专题01集合（教师版含解析）备战2021年高中数学联赛之1981-2020年高中数学联赛一试试题分专题训练.docx

1、备战 2021 年高中数学联赛之历年真题汇编(1981-2020)专题 01 集合历年联赛真题汇编 1【2008 高中数学联赛(第 01 试)】设 A=2，4)，B=x|x2ax40，若 BA，则实数 a 的取值范围为()A1,2)B2,2C0,3D0,3)【答案】D【解析】因为2 4=0有两个实根1=2 4+24,2=2+4+24，故 等价于 x12 且 x24，即2 4+24 2且2+4+24 4，解之得0 0，a，bN，且 ABN=2，3，4，则整数对(a，b)的个数为()A.20B.25C.30D.42【答案】C【解析】由5 0得 5，由6 0得 6，要使 N=2,3,4，则1 6 2

2、4 5 5，即 6 1220 25.所以数对(a，b)共有6151=30个.故选 C.4【2005 高中数学联赛(第 01 试)】记集合 T=0，1，2，3，4，5，6，M=17+272+373+474|,=1,2,3,4，将 M 中的元素按从大到小的顺序排列，则第 2005 个数是()A57+572+673+374B57+572+673+274C17+172+073+474D17+172+073+374【答案】C【解析】用12 表示 k 位 p 进制数，将集合 M 中的每个数乘以 74，得=1 73+2 72+3 7+4|,=1,2,3,4=12347|,=1,2,3,4，M中的最大数为66

3、667=240010，在十进制数中，从 2400 起，从大到小顺序排列的第 2005 个数是2400 2004=396，而39610=11047，将此数除以 74，便得 M 中的数是17+172+073+474.故选：C.5【2004 高中数学联赛(第 01 试)】已知=(,)|2+22=3，N=(x，y)|y=mx+b.若对所有 mR，均有 MN，则 b 的取值范围是()A 62,62 B(66,62)C(233,233)D233,233【答案】A【解析】由 相当于点(0，b)在椭圆2+22=3上或它的内部.所以223 1，所以 62 62.故选 A.6【2002 高中数学联赛(第 01 试

4、)】知两个实数集合=1,2,100与=1,2,50，若从 A 到 B 的映射f 使得 B 中每个元素都有原象，且(1)(2)(100)，则这样的映射共有()AC10050BC9948CC10049DC9949【答案】D【解析】不妨设1 2 0，所以 M 含有 2 个元素.故集合 M 有 22=4 个子集.8【2000 高中数学联赛(第 01 试)】设全集是实数，若=|2 0，=|1022=10，则 是()A2B1C|2D【答案】D【解析】由 2 0得 x=2，注意到 A 中只有一个元素，于是将 x=2 代入 B，方程成立，故 =.(注：这样思考，即使 B 更复杂一些，计算起来都很简单)9【19

5、98 高中数学联赛(第 01 试)】若非空集合 A=x|2a+1x3a5，B=x|3x22，则能使 成立的所有 a 的集合是()A|1 9B|6 9C|9D【答案】B【解析】由题意得 ，所以2+1 33 5 223 5 2+1，解得6 9.10【1993 高中数学联赛(第 01 试)】集合 A，B 的并集 =1,2,3，当 AB 时，(A，B)与(B，A)视为不同的对，则这样的(A，B)对的个数有A8B9C26D27【答案】D【解析】已知 =1,2,3，则作为其子集的 A，B 最多只有 3 个元素.(1)若=1,2,3，则满足题意的 B 可以是空集，或是单元素的集合，或是二元素的集合，或是三元

6、素的集合，这样的 B 有C30+C31+C32+C33=23个，这时(A，B)有C33 23对.(2)若 A 为二元素的集合，则有32种，其对应的 B 的 23 个(C20+C21+C22=22)，这时(A，B)有32 22对.(3)若 A 为单元素的集合，则有31种，其对应的 B 有 2 个，这时(A，B)有C31 2对.(4)若 A 是空集，则有30种，其对应的 B 有一个.这时(A，B)有C30 1对.所以这样的(A，B)共有C33 23+C32 22+C31 2+C30 20=33=27个，因此答案是 D.11【1991 高中数学联赛(第 01 试)】设 S=(x，y)|x2y2=奇数

7、，x，yR，T=(x，y)|sin(22)sin(22)=cos(22)cos(22)，x，yR.则()A B C=D =【答案】A【解析】当 y2=x2+奇数时，易见sin(22)sin(22)=cos(22)cos(22)成立.故当(,)时，它必属于 T，于是 ST，又满足 x=y 的点(,)但不属于 S.故 ST12【1990 高中数学联赛(第 01 试)】点集(,)|lg(3+13 3+19)=lg+lg中元素的个数为()A0B1C2D多于 2【答案】B【解析】由lg(3+13 3+19)=lg+lg得3+13 3+19=(0,0).由均值不等式3+13 3+19 33(13 3)19

8、=，当且仅当3=1913 3=19，上式等号成立，解方程得=193,=133.故点集中有唯一点为(193,133).13【1989 高中数学联赛(第 01 试)】若=|=1+i1+,1,0，=|=2cos(arcsin)+icos(arccos),|1，则 MN 中元素的个数为()A0B1C2D4【答案】A【解析】M 中的点在曲线:=1+=1+(,0,1)上，N 中的点在曲线:=2(1 2)=2(,|1)上，曲线 M 和 N 的普通方程是:=1(0,1)，:2+2=2(0 2).于是曲线 M 和 N 的交点在横坐标满足2+12=2，即=1，显见 =.14【1989 高中数学联赛(第 01 试)

9、】集合=|=12+8+4,，=|=20+16+12,，的关系为()A=B ,C D 【答案】A【解析】对 N 中任一元素 u，有=20+16+12=12+8(2)+4(5).从而 .另一方面，对 M 中任一元素 u，有=12+8+4=20+16+12().从而 .故=.15【1982 高中数学联赛(第 01 试)】如果凸 n 边形 F(n4)的所有对角线都相等，那么()AF四边形BF五边形CF四边形五边形DF边相等的多边形内角相等的多边形【答案】C【解析】由正五边形所有的对角线都相等，可见选项 A 不正确.任作两条等长的相交线段 AC 和 BD，这样所得的四边形 ABCD 对角线相等，可见选项

10、 B不正确.其实，选项 A 与选项 B 都是选项 C 的真子集，可不必考虑，因若选项 A 或选项 B 成立，则选项 C 必成立.显然，联结两条等长且相交的线段端点所得的四边形未必边相等或内角相等，又得到选项 D 不正确16【1982 高中数学联赛(第 01 试)】设=(,)|=1,0，=(,)|arctan+arccot=.那么()A =(,)|=1B =C =D =(,)|=1,且,不同时为负数.【答案】B【解析】由arctan+arccot=即arctan=arccot.所以tanarctan=tan(arccot)，因此=1 如果式成立，当 x0，y0 时，有arctan (0,2),a

11、rccot (0,2)，可知式成立；当 x0 时，有arctan (2,0),arccot (2,)，可知式不成立所以=(,)|=1,0.而=(,)|=1 或 1,0.所以 ，因此 =.17【2020 高中数学联赛 B 卷(第 01 试)】设集合=1,2,20,A 是 X 的子集,A 的元素个数至少是 2,且 A 的所有元素可排成连续的正整数,则这样的集合 A 的个数为.【答案】190【解析】每个满足条件的集合 A 可由其最小元素 a 与最大元素 b 唯一确定,其中 a,bX,ab,这样的(,)的取法共有202=190种,所以这样的集合 A 的个数为 190.18【2019 高中数学联赛 A

12、卷(第 01 试)】若实数集合1，2，3，x的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则 x 的值为.【答案】32【解析】假如 x0，则最大、最小元素之差不超过 max3，x，而所有元素之和大于 max3，x，不符合条件.故x0，即 x 为最小元素.于是 3x=6+x，解得=32.19【2019 高中数学联赛 B 卷(第 01 试)】已知实数集合1，2，3，x的最大元素等于该集合的所有元素之和，则x 的值为.【答案】3【解析】条件等价于 1，2，3，x 中除最大数以外的另外三个数之和为 0.显然 x0，从而 1+2+x=0，得 x=3.20【2018 高中数学联赛 A 卷(第 01 试

13、)】设集合 A=1，2，3，99，=2|,=|2 ，则 BC 的元素个数为.【答案】24【解析】由条件知，=2,4,6,198 12,1,32,2,992 =2,4,6,48，故 BC 的元素个数为 24.21【2018 高中数学联赛 B 卷(第 01 试)】设集合 A=2，0，1，8，B=2a|aA则 AB 的所有元素之和是.【答案】31【解析】易知 B=4，0，2，16，故 AB=0，1，2，4，8，16.AB 的所有元素之和是 0+1+2+4+8+16=31.22【2014 高中数学联赛(第01 试)】设集合3+|1 2中的最大元素与最小元素分别为 M，m，则 的值为.【答案】5 23【

14、解析】由1 2知3+31+2=5，当 a=1，b=2 时，得最大元素 M=5，又3+3+23 =23，当=3时，得最小元素=23.因此 =5 23.23【2013 高中数学联赛(第 01 试)】设集合 A=2，0，1，3，集合 B=x|xA，2x2A.则集合 B 中所有元素的和为.【答案】5【解析】易知 2,0,1,3，当 x=2，3 时，2x2=2，7，有2 2 ；而当 x=0，1 时，2x2=2，1，有 2x2A.因此，根据集合 B 的定义可知=2,3.所以，集合 B 中所有元素的和为5.24【2011 高中数学联赛(第 01 试)】设集合=1,2,3,4，若 A 中所有三元子集的三个元素

15、之和组成的集合为 B=1，3，5，8，则集合 A=.【答案】3，0，2，6【解析】显然，在 A 的所有三元子集中，每个元素均出现了三次，所以3(1+2+3+4)=(1)+3+5+8=15，故1+2+3+4=5.于是集合 A 的四个元素分别为5 (1)=6，5 3=2，5 5=0，5 8=3.因此，集合 A=3，0，2，6.25【2003 高中数学联赛(第 01 试)】已知A=x|x24x+30，xR，B=x|21x+a0，x22(a+7)x+50，xR.若 ，则实数 a 的取值范围是.【答案】4 1【解析】易得 A=(1，3)，设()=21+，()=2 2(+7)+5，要使 ，只需 f(x)，

16、g(x)在(1，3)上的图像均在 x 轴下方其充要条件是：同时有(1)0,(3)0,(1)0,(3)0.由此推出4 1.26【1996 高中数学联赛(第 01 试)】集合|1 log110 12,的真子集的个数是.【答案】290 1【解析】首先考察该集合元素的个数.对 xN，有1 log110 12，所以2 lg1 1，则1 lg 2，因此10 100.于是集合大小是 90，于是真子集个数是290 1.27【1995 高中数学联赛(第 01 试)】设 M=1，2，3，1995，A 是 M 的子集且满足条件：当 xA 时，15xA，则 A 中元素的个数最多是.【答案】1870【解析】用()表示集

17、合 A 所含元素的个数.由题设，k 与 15k(k=9，10，133)这两个数中至少有一个不属于 A，所以至少有 125(125=1339+1)个数不属于 A，即()1995 125=1870.另一方面，可取=1,2 ,8 134,135 ,1995，A 满足题设条件，此时()=1870.所以()的最大值就是 1870.引申对于这种集合问题，一般的解决办法就是作出若干个数对，每个数对里至多有一个数包含在集合里.比如，如果题目条件说集合里任两个数之差不为 a，则可将两个差为 a 的数分成一组，则此组中至多有一个数在集合里；如果题目条件说集合里任两个数之和不为 a，则可将两个和为 a 的数分成一组

18、，则此组中至多有一个数在集合里；如果题目条件说集合里任两个数之积不为 a，则可将两个积为 a 的数分成一组，则此组中至多有一个数在集合里.总之，掌握这种原则之后，将不难解决这种问题.28【1991 高中数学联赛(第 01 试)】将正奇数集合1，3，5，由小到大按第 n 组有 2n1 个奇数进行分组：1(第一组)，3，5，7(第二组)，9，11，13，15，17(第三组)，则 1991 位于第组中.【答案】32【解析】因为1+3+5+(2 1)=2，故第 n 组最后一个数即第 n2 个奇数为 2n21，可见有不等式2(1)2+1 1991 22 1.由前一不等式(1)2 995，故需 32，由后

19、一不等式，需满足22 1992，32，故=32.29【1991 高中数学联赛(第 01 试)】设集合 M=1，2，1000，现对 M 的任一非空子集 X，令 ax 表示 X 中最大数与最小数之和，那么，所有这样的 ax 的算术平均值为.【答案】1001【解析】将 M 中非空子集进行配对，对每个非空集 ，令=1001|，则当 X1 也是 M 的一非空子集，且 XX 时，有 1.于是所有非空子集分成两类：(1)XX；(2)=.对于情形(2)中的 X，必有 ax=1001.对于情形(1)中的一对 X 与 X，有+=1001 2=2002.由此可见，所有 ax 的算术平均值为 1001.优质模拟题强化

20、训练 1已知=(,)|2，=(,)|2+()2 1.则使 =成立的充要条件是().A 54.B=54.C 1.D0 0，知方程有两个不相等的实数根，则 M 有 2 个元素，得集合 M 有22=4个子集.选 C.4集合 A=2,0,1,3，集合 B=x|-xA,2-x2A，则集合 B 中所有元素的和为()A4B5C6D7【答案】B【解析】由题意可得 B=-2，-3，则集合 B 中所有元素的和为-5.故选：B.5已知集合=1,2,3,4,5，=2,3,4,5,6则集合=(,)|,，且关于的方程2+2+2=0有实根的元素个数为()A7B8C9D10【答案】D【解析】由题意得=42 42 0 元素个数

21、为0+1+2+3+4=10,选 D.6集合=|log2 2的真子集个数为()A7B8C15D16【答案】C【解析】log2 2，所以 0 0.解得 0,3).故答案为 D9设集合=|,|+3|+|+6|=3，则集合为()A|6,或3B|6,或 3C|6,或3D|6,或 3【答案】D【解析】因为|+3|+|+6|=3,所以由绝对值的几何意义得-6x-3.则=|6 3.故=|6,或 3.选 D.10已知集合=|=sin(23)6,=|=cos3,，则,的关系是()A B=C D =【答案】B【解析】易由周期性知=1,12.11在复平面上，任取方程100 1=0的三个不同的根为顶点组成三角形，则不同

22、的锐角三角形的数目为_.【答案】39200【解析】易知100 1=0的根在单位圆上，且相邻两根之间弧长相等，都为2100，即将单位圆均匀分成 100 段小弧.首先选取任意一点 A 为三角形的顶点，共有 100 种取法.按顺时针方向依次取顶点 B 和顶点 C，设 AB 弧有 x 段小弧，CB 弧有 y 段小弧，AC 弧有 z 段小弧，则ABC 为锐角三角形的等价条件为：+=1001 ,49 +=970 ,48 计算方程组的整数解个数，记 1=|+=97,49，2=|+=97,49，3=|+=97,49，=(,)|+=97,0，则|1 2 3|=|1 2 3|=C992 (|1|+|2|+|3|+

23、|1 2 3|)=C992 3C502=1176.由于重复计算 3 次，所以所求锐角三角形个数为10011763=39200.故答案为：39200 12已知集合 A=k+1，k+2，k+n，k、n 为正整数，若集合 A 中所有元素之和为 2019，则当 n 取最大值时，集合 A=_.【答案】334，335，336，337，338，339【解析】由已知2+12 =3 673.当 n=2m 时，得到(2+2+1)=3 673 =3,=6,=333；当 n=2m+1 时，得到(+1)(2+1)=3 673 =1,=3.所以 n 的最大值为 6，此时集合=334,335,336,337,338,339

24、.故答案为：334,335,336,337,338,339 13已知 yz0，且集合2x，3z，xy也可以表示为y，2x2，3xz，则 x=_.【答案】1【解析】易知 xyz0，由两集合各元素之积得62=63,=1.经验证，x=1 符合题意.故答案为：1 14已知实数 2，且=|2 ，=|=2+3,，=|=2,.若 ，则的取值范围是_。【答案】12,3【解析】由题意知=1,2+3.要使 ，只需集合中的最大元素在集合中.故(2)2 2+3,2 2+312 3.15称1,2,3,4,5,6,7,8,9的某非空子集为奇子集：如果其中所有数之和为奇数，则奇子集的个数为_.【答案】256【解析】全集1，

25、2，3，9中含有 5 个奇数、4 个偶数.根据奇子集的定义知，奇子集中只能含有 1 个奇数、3 个奇数、5 个奇数，而偶数的个数为 0、1、2、3、4 都有可能.所以，奇子集共有：51(40+41+44)+53(40+41+44)+55(40+41+44)=(51+53+55)(40+41+44)=(5+10+1)24=256个.故答案为：256 16已知集合 U=1，2，3，4，5，=|，从集合 I 中任取两个不同的元素 AB，则 AB 中恰有 3 个元素的概率为_.【答案】562【解析】当 AB 确定后，如 AB=3，4，5时，设 A=A3，4，5，B=B3，4，5，AB=，那么A，B的情

26、况有：，1，2，1，2，1，2，共 4 种情形.所以所求的概率为C534C322=10423231=562.故答案为：562 17已知()=2 2，集合=|()=0，则集合 A 中所有元素的和为_.【答案】4【解析】将方程 f(f(x)=0 化为 f(x2-2x)=0，即(2 2)2 2(2 2)=0，所以(2 2)(2 2 2)=0.解得1=0,2=2,3=1 3,4=1+3.所以=0,2,1 3,1+3，A 中所有元素的和为 4.故答案为：4 18将集合1，2，19中每两个互异的数作乘积，所有这种乘积的和为_.【答案】16815【解析】所求的和为12(1+2+19)2 (12+22+192

27、)=12(36100 2470)=16815.故答案为：16815 19已知=|log3(2 2)1,=(,(,+)其中 ab，如果 AB=R，那么 ab 的最小值是_.【答案】1【解析】由已知得=1,0)(2,3，故 ba1，于是 1.故答案为：1 20设 A 为三元集合(三个不同实数组成的集合)，集合 B=x+y|x，yA，xy，若=log26,log210,log215，则集合 A=_.【答案】1,log23,log25【解析】设=log2,log2,log2，其中 0abc.则 ab=6，ac=10，bc=15.解得 a=2，b=3，c=5，从而=1,log23,log25.故答案为：1,log23,log25