专题01 有理数及其运算（解析版）.docx

1、专题01 有理数及其运算思维导图核心考点聚焦1.正负数，相反意义的量.2.求一个数的相反数，绝对值，倒数.3.科学记数法表示大于1的数.4.有理数的混合运算.5.用数轴上的点表示有理数.6.有理数运算的实际应用.7.根据点在数轴上的位置判断式子的正负.8.借着数轴化简绝对值.9.绝对值非负性的应用.10.分类讨论化简绝对值.11.数轴上的动点问题中的追及问题.12.数轴上的动点问题中的最值问题.一、有理数1正数和负数的概念大于0的数叫做正数，在正数前面加负号“-”，叫做负数，一个数前面的“+”“-”号叫做它的符号0既不是正数也不是负数0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数2具有

2、相反意义的量一般地，对于具有相反意义的量，我们可以把其中一种意义的量规定为正的，并用正数来表示，把与它意义相反的量规定为负的，并用负数来表示3有理数的概念正整数、零和负整数统称整数；正分数和负分数统称分数；整数和分数统称有理数4有理数的分类按整数和分数的关系分类；按正有理数、零和负有理数的关系分类二、数轴1数轴的概念与画法数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴数轴的画法：在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点，通常规定直线上从原点向右为正方向，从原点向左为负方向；选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，；从原点向左用类似的方

3、法依次表示-1，-2，-3，.2数轴上的点与有理数之间的关系每个有理数都可以用数轴上的一点来表示，也可以说每个有理数都对应数轴上的一点；一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示-a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度.三、相反数1相反数的概念及表示方法相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数相反数的表示方法：一般地，a和-a互为相反数，这里的a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是零特别地，一个数的相反数等于它本身，这个数是零.2相反数的性质若a与b互为相反数，那么a+b=0.3多重符号的化简与“+”个数无关，有奇数个“-”

4、号结果为负，有偶数个“-”号，结果为正4相反数的几何意义从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等四、绝对值1绝对值的定义一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作.2绝对值的性质一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是03绝对值的非负性根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若，则=0且=0五、有理数的加法1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫做有理数的加法2.法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较

5、大的绝对值减去较小的绝对值互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数要点：利用法则进行加法运算的步骤：(1)判断两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则(2)确定和的符号(是“+”还是“”)(3)求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)3.运算律：有理数加法运算律加法交换律文字语言两个数相加，交换加数的位置，和不变符号语言a+bb+a加法结合律文字语言三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变符号语言(a+b)+ca+(b+c)要点：交换加数的位置时，不要忘记符号六、有理数的减法1.定义： 已知两个数的和与其

6、中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，例如：(-5)+?7，求？减法是加法的逆运算要点：（1）任意两个数都可以进行减法运算 （2）几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：性质符号；数字（即数的绝对值）2.法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：要点： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数如：七、有理数加减混合运算将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算.八、有理数的乘法1.有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（2）任何数同0相乘，都得0要点：（1）不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值

7、相乘 （2）当因数中有负号时，必须用括号括起来，如-2与-3的乘积，应列为(-2)(-3)，不应该写成-2-32. 有理数的乘法法则的推广：（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正；（2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0要点：（1）在有理数的乘法中，每一个乘数都叫做一个因数(2)几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘(3)几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0反之，如果积为0，那么至少有一个因数为03. 有理数的乘法运算律：（1）乘法交换律：两个数相乘，交

8、换因数的位置，积相等，即：abba（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等即：abc(ab)ca(bc)（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加即：a(b+c)ab+ac九、有理数的除法1.倒数的意义： 乘积是1的两个数互为倒数要点：(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是，-2和是互相依存的；(2)0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数；(3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数；(4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)2. 有理数除法法则：法则一：除以一个不等于0的数，

9、等于乘这个数的倒数，即.法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除0除以任何一个不等于0的数，都得0.要点：（1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些（2）因为0没有倒数，所以0不能当除数（3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值十、有理数的乘除混合运算由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果十一、有理数的加减乘除混合运算有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的十二、有理数乘方和科学记数法1有理数乘方的概念求n个

10、相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂即有：.在中，叫做底数， n叫做指数.2有理数乘方的运算（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值3偶次乘方的非负性任何一个数的偶次幂都是非负数，即4含乘方的混合运算有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行5科学记数法的表示（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a10n的形式，其中a是

11、整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法（科学记数法形式：a10n，其中1a10，n为正整数）（2）规律方法总结：科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号6近似数的表示“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差绝对值的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些1.有理数运算注意事项.要点：（1）

12、在交换因数的位置时，要连同符号一起交换（2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘如abcdd(ac)b一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加如a(b+c+d)ab+ac+ad（3）运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把运算律“逆用”2.化简绝对值：3.点在数轴上的追及问题考点剖析考点一、正负数，相反意义的量.例1：九章算术中有注：“今两算得失相反，要令正负以名之”意思是：“今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数”如果高于海平面260米记为米，那么低于海平面300米应记为

13、【答案】米【解析】由高于海平面260米记为米可得，低于海平面300米记作米故答案：米考点二、求一个数的相反数，绝对值，倒数.例2：2的相反数是 ，3的绝对值是 【答案】；【解析】2的相反数是，3的绝对值是3故答案为：，考点三、科学记数法表示大于1的数.例3：截止到12月12日16时45分，“嫦娥四号”探测器在经过约396000秒的奔月飞行后，达到月球附近，数字396000用科学记数法可表示为（）ABCD【答案】D【解析】故选D考点四、有理数的混合运算.例4：计算：(1)；(2)；(3)；(4)【解析】（1）；（2）；（3）；（4）考点五、用数轴上的点表示有理数.例5：点A、B在数轴上的位置如图

14、所示：(1)点A表示的数是_，点B表示的数是_；(2)在数轴上表示下列各数：0，；(3)把（1）（2）中的六个有理数用“”号连接起来【解析】（1）根据数轴可知，点A表示的数是，点B表示的数是，故答案为：，；（2）在数轴上表示各数如下所示：（3）各数大小关系排列如下：考点六、有理数运算的实际应用.例6：有8筐白菜，以每筐25千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下：编号与标准质量的差值（单位：千克）(1)8筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？(2)与标准重量比较，8筐白菜总计超过或不足多少千克？(3)若白菜每千克售价2元，则出售这8筐白菜可卖多少元？【解析】（1）（千

15、克）答：筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐重千克（2）（千克）答：与标准质量比较，筐白菜总计不足千克（3）解：这筐白菜的总重量为：（千克），若白菜每千克售价元，则这筐白菜总共可卖（元）答：若白菜每千克售价元，则出售这8筐白菜可卖元考点七、根据点在数轴上的位置判断式子的正负.例7：若有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）ABCD【答案】D【解析】因为，所以，故选项A错误，不符合要求；，故选项B错误，不符合要求；，故选项C错误，不符合要求；，故选项D正确，符合要求；故选D考点八、借着数轴化简绝对值.例8：若数轴上的点A、B、C分别表示有理数a，b，c，O为原点，如图所示(1)用“

16、”或“”填空：0，0，0；(2)化简【解析】（1）由图可得：，且，所以， ，；故答案为，；（2）因为，所以考点九、绝对值非负性的应用.例9：已知，则的值是（）ABCD1【答案】A【解析】因为，所以，所以，所以故选A考点十、分类讨论化简绝对值.例10：（1）若，；若，；（2）若，则 ；（3）若，则 【答案】（1）1，；（2）1；（3）1或【解析】（1）因为，所以，所以；因为，所以，所以，故答案为：1，；（2）因为，所以，所以，所以，故答案为：1；（3）因为，所以a，b，c符号有两种情况：一个负数、两个正数；三个负数当a，b，c中有一个负数、两个正数时，不妨设，则；当a，b，c中有三个负数时，故答

17、案为：1或考点十一、数轴上的动点问题中的追及问题.例11：如图：在数轴上，点A对应的数是，点B对应的数是16，两动点M、N同时从原点O出发，点M以每秒1个单位的速度沿数轴向点B运动；点N以每秒3个单位的速度沿数轴向左运动，到达点A后停留1秒，再从点A沿数轴向右到达点B后停止运动设点M的运动时间为秒(1)当时，线段的长为_（直接填空）；当时，线段的长为_（直接填空）；(2)在运动过程中，当点M与点N重合时，求t的值；(3)当线段的长为7时，直接写出t的值【解析】（1）解：当时，点M表示的数为，点N表示的数为，所以；当时，点N表示的数为，点M表示的数为，所以；故答案为：4，3；（2）解：由题意得，

18、当点M与点N重合时，点N肯定是在从A向B的运动过程中，此时运动t秒后，点N表示的数为，点M表示的数为，所以，解得；（3）解：当点N向点A运动的过程时，由题意得，解得，不符合题意；当点N在点A停留时，由题意得，解得，不符合题意；当点N从点A向点B运动过程中，且点N没有追上M时，由题意得，解得，不符合题意；当点N从点A向点B运动过程中，且点N追上M，且点N为到达点B前，由题意得，解得；当点N从点A向点B运动过程中，且点N到达点B后停止运动，由题意得，解得；综上所述，或考点十二、数轴上的动点问题中的最值问题.例12：我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的

19、重要思想方法例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与1所对应的点之间的距离（）发现问题：代数式的最小值是多少？（）探究问题：如图，点A，B，P分别表示数1，2，x，AB3，因为的几何意义是线段PA与PB的长度之和，所以当点P在线段AB上时，PAPB3；当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PAPB3；所以的最小值是3请你根据上述自学材料，探究解决下列问题：(1)的最小值是_；(2)当a为何值时，代数式的最小值是2【解析】（1）因为.如图，表示点到点的距离与点到点的距离之和，当点在线段上时，当点在点的左侧或点的右侧时，所以的最小

20、值是5；（2）因为数轴上表示数2的点到表示数4的点的距离为，数轴上表示数6的点到表示数4的点的距离也为，因此当为或时，原式的最小值是过关检测一、选择题1在跳远测试中，小明的成绩为2.1米，记作米若小亮的成绩记作米，则小亮的成绩为（）A1.4米B1.6米C1.8米D1.9米【答案】A【解析】由题意可得标准为（米），因为小亮的成绩记作米，所以小亮的成绩为（米），故选A22023年我国高校毕业生高达1158万人，其中474万本科毕业生为了提升自己的学历，好凭借更高的学历，跨过更高的职业门槛，选择报考研究生，请用科学记数法表示报考研究生的人数（）ABCD【答案】D【解析】474万，故选D3下列算式正确

21、的是（）ABCD【答案】B【解析】A、，故原题计算错误；B、，故原题计算正确；C、，故原题计算错误；D、，故原题计算错误；故选B4如图，点表示数，点表示数，下列结论中正确的是（）ABCD【答案】C【解析】由数轴知，所以，；故选C5下列说法中正确的个数是（）若，则x，y都为负数；已知，则的值不可能为0；若，则的大小关系是；若a，b，c为有理数，且，则的值为A0个B1个C2个D3个【答案】A【解析】若，则x，y异号，且负数的绝对值较大，故说法错误；已知，不妨设，则，故说法错误；若，则的大小关系是，故说法错误；由题知a，b，c为三个不为0的有理数，且，所以a，b，c中负数有2个，正数有1个，所以，所

22、以的值为1，故说法错误所以说法中正确的个数是0故选A二、填空题6化简： ；的相反数是 ；比较大小 【答案】；【解析】；因为，所以相反数是；因为，所以故答案为：，7早在公元前5世纪我国春秋战国初期，魏国的相国李悝就在法经一书中用“不足”来表示亏空如果盈余250两记作两，那么亏空100两记作 两【答案】【解析】因为盈余250两记作两，所以亏空100两记作两，故答案为：8如图，点A，B，C在数轴上对应的数为a，b，c，A，B两点间的距离表示为，B，C两点间的距离表示为若，则的值是 【答案】【解析】因为所以点关于原点对称，对应的数字b，c互为相反数，因为所以因为，所以，所以故答案为：9细菌是靠分裂进行

23、生殖的，也就是1个细菌分裂成2个细菌，分裂完的细菌长大以后又能进行分裂例如，图中所示为某种细菌分裂的电镜照片，显示这种细菌每20分钟就能分裂一次1个这种细菌经过3个小时可以分裂成 个细菌【答案】512【解析】3小时=180分钟，（次）即1个这种细菌经过3个小时可以分裂成的细菌个数为：故答案为：51210如图所示，将圆的周长分为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数1所对应的点重合，再让圆沿着数轴按逆时针方向滚动，那么数轴上的数-2024将与圆周上的数字_重合【答案】1【解析】由题意可得，-20244=-506，因为由数轴可得：数轴上的1对应

24、圆周上的0，所以数轴上的0对应圆周上的1，所以-2024将与圆周上的数字1重合，故答案为：1三、计算题11计算：(1)；(2) ；(3)；(4)【解析】（1）；（2）；（3）；（4）12已知有理数：0,(1)在数轴上表示这些有理数；(2)将上述有理数用“”连接起来；(3)将上述有理数填入下图中相应的圆圈内（每个数只能写在一个对应区域内）【解析】（1）在数轴上表示这些有理数如图所示：；（2）；（3）负数集合为：，整数集合为：，正数集合为：，如图所示：13为实施乡村振兴战略，零陵区委区政府打造特色经济作物产业，根据我区地域优势发展种植“四季水果园”黄田铺镇的万亩纽荷尔脐橙便是其中精品项目之一，纽荷

25、尔脐橙质优价美，深受大家喜爱下面是小明家种植的一块地所采摘的袋脐橙，小明在记录重量时采用了如下记录方法，以千克为标准，超过或不足部分分别用正，负数表示，记录如下：与标准质量差值袋数(1)请求出袋脐橙中最重一袋比最轻一袋重_千克；(2)与标准质量相比，袋脐橙总质量超过或不足多少千克？(3)若这批脐橙每千克售价为元，那么这袋脐橙可卖多少元？【解析】（1）因为，所以20袋脐橙中，最重的一袋比最轻的一袋重：（千克），故答案为：4；（2）（千克），答：与标准质量相比，20袋脐橙总质量不足6千克；（3）（元）答：这20袋脐橙可卖2470元14我们知道数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，利用数轴

26、及绝对值知识结合数形结合、分类讨论思想可以解决一些问题求解下列问题：(1)若时，的值为_；(2)若成立，则_；(3)若，则_；(4)当式子取最小值时，相应的x的取值范围是_，最小值是_【解析】（1）时，故答案为：；（2）表示数轴上数a的点到的距离与到9的距离相等，因为与9的距离为，所以中点到的距离为7，所以，所以，故答案为：2；（3）因为，所以a，b，c符号有两种情况：一个负数、两个正数；三个负数不妨设，则；当，时，；综上可得：的值为0或，故答案为：0或；（4）表示数轴上数x的点到的距离与到4的距离之和，当时，距离和最小，为到4的距离，此时距离为，故答案为：；715【阅读材料】若数轴上点、点表

27、示的数分别为，（），则，两点间的距离可表示为，记作【解决问题】一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2个单位长度到达点，再向右移动10个单位长度到达点(1)请画出数轴，并在数轴上标出，两点的位置；(2)若动点，分别从点，同时出发，沿数轴向左运动已知点的速度是每秒1个单位长度，点的速度是每秒2个单位长度，设移动时间为秒（）用含的代数式表示：秒时，点表示的数为_，点表示的数为_；为何值时，点表示的数与点表示的数互为相反数？为何值时，两点之间的距离为4？【解析】（1）如图：；（2）秒时，点表示的数为，点表示的数为；故答案为：，；由题意得，解得；由题意得，即，所以或，解得或16如图，已知数轴上两点A，B

28、表示的数分别为，6(1)两点间的距离为_；(2)代数式取最小值时，相应的的取值范围是_；当= 时，代数式的最小值是2；代数式的最小值为_；(3)点C表示的数是4，点A以2个单位/秒的速度沿着数轴的正方向一直运动，点C同时以1个单位/秒的速度也沿着数轴的正方向运动，但点C到达B点处立刻返回沿着数轴的负方向运动，设点A运动的时间为t，在此过程中存在t使得点A到点C的距离等于2，请求出t的值【解析】（1）由题意知，两点间的距离为，故答案为：8；（2）由题意知，代数式的意义为：表示的点到，两点距离的和，所以当在与之间，值最小，所以相应的的取值范围是；故答案为：；由的意义可知，表示的点到，两点距离的和，因为的最小值为2，所以，当时，解得，当时，解得；故答案为：或；的意义为：表示的点到，9三点距离的和，所以当与重合时，的值最小，为，故答案为：11；（3）由题意知，点A表示的数为，点到达B点的时间为秒，所以当时，点表示的数为，所以，解得（舍去）；当时，点表示的数为，所以，当时，解得；当时，解得；综上，t的值为和4