上海市松江二中2021-2022学年高一数学下学期期末试题（Word版附解析）.docx

1、松江二中高一期末数学试卷2022.06一填空题（共12题，1-6题每题4分，7-12题每題5分，满分54分）.1. 已知扇形的圆心角为，扇形的弧长为，则该扇形所在圆的半径为_.【答案】4【解析】【分析】利用弧长公式直接求得.【详解】扇形的圆心角为，为，设半径为r，由弧长公式可得：，解得：.故答案为：42. 若，则正整数的值是_.【答案】5或7【解析】【分析】根据组合数的性质可得或，进而可求出结果.【详解】因为，所以或，解得7或5，故答案为：7或5.3. 设为实数，复数（其中为虚数单位），若为纯虚数，则的值为_.【答案】【解析】【分析】求出，代入化简，由纯虚数的定义即可得出答案.【详解】因为复数

2、（其中为虚数单位），而为纯虚数,则,解得: .故答案为：4. 已知，则_.【答案】【解析】【分析】根据同角三角函数的关系可得，进而求得即可【详解】因为，故，.故故答案为：5. 已知无穷等比数列的首项，其前项和满足，则公比的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】根据无穷等比数列前n项和的极限可知且，可得，结合已知求即可.【详解】无穷等比数列的前项和为，首项为，公比，且，且，则,则，解得：或又因为且，所以公比的取值范围为：故答案为：6. 记等差数列的前项和为，若，则_.【答案】【解析】【分析】设等差数列的公差为d，利用基本量代换列方程组求出首项和公差，即可求出.【详解】设等差数列的公差为d，由题意

3、可得：，解得：，所以.故答案为：40.7. 近期，某地因出现新冠疫情被划分为“封控区”“管控区”和“防范区”三类区域.现安排6位专家到这三类区域进行一天的疫情指导工作，其中“封控区”3人，“管控区”2人，“防范区”1人，专家甲不安排在“封控区”，则不同的安排方案一共有种_.（用数字作答）【答案】【解析】【分析】分专家甲安排在“防范区”和“管控区”两种情况讨论，按照分类、分步计数原理计算可得；【详解】解：若专家甲安排在“防范区”，则有种方案，若专家甲安排在“管控区”，则有种方案，综上可得一共有种方案；故答案：8. 已知方程的两个虚根满足，则的值是_.【答案】【解析】【分析】由题意设，利用根与系数

4、的关系结合，求得与的值，则可求【详解】方程程的两个虚根为、，可设，因为，联立解得：，故答案为：9. 如果复数满足（其中为虚数单位），那么的最大值是_.【答案】#【解析】【分析】设，由可得，则表示的是圆上的点到点的距离，在跟圆上的点到定点的距离的最值问题即可得解.详解】解：设，则，所以，所以复数对应的点在以为圆心，1为半径的圆上，因为表示的是圆上的点到点的距离，所以.故答案为：.10. 数列满足，若，则的值为_.【答案】【解析】【分析】当为奇数时，将代入累加，可得；当为偶数时，将代入运算，可得；结合已知条件列方程，可得答案【详解】当为奇数时，即，累加可得：；当为偶数时，即，得：；又，即，解得，故

5、答案为：11. 已知向量满足，则下列四个命题中，所有正确命题的序号是_.若，则的最小值为；若，则存在唯一的，使得；若，则的最小值为；若，则的最小值为.【答案】【解析】【分析】(1)将向量平方转化为求二次函数的最值问题；(2)将已知代入，由数量积为零计算出结果，只有一个值；(3)由已知得出，配方、三角换元求出值域；(4)先将已知条件化简，利用第(3)小题结论求出范围.【详解】(1)若 ， ， ，当 时取得最小值，所以 正确；(2)若 ， ，解得 ，故正确；(3) ，若， ，令 ， ， ，所以正确；(4) ， 若 ， 时，由(3)知正确.故答案为：12. 已知为数列的前项和，且，则的值为_.【答案

6、】0【解析】【分析】根据，关系化简计算得或，分情况讨论得解.【详解】，两式作差，得， 即,所以， 所以或， 当时，从第二项起为等差数列，公差为，与已知相矛盾，当时，又，所以，而，所以，由题知，令，得，即，所以，得故答案为：0.二选择题（共有4题，满分20分，每题5分）.13. 设，那么等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先根据递推关系式求出，再作差即可；【详解】解：因为，所以，故选：D14. 设，则下列命题中的真命题为（ ）A. 若，则B. 若，则为纯虚数C. 若，则或D. 若，则【答案】C【解析】【分析】根据虚数不能比较大小判断A，取可判断B，根据复数模性质判断C，

7、取特例可判断D.【详解】当为实数时，成立，否则不成立，故A错误；当时，满足，但不为纯虚数，故B错误；当时，故或，所以或，故C正确；当时，即，故D错误.故选：C15. 已知平面上三点坐标为、，小明在点处休息，一只小狗沿所在直线来回跑动，则小狗距离小明最近时所在位置的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设小狗的位置为点，当时，小狗距离小明最近，求出直线、的方程，联立可求得结果.【详解】因为，所以，直线的方程为，即，设小狗的位置为点，当时，小狗距离小明最近，此时直线的方程为，联立，解得，因此，小狗距离小明最近时所在位置的坐标为.故选：C.16. 已知函数，各项均不相等的数列

8、满足，数列和的前项和分别为和，给出下列两个命题：若，则；存在等差数列，使得成立.关于上述两个命题，以下说法正确的是（ ）A. 正确错误B. 错误正确C. 均正确D. 均错误【答案】A【解析】【分析】先写出，列举出第一、第二项的和，第三、四项的和及第2021、2022项的和，从而得到成立；由题得，由等差数列的性质得，分和结合正切函数的单调性及奇偶性求得，所以不存在这样的等差数列.【详解】对于，当时，又，在单调递增，则，；所以正确.对于，则，则，又，在单调递增，且为奇函数，若是等差数列，则，显然，当时，可得，可得，则，则，即，同理可得，则，则；当时，可得，可得，则，则，即，同理可得，则，则，综上可

9、得，即不存在等差数列，使得成立，错误；故选：A.【点睛】本题考查数列和函数的综合应用，难度较大，命题借助分组求和法，相邻两项为一组，即可求解；命题借助等差数列的性质结合正切函数的奇偶性及单调性即可求解.三解答题（共5题，满分76分）.17. 已知复数为虚数单位.（1）若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围；（2）若，求复数的共轭复数.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）计算，然后根据第一象限点的特征列出关于 的不等式组，解出答案即可（2）计算出 ，然后根据共轭复数的定义写出答案即可【小问1详解】由题意，复数，复数在复平面上对应的点在第四象限，解得，实数 的取值范围【小问2

10、详解】因为，所以，所以， 所以18. 如图，在平行四边形中，交于点.（1）若，求的值；（2）求的取值范围.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）由平面向量基本定理化简计算可得；（2）以A为原点建立坐标系，表示出，根据单调性求取值范围.【小问1详解】因为又所以，解得.【小问2详解】以A为原点建立如图坐标系，因为，因为，令，则对称轴为，所以在单调递增，所以当时，时，的取值范围为.19. 在一次招聘会上，甲、乙两家公司分别给出了它们的工资标准.甲公司允诺：第一年的年薪为万元，以后每年的年薪比上一年增加元；乙公司的工资标准如下：第一年的年薪为万元；从第二年起，每年的年薪除比上一年增加外，还另外发

11、放（为大于的常数）万元的交通补贴作为当年年薪的一部分.设甲、乙两家公司第年的年薪依次为万元和万元.（1）证明数列为等比数列，并求的通项公式；（2）小李年初被这两家公司同时意向录取，他打算选择一家公司连续工作至少年.若仅从前年工资收入总量较多作为选择的标准（不记其它因素），为了吸引小李的加盟，乙公司从第二年起，每年应至少发放多少元的交通补贴？（结果精确到元）【答案】（1）证明见解析， （2）至少元【解析】【分析】（1）由题意可得出，利用等比数列的定义可证明出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列的通项公式；（2）设数列、的前项和分别为、（单位：万元），计算出、，由，解出的范围，即可得

12、解.【小问1详解】解：由题意可得，且，则，所以，数列为等比数列，且首项为，公比为，所以，故.【小问2详解】解：设数列、的前项和分别为、（单位：万元），则数列是首项为，公差为的等差数列，所以，可得.所以，每年应至少发放元的交通补贴.20. 已知函数的部分图像如图所示.（1）求函数的解析式，并求的单调递增区间；（2）设的三内角的正弦值依次成等比数列，求的值域；（3）将图像上所有点先向右平移个单位，再将所得图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到的图像，记，是否同时存在实数和正整数，使得函数在上恰有2022个零点？若存在，请求出所有符合条件的和的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1） （2） （3

13、）存在，或3时，；时，【解析】【分析】（1）利用周期求出，利用特殊点求出，得到，利用复合函数单调性法则列不等式求出函数的单增区间；（2）先利用正、余弦定理求出，即可求出的值域；（3）利用他图像变换得到，进而得到.若，得到.令，.利用图像法求出m、n的范围.【小问1详解】由图像可得：，解得：，所以，解得：所以.又由图像可得：，又因为，所以，所以.要求函数的单增区间，只需，解得：，即的单调递增区间为.【小问2详解】因为的三内角的正弦值依次成等比数列，所以,由正弦定理得：.由余弦定理得：.因为,所以.所以.因为在上单调递增函数，在上单调递减，所以的最大值为2，最小值为0，所以的值域为.【小问3详解】

14、图像上所有点先向右平移个单位得到，再将所得图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到.所以若，则.令，周期为，令.作出的图像如图所示：要使存在实数和正整数，使得函数在上恰有2022个零点，只需：i.当或时，即或时，与在一个周期内只有1个公共点，此时，.ii.当或，即或时，与在每一个周期内均有2个公共点，只需.21. 已知数列的前项和为，数列是首项为3，公比为3的等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若存在，使得成立，求实数取值范围；（3）若，是否存在正整数，使得依次成等差数列？若存在，求出所有的有序数组；若不存在，说明理由.【答案】（1） （2） （3）存在，或【解析】【分析】（1）根据通项公

15、式与前项和的关系，结合累加法求解即可；（2）将题意转换为存在，使得成立，即求的最大值.再计算的正负区间，确定的最大项即可；（3）逐步分析，先判断当时不满足，再分析当，时也不满足，从而得到，再分析时有两组解或，再证明当时，不成等差数列即可【小问1详解】因为所以当时，-得：，整理得则由累加法可得：整理得：又当时，上式也成立，所以的通项公式为【小问2详解】由题知，因为存在，使得成立，所以存在，使得成立，即求的最大值.又，故当时，即，当时，故当或时，取得最大值,所以的取值范围为【小问3详解】，由（2）因为，且，故若，则，故，即不成等差数列，故.若，则，又，故不成等差数列，故.当时，此时，此时，解得.此时或，为或当时，因为，且，故，即，故，即当时，.又，故，故不成等差数列.综上所述，有序数组为或【点睛】本题主要考查了根据递推公式求解通项公式的方法，同时也考查了数列中的恒成立问题，以及整数类的存在性问题，需要根据题意逐步分析是否满足条件，并且适当用放缩的方法证明不等式，属于难题。