专题01 平行四边形（5种模型与解题方法）原卷版.docx

1、专题01 平行四边形（5种模型与解题方法）目录题型一：中点四边形 题型二：正方形中的十字架模型题型三：四边形中的对角互补模型 题型四：与正方形有关三垂线 题型五：正方形与45角的基本图题型一：中点四边形“中点四边形”，也叫瓦里尼翁平行四边形，是顺次连接四边形各边中点而组成的四边形，是四边形的内接四边形的一种特殊情况，一般有以下三种形态：（原四边形ABCD依次是：凸四边形，凹四边形，折四边形）（一）中点四边形一定是平行四边形1. 当原四边形对角线相等时，其中点四边形为菱形2. 当原四边形对角线垂直时，其中点四边形为矩形3. 当原四边形对角线垂直且相等时，其中点四边形为正方形（二）中点四边形的周长

2、等于原四边形对角线之和（三）中点四边形的面积等于原四边形面积的二分之一一选择题（共5小题）1（2023春栖霞区校级期中）如图，点、分别是任意四边形中、的中点，要使四边形是菱形，那么至少应满足的条件是ABCD2（2023春高港区期中）如图，在四边形中，、分别是边、的中点请你添加一个条件，使四边形为菱形，应添加的条件是ABCD3（2023春海州区期中）如图，在四边形中，、分别是、的中点，要使四边形是矩形，则四边形只需要满足一个条件是AB四边形是菱形CD4（2023春盱眙县期中）如图，分别是，的中点，且，下列结论：四边形是菱形；若，则；其中正确的个数是A1个B2个C3个D4个5（2023春南京期中）

3、如图，在四边形中，、分别是线段、的中点，要使四边形是菱形，需添加的条件是ABCD二填空题（共3小题）6（2023春大丰区期中）如图，已知矩形的对角线的长为，顺次连结各边中点、得四边形，则四边形的周长为 7（2023春梁溪区校级期末）如图，在四边形中，对角线，若，则四边形各边中点连线构成的四边形的面积是8（2023春苏州期中）如图，四边形是边长为3的菱形，对角线，点，分别为边，中点，顺次连接，则四边形的面积为 三解答题（共4小题）9（2023春徐州期中）如图，、为菱形各边中点（1）求证：四边形为矩形；（2）若，则10（2023春靖江市期中）如图1，分别是四边形各边的中点，且，（1）试判断四边形的

4、形状，并证明你的结论；（2）如图2，依次取，的中点，再依次取，的中点，以此类推，取，的中点，根据信息填空：四边形的面积是 ；若四边形的面积为，则；试用表示四边形的面积 11（2023春姜堰区期中）如图，在四边形中，点、分别是、的中点，连接、（1）求证：四边形是平行四边形；（2）当对角线与满足什么关系时，四边形是菱形，并说明理由12（2023春盐城期中）阅读理解，我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形中，分别是边，的中点，依次连接各边中点得到中点四边形（1）这个中点四边形的形状是 ；（2）如图2，在四边形中，点在上且和为等边三角形，、分别为、的中点，试判断

5、四边形的形状并证明题型二：正方形中的十字架模型一选择题（共2小题）1（2022春海门市校级期中）如图，、分别是正方形的边、上的点，且，、相交于点，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）中正确的有A4个B3个C2个D1个2（2022春江苏无锡八年级校考期末）如图，将边长为3的正方形ABCD纸片沿EF折叠，点C落在AB边上的点G处，点D与点H重合，CG与EF交于点P，取GH的中点Q，连接PQ，则GPQ的周长最小值是（）ABCD二填空题（共2小题）3（2023春宿豫区期中）如图所示，将正方形放在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的坐标为，则点的坐标为 4（2023春建邺区校级期末）如图，四边形，四边

6、形分别是菱形与正方形若，则三解答题（共2小题）5（2022春吴中区校级期中）如图，正方形中，点，分别为，边上的点，且，连接，求证：6（2023春淮安期末）问题情境：苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第（1）题是这样一个问题：如图1，在正方形中，点、分别在边、上，且，垂足为那么与相等吗？（1）直接判断：（填“”或“” ；在“问题情境”的基础上，继续探索：问题探究：（2）如图2，在正方形中，点、分别在边、和上，且，垂足为那么与相等吗？证明你的结论；问题拓展：（3）如图3，点在边上，且，垂足为，当在正方形的对角线上时，连接，将沿着翻折，点落在点处四边形是正方形吗？请说明理由；若，点在上，直接写

7、出的最小值为 题型三：四边形中的对角互补模型模型1:全等形一-90对角互补模型模型2:全等形-120对角互补模型模型 3:全等形一一任意角对角互补模型模型4:相似形一-90对角互补模型（后面会学到）一选择题（共1小题）1（2023春金湖县期中）如图，是的对角线，点在上，则是ABCD二解答题（共3小题）2（2020春通山县期末）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形理解：（1）在你所学过四边形中，满足等补四边形定义的四边形是 ；画图：（2）如图1，在正方形网格中，线段的端点在格点上（小正方形的顶点），请你画出1个以格点为顶点，为边的等补四边形；探究：（3）如图2，在等补四边形中，连

8、接，是否平分？请说明理由3（2023春分宜县期末）我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“完美四边形”（1）在平行四边形，菱形，矩形，正方形中，一定为“完美”四边形的是 （请填序号）；（2）在“完美”四边形中，连接如图1，求证：平分；小明通过观察、实验，提出以下两种想法，证明平分想法一：通过，可延长到，使，通过证明，从而可证平分；想法二：通过，可将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，可证，三点在一条直线上，从而可证平分请你参考上面的想法，帮助小明证明平分；如图2，当，用等式表示线段，之间的数量关系，并证明4（2021秋丹阳市期末）四边形若满足，则我们称该四边形为“对角互补四边形”（1）四边形

9、为对角互补四边形，且，则的度数为 ；（2）如图1，四边形为对角互补四边形，求证：平分小云同学是这么做的：延长至，使得，连，可证明，得到是等腰直角三角形，由此证明出平分，还可以知道、三者关系为：；（3）如图2，四边形为对角互补四边形，且满足，试证明：平分；（4）如图3，四边形为对角互补四边形，且满足，则、三者关系为：题型四：与正方形有关三垂线 一、单选题1（2022秋江苏八年级专题练习）如图，四边形AFDC是正方形，和都是直角，且E，A，B三点共线，则图中阴影部分的面积是（）A12B10C8D6二、填空题2（2023春八年级课时练习）如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点

10、B、D作BFa于点F，DEa于点E，若DE8，BF5，则EF的长为_三、解答题3（2022春广东东莞八年级塘厦初中校考期中）四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EFDE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG（1）如图，求证：矩形DEFG是正方形；（2）若AB4，CE2，求CG的长度；（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40时，直接写出EFC的度数4（2021春安徽安庆八年级统考期末）如图1，点E为正方形ABCD内一点，AEB90，将RtABE绕点B按顺时针方向旋转90（即EBE90），得到CBE（点A的对应点为点C）延长AE交CE

11、于点F，连接DE（1）试判断四边形BEFE的形状，并说明理由（2）如图2，若DADE，请猜想线段CF于FE的数量关系并加以证明（3）如图1，若AB，CF3，请直接写出DE的长5（2021春山西八年级统考期末）综合与实践：如图1，在正方形中，连接对角线，点O是的中点，点E是线段上任意一点（不与点A，O重合），连接，过点E作交直线于点F（1）试猜想线段与的数量关系，并说明理由；（2）试猜想线段之间的数量关系，并说明理由；（3）如图2，当E在线段上时（不与点C，O重合），交延长线于点F，保持其余条件不变，直接写出线段之间的数量关系6（2022春新疆省直辖县级单位八年级校联考期末）如图，点是正方形的边

12、上的任意一点（不与、重合），与正方形的外角的角平分线交于点(1)求证：(2)将图放在平面直角坐标系中，如图，连、，与交于点，若正方形的边长为，则四边形的面积是否随点位置的变化而变化？若不变，请求出四边形的面积(3)在的（2）条件下，若，求四边形的面积题型五：正方形与45角的基本图 一、填空题1（2021春江苏南京八年级校考期中）如图，在正方形ABCD中，点M、N为边BC和CD上的动点（不含端点），下列三个结论：当MNMC时，则；2；MNC的周长不变；AMNAMB60其中正确结论的序号是_二、解答题2（2023春江苏八年级专题练习）如图所示，正方形中，点E，F分别为BC，CD上一点，点M为EF上

13、一点，M关于直线AF对称（1）求证：B，M关于AE对称；（2）若的平分线交AE的延长线于G，求证：3（2023春江苏八年级专题练习）（1）如图，在正方形中，、分别是、上的点，且，连接，探究、之间的数量关系，并说明理由；（2）如图，在四边形中，、分别是、上的点，且，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由 4（2023春江苏八年级专题练习）如图所示，正方形中，点E，F分别为BC，CD上一点，点M为EF上一点，D，M关于直线AF对称连结DM并延长交AE的延长线于N，求证：5（2023春江苏八年级专题练习）如图1，在正方形中，E是上一点，F是延长线上一点，且（1）求证：；（2）在图1中，若G在上，

14、且，则成立吗？为什么？（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在直角梯形中，E是上一点，且，求的长如图3，在中，则的面积为_（直接写出结果，不需要写出计算过程）6（2023春江苏八年级专题练习）如图正方形的边、在坐标轴上，已知点将正方形绕点顺时针旋转一定的角度（小于），得到正方形，交线段于点，的延长线交线段于点，连接、（1）求的度数（2）当时，求点的坐标（3）在（2）的条件下，直线上是否存在点，使以、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由7（2023春江苏八年级专题练习）已知正方形，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交、于点M、N，于

15、点H（1）如图，当时，可以通过证明，得到与的数量关系，这个数量关系是_；（2）如图，当时，（1）中发现的与的数量关系还成立吗？说明理由；（3）如图，已知中，于点H，求的长8（2023春江苏八年级专题练习）已知四边形ABCD是正方形，一个等腰直角三角板的一个锐角顶点与A点重合，将此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线BC，CD于M，N(1)如图1，当M，N分别在边BC，CD上时，求证：BM+DN=MN(2)如图2，当M，N分别在边BC，CD的延长线上时，请直接写出线段BM，DN，MN之间的数量关系 (3)如图3，直线AN与BC交于P点，MN=10，CN=6，MC=8，求CP的长9（2023春江苏八

16、年级专题练习）已知：四边形为正方形，是等腰，（1）如图：当绕点旋转时，若边、分别与、相交于点、，连接，试证明：（2）如图，当绕点旋转时，若边、分别与、的延长线相交于点、，连接试写出此时三线段、的数量关系并加以证明若，求：正方形的边长以及中边上的高10（2023春江苏八年级专题练习）已知正方形ABCD，EAF45，将EAF绕顶点A旋转，角的两边始终与直线CD交于点E，与直线BC交于点F，连接EF（1）如图，当BFDE时，求证：ABFADE；（2）若EAF旋转到如图的位置时，求证：AFBAFE；（3）若BC4，当边AE经过线段BC的中点时，在AF的右侧作以AF为腰的等腰直角三角形AFP，直接写出点P到直线AB的距离