专项02 菱形中线段和最小值问题-2022-2023学年九年级数学上册高分突破必练专题（北师大版）.docx

1、专项02 菱形中线段和最小值问题【考点1 线段最小值】【典例1】如图，菱形ABCD的两条对角线长AC6，BD8，点E是BC边上的动点则AE长的最小值为（）A4BC5D【变式1-1】如图，菱形ABCD的两条对角线长分别为AC6，BD8，点P是BC边上的一动点，则AP的最小值为（）A4B4.8C5D5.5【变式1-2】如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连结AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连结GH若B45，BC2，则GH的最小值为（）A.BC2D3【变式1-3】如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC8，BD6，点P为边AB上一点，且点P不与点A，B重合过点P作P

2、EAC于点E，PFBD于点F，连接EF，则EF的最小值为（）A2B2.4C2.5D3【考点2 两定点，一动点】【典例2】（2021春海口期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC8，BD6，点E，F分别是边AB，BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是（）A3B4C5D6【变式2-1】（2020春庐江县期末）如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB4，BD4，E为AB的中点，点P为线段AC上的动点，则EP+BP的最小值为（）A4B2C2D8【变式2-2】（2021埇桥区校级月考）如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为8，E为AB的中点，若P

3、为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为（）A2B2C4D4【考点2 一定点，两动点】【典例3】如图，已知菱形ABCD的面积为20，边长为5，点P、Q分别是边BC、CD上的动点，且PCCQ，连接PD、AQ，则PD+AQ的最小值为（）ABC10D【变式3-1】（2021春裕华区校级期末）如图，在菱形ABCD中，D135，AD3，CE2，点P是线段AC上一动点，点F是线段AB上一动点，则PE+PF的最小值（）A2B3C2D【变式3-2】（2020春碑林区校级期末）如图，在菱形ABCD中，AB5，对角线BD8点P、点Q分别是AB、BD上动点，则AQ+PQ的最小值为（）ABC5D【考点3 三条线段

4、和最小值】【典例4】如图，已知菱形ABCD中，ABC60，AB8，过线段BD上的一个动点P（不与B、D 重合）分别向直线AB、AD作垂线，垂足分别为E、F（1）BD的长是 ；（2）连接PC，当PE+PF+PC取得最小值时，此时PB的长是 【变式4-1】（2022中山市二模）如图，菱形ABCD的对角线AC3，ADC120，点E为对角线AC上的一动点，则EA+EB+ED的最小值为 【变式4-2】如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且ABC120，则MA+MB+MD的最小值是（）AB3+3C6+D1如图，在菱形ABCD中，AB4，点F是CD边上一点，且DF1，点E是BC边上

5、的一个动点，M、N分别是线段AE、AF的中点，连接EF和MN，当点E在BC边上从点B向点C移动时，线段MN的最小值是（）A1B1.5C2D32如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PEBC于点EPFAB于点F若菱形ABCD的周长为24，面积为24，则PE+PF的值为（）A4BC6D3如图，菱形ABCD的边长为6，ABC60，对角线BD上有两个动点E、F（点E在点F的左侧），若EF2，则AE+CF的最小值为（）A2B4C6D84在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、G共线，点C在BE上，DAB60，AG8，点M，N分别是AC和EG的中点，则MN的最小值等于（）A2B4C2D

6、65如图，菱形ABCD的边长为2，BAD60，点E是AD边上一动点（不与A，D重合），点F是CD边上一动点，DE+DF2，则EBF ，BEF面积的最小值为 6如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BAD60，AD3，AH是BAC的平分线，CEAH于点E，点P是直线AB上的一个动点，则OP+PE的最小值是 7如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC6，BD8，点E为OA的中点，点F为BC上一点，且BF3CF，点P为BD上一动点，连接PE、PF，则|PFPE|的最大值为 8如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中

7、点，连接GH若B45，BC，则GH的最小值为 9如图，菱形ABCD的边长为4，ADC120，点E是AD上一动点（不与点A，D重合），点F是CD上一动点，且AE+CF4，则BEF面积的最小值为 10如图，在菱形ABCD中，B60，BC4，动点E，F分别在线段AB，AD上，且BEAF则EF长度的最小值等于 11如图，在菱形ABCD中，D60，AD10点E是菱形ABCD内一点，则AE+BE+CE的最小值等于 12如图，在菱形ABCD中，AB6，ABC60，M为AD中点，P为对角线BD上一动点，连接PA和PM，则PA+PM的最小值是 13已知四边形ABCD为菱形，BAD60，AB6cm，P为AC上任一

8、点，则PD+PA的最小值是 cm14如图，在菱形ABCD中，AB6，B60，点G是边CD边的中点，点E、F分别是AG、AD上的两个动点，则EF+ED的最小值是 15如图所示，在边长为2的菱形ABCD中，DAB60，点E为AB中点，点F是AC上一动点，则EF+BF的最小值为 （提示：根据轴对称的性质）专项02 菱形中线段和最小值问题【考点1 线段最小值】【典例1】如图，菱形ABCD的两条对角线长AC6，BD8，点E是BC边上的动点则AE长的最小值为（）A4BC5D【答案】B【解答】解：点E是BC边上的一动点，AEBC时，AE有最小值，四边形ABCD是菱形，ACBD，AOCOAC3，BODOBD4

9、，BC5，S菱形ABCDACBDBCAE，AE，故AE长的最小值为，故选：B【变式1-1】如图，菱形ABCD的两条对角线长分别为AC6，BD8，点P是BC边上的一动点，则AP的最小值为（）A4B4.8C5D5.5【答案】B【解答】解：设AC与BD的交点为O，点P是BC边上的一动点，APBC时，AP有最小值，四边形ABCD是菱形，ACBD，AOCOAC3，BODOBD4，BC5，S菱形ABCDACBDBCAP，AP4.8，故选：B【变式1-2】如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连结AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连结GH若B45，BC2，则GH的最小值为（）A.

10、BC2D3【答案】A【解答】解：连接AF，如图所示：四边形ABCD是菱形，ABBC2，G，H分别为AE，EF的中点，GH是AEF的中位线，GHAF，当AFBC时，AF最小，GH得到最小值，则AFB90，B45，ABF是等腰直角三角形，AFAB22，GH，即GH的最小值为，故选：A【变式1-3】如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC8，BD6，点P为边AB上一点，且点P不与点A，B重合过点P作PEAC于点E，PFBD于点F，连接EF，则EF的最小值为（）A2B2.4C2.5D3【答案】B【解答】解：连接OP，如图所示：四边形ABCD是菱形，AC8，BD6，ACBD，BOBD3，OCAC4，B

11、C5，PEAC，PFBD，ACBD，四边形OEPF是矩形，FEOP，当OPBC时，OP有最小值，此时SOBCOBOCBCOP，OP2.4，EF的最小值为2.4，故选：B【考点2 两定点，一动点】【典例2】（2021春海口期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC8，BD6，点E，F分别是边AB，BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是（）A3B4C5D6【答案】C【解答】解：设AC交BD于O，作E关于AC的对称点N，连接NF，交AC于P，则此时EP+FP的值最小，PNPE，四边形ABCD是菱形，DABBCD，ADABBCCD，OAOC，OBOD，ADBC

12、，E为AB的中点，N在AD上，且N为AD的中点，ADCB，ANPCFP，NAPFCP，ADBC，N为AD中点，F为BC中点，ANCF，在ANP和CFP中，ANPCFP（ASA），APCP，即P为AC中点，O为AC中点，P、O重合，即NF过O点，ANBF，ANBF，四边形ANFB是平行四边形，NFAB，菱形ABCD，ACBD，OAAC4，BOBD3，由勾股定理得：AB5，故选：C【变式2-1】（2020春庐江县期末）如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB4，BD4，E为AB的中点，点P为线段AC上的动点，则EP+BP的最小值为（）A4B2C2D8【答案】C【解答】解：如图，设AC，B

13、D相交于O，四边形ABCD是菱形，ACBD，AOAC，BOBD2，AB4，AO2，连接DE交AC于点P，连接BP，作EMBD于点M，四边形ABCD是菱形，ACBD，且DOBO，即AO是BD的垂直平分线，PDPB，PE+PBPE+PDDE且值最小，E是AB的中点，EMBD，EMAO1，BMBO，DMDO+OMBO3，DE2，故选：C【变式2-2】（2021埇桥区校级月考）如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为8，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为（）A2B2C4D4【答案】B【解答】解：如图，作CEAB于E，交BD于P，连接AC、AP已知菱形ABCD的周长为16

14、，面积为8，ABBC4，ABCE8，CE2，在RtBCE中，BE2，BEEA2，E与E重合，四边形ABCD是菱形，BD垂直平分AC，A、C关于BD对称，当P与P重合时，PA+PE的值最小，最小值为CE2，故选：B【考点2 一定点，两动点】【典例3】如图，已知菱形ABCD的面积为20，边长为5，点P、Q分别是边BC、CD上的动点，且PCCQ，连接PD、AQ，则PD+AQ的最小值为（）ABC10D【答案】B【解答】解：如图，过点A作AMBC于点M，延长AM到点A，使AMAM，四边形ABCD是菱形，ABBCAD5，ABCADC，菱形ABCD的面积为20，边长为5，AM4，在RtABM中，根据勾股定理

15、得：BM3，以点B为原点，BC为x轴，垂直于BC方向为y轴，建立平面直角坐标系，B（0，0），A（3，4），C（5，0），D（8，4），A（3，4），PCCQ，BCCD，BPDQ，在ABP和ADQ中，ABPADQ（SAS），APAQAP，连接AD，AP，AP，AP+PDAD，A，P，D三点共线时，PD+AP取最小值，PD+AQ的最小值PD+AP的最小值AD故选：B【变式3-1】（2021春裕华区校级期末）如图，在菱形ABCD中，D135，AD3，CE2，点P是线段AC上一动点，点F是线段AB上一动点，则PE+PF的最小值（）A2B3C2D【答案】D【解答】解：作点E关于AC的对称点点G，连接P

16、G、PE，则PEPG，CECG2，连接BG，过点B作BHCD于H，则BCHCBH45，RtBHC中，BHCHBC3，HG321，RtBHG中，BG，当点F与点B重合时，PE+PFPG+PBBG（最短），PE+PF的最小值是故选：D【变式3-2】（2020春碑林区校级期末）如图，在菱形ABCD中，AB5，对角线BD8点P、点Q分别是AB、BD上动点，则AQ+PQ的最小值为（）ABC5D【答案】B【解答】解：连接AC交BD于O，过C作CPAB于P，则此时，AQ+PQ的值最小，且最小值为CP的长度，在菱形ABCD中，AB5，对角线BD8，ACBD，BOBD4，AO3，AC6，S菱形ABCDACBDA

17、BCP，CP，AQ+PQ的最小值为，故选：B【考点3 三条线段和最小值】【典例4】如图，已知菱形ABCD中，ABC60，AB8，过线段BD上的一个动点P（不与B、D 重合）分别向直线AB、AD作垂线，垂足分别为E、F（1）BD的长是 ；（2）连接PC，当PE+PF+PC取得最小值时，此时PB的长是 【答案】8；4【解答】解：（1）连接AC，交BD与点O，四边形ABCD是菱形，ABC60，ABC为等边三角形，ACAB8，根据菱形性质得：AOCOAC4，OBOD，ACBD，根据勾股定理得：BD2OB28；（2）延长FP交BC于点M，则FMBCPMPE，PE+PFPF+PMFM，又S菱形ABCDAC

18、BDBCFM，888FM，即FM4，要使PE+PF+PC取最小值，只要PC取最小值当CPBD，即点P与点O重合时，PE+PF+PC的值最小此时PBBODOBD4故答案为：8；4【变式4-1】（2022中山市二模）如图，菱形ABCD的对角线AC3，ADC120，点E为对角线AC上的一动点，则EA+EB+ED的最小值为 【答案】3【解答】解：以点A为旋转中心，将AED旋转60到AED，连接EE，作BHDA于H则DEDE，DADA，AEAE，AEE为等边三角形，AEEE，EA+EB+EDEE+EB+EDBD，即EA+EB+ED的最小值为BDADC120，四边形ABCD为菱形，DAB60，DAC30，

19、DAE30，D30，DAC90，HAB60，AC3，ADACABBC，AHAB，HBAH，BD2HB23，即EA+EB+ED的最小值为3【变式4-2】如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且ABC120，则MA+MB+MD的最小值是（）AB3+3C6+D【答案】D【解答】解：如图，过点D作DEAB于点E，连接BD，菱形ABCD中，ABC120，DAB60，ADABDCBC，ADB是等边三角形，MAE30，AM2ME，MDMB，MA+MB+MD2ME+2DM2DE，根据垂线段最短，此时DE最短，即MA+MB+MD最小，菱形ABCD的边长为6，DE3，2DE6MA+MB+M

20、D的最小值是6故选：D1如图，在菱形ABCD中，AB4，点F是CD边上一点，且DF1，点E是BC边上的一个动点，M、N分别是线段AE、AF的中点，连接EF和MN，当点E在BC边上从点B向点C移动时，线段MN的最小值是（）A1B1.5C2D3【答案】B【解答】解：M、N分别是线段AE、AF的中点，MN是AEF的中位线，MNEF，EF取最小值时，MN最小，E在BC上运动，E与C重合时，EF最小，四边形ABCD是菱形，ABDC4，DF1，CFDCDF3，EF最小值为3，MN的最小值为1.5，故选：B2如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PEBC于点EPFAB于点F若菱形ABCD的

21、周长为24，面积为24，则PE+PF的值为（）A4BC6D【答案】A【解答】解：连接BP，如图，四边形ABCD为菱形，菱形ABCD的周长为24，面积为24，BABC6，SABCS菱形ABCD12，SABCSPAB+SPBC，6PE+6PF12，PE+PF4，故选：A3如图，菱形ABCD的边长为6，ABC60，对角线BD上有两个动点E、F（点E在点F的左侧），若EF2，则AE+CF的最小值为（）A2B4C6D8【答案】A【解答】解：如图，连接AC，作AMAC，使得AMEF2，连接CM交BD于F，AC，BD是菱形ABCD的对角线，BDAC，AMAC，AMBD，AMEF，AMEF，AMEF，四边形A

22、EFM是平行四边形，AEFM，AE+CFFM+FCCM，根据两点之间线段最短可知，此时AE+FC最短，四边形ABCD是菱形，AB6，ABC60BCAB，ABC是等边三角形，ACAB6，在RtCAM中，CMAE+CF的最小值为2故选：A4在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、G共线，点C在BE上，DAB60，AG8，点M，N分别是AC和EG的中点，则MN的最小值等于（）A2B4C2D6【答案】A【解答】解：连接BD、BF，延长AC交GE于H，连接BH，如图所示：四边形ABCD和四边形BEFG是菱形，DAB60，ADBCGF，ACBD，BFGE，BEBG，AMCM，ENGN，GAH30，EBG

23、DAB60，BEG是等边三角形，BGE60，AHG90，四边形BNHM是矩形，GHAG4，AHGH4，MNBH，当BHAG时，BH最小，GAH30，BHAH2，MN的最小值2；故选：A5如图，菱形ABCD的边长为2，BAD60，点E是AD边上一动点（不与A，D重合），点F是CD边上一动点，DE+DF2，则EBF ，BEF面积的最小值为 【答案】60;【解答】解：如图，连接BD，菱形ABCD边长为4，BAD60；ABD与BCD为正三角形，FDBEAB60，AE+CF2，DF+CF2，AEDF，ABBD，BDFBAE（SAS），BEBF，ABEDBF，EBFABD60，BEF是等边三角形，当BEA

24、D时，BEF的面积最小，此时BE，边BE上的高为，BEF面积的最小值为：故答案为：6如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BAD60，AD3，AH是BAC的平分线，CEAH于点E，点P是直线AB上的一个动点，则OP+PE的最小值是 【答案】【解答】解：连接OE，过点O作OFAB，垂足为F，并延长到点O，使OFOF，连接OE交直线AB于点P，连接OP，AP是OO的垂直平分线，OPOP，OP+PEOP+PEOE，此时，OP+PE的值最小，四边形ABCD是菱形，ADAB3，BACBAD，OAOCAC，ODOBBD，AOD90，BAD60，ADB是等边三角形，BDAD3，ODBD，AO，A

25、C2OA3，CEAH，AEC90，OEOAAC，OAEOEA，AE平分CAB，OAEEAB，OEAEAB，OEAB，EOFAFO90，在RtAOF中，OABDAB30，OFOA，OO2OF，在RtEOO中，OE，OE+PE，OP+PE的最小值为，故答案为：7如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC6，BD8，点E为OA的中点，点F为BC上一点，且BF3CF，点P为BD上一动点，连接PE、PF，则|PFPE|的最大值为 【答案】【解答】解：在菱形ABCD中，AC6，BD8，AOCO3，BODO4，ABBCCDDA5，在BC上取一点F，使得BF3CF，取OA的中点E，点P为BD上的一

26、动点，作E点关于BD的对称点E，连接PE，PEPE，在PFE中，PFPEPFPEFE，则当点P、F、E三点共线时，PFPE取最大值，PFPEPFEFE，取BC的中点H，连接HO，BF3CF，OA的中点E，点F是HC的中点，E是OC的中点，FEHO，HOBC，FEHOBC故答案为：8如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH若B45，BC，则GH的最小值为 【答案】【解答】解：连接AF，如图所示：四边形ABCD是菱形，ABBC2，G，H分别为AE，EF的中点，GH是AEF的中位线，GHAF，当AFBC时，AF最小，GH得到最小

27、值，则AFB90，B45，ABF是等腰直角三角形，AFAB2，GH，即GH的最小值为，故答案为：9如图，菱形ABCD的边长为4，ADC120，点E是AD上一动点（不与点A，D重合），点F是CD上一动点，且AE+CF4，则BEF面积的最小值为 【答案】3【解答】解：连接BD，菱形ABCD边长为4，BAD60；ABD与BCD为正三角形，FDBEAB60，AE+CF4，DF+CF4，AEDF，ABBD，BDFBAE（SAS），BEBF，ABEDBF，EBFABD60，BEF是等边三角形，当BEAD时，BEF的面积最小，此时BE2，边BE上的高为23，BEF面积的最小值3故答案为：310如图，在菱形A

28、BCD中，B60，BC4，动点E，F分别在线段AB，AD上，且BEAF则EF长度的最小值等于 【答案】2【解答】解：如图，连接AC，四边形ABCD是菱形，ABBC4，ADBC，B60，ABC是等边三角形，ACBC，ACB60，ADBC，CAFACB60，BCAF，在BCE和ACF中，BCEACF（SAS），CECF，BCEACF，ACF+ACEBCE+ACEACB60，CEF是等边三角形，EFCE，当CE最小时，EF也最小，当CEAB时，CE最小，此时BCE90B30，BEBC2，CE2，EF的最小值为2，故答案为：211如图，在菱形ABCD中，D60，AD10点E是菱形ABCD内一点，则AE

29、+BE+CE的最小值等于 【答案】10【解答】解：旋转BEC到BFG，旋转角为60，则BEBF，ECFG，EBF60，EBF是等边三角形，BEEF，AE+BE+CE的最小值就是线段AG的长，ABBG，ABG120，BAGBGA30，四边形ABCD是菱形，AD10，AB10，AG10sin60210210，故答案为：1012如图，在菱形ABCD中，AB6，ABC60，M为AD中点，P为对角线BD上一动点，连接PA和PM，则PA+PM的最小值是 【答案】3【解答】解：作点M关于BD的对称点N，交CD于点N，连接AN，则AN就是PA+PM的最小值，在菱形ABCD中，AB6，ABC60，M为AD中点，

30、ACBD，ADC60，DADC，点N为CD的中点，DAC是等边三角形，ANCD，ACADAB6，AN3，故答案为：313已知四边形ABCD为菱形，BAD60，AB6cm，P为AC上任一点，则PD+PA的最小值是 cm【答案】3【解答】解：过P点作PHAB，四边形ABCD为菱形，BAD60，DAC30，PHPA，又菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于AC对称，连接PB则PDPB，PD+PAPD+PH即当P，D，H三点在同一直线时，PD+PAPH取最小值BAD60，ADAB6，ABD是等边三角形，过D点作DHAB，AHBH3，在ADH中，DH，即 最小值为3故答案为：314如图，在菱形ABCD

31、中，AB6，B60，点G是边CD边的中点，点E、F分别是AG、AD上的两个动点，则EF+ED的最小值是 【答案】3【解答】解：如图作DHAC垂足为H与AG交于点E，四边形ABCD是菱形，ABADCDBC6，B60，ADCB60，ADC是等边三角形，AG是中线，GADGAC点H关于AG的对称点F在AC上，此时EF+ED最小DH在RTDHC中，DHC90，DC6，CDHADC30，CHDC3，DH3，EF+DE的最小值DH3故答案为315如图所示，在边长为2的菱形ABCD中，DAB60，点E为AB中点，点F是AC上一动点，则EF+BF的最小值为 （提示：根据轴对称的性质）【答案】【解答】解：连接DB，DE，设DE交AC于M，连接MB，DF，四边形ABCD是菱形，AC，BD互相垂直平分，点B关于AC的对称点为D，FDFB，FE+FBFE+FDDE只有当点F运动到点M时，取等号（两点之间线段最短），ABD中，ADAB，DAB60，ABD是等边三角形E为AB的中点，DEAB，AEAD1，DE，EF+BF的最小值为