【课后延时】小学数学专项《应用题》经典牛吃草问题基本知识-0星题（含解析）全国通用版【唯一店：教师学科网资料】.docx

1、应用题-经典应用题-牛吃草问题基本知识-0星题课程目标知识点考试要求具体要求考察频率牛吃草问题基本知识C1.了解牛吃草问题的概念。2.能够准确理解牛吃草的解题原理。3.可以熟练运用牛吃草公式来解决牛吃草问题。少考知识提要牛吃草问题基本知识 概述牛吃草问题：又称为消长问题，是英国伟大的科学家牛顿在他的一书中提出的一个数学问题，所以也称为“牛顿问题”，俗称“牛吃草问题”解决该问题要抓住两个关键量：草的生长速度和草原的原草量 公式：设定1头牛1天吃草量为“1”；（1）草的生长速度=（对应牛的头数 吃的较多的天数-对应牛的头数 吃的较少天数）（吃的较多天数-吃的较少天数）（2）原有草量=牛的头数 吃的

2、天数-草的生长速度 吃的天数（3）吃的天数=原有草量 （牛的头数-草的生长速度）（4）牛的头数=原有草量 吃的天数+草的生长速度。 牛吃草的变型“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题精选例题牛吃草问题基本知识 1. 一个水池有一根进水管不间断地进水，还有若干根相同的抽水管若用 24 根抽水管抽水，6 小时即可把池中的水抽干；若用 21 根抽水管抽水，8 小时可把池中的水抽干若用 16 根抽水管，需要 小时可把水池中的水抽干【答案】18【分析】设 1 根抽水管 1 小时抽 1 份水每小时新进水量：(

3、218-246)(8-6)=12(份),水池中原有水量：(21-12)8=72(份),如果用 16 根抽水管，抽干水需要：72(16-12)=18(小时). 2. 一个蓄水池有 1 个进水口和 15 个出水口，水从进水口匀速注入，当池中有一半的水时，如果打开 9 个出水口，9 小时可以把水排空；如果打开 7 个出水口，18 小时可以把水排空如果是一满池水，打开全部出水口放水，那么经过 时 分水池刚好被排空【答案】7；12【分析】设每个出水口每小时的出水量为 1，则进水口每小时的进水量为：(718-99)(18-9)=5,半池水的量为：(9-5)9=36,所以一池水的量为 72如果打开全部 15

4、 个出水口，排空水池所需要的时间为：72(15-5)=7.2(小时),即 7 小时 12 分钟 3. 一个大型的污水池存有一定量的污水，并有污水不断流入，若安排 4 台污水处理设备，36 天可将池中的污水处理完；若安排 5 台污水处理设备，27 天可将池中的污水处理完；若安排 7 台污水处理设备， 天可将池中的污水处理完【答案】18【分析】牛吃草问题变形不妨设一台污水处理设备一天处理一份污水，每天新流入的污水：(436-527)(36-27)=1(份).原有的污水量：436-136=108(份).分牛法：1 台污水处理设备处理每天新流入的污水，剩下 6 台设备处理原有污水108(7-1)=18

5、(天). 4. 某超市平均每小时有 60 人排队付款，每个收银台每小时能应付 80 人，某天某时段内，该超市只有一个收银台工作，付款开始 4 小时就没有顾客排队了；如果叫当时有两个收银台工作，那么付款开始 小时就没人排队了【答案】0.8【分析】设 1 个收银员 1 小时处理 1 份（80 人）则每小时新增人：6080=34 份原有人数：14-344=1 份从 2 个收银台中分出 34 来专门处理“新增草量”则 1(2-34)=0.8(小时)所以 0.8 小时后就无人排队 5. 火星救援中，马克不幸没有跟上其他 5 名航天员飞回地球，独自留在了火星，马克必须想办法生存，等待救援马克的居住舱内留有

6、每名航天员 5 天的食品和 50 千克的非饮用水，还有一个足够大的菜园，马克计划用来种植土豆，30 天后每平方米可以收获 2.5 千克，但是需要灌溉 4 千克的水马克每天需要吃 1.875 千克土豆，才可以维持生存，则食品和土豆可供马克最多可以支撑 天【答案】130【分析】马克拥有的食品可以支撑：56=30(天);马克有水：506=300(千克);这些水可以种土豆：30042.5=187.5(千克);这些土豆可以供马克吃：187.51.875=100(天),则马克可以支撑：30+100=130(天). 6. 若 2 台收割机 3 天可以收割小麦 450 亩，则用 7 台收割机收割 2100 亩

7、小麦需要 天【答案】4【分析】由题意，知 1 台收割机 1 天可收割小麦45023=75(亩),所以用 7 台收割机收割 2100 亩小麦需要2100775=4(天). 7. 有三块草地，面积分别是 5、15、25 亩草地上的草一样厚，而且长得一样快第一块草地可供 10 头牛吃 30 天，第二块草地可供 28 头牛吃 45 天，则第三块草地可供 头牛吃 60 天【答案】45【分析】设每头牛每天的吃草量为 1 份第一块草地，5 苗原有草量 +5 亩 30 天长的草 =1030=300(份)，则每亩草量 = 原有草量 + 每亩面积 30 天长的草 =3005=60(份)：第二块草地，15 亩原有草

8、量 +15 亩 45 天长的草 =2845=1260(份)，即每亩面积原有草量 + 每亩面积 45 天长的草 =126015=84(份)所以每 亩面积每天长草量 (84-60)(45-30)=1.6(份)每亩原有草量 =60-301.6=12(份)第三块草地面积是 25 亩，60 天新生长的草量为：1.66025=2400(份)，(2400+1225)60=45(头)，所以第三块草地可供 45 头牛吃 60 天 8. 11 头牛 10 天可吃完 5 公顷草地上的草，12 头牛 14 天可吃完 6 公顷草地上的草假设每公顷草地上的草量相等，每头新生长的草量的相等，每头牛每天的吃草量也相等，那么

9、8 公顷草地可供 19 头牛吃 天【答案】8【分析】关键是先求出每公顷地原有的草和每天每公顷地新长出的草假设 1 头牛 1 天吃草量为“1”根据“11 头牛 10 天可吃完 5 公顷草地上的草”可以分別求出： 5 公顷草地原有的草和 10 天中新长出的草量共 1110=110； 每公顷草地原有的草及 10 天中新长出的草量 11105=22根据“12 头牛 14 天可吃完 6 公顷草地上的牧草”可以求出每公顷地中原有草及 14 天新长出的草量 12146=28再次求出每公顷草地中每天新长出的草量 (28-22)(14-10)=1.5求出 8 公顷草地可供 19 头牛吃的天数 (22-1.510

10、)8(19-1.58)=8(天) 9. 有一块草地，每天都有新的草长出这块草地可供 9 头牛吃 12 天，或可供 8 头牛吃 16 天开始只有 4 头牛在这块草地上吃草，从第 7 天起又增加了若干头牛来吃草，又吃了 6 天吃完 了所有的草假设草的生长速度每天都相同，每头牛每天的吃草量也相同，那么从第 7 天起增加 了 头牛来吃草【答案】10【分析】设每头牛每天的吃草量为 1 份每天长草：(816-912)(16-12)=5(份)原有草：108-512=48(份)共吃 12 天，后 6 天需要牛的头数：48+(5-4)66+5=14(头)增加牛的头数：14-4=10(头)10. 一只船被发现漏水

11、时已经进了一些水，水均匀进入船内如果 10 人淘水，3 小时淘完；如果 5 人淘水，8 小时淘完如果要求 2 小时淘完，需要安排 人淘水【答案】14【分析】将 1 人 1 小时淘的水看做 1 份，则 10 人 3 小时淘 30 份，5 人 8 小时淘 40 份，这说明 5 小时船进水 40-30=10(份)，即每小时进水 2 份，船里原有水 30-23=24(份)要求 2 小时淘完，则需要 242+2=14(人)11. 某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多从开始检票到等候检票的队伍消失，若同时开 5 个检票口则需 30 分钟，若同时开 6 个检票口则需 20 分钟如果要使

12、队伍 10 分钟内消失，至少需同时开 个检票口【答案】9【分析】将 1 个检票口 1 分钟通过的人看做 1 份，则 5 个检票口 30 分钟通过人 150 份，6 个 检票口 20 分钟通过人 120 份，这说明 10 分钟来人 150-120=30(份)，即每分钟来人 3 份原有人数 150-330=60(份)，要使队伍 10 分钟消失，至少需要 6010+3=9(个) 检票口12. 李大爷在草地上放养一群牛，草地每天均匀生长，如果他再买进 3 头牛，则会提前 2 天将草吃完，如果他卖出 3 头牛，则会推迟 4 天才能将草吃完，那么这片草地放养原来那群牛，会用 天将草吃完【答案】8【分析】设

13、一头牛一天吃一份草设原有 x 头牛，y 天吃完，原有草量 a，每天长 b可得方程：xy=a+by(x+3)(y-2)=a+b(y-2)(x-3)(y+4)=a+b(y+4)可得 y=813. 一片草地，草每天生长量相同，17 头牛 30 天可将草吃完，19 头牛 24 天可将草吃完现有若干头牛吃了 6 天后，卖掉 4 头牛，余下的牛再吃 2 天将草吃完原来共有 头牛【答案】40【分析】设每头牛每天的吃草量为 1 份，草的生长速度：(1730-1924)6=9原有草量 =(17-9)30=240(份)若干头牛吃 6 天，设是 x 头牛吃 6 天(x-9)6+(x-4-9)2=240 得 x=40

14、所以原来有 40 头牛14. 有一片草场，10 头牛 8 天可以吃完草场上的草；15 头牛，如果从第二天开始每天少一头，可以 5 天吃完那么草场上每天长出来的草够 头牛吃一天【答案】5【分析】设每头牛每天吃的草是 1 份，则前 8 天 10 头牛共吃了810=80(份);15 头牛每天减少一头 5 天共吃了15+14+13+12+11=65(份),所以一天草场长草(80-65)3=5(份),够 5 头牛吃一天15. 解放军战士在洪水不断冲毁大坝的过程中要修好大坝若 10 人需 45 分钟，20 人需 20 分钟，则 14 人修好大坝需 分钟【答案】30【分析】设每个人 1 分钟修好 1 份10

15、45=450(份),2020=400(份),每分钟新冲毁：(450-400)(45-20)=2(份),原先冲毁：450-245=360(份),360(14-2)=30(分钟).16. 牧场上的青草每天都匀速生长，这片青草可供 27 头牛吃 6 周，或者供 23 头牛吃 9 周那么，这片青草可供 21 头牛吃 周【答案】12【分析】将 1 头牛 1 周吃的草看做 1 份，则 27 头牛 6 周吃 162 份，23 头牛 9 周吃 207 份，这说明 3 周时间牧场长草 207-162=45(份)，即每周长草 15 份，牧场原有草 162-156=72(份)21 头牛中的 15 头牛吃新长出的草，

16、剩下的 6 头牛吃原有的草，吃完需 726=12(周)17. 小方用一个有洞的杯子从水缸里往三个同样的容积的空桶中舀水第一个桶距水缸有 1 米，小方用 3 次恰好把桶装满；第二个桶距水缸有 2 米，小方用 4 次恰好把桶装满第三个桶距水缸有 3 米，那么小方要多少次才能把它装满？（假设小方走路的速度不变，水从杯中流出的速度也不变）【答案】6【分析】小方装第二个桶比第一个桶多用了一杯水，同时多走了 24-135(米) 路，所以从杯中流出的速度是 150.2(杯/米)，于是 1 桶水原有水量等于 3-30.22.4(杯) 水，所以小方要 2.4(1-30.2)6(次) 才能把第三个桶装满18. 学

17、校有一片均匀生长的草地，可以供 18 头牛吃 40 天，或者供 12 头牛与 36 只羊吃 25 天，如果 1 头牛每天的吃草量相当于 3 只羊每天的吃草量请问：这片草地让 17 头牛与多少只羊一起吃，刚好 16 天吃完？【答案】48 只【分析】根据题中牛、羊吃草量的关系，题目转化为可以供 18 头牛吃 40 天，或者供 24 头牛吃 25 天设 1 头牛 1 天吃 1 份草，则草地上每天新长草(1840-2425)(40-25)=8(份),原有草量为2425-258=400(份),所以这片草地可供 40016+8=33(头) 牛吃 16 天，相当于 17 头牛、(33-17)3=48(只)

18、羊吃 16 天19. 把一片均匀生长的大草地分成三块，面积分别为 5 公顷、15 公顷和 24 公顷如果第一块草地可以供 10 头牛吃 30 天，第二块草地可以供 28 头牛吃 45 天，那么第三块草地可以供多少头牛吃 80 天？【答案】42【分析】方法一：列方程组，设 1 公顷草地的原有草量为 x 份，1 公顷草地的生长速度为 y 份，$leftbegingathered5x + 5y times 30 &= 10 times 30 hfill 15x + 15y times 45 &= 28 times 45 hfill endgathered right.$，解得 $leftbeging

19、atheredx = 12 hfill y = 1.6 hfill endgathered right.$，所以第三块草地 80 天吃完可供 (1224+1.62480)80=42(头) 牛方法二：设 1 头牛 1 天吃 1 份草，则 1 公顷草的生长速度为 (284515-10305)(45-30)=1.6，1 公顷草地的原有草量为 284515-1.645=12，要把第三块草地 80 天吃完可供 (1224+1.62480)80=42(头) 牛20. 林子里有猴子喜欢吃的野果，23 只猴子可在 9 周内吃光，21 只猴子可在 12 周内吃光，问如果要 4 周吃光野果，则需有多少只猴子一起吃

20、？（假设野果生长的速度不变）【答案】33 只【分析】设一只猴子一周吃的野果为 1 份，野果的生长速度是(2112-239)(12-9)=15(份),原有的野果为(23-15)9=72(份),如果要 4 周吃光野果，则需有 724+15=33(只) 猴子一起吃21. 画展 9 点开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，如果开 3 个入场口，9 点 9 分就不再有人排队；如果开 5 个入场口，9 点 5 分就没有人排队求第一个观众到达的时间【答案】8:15【分析】设每一个入场口每分钟通过的人数为 1 份，每分钟来的人为：(39-55)(9-5)=0.5(份),原有的

21、人为：(3-0.5)9=22.5(份),这些人来到画展，所用时间为：22.50.5=45(分),所以第一个观众到达的时间为 8 点 15 分22. 有一片牧场，草每天都在均匀地生长如果在牧场上放养 24 头牛，那么 6 天就把草吃完了；如果只放养 21 头牛，那么 8 天才把草吃完请问：要使得草永远吃不完，最多可以放养多少头牛？【答案】12 头【分析】设 1 头牛 1 天吃 1 份草，则草的生长速度为(218-246)(8-6)=12(份),要使得草永远吃不完，那么就要保证原草不被吃掉，放养的牛每天只吃新生长的草量，因此最多放养 12 头牛23. 某建筑工地开工前运进一批砖，开工后每天运进相同

22、数量的砖，如果派 250 个工人砌砖墙，6 天可以把砖用完，如果派 160 个工人，10 天可以把砖用完，现在派 120 名工人砌了 10 天后，又增加 5 名工人一起砌，还需要再砌几天可以把砖用完？【答案】4【分析】工前运进的砖相当于“原有草量”，开工后每天运进相同的砖相当于“新生长的草”，工人砌砖相当于“牛在吃草”所以设 1 名工人 1 天砌砖数量为“1”，那么每天运来的砖为 (16010-2506)(10-6)=25，原有砖的数量为：(250-25)6=1350如果 120 名工人砌 10 天，将会砌掉 10 天新运来的砖以及 950 原有的砖，还剩 1350-950=400 的原有的砖

23、未用，变成 120+5=125（人）来砌砖，还需要：400(125-25)=4(天)24. 牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长这片牧草可供 10 头牛吃 20 天，可供 15 头牛吃 10 天，问可供 25 头吃几天？【答案】5 天【分析】设 1 头牛 1 天的吃草量为 1 份，根据题意可得：10 头牛吃 20 天共吃了1020=200(份),15 头牛吃 10 天共吃了1510=150(份),草的生长速度是每天新长：(200-150)(20-10)=5(份),那么原有草量为：200-520=100(份),供 25 头牛吃，若有 5 头牛去吃每天新长的草，剩下 20 头牛需要 10020=5(

24、天) 可将原有牧草吃完，即牧场上的牧草可供 25 头牛吃 5 天25. 一片均匀生长的草地，如果有 15 头牛吃草，那么 8 天可以把草全部吃完；如果起初这 15 头牛在草地上吃了 2 天后，又来了 2 头牛，则总共 7 天就可以把草吃完如果起初这 15 头牛吃了 2 天后，又来了 5 头牛，再过多少天可以把草吃完？【答案】4 天【分析】设 1 头牛 1 天吃 1 份草，则 15 头牛吃 8 天一共吃草：158=120(份),15 头牛在草地上吃了 2 天后来了 2 头牛总共吃了 7 天，这时的吃草量一共是：152+175=115(份),所以草的生长速度为：(120-115)(8-7)=5(份

25、),草地上原有草量为：158-58=80(份),起初这 15 头牛吃了 2 天后，原有的草量还剩下：80-(15-5)2=60(份),又来了 5 头牛，共有 20 头牛，派 5 头牛吃每天新长的草，再过 60(20-5)=4(天) 可以把草吃完26. 一个装满了水的水池有一个进水阀及三个口径相同的排水阀，如果同时打开进水阀及一个排水阀，则 30 分钟能把水池的水排完，如果同时打开进水阀及两个排水阀，则 10 分钟把水池的水排完问：关闭进水阀并且同时打开三个排水阀，需要多少分钟才能排完水池的水？【答案】5 分钟【分析】设一个排水阀 1 分钟排水量为 1 份，进水阀 1 分钟进水量为：(130-2

26、10)(30-10)=0.5(份),水池原有水量为：(1-0.5)30=15(份),关闭进水阀并且同时打开三个排水阀需要 153=5(分钟) 排完水27. 一片茂盛的草地，每天的生长速度相同，现在这片青草 16 头牛可吃 15 天，或者可供 100 只羊吃 6 天，而 4 只羊的吃草量相当于 1 头牛的吃草量，那么 8 头牛与 48 只羊一起吃，可以吃多少天？【答案】9【分析】1 头牛 1 天的吃草量为“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析：16 头牛 15 天 1615240：原有草量+15天生长的草量100 只羊（25 头牛）6 天 256150：原有草量+6天生长的草量从上易发现

27、：1天生长的草量10；那么原有草量：150-106=90；8 头牛与 48 只羊相当于 20 头牛的吃草量，其中 10 头牛去吃新生草，那么剩下的 10 头牛吃原有草，90 只需 9 天，所以 8 头牛与 48 只羊一起吃，可以吃 9 天28. 2006 年夏天，我国某地遭遇了严重干旱，政府为了解决村民饮水问题，在山下的一眼泉水旁修了一个蓄水池，每小时有 40 立方米泉水注人池中第一周开动 5 台抽水机 2.5 小时就 把一池水抽完，接着第二周开动 8 台抽水机 1.5 小时就把一池水抽完后来由于旱情严重，开动 13 台抽水机同时抽水请问几小时可以把这池水抽完？【答案】0.9 小时【分析】设一

28、台抽水机一小时的抽水量为 1 份，则泉水的注水速度是(52.5-81.5)(2.5-1.5)=0.5(份)池水的原有水量为 2.55-2.50.5=11.25(份)所以，使用 13 台抽水机，抽完池水需要的时间为 11.25(13-0.5)=0.9(小时)29. 牧场上有一片匀速生长的草地，可借 27 头牛吃 6 周，或供 23 头牛吃 9 周，那么它可供多少头牛吃 18 周？【答案】19 头【分析】设 1 头牛 1 周的吃草量为 1 份，草的生长速度为每周生长(239-276)(9-6)=15(份),原有草量为：(27-15)6=72(份),可供 7218+15=19(头) 牛吃 18 周3

29、0. 有一块匀速生长的草场，可供 12 头牛吃 25 天，或可供 24 头牛吃 10 天那么它可供几头牛吃 20 天？【答案】14 头【分析】设 1 头牛 1 天的吃草量为 1 份每天生长的草量为：(1225-2410)(25-10)=4(份);原有草量为：(24-4)10=200(份).20 天里，草场共提供草200+420=280(份),可以让 28020=14(头) 牛吃 20 天31. 一个露天水池底部有若干同样大小的进水管这天蓄水时恰好赶上下雨，每分钟注入水池的雨水量相同如果打开 24 根进水管，5 分钟能注满水池；如果打开 12 根进水管，8 分钟能注满水池；如果打开 8 根进水管

30、，多少分钟能将水池注满？【答案】10 分钟【分析】设 1 根进水管 1 分钟进水 1 份，则雨水的注水速度为每分钟(245-128)(8-5)=8(份),水池容量为245+85=160(份),如果打开 8 根进水管 160(8+8)=10(分钟) 能将水池注满32. 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少如果某块草地上的草可供 25 头牛 4 天，或可供 16 头牛吃 6 天那么可供 10 头牛吃多少天？【答案】9 天【分析】设 1 头牛 1 天的吃草量为 1 份，牧场上的草每天自然减少(254-166)(6-4)=2(份),原来牧场有草(25+2)4=108(份),可

31、供 10 头牛吃的天数是：108(10+2)=9(天).33. 第一、二、三号牧场的面积依次为 3 公顷、5 公顷、7 公顷，三个牧场上的草长得一样密，且生长得一样快有两群牛，第一群牛 2 天将一号牧场的草吃完，又用 5 天将二号牧场的草吃完在这 7 天里，第二群牛刚好将三号牧场的草吃完如果第一群牛有 15 头，那么第二群牛有多少头？【答案】15【分析】设 1 公顷草地的原有草量为 x 份，1 公顷草地的生长速度为 y 份，根据题意列方程组得3x+3y2=1525x+5y2+5=155解得x=8y=1因此第二群牛有 (87+771)7=15(头)34. 一水库原有存水量一定，河水每天均匀入库，

32、5 台抽水机连续 20 天可抽干；6 台同样的抽水机连续 15 天可抽干若要求 6 天抽干，需要多少台同样的抽水机？【答案】12 台【分析】设每台抽水机每天的抽水量为 1 份，则每天流入的水为(205-615)(20-15)=2(份);原有的水量为520-202=60(份),若 6 天抽完，共需抽水机(60+62)6=12(台).35. 经测算，地球上的资源可供 100 亿人生活 100 年，或可供 80 亿人生活 300 年假设地球上新生资源的增长速度是一定的，那么为了使人类有不断发展的潜力，地球上最多能养活多少亿人？【答案】70 亿【分析】设每亿人每年消耗资源量为 1 份每年新生资源量：(

33、80300-100100)(300-100)=70(份)即为保证不断发展，地球上最多养活 70 亿人36. 一水库原有存水量一定，河水每天均匀入库5 台抽水机连续 20 天可抽干；6 台同样的抽水机连续 15 天可抽干（1）水库原有的水与 20 天流入的水可供多少台抽水机抽 1 天？（2）水库原有的水与 15 天流入的水可供多少台抽水机抽 1 天？（3）每天流入的水可供多少台抽水机抽 1 天？（4）原有的水可供多少台抽水机抽 1 天？（5）若 6 天抽完，共需抽水机多少台？【答案】（1）100；（2）90；（3）2；（4）60；（5）12【分析】（1）205=100(台)；（2）615=90(

34、台)；（3）(100-90)(20-15)=2(台)；（4）100-202=60(台)；（5）606+2=12(台)37. 一片草地，有 15 头牛吃草，8 天可以把全部草吃完如果起初这 15 头牛吃了两天后，又来了 2 头牛，则总共 7 天就可以把草吃完如果起初这 15 头牛吃了两天后，又来了 5 头牛，则需要多少天才能吃完？【答案】4【分析】设 1 头牛 1 天吃的草量为 1 份，本题可以把 15 头牛吃了两天忽略不看，只看后边的情况，则题目变为 15 牛吃 6 天，17 头牛吃 5 天，20 头牛吃几天，所以每天生长的草量为 156-1756-5=5(份)，原草量为 15-56=60(份

35、)，天数为 6020-5=4(天)38. 有一块匀速生长的草场，可供 12 头牛吃 24 天，或可供 15 头牛吃 12 天，那么它可供几头牛吃 18 天？可供 21 头牛吃几天？【答案】13 头；6 天【分析】设 1 头牛 1 天吃的草量为 1 份，每天生长的草量为 1224-151224-12=9(份)，原有草量为：1224-924=72(份)，则 72+18918=13(头)，所以它可供 13 头牛吃 18 天；而 9 头牛每天专吃新长的草，剩下的 21-9=12(头) 牛每天都吃原有的草7212=6(天) 后就没有草了，所以草场可供 21 头牛吃 6 天39. 如下图所示，一块正方形草

36、地被分为完全相同的四块以及中间的阴影部分已知草一开始是均匀分布，且以恒定的速度均匀生长但如果某块地上的草被吃光，就不再生长（因为草根也被吃掉了）老农先带着一群牛在 1 号草地上吃草，两天后把 1 号草地上的草全部吃完（这期间其他草地的草正常生长）之后他让一半牛在 2 号草地上吃草，另一半在 3 号草地上吃草，结果又过了 6 天，这两个草地上的草也全部吃完最后，老农把 35 的牛放在阴影草地上吃草，而剩下的牛放在 4 号草地上，最后发现两块草地上的草同时吃完如果一开始就让这群牛在整块草地上吃草，那么吃完这些草需要多少天？【答案】110【分析】设牛的头数为 2,5=10 头，设一头牛一天吃一份草，

37、所以 1，2，3，4 号草地的生长速度为(56-102)6=53,原有草量为210-532=503,阴影分配牛的头数是 4 的 1.5 倍，所以阴影草地的成长速度和原有草量都是 4 号的 1.5 倍，所以整块草地的生长速度为534+531.5=556,原有草量为5034+5031.5=2753,一开始就让这群牛在整块草地上吃草，那么吃完这些草需要275310-556=110(天).方法二：假设 1 至 4 号草地每块面积为 a，生长速度为 v，1 号草地 2 天吃完，草总量为 a+2v；2 号和 3 号草地，接着 6 天吃完，草总量为 2a+16v；6 天吃完的草总量应为 2 天吃完草总量的

38、3 倍，即：3(a+2v)2a+16v,可得 a10v，牛群每天吃草 6v；又 35 的牛放在阴影部分的草地中吃草，另外 25 的牛放在 4 号草地吃草，它们同时把草场上的草吃完，说明阴影部分为 4 号草地的 1.5 倍；相当于整个草地面积为 5.5a，即 55v，每天长草 5.5v，于是，草可吃55v6v-5.5v=110(天).40. 某个售票处在卖票之前，就已经有人排队，到开始卖票时，已经排了 75 人卖票后，由于每分钟来买票的人数一样多，因此，一个窗口花 15 分钟才不再有人排队如果开两个窗口，则经过 5 分钟不再有人排队如果开三个窗口，则经过几分钟不再有人排队？【答案】3 分钟【分析

39、】设每个窗口每分钟买票的人数为 1 份，则 15-5=10(分钟) 内前来检票的人数为：115-25=5(份)，所以每分钟前来检票的人数为：510=0.5(份)；开始检票前等待的人数为：(1-0.5)15=7.5(份)要开 3 个窗口，经过 7.5(3-0.5)=3(分钟) 就不再有人排队41. 早晨 6 点，某火车进口处已有一些名旅客等候检票进站，此时，每分钟还有若干人前来进口处准备进站这样，如果设立 4 个检票口，15 分钟可以放完旅客，如果设立 8 个检票口，7 分钟可以放完旅客现要求 5 分钟放完，需设立几个检票口？【答案】11【分析】设 1 个检票口 1 分钟放进 1 个单位的旅客（

40、1）1 分钟新来多少个单位的旅客：(415-87)(15-7)=12(个)；（2）检票口开放时已有多少个单位的旅客在等候：415-1215=5212(个)；（3）5 分时间内检票口共需放进多少个单位的旅客：5212+(125=55(个)；（4）设立几个检票口：55511(个)42. 一个蓄水池，每分钟流入 4 立方米水如果打开 5 个水龙头，2 小时半就把水池水放空，如果打开 8 个水龙头，1 小时半就把水池水放空现在打开 13 个水龙头，问要多少时间才能把水放空？【答案】54 分钟【分析】先计算 1 个水龙头每分钟放出水量2 小时半比 1 小时半多 60 分钟，多流入水 460=240(立方

41、米)时间都用分钟作单位，1 个水龙头每分钟放水量是 240(5150-890)=8(立方米)，8 个水龙头 1 个半小时放出的水量是 8890，其中 90 分钟内流入水量是 490，因此原来水池中存有水 8890-490=5400(立方米)打开 13 个水龙头每分钟可以放出水 813，除去每分钟流入 4，其余将放出原存的水，放空原存的 5400，需要 5400(813-4)=54(分钟)所以打开 13 个龙头，放空水池要 54 分钟本题实际上是牛吃草问题的变形，水池中的水，有两部分，原存有水与新流入的水，就需要分开考虑，解本题的关键是先求出池中原存有的水这在题目中却是隐含着的43. 进入冬季后

42、，有一片牧场上的草开始枯萎，因此草会均匀地减少现在开始在这片牧场上放羊，如果有 38 只羊，把草吃完需要 25 天；如果有 30 只羊，把草吃完需要 30 天如果有 20 只羊，这片牧场可以吃多少天？【答案】40【分析】设 1 头羊 1 天吃 1 份草，则草的减少速度为 (3825-3030)(30-25)=10，原有草量为 3825+1025=1200，如果放养 20 头羊最多吃 1200(20+10)=40(天)44. 一片草地，可供 5 头牛吃 30 天，也可供 4 头牛吃 40 天，如果 4 头牛吃 30 天，又增加了 2 头牛一起吃，还可以再吃几天？【答案】6【分析】1 头牛 1 天

43、的吃草量为“1”，那么每天生长的草量为 (440-530)(40-30)=1，原有草量为：(5-1)30=120如果 4 头牛吃 30 天，那么将会吃去 30 天的新生长草量以及 90 原有草量，此时原有草量还剩 120-90=30，而牛的头数变为 6，现在就相当于：“原有草量 30，每天生长草量 1，那么 6 头牛吃可以 30(6-1)=6(天) 吃完45. 有一牧场，17 头牛 30 天可将草吃完，19 头牛则 24 天可以吃完现有若干头牛吃了 6 天后，卖掉了 4 头牛，余下的牛再吃两天便将草吃完问：原来有多少头牛吃草（草均匀生长）？【答案】40【分析】设 1 头牛 1 天的吃草量为“1

44、”，那么每天生长的草量为 (1730-1924)(30-24)=9，原有草量为：(17-9)30=240现有若干头牛吃了 6 天后，卖掉了 4 头牛，余下的牛再吃两天便将草吃完，如果不卖掉这 4 头牛，那么原有草量需增加 42=8 才能恰好供这些牛吃 8 天，所以这些牛的头数为 (240+8)8+9=40(头)46. 一片匀速生长的牧草，如果让马和牛去吃，15 天将草吃尽；如果让马和羊去吃，20 天将草吃尽；如果让牛和羊去吃，30 天将草吃尽已知牛和羊每天的吃草量的和等于马每天的吃草量，现在让马、牛、羊一起去吃草，几天可以将这片牧草吃尽？【答案】12 天【分析】根据题意可得：15天马和牛吃草量

45、=原有草量+15天新生长草量20天马和羊吃草量=原有草量+20天新长的草量30天牛和羊(等于马)吃草量=原有草量+30天新生长草量由 2- 可得：30天牛吃草量=原有草量,所以：牛每天吃草量=原有草量30;由 可知，30天羊吃草量=30天新生长草量,所以：羊每天吃草量=每天新生长草量;设马每天吃的草为 3 份，将上述结果带入 得：原有草量=203=60(份),所以：牛每天吃草量=6030=2(份).这样如果同时放牧牛、羊、马，可以让羊去吃新生长的草，牛和马吃原有的草，可以吃：60(2+3)=12(天).47. 有一片草场，草每天的生长速度相同若 14 头牛 30 天可将草吃完，70 只羊 16

46、 天也可将草吃完（4 只羊一天的吃草量相当于一头牛一天的吃草量）那么，17 头牛和 20 只羊多少天可将草吃完？【答案】10 天【分析】“4 只羊一天的吃草量：相当于 1 头牛一天的吃草量”，所以可以设一头牛一天的食量 为 1 份，那么，14 头牛 30 天吃了 1430=420(份)，而 70 只羊 16 天吃了 16704=280(份)所以草场在 (30-16) 天内增加了 (420-280) 份，每天增加 10 份，原来的草量为 420-1030=120(份)，所以如果安排 17 头牛和 20 只羊，即每天食草 17+204=22(份)，经过 120(22-10)=10(天)，可将草吃完

47、48. 牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长这片牧场可供 27 头牛吃 6 天，可供 23 头牛吃 9 天那么，可供 21 头牛可吃几天？【答案】12 天【分析】设 1 头牛 1 天的吃草量为 1 份，根据题意可得：27 头牛吃 6 天共吃：276=162(份) 是原有草量和 6 天新生草，23 头牛吃 9 天共吃：239=207(份) 是原有草量和 9 天新生草，每天新长的草量：(207-162)(9-6)=15(份),原有草量：162-156=72(份),派 15 头牛去吃每天新生草，则吃完原有草需要：72(21-15)=12(天),即可供 21 头牛吃 12 天49. 小明从甲地步行去乙地

48、，出发一段时间后，小亮有事去追赶他，若骑自行车，每小时行 15 千米，3 小时可以追上；若骑摩托车，每小时行 35 千米，1 小时可以追上；若开汽车，每小时行 45 千米，多少分钟能追上【答案】45【分析】本题是“牛吃草”和行程问题中的追及问题的结合小明在 3-12(小时) 内走了 153-35110(千米)，那么小明的速度为 1025(千米/时)，追及距离为(15-5)330(千米)汽车去追的话需要：30(45-5)34(小时)45(分钟)50. 牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长这片牧场可供 10 头牛吃 20 天，可供 15 头牛吃 10 天如果供 25 头牛可吃几天？【答案】5【分析】

49、设 1 头牛 1 天的吃草量为“1”，10 头牛吃 20 天共吃了 1020=200 份；15 头牛吃 10 天共吃了 1510=150 份第一种吃法比第二种吃法多吃了 200-150=50 份草，这 50 份草是牧场的草 20-10=10 天生长出来的，所以每天生长的草量为 5010=5，那么原有草量为：200-520=100供 25 头牛吃，若有 5 头牛去吃每天生长的草，剩下 20 头牛需要 10020=5(天) 可将原有牧草吃完，即它可供 25 头牛吃 5 天51. 有一块匀速生长的草场，可供 12 头牛吃 25 天，或可供 24 头牛吃 10 天那么可供 29 头牛吃几天？【答案】8

50、 天【分析】设 1 头牛 1 天的吃草量为 1 份，根据题意可得：每天新长的草量：(1225-2410)(25-10)=4(份),原有草量为：(24-4)10=200(份),因为每天新长出 4 份草，可以让 4 头每天专门吃新长出的草，而剩下的 29-4=25(头) 牛每天都吃草场上原有的草，需要 20025=8(天)所以草场可供 29 头牛吃 8 天52. 有固定速度行驶的甲车和乙车，如果甲车以现在速度的 2 倍追赶乙车，5 小时后甲车追上乙车；如果甲车以现在速度的 3 倍追赶乙车，3 小时后甲车追上乙车，那么如果甲车以现在的速度去追赶乙车，问：几个小时后甲车追上乙车？【答案】15【分析】分

51、析知道甲车相当于“牛”，甲追赶乙的追及路程相当于“原有草量”，乙车相当于“新生长的草”设甲车现在的速度为“1”，那么乙车 5-32 小时走的路程为 25-331，所以乙的速度为 120.5，追及路程为：(2-0.5)57.5如果甲以现在的速度追赶乙，追上的时间为：7.5(1-0.5)15(小时)53. 有一牧场，草均匀生长，17 头牛 30 天可将草吃完，19 头牛则 24 天可以吃完现有若干头牛吃了 6 天后，卖掉了 4 头牛，余下的牛再吃两天便将草吃完问：原来有多少头牛吃草？【答案】40 头【分析】设 1 头牛 1 天的吃草量为“1”，那么每天生长的草量为：(1730-1924)(30-2

52、4)=9,原有草量为：(17-9)30=240.现有若干头牛吃了 6 天后，卖掉了 4 头牛，余下的牛再吃两天便将草吃完，如果不卖掉这 4 头牛，那么原有草量需增加 42=8 才能恰好供这些牛吃 8 天，所以这些牛的头数为：(240+8)8+9=40(头).54. 一片牧草，每天生长的速度相同现在这片牧草可供 20 头牛吃 12 天，或供 60 只羊吃 24 天如果 1 头牛的吃草量等于 4 只羊的吃草量，那么 12 头牛与 88 只羊一起吃可以吃几天？【答案】5 天【分析】设 1 头牛 1 天的吃草量为 1，根据题意 60 只羊的吃草量等于 15 头牛的吃草量，88 只羊的吃草量等于 22

53、头牛的吃草量，所以草的生长速度为：(1524-2012)(24-12)=10,原有草量为：(20-10)12=120,12 头牛与 88 只羊一起吃可以吃120(12+22-10)=5(天).55. 在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一级台阶，那么他走过 20 级台阶后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过 30 级台阶到达地面从站台到地面有几级台阶【答案】60【分析】每秒向上迈一级台阶，那么他走过 20 级台阶后到达地面；20120(秒)（他走了 20 秒，自动下滑也为 20 秒）；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过 30 级台阶到达地面；3021

54、5(秒)（他走了 15 秒，自动下滑也为 15 秒）；本题非常类似于“牛吃草问题”，如将题目改为：“在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一级台阶，那么他走过 20 秒后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过 15 秒到达地面问：从站台到地面有多少级台阶？”采用牛吃草问题的方法，电梯 20-155(秒) 内所走的阶数等于小强多走的阶数：215-12010(阶)，电梯的速度为 1052(阶/秒)，扶梯长度为 20(1+2)60(阶)56. 牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长这片牧场可供 10 头牛吃 20 天，可供 15 头牛吃 10 天那么这片牧场可供

55、几头牛吃 25 天？【答案】9 头【分析】设 1 头牛 1 天的吃草量为 1 份，每天新长的草量：(1020-1510)(20-10)=5(份),原有草量为：(15-5)10=100(份),25天里草场共提供草：100+525=225(份),可以让 22525=9(头) 牛吃 25 天57. 一块匀速生长的草场，可供 16 头牛吃 20 天或者供 100 只羊吃 12 天如果一头牛一天吃草量等于 5 只羊一天的吃草量，那么这块草地可供 10 头牛和 75 只羊一起吃多少天？【答案】8 天【分析】设 1 头牛 1 天的吃草量为 1 份，由于 1 头牛 1 天吃草量等于 5 只羊一天的吃草量，所以

56、 100 只羊吃 12 天相当于 20 头牛吃 12 天那么每天生长的草量为：(1620-2012)(20-12)=10(份),原有草量为：(16-10)20=120(份).10 头牛和 75 只羊 1 天一起吃的草量，相当于 25 头牛一天吃的草量，25 头牛中，若有 10 头牛去吃每天生长的草，那么剩下的 15 头牛需要 12015=8(天) 可以把原有草量吃完，即这块草地可供 10 头牛和 75 只羊一起吃 8 天58. 有一片牧场，草每天都在均匀地生长如果在牧场上放养 18 头牛，那么 10 天能把草吃完；如果只放养 24 头牛，那么 7 天就把草吃完了请问：（1）如果放养 32 头牛

57、，多少天可以把草吃完？（2）要放养多少头牛，才能恰好 14 天把草吃完？【答案】（1）5；（2）14【分析】（1）设 1 头牛 1 天吃 1 份草，则草的生长速度为 (1810-247)(10-7)=4，原有草量为 247-47=140，如果放养 32 头牛最多吃 140(32-4)=5(天)（2）恰好 14 天把草吃完，要放养 14014+4=14(头) 牛59. 快、中、慢三车同时从 A 地出发沿同一公路开往 B 地，途中有骑车人也在同方向行进，这三辆车分别用 7 分钟、8 分钟、14 分钟追上骑车人已知快车每分钟行 800 米，慢车每分钟行 600 米，中速车的速度是多少？【答案】750

58、 米/分【分析】可以将骑车人与三辆车开始相差的距离看成原有草量，骑车人的速度看成草生长的速度，所以骑车人速度是：(60014-8007)(14-7)400(米/分)，开始相差的路程为：(600-400)142800(米)，所以中速车速度为：28008+400750(米/分)60. 一片青草，每天长草的速度相等，可供 10 头牛单独吃 20 天，供 60 只羊单独吃 10 天如果 1 头牛的吃草量等于 4 只羊的吃草量，那么，10 头牛与 60 只羊一起吃草，这片草可以吃 天【答案】5【分析】把 1 只羊每天的吃草量当作单位“1”，则 1 头牛每天的吃草量为 4，设原有草量为 x，每天的长草量为

59、 y，那么 left begingathered x + 20y = 4 times 10 times 20 hfill x + 10y = 1 times 60 times 10 hfill endgathered right. 解得x=400y=20如果 10 头牛与 60 只羊一起吃草，这片草可以吃400(410+160-20)=5(天).61. 由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少经计算，牧场上的草可供 20 头牛吃 5 天，或可供 16 头牛吃 6 天那么，可供 11 头牛吃几天？【答案】8 天【分析】设 1 头牛 1 天的吃草量为 1 份，每天牧场本身减少的草量为：(2

60、05-166)(6-5)=4(份),原有草量为：(20+4)5=120(份),若有 11 头牛来吃草，每天草一共减少 11+4=15(份)，可供 11 头牛吃 12015=8(天)62. 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少如果某块草地上的草可供 25 头牛 4 天，或可供 16 头牛吃 6 天照此计算，可以供多少头牛吃 12 天？【答案】7 头【分析】设 1 头牛 1 天的吃草量为 1 份，牧场上的草每天自然减少(254-166)(6-4)=2(份),原来牧场有草(25+2)4=108(份),12 天吃完需要牛的头数是：10812-2=7(头).63. 一个牧场长满

61、青草，牛在吃草而草又在不断生长，已知牛 27 头，6 天把草吃尽，同样一片牧场，牛 23 头，9 天把草吃尽如果有牛 21 头，几天能把草吃尽？【答案】12 天【分析】把一头牛每天吃草量当作 1 份，设原来有的草为 x 份，每天长出来的草为 y 份，那么可以列方程： left begingathered x + 6y = 27 times 6 hfill x + 9y = 23 times 9 hfill endgathered right. 解得x=72y=15如果 21 头牛吃草，这片草可以吃72(21-15)=12(天).64. 有一片牧场，草每天都在均匀地生长如果在牧场上放养 24 头

62、牛，那么 6 天就把草吃完了；如果只放养 21 头牛，那么 8 天才把草吃完请问：（1）要使得草永远吃不完，最多可以放养多少头牛？（2）如果放养 36 头牛，多少天可以把草吃完？【答案】（1）12；（2）3【分析】（1）设 1 头牛 1 天吃 1 份草，则草的生长速度为 (218-246)(8-6)=12，因此最多放养 12 头牛（2）原有草量为 246-126=72，如果放养 36 头牛最多吃 72(36-12)=3(天)65. 由于环境恶化、气候变暖，官厅水库的水在匀速减少，为了保证水库的水量，政府决定从上游的壶流河水库以及册田水库分别向官厅水库进行调水，已知这两个水库的每个闸门放水量是相

63、同的，如果同时打开壶流河水库的 5 个闸门 30 小时可以使官厅水库水量达到原来的标准，如果同时打开册田水库的 4 个闸门 40 小时可以使官厅水库水量达到原来的标准，如果 24 小时使官厅水库水量达到原来的标准，问需同时打开两个水库的几个闸门？【答案】6【分析】设 1 个闸门 1 小时的放水量为“1”，那么每小时自然减少的水量为：(404-305)(40-30)=1，实际注入水量为：(5-1)30=120；24 小时蓄水需要打开的闸门数是：12024+1=6(个)66. 仓库里原有一批存货，以后继续运货进仓，且每天运进的货一样多用同样的汽车运货出仓，如果每天用 4 辆汽车，则 9 天恰好运完

64、；如果每天用 5 辆汽车，则 6 天恰好运完仓库里原有的存货若用 1 辆汽车运则需要多少天运完？【答案】18 天【分析】设 1 辆汽车 1 天运货为 1 份，进货速度为(94-56)(9-6)=2(份),原有存货为(4-2)9=18(份),仓库里原有的存货若用 1 辆汽车运则需要181=18(天).67. 有三块草地，面积分别是 4 公顷、8 公顷和 10 公顷草地上的草一样厚而且长得一样快第一块草地可供 24 头牛吃 6 周，第二块草地可供 36 头牛吃 12 周问：第三块草地可供 50 头牛吃几周？【答案】9【分析】方法一：1 头牛 1 周吃草量为“1”，第一块草地可供 24 头牛吃 6

65、周，说明 1 公顷草地可供 6 头牛吃 6 周；第二块草地可供 36 头牛吃 12 周，说明 1 公顷草地可供 4.5 头牛吃 12 周那么 1 公顷草地 1 周新生长的草量为 (4.512-66)(12-6)=3(份)，1 公顷草地原有草量为 (6-3)6=18第三块草地 1 周新生长的草量为 310=30，第三块草地原有草量为 1810=18050 头牛中，若有 30 头牛去吃每天生长的草，那么剩下的 20 头牛需要 18020=9(周) 可以把原有草吃完，即这块草地可供 50 头牛吃 9 周方法二：列方程组，设 1 公顷草地的原有草量为 x 份，1 公顷草地的生长速度为 y 份，$leftbegingathered4x + 4y times 6 = 24 times 6 hfill 8x + 8y times 12 = 36 times 12 hfill endgathered right.$，解得 $leftbegingatheredx = 18 hfill y = 3 hfill endgathered right.$，所以第三块草地可供 50 头牛吃 1018(50-103)=9(周)