(n-3)25(4+n)，8(4+n)25(4+n)，8(n-3)25(n-3)每种情形对应的最小 n 的值分别是 28、171、1

10、96、203所以所求的最小值是 2813. 某个三位数 ABC 与它的反序数 CBA 相乘，所得乘积的 3 倍是 2010 的倍数，那么 ABCCBA32010= 【答案】508【分析】ABC、CBA 两数中必一个数是 67 的倍数，也必有一个数是 5 的倍数，如果不妨设 ABC 是 67 的倍数情形一 ABC 是 5 的倍数，则只能等于 335，3355333 并不是 2010 的倍数情形二：ABC 不是 5 的倍数，则 CBA 是 5 的倍数且 ABC 是 2 的倍数故 ABC 是 134 的倍数，且 A=5所以 ABC=1344=53614. 给定一个除数（不为 0）与被除数，总可以找到

11、一个商与一个余数，满足被除数=除数商+余数其中，0余数除数 。这就是带余数的除法。当余数为 0 时，也称除数整除被除数，或者称除数是被除数的因数（被除数是除数的倍数）请写出所有不超过 88 并且能够被 6 整除的大于 1 的自然数有 【答案】6，12，18，24，30，36，42，48，54，60，66，72，78，84【分析】能被 6 整除的数一定为 6 的倍数，并且要求不超过 88所以有 6，12，18，24，30，36，42，48，54，60，66，72，78，8415. 自然数 1，2，50 中，是 3 的倍数，但不是 2 的倍数的数有 个【答案】8【分析】3 的倍数有 503=162

12、162=8(个)3、9、15、21、27、33、39、4516. 在所有是 20 的倍数的自然数中，不超过 3000 并且是 14 的倍数的数之和是 【答案】32340【分析】是 20 的倍数也是 14 的倍数，则这些数是 14,20=140 的倍数最小的是 0，最大的是 2940，有 (2940-0)140+1=22 个所以这些数的和是(0+2940)222=32340.17. 有 8 只盒子，每只盒内放有同一种笔8 只盒子所装笔的支数分别为 17 支、23 支、33 支、36 支、38 支、42 支、49 支、51 支在这些笔中，圆珠笔的支数是钢笔支数的 2 倍，铅笔支数是钢笔支数的 3

13、倍，只有一只盒里放的是水彩笔这盒水彩笔共有 支【答案】49【分析】铅笔数是钢笔数的 3 倍，圆珠笔数是钢笔数的 2 倍，因此这三种笔支数的和是钢笔数的 3+2+1=6(倍)17+23+33+36+38+42+49+51=289，除以 6 余 1，所以水彩笔的支数除以 6 余 1，在上述 8 盒的支数中，只有 49 除以 6 余 1，因此水彩笔共有 49 支18. 用 7、8、9、0 各组成一个四位数，使其是 169 的倍数【答案】7098【分析】7、8、9、0 组成的四位数肯定是 3 的倍数，1693=507，四位数前两位后两位 5:7，枚举可得 709819. 一个五位数恰好等于它各位数字和

14、的 2007 倍，则这个五位数是多少？【答案】36126；54189【分析】这个五位数是 abcde，则 abcde=(a+b+c+d+e)2007因 2007=33223=9223，所以 abcde 是 9 的倍数，则数字和也是 9 的倍数，(a+b+c+d+e) 数字和的可能是：9、18、27、36、45逐一试验数字和是 9，则数是：20079=18063，不符；数字和是 18，则数是：200718=36126，符合；数字和是 27，则数是：200727=54189，符合；数字和是 36，则数是：200736=72252，不符；数字和是 45，则数是：200745=90315，不符20.

15、在 1、2、3、4、2002、2003 这 2003 个自然数中，（1）最多可以取出多少个数，使得其中任意两个数的和都是 160 的倍数？（2）写出你所取的所有数【答案】（1）13（2）80,240,400,560,720,880,1040,1200,1360,1520,1680,1840,2000【分析】因为选出的数中任意两个数的和都是 160 的倍数，那么有两种情况，第一种：这些数都是 160 的倍数，第二种：这些数除以 160 的余数都是 80从 12003 之间，满足第一种情况的数共有 2003160=12 个满足第二种情况的数共有 13 个，所以最多为 13 个21. 在算式“路亨+

16、路亨=刘吉吉”中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字已知 刘吉吉 是 8 的倍数，那么四位数 亨吉刘路 是多少？【答案】2417【分析】易知“刘是”1，且“吉”是偶数那么“刘吉吉”可能是 100、122、144、166、188其中只有 144 是 8 的倍数那么算式应该是 72+72=144，要求的四位数是 241722. 互为反序的两个自然数的积是 92565，求这两个互为反序的自然数（例如 102 和 201；35 和 53；11 和 11， 称为互为反序的数，但 120 和 21 不是互为反序的数）【答案】165、561【分析】92565=335111117互为反序的两个

17、自然数中，若其中之一为 3 的倍数（或 11 的倍数），另一个也必为 3 的倍数（或 11 的倍数）又因乘积是五位数，所以这两个数是三位数，我们有 92565=(3511)(31711)=165561，于是，这两个数为 165 和 56123. 某班同学在班主任老师带领下去种树，学生恰好平均分成三组，如果老师与学生每人种树一样多，共种了 1073 棵，那么平均每人种了棵树？【答案】29【分析】因为总棵数是每人种的棵数和人数的乘积，所以首先想到的是把 1073 写成两个数相乘，一个数为人数一个数为每人种的棵数，1073=2937，注意到人数是减去 1 是 3 倍数，所以人数是 37 均每人种了

18、29 棵24. 在下面的算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字请问：“数学”所代表的两位数是多少？数数科学=学数学【答案】16【分析】数数 是 11 的倍数，所以 学数学 也是 11 的倍数三位数中满足 学数学 这种形式，又是 11 的倍数的数有 121、242、363、484、616、737、858、979依次验证几种情况，发现：当 学数学 为 616，那么“学”为 6，“数”为 1，“数数科学=学数学”变为“11科6=616”，可知“科”为 5，符合题意其他情况逐一检验，没有符合题目要求的答案，所以“数学”代表的两位数是 1625. 三个连续自然数依次是 13、11、7

19、 的倍数，那么这三个连续自然数之和 最小为多少？【答案】627【分析】详解：一个数满足：是 13 的倍数，且加 1 后是 11 的倍数，那么这个数最小是 65，下一个是 65+143=208，而 209、210 分别是 11、7 的倍数，所以最小是 208+209+210=62726. 一个三位数恰好等于它各位数字和的 27 倍，则这个三位数是多少？【答案】243；486【分析】这个四位数是 abc，则 abc=(a+b+c)27因 27=333=93，所以 abc 是 9 的倍数，则数字和也是 9 的倍数，(a+b+c) 数字和的可能是：9、18、27、36、45逐一试验数字和是 9，则数是

20、：279=243，符合；数字和是 18，则数是：2718=486，符合；数字和是 27，则数是：2727=729，不符；27. 在下面的乘法算式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字那么“好棒”所代表的两位数是多少？数好学好=棒棒棒【答案】79【分析】棒棒棒 是 37 的倍数，说明等号左边一定有 37 的倍数，可能是 37 或 74经验证算式只能是 2737=99928. 在算式 1223=3221 的两个方框中填入一个相同的数字，使得等式成立且等式关于等号是对称的【答案】12231=13221【分析】21 有质因数 7，所以 23 应该是 7 的倍数，只能填 1 或 8，经检

21、验，应填 129. 巧克力每盒 9 块，软糖每盒 11 块要把这两种糖分发给一些小朋友，每样糖每人一块由于又来了一位小朋友，软糖就要增加一盒，两种糖发的盒数就一样多现在又来了一位小朋友，巧克力还要增加一盒问最后共有小朋友多少人？【答案】46【分析】没有加小朋友时，软糖全部发完，所以原来小朋友的人数是 11 的倍数；又来了一个小朋友时，巧克力全部发完，所以原来小朋友人数加 1 是 9 的倍数而 44 是满足此条件的最小数，且满足原来软糖比巧克力少一盒的条件因此，原来小朋友有 44 人，最后有 46 人30. 有一个三位数等于它的各位数字和的 42 倍，这个三位数是？【答案】756【分析】这个三位

22、数的百位，十位，个位上的数字分别为 A、B、C，先根据这个三位数等于它的各位数字和的 42 倍，100A+10B+C=42(A+B+C)，由 42 是 3 的倍数，可知这个三位数 (100A+10B+C) 是 3 的倍数，根据能被 3 整除的数：各个数位上的数字和能被 3 整除，得出 (A+B+C) 是 3 的倍数，则 42(A+B+C) 是 9 的倍数，所以这个三位数 (100A+10B+C) 是 9 的倍数，再根据能被 9 整除的数：各个数位上的数字和能被 9 整除，得出 (A+B+C) 是 9 的倍数，则方程右边是 27 的倍数，所以这个三位数 (100A+10B+C) 是 27 的倍数

23、，又 100A+10B+C=327(A+B+C)，则这个三位数 (100A+10B+C) 是 2772=378 的倍数，而三位数中是 378 的倍数的数只有 2 个，经过检验，即可得 75631. 123456789111112014个1 的各位数字之和为_【答案】18126【分析】123456789 是 9 的倍数，且 123456789111112014个1，所以各位数字之和为20149=1812632. 甲、乙两个小朋友各有一袋糖，每袋糖不到 20 粒如果甲给乙一定数量的糖后，甲的糖就是乙的糖粒数的 2 倍；如果乙给甲同样数量的糖后，甲的糖就是乙的糖粒数的 3 倍那么甲、乙两个小朋友共有

24、多少粒糖？【答案】24【分析】甲给乙一定数量糖后，甲占总数的 23，乙给甲一定数量后，甲占总数的 34则前后变化 34-23=112又由于前后变化为 2 倍的“同样数量的糖”，所以每次变化 1122=124，所以糖的总数能被 24 整除由于每袋糖不超过 20 粒，则糖的总数不超过 40 粒，又是 24 的倍数，则只能是 2433. 有若干卡片，每张卡片上写着一个数，它是 3 的倍数或 4 的倍数，其中标有 3 的倍数的卡片占 23，标有 4 的倍数的卡片占 34，标有 12 的倍数的卡片有 15 张那么，这些卡片一共有多少张？【答案】36【分析】设这些卡片的总数为“1”，而标有 12 的倍数的

25、卡片既属于 3 的倍数又属于 4 的倍数所以有“2”3+“3”4-15=“1”,解得“1”对应 36 张即这些卡片一共有 36 张34. 张老师带领同学们去种树，学生的人数恰好等分成三组，已知老师和学生共种树 312 棵，老师与学生每人种的树一样多，并且不超过 10 棵，问：一共有多少学生？每人种了几棵树？【答案】51，6【分析】因为总棵数是每人种的棵数和人数乘积，而每个人种的棵数又不超过 10 所以通过枚举法来解（注意人数是减去 1 后是 3 的倍数）：1312，312-1=311 不是 3 的倍数；2156，156-1=155 不是 3 的倍数；3104，104-1=103 不是 3 的倍

26、数；478，78-1=77 不是 3 的倍数；652，52-1=51 是 3 的倍数；839，39-1=38 不是 3 的倍数；共有 51 个学生，每个人种了 6 棵树35. 3 个质数的乘积等于它们的和的 5 倍，求这 3 个质数【答案】2、5、7【分析】其中必有 5，设另外两个数为 a,b 则 ab=a+b+5，经试验只有 27=2+7+536. 有些数既能表示成 5 个连续自然数的和，又能表示成 6 个连续自然数的和，还能表示成 7 个连续自然数的和例如：105 就满足上述要求，105=19+20+21+22+23；105=15+16+17+18+19+20；105=12+13+14+1

27、5+16+17+18请问：在 1 至 1000 中一共有多少个满足上述要求的数？【答案】5【分析】一个数能表示成 5 个连续然数的和，则这个数应为 5 的倍数能表示成 6 个连续自然数的和，则这个数应为 3 的倍数，并且商不能为偶数，即这个数不能为 6 的倍数能表示成 7 个连续自然数的和，则这个数应为 7 的倍数所以满足条件的数有 105、315、525、735、945，共 5 个37. 如图，点 B 是正方形一条边上的四等分点连结 AB、BC，点 D、E 又是 AB、BC 的四等分点，连结 CD、DE如果正方形边长为 24 厘米，那么：（1）三角形 ABC 的面积是多少？（2）三角形 CD

28、E 的面积是多少？【答案】（1）288 平方厘米；（2）162 平方厘米【分析】（1）ABC 的面积是正方形面积的一半，即2422=288(平方厘米);（2）BCD 的面积是 ABC 面积的 34，即34288=216(平方厘米);CDE 的面积是 BCD 面积的 34，即34216=162(平方厘米).38. 在下面两个算式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字“花相似人不同”代表的六位数是多少？年年岁岁=花相似岁岁年年=人不同【答案】968510【分析】第一个算式可以变为“年岁121=花相似”所以 花相似 是 121 的倍数121 的倍数中，三位数有 121、242、363

29、、484、616、737、858、979，共 8 个花相似 中没有重复数字，所以只可能是 605、726、847、968 之一依次验证几种情况，发现：当 花相似 是 968，那么“年岁”为 8，只能分别是 1、8 或 2、4其中 1、8 这种情况与“似”等于 8 矛盾，2、4 这种情况满足要求由第二个算式可以看出，“岁”小于“年”，因此“岁”为 2，“年”为 4第二个算式为 2244=人不同，已经用过的数字有 2、4、6、8、9，所以“人”、“不”、“同”只能在 0、1、3、5、7 中取，只能分别是 5 和 10综上所述，“花相似人不同”所代表的六位数是 96851039. 某车间原有工人不少

30、于 63 人，在 1 月底以前的某一天调进了若干工人，以后，每天都新调人 1 人进车间工作现知该车间 1 月份每人每天生产一件产品共生产 1994 件试问：1 月几日开始调进工人？共调进了多少工人？【答案】4【分析】1 月份共有 31 天，所以这个车间的原有工人至少生产出了6331=1953(件)或增加 31 的倍数，但因不超过 1994 件，所以工厂的原有工人生产了 1953 或 1984 件所以，后来调进的工人生产了1994-1953=41(件)或1994-1984=10(件)易知后来调进的工人生产的产品总数是若干个连续的自然数的和，自然数的个数即是调入的天数 n，连续的自然数中最小的那个

31、数即是第一次调入的工人数有41=141所以奇约数只有 1 和 41，这样的数只有一种表达为若干个连续自然数和的形式41=20+21所以调入的次数 n=2，第一次调入的人数 x=20，共调进人数x+n-1=20+2-1=21(人)10=25所以奇约数只有 1 和 5，这样的数只有一种表达为若干个连续自然数和的形式10=1+2+3+4所以调入的次数 n=4，第一次调入的人数 x=1，共调进人数x+n-1=1+4-1=4(人)所以为：调人 2 天，1 月 30 日开始调入，共调进 21 人；调入 4 天，1 月 28 日开始调入，共调进 4 人40. 在 1 至 2008 这 2008 个自然数中，

32、恰好是 3、5、7 中两个数的倍数的数共有多少个？【答案】228【分析】1 到 2008 这 2008 个自然数中，3 和 5 的倍数有 200815=133 个，3 和 7 的倍数有 200821=95 个，5 和 7 的倍数有 200835=57(个)，3、5 和 7 的倍数有 2008105=19 个，所以，恰好是 3、5、7 中两个数的倍数的共有 133-19+95-19+57-19=228 个41. 一个两位数，数字和是质数。而且，这个两位数分别乘以 3，5，7 之后，得到的数的数字和都仍为质数。满足条件的两位数为 【答案】67【分析】 分析：3 的倍数数字和为 3 倍数且为质数一定

33、为 3； 枚举验证：3 倍数：30、102、120、201、210；原数可能是：10、34、40、67、70（可排除 10 和 40）；该数的 5 倍：170、335、350（可排除 170 和 350）；所以满足条件的两位数为 6742. 下列哪些数是 2 的倍数？哪些是 3 的倍数？哪些是 5 的倍数？12466012035320421653120【答案】见解析【分析】2 的倍数：124660120320423120; 3 的倍数：1260120421653120; 5 的倍数：60120353201653120.43. 小高往一个水池里扔石子第一次扔 1 颗石子，第二次扔 2 颗石子，第

34、三次扔 3 颗石子，第四次扔 4 颗石子他准备扔到水池的石子总数是 106 的倍数请问：小高最少需要扔多少次？【答案】52 次【分析】小高扔的石子数为 n(n+1)2，而 106=253，因此 n 或 n+1 其中有一个应是 53 或 53 的倍数，当 n=52 时，满足石子数是 106 的倍数因此小高至少需要扔 52 次44. 用 1 到 6 这 6 个数码可以组成 720 个没有重复数字的六位数，求这些数的最大公因数【答案】3【分析】数字和是 3 的倍数，123465-123456=9，存在不是 9 的倍数，所以最大公因数为 345. 恰好能同时被 4、5、6 整除的三位数有多少个？【答案

35、】15【分析】4,5,6 的最小公倍数是 60，三位数中 60 的倍数有 99960-115 个46. 小明将 100 枚棋子分成 3 堆，已知第一堆比第二堆的 2 倍还多，第二堆比第三堆的 2 倍也要多，那么第三堆最多有多少枚棋子？【答案】13 枚【分析】设第三堆的棋子数为“1”份，第二堆的棋子数为“2”份多一些，第一堆的棋子数为“4”份多一些，总和为“7”份多一些，为使第三堆尽量多，即找与 100 最接近且是 7 的倍数的数，为 98，但是 98 不行，只能找再小一点的 91，因此第三堆最多有 917=13 枚47. 有 9 个分数的和为 1，它们的分子都是 1其中的 5 个是 13，17

36、，19，111，133，另外 4 个数的分母个位数字都是 5请写出这 4 个分数【答案】15，115，145，1385【分析】1-13+17+19+111+133=210133711=1010335711.需要将 1010 拆成 4 个数的和，这 4 个数都不是 5 的倍数，而且都是 33711 的约数因此，它们可能是 3，7，9，11，21，33，77，63，99，231，693经试验得693+231+77+9=1010.所以，其余的 4 个分数是：15，115，145，138548. 一个正整数 n，它是 75 的倍数，并且有 75 个因数，求 n75 的最小值【答案】432【分析】把 7

37、5 分解质因数 75=352，所以 n 必含有质因数 3、5，且质因数 5 的个数至少为 2根据约数个数公式75=355=(2+1)(4+1)(4+1),即知，n 含有 3 个不同质因数，次数分别为 2、4、4 次所以 n 可表达为：n=x2y4z4，要使 n 最小，显然 x=5，y=3、z=2，即n=523424=258116=32400,n75=503324=3324=432.49. 从 110 这 10 个自然数中，每次取出两个不同的自然数，使它们的和是 5 的倍数一共有多少种不同的取法？【答案】9【分析】从 110 这 10 个自然数中，每次取出两个不同的自然数有 1092=45 种，

38、和是 5 的倍数有三类可能，第一类，和是 5，有 1+4，2+3；第二类，和是 10，是 5 的 2 倍数，有 1+9，2+8，3+7，4+6；第三类，和是 15，是 5 的 3 倍数，有 5+10，6+9，7+8，把它们的数加起来共 9 种50. 任意一些末两位是 25 的数相乘，它们的乘积末两位数仍是 25，我们称 25 是“变不掉的两位数尾巴”显然 000 是“变不掉的三位数尾巴”，请写出所有的“变不掉的三位数尾巴”【答案】376，625，000，001【分析】设变不掉的三位数尾巴为 x，则有 x-x2 是 1000 的倍数，即 x(x-1)=2353n（n 为整数），等式左边是一个奇数

39、乘以一个偶数，因此等式右边其中一个是 125 的奇数倍数，另一个是 8 的倍数，且是连续的自然数，因此这两个数分别为 375、376 或 625、624，即“变不掉的三位数尾巴”只能是 376，625，还有 000，00151. 数数科学=学数学在上面的算式中，每一汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字那么“数学”所代表的两位数是多少？【答案】16【分析】“学数学”是“数数”的倍数，因而是“数”与 11 的倍数学数学=学101+数10 是“数”的倍数，而 101 是质数，所以“学”一定是“数”的倍数又“学数学”是 11 的倍数，因而：“学+学-数” 为 11 的倍数因为“学”是“数”的倍数

40、，从上式推出“数”是 11 的约数，所以 “数”=1，“学”=(11+1)2=6“数学”所代表的两位数是 1652. 用 0 至 9 这十个数字各 1 次，组成四位数、三位数、两位数和一位数各 1 个，并使这四个数两两互质已知组成的四位数是 1860，那么其他的三个数是多少？【答案】7；43；529【分析】1860=223531，一位数只能是 7，另外两个数的末位只能是 3 和 9剩下的数字之和除以 3 余 2，只能拆成两个数除以 3 余 1 的组合，所以 4 和 2、5 是分成两组，49 是 7 的倍数，所以两位数只能是 43，259 是 7 的倍数，所以三位数只能是 52953. 一个四位

41、数恰好等于它各位数字和的 207 倍，则这个四位数是多少？【答案】3726；5589【分析】这个四位数是 abcd，则 abcde=(a+b+c+d)207因 207=3323=923，所以 abcd 是 9 的倍数，则数字和也是 9 的倍数，(a+b+c+d) 数字和的可能是：9、18、27、36、45逐一试验数字和是 9，则数是：2079=1863，不符；数字和是 18，则数是：20718=3726，符合；数字和是 27，则数是：20727=5589，符合；数字和是 36，则数是：20736=7452，不符54. 用 3、4、5、6 各一个组成一个四位数，使其是 56 的倍数【答案】453

42、6【分析】3、4、5、6 组成的四位数肯定是 9 的倍数，569=504，四位数的前两位后两位 5:4，枚举可得 453655. 一个自然数，它与 99 的乘积的各位数字都是偶数，求满足要求的最小自然数【答案】2312【分析】积是 99 的倍数，所以积的数字和是 9 的倍数，且注意到积的数字和是偶数，奇位和是偶数，偶位和也是偶数，那么积的数字和最小是 36，奇位和与偶位和都是 18为使乘积小，乘积的位数应该尽可能少，所以要尽可能多的用 8，18=2+8+8，所以乘积最小是 228888，那么乘数的最小值为 22888899=231256. 求最小的正整数 n，使得 2006+7n 是完全平方数

43、【答案】29【分析】452=2025，2025-2006=19 不是 7 的倍数462=2116，2116-2006=110 不是 7 的倍数472=2209，2209-2006=203 是 7 的倍数，商为 29因此满足条件的最小的正整数 n 为 2957. 4 个质数的乘积等于它们的和的 11 倍，求这 4 个质数【答案】2、2、5、11【分析】其中必有 11，设另外三个数为 a,b,c 则 abc=a+b+c+11，经分析必有 2 个偶数，所以为 2、2、558. 若干个连续自然数 1，2，3 的乘积的末尾有 13 个 0，这些自然数中最大是？【答案】59【分析】每个因数 5，与偶数的乘

44、积，会在末尾增加 1 个 0，连续自然数，偶数足够多，只需要考虑因数 5 的个数末尾有 13 个 0，那么就要有 13 个因数 5，每 5 个连续自然数，至少含有一个因数 5，135=65，即 165 中 5 的倍数有 655=13 个，25 的倍数有 25 和 50 这 2 个，一共有 13+2=15 个因数 5，所以要去掉 65 和 60，那么最大的一个自然数就是 5959. 有一根长为 180 厘米的绳子，从一端开始每隔 3 厘米作一记号，每隔 4 厘米也作一记号，然后将标有记号的地方剪断问绳子共被剪成了多少段？【答案】90【分析】只需先计算剪了多少刀，再加上 1 即为剪成的段数从一端开

45、始，将绳上距离这个端点整数厘米数的点编号，并将距离长度作为编号有 1180，3 的倍数有 1803=60 个，4 的倍数有 1804=45 个，而既是 3 的倍数，又是 4 的倍数的数一定是 12 的倍数，所以这样的数有 18012=15 个注意到 180 厘米处的无法标上记号，所以剪了(60-1)+(45-1)-(15-1)=89,所以绳子被剪成89+1=90(段).60. 在从 1 至 1000 的自然数中，既不能被 5 除尽，又不能被 7 除尽的数有多少个？【答案】686【分析】11000 之间，5 的倍数有 10005=200 个，7 的倍数有 10007=142 个，因为既是 5 的

46、倍数，又是 7 的倍数的数一定是 35 的倍数，所以这样的数有 100035=28 个所以既不能被 5 除尽，又不能被 7 除尽的数有1000-200-142+-28=686(个).61. 有一个长长的纸条，里面有 37 个方格，要求在每个方格里填入一个自然数，从 1 到 37，既不重复，也不遗漏但数字不能随便乱填，有一项特殊要求：第 1 个数能被第 2 个数整除，第 1 个数与第 2 个数之和能被第 3 个数整除；第 1、2、3 个数之和能被第 4 个数整除， 这个规律一直要保持下去，直到前面 36 个数的和能被最后一个数整除为止37?如果第一个方格内已填入 37，那么最后一个方格中填几？【

47、答案】19【分析】因为题目要求前面 36 个数的和能被最后一个数整除，而1+2+36+37=11937.假设最后一个数填 n，那么，前面 36 个数的和等于：11937-n，所以，为了让前面 36 个数的和 11937-n 能被最后一个数整除，就要求 11937 中含有 n，这样，最后一格可填 1 或 19 或 37但第一个数已经填了 37，而且第一个数能被第二个数整除，这样，第二个数只能填 1所以，最后一个方格中的可填的数是只能是 1962. 100 以内 12 的倍数有哪些？100 以内 18 的倍数有哪些？公共的倍数有哪些？最小的是多少？【答案】36【分析】12 的倍数 12，24，36

48、，48，60，72，84，96 18 的倍数 18，36，54，72，90公共的倍数有 36，72最小的是 3663. 猜猜看小侦探柯楠在侦破一个案件的时候，发现与案件有关的一个保险箱设有一个六位数的密码是：ABCDEF他又发现主人为了防备忘记密码在自己的日记本中做了如下的提示，A 是 5 的最大因数，B 的所有因数是 1，2，4，8，C 是最小的自然数D 只有一个因数，E 既是质数，又是偶数，F 既是 9 的因数又是 9 的倍数你能帮助小侦探找到密码打开这个保险箱吗？并说明你推理的理由是什么？【答案】580129；理由见解析【分析】A 是 5 的最大因数，因为 5 的最大因数是 5，所以 A

49、 是 5；B 的所有因数是 1，2，4，8，根据一个数最大的因数是它本身，可知 B 是 8；C 是最小的自然数，最小的自然数是 0，所以 C 是 0；D 只有一个因数，是 1；E 是 2；F 既是 9 的因数又是 9 的倍数，所以 F 是 9；由此即可写出答案64. 在游艺会上，有 100 名同学抽到了标签分别为 1 至 100 的奖券按奖券标签号发放奖品的规则如下： 标签号为 2 的倍数，奖 2 支铅笔； 标签号为 3 的倍数，奖 3 支铅笔； 标签号既是 2 的倍数，又是 3 的倍数可重复领奖； 其他标签号均奖 1 支铅笔那么游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有多少支？【答案】232【分析】

50、1 100，2 的倍数有 1002 = 50，3 的倍数有 1003=33 个，因为既是 2 的倍数，又是 3 的倍数的数一定是 6 的倍数，所以标签为这样的数有 1006=16 个于是，既不是 2 的倍数，又不是 3 的倍数的数在 1100 中有100-50-33+16=33.所以，游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有：502+333+331=232(支).65. 50 名同学面向老师站成一行老师先让大家从左至右按 1，2，3，49，50 依次报数；再让报数是 4 的倍数的同学向后转，接着又让报数是 6 的倍数的同学向后转问：现在面向老师的同学还有多少名？【答案】38【分析】在转过两次后，面向

51、老师的同学分成两类：第一类是标号既不是 4 的倍数，又不是 6 的倍数；第二类是标号既是 4 的倍数又是 6 的倍数 150 之间，4 的倍数有504=12,6 的倍数有506=8,即是 4 的倍数又是 6 的倍数的数一定是 12 的倍数，所以有5012=4.于是，第一类同学有50-12-8+4=34(人),第二类同学有 4 人，所以现在共有 34+4=38 名同学面向老师66. （1）1100 中有 个是 3 的倍数也是 5 的倍数的数（2）计算 15+25+35+195+235【答案】（1）47；（2）9.2【分析】（1）3 的倍数的个数：1003=33;5 的倍数的个数：1005=20;

52、15 的倍数的个数：10015=6;所以33+20-6=47.（2）一共有235=43.原式=(0.2+0.4+0.6+0.8+0)4+0.2+0.4+0.6=9.2.67. 有一串数：1，1，2，3，5，8，从第三个数起，每个数都是前两个数之和，在这串数的前 2009 个数中，有几个是 5 的倍数？【答案】401【分析】由于两个数的和除以 5 的余数等于这两个数除以 5 的余数之和再除以 5 的余数所以这串数除以 5 的余数分别为：1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，2，4，1，0，1，1，2，3，0，可以发现这串余数中，每 20 个数为一个循环，且一个循环中，每 5 个数中第五个数是 5 的倍数由于 20095=4014，所以前 2009 个数中，有 401 个是 5 的倍数