专题02 双曲线及其性质-直击2021年高考中的圆锥曲线问题（理科数学）.docx

1、专题02 双曲线及其性质一、双曲线的定义1平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距2关于“小于|F1F2|”：若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；若将“小于|F1F2|”改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹不存在3若将“绝对值”去掉，其余条件不变，则动点的轨迹只有双曲线的一支4若常数为零，其余条件不变，则点的轨迹是线段F1F2的中垂线二、双曲线的标准方程1双曲线两种形式的标准方程焦点所在

2、的坐标轴x轴y轴标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形焦点坐标F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)a，b，c的关系式a2b2c22.焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上3双曲线的焦点位置不确定时可设其标准方程为Ax2By21(AB0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xa，yRya或ya，xR对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点坐标A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)实轴和虚轴线段A1A2叫作双曲线的实轴；线段B

3、1B2叫作双曲线的虚轴渐近线yxyx离心率e，e(1，)四、双曲线的离心率双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率，记为e，其取值范围是(1，)e越大，双曲线的张口越大五、等轴双曲线的概念和性质实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线等轴双曲线具有以下性质：（1）方程形式为；（2）渐近线方程为，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角；（3）实轴长和虚轴长都等于，离心率技巧1 求双曲线的标准方程例1、求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)a4，经过点A；(2)经过点(3,0)，(6，3)考点双曲线的标准方程的求法题点待定系数法求双曲线的标准方程解(1)当焦点在x轴上时，设所求标准方程为1

4、(b0)，把A点的坐标代入，得b20)，把A点的坐标代入，得b29，所求双曲线的标准方程为1.(2)设双曲线的方程为mx2ny21(mn0)由题意，得解得因此所求双曲线的标准方程为1.(2)设所求双曲线方程为(0)由点M(3，2)在双曲线上，得，2.故所求双曲线的标准方程为1.(3)当所求双曲线的焦点在x轴上时，可设其方程为(0)，将点(2,0)的坐标代入方程得，故所求双曲线的标准方程为y21；当所求双曲线的焦点在y轴上时，可设其方程为(0)，将点(2,0)的坐标代入方程得0，b0)因为e，所以a2，则b2c2a25，故所求双曲线的标准方程为1.方法二因为椭圆焦点在x轴上，所以可设双曲线的标准

5、方程为1(160，b0)焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为1(a0，b0)与双曲线1共焦点的双曲线方程可设为1(0，b20，b0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|PF2|3b，|PF1|PF2|ab，则该双曲线的离心率为()A. B. C. D3考点双曲线的简单性质题点求双曲线的离心率的值答案B解析考虑双曲线的对称性，不妨设P在右支上，则|PF1|PF2|2a，而|PF1|PF2|3b，两式等号左右两边平方后相减，得|PF1|PF2|.又已知|PF1|PF2|ab，ab，得(负值舍去)该双曲线的离心率e.引申探究若本例条件“|PF1|PF2|3b，|PF1|PF2|ab”改为“

6、若PF1PF2，且PF1F230”，结果如何？解作出满足题意的几何图形(如图)，设点P在双曲线右支上PF1PF2，|F1F2|2c，且PF1F230，|PF2|c，|PF1|c.又点P在双曲线的右支上，|PF1|PF2|(1)c2a，e1.反思感悟求双曲线离心率的常见方法(1)依据条件求出a，c，再计算e.(2)依据条件建立参数a，b，c的关系式，一种方法是消去b转化为离心率e的方程求解，另一种方法是消去c转化成含的方程，求出后，利用e求解技巧4 直线与双曲线的位置关系例4、 已知曲线C：x2y21和直线l：ykx1.(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；(2)若l与C交于A、B

7、两点，O是坐标原点，且AOB的面积为，求实数k的值思路分析第一步，审题审结论明确解题方向，求k的值或k的取值范围，应利用条件建立k的方程或不等式求解；审条件发掘解题信息，直线与曲线交于不同两点，可利用判别式法求解，AOB的面积为，可利用割补法和根与系数的关系求解第二步，建立联系，探寻解题途径第(1)问，可将l与C的方程联立，消元利用0求k的取值范围；第(2)问可由A、B向x轴作垂线，将三角形面积转化为梯形与三角形面积的差或和用直线AB与y轴的交点，分割为两个三角形面积的和，利用根与系数的关系求解第三步，规范解答解析(1)由，消去y整理，得(1k2)x22kx20.由题意知，解得k且k1.所以实

8、数k的取值范围为(，1)(1,1)(1，)(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)得x1x2，x1x2.又直线l恒过点D(0，1)，则SOAB|x1x2|.所以(x1x2)2(x1x2)24x1x2(2)2，即()28.解得k0或k，由(1)知上述k的值符合题意，所以k0或k.1方程1表示双曲线，则m的取值范围是()A(2，1) B(2，)C(，1) D(，2)(1，)考点双曲线的标准方程题点已知方程判断曲线的类型答案A解析由题意可知，(2m)(m1)0，2m1.反思感悟将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为1，则当mn1，则关于x，y的方程(1k)x2y2k21所表

9、示的曲线是()A焦点在x轴上的椭圆 B焦点在y轴上的椭圆C焦点在y轴上的双曲线 D焦点在x轴上的双曲线考点双曲线的标准方程题点已知方程判断曲线的类型答案C解析原方程化为1，k1，k210，k10.方程所表示的曲线为焦点在y轴上的双曲线3平面内，到两定点F1(3,0)、F2(3,0)的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹是()A椭圆B线段 C双曲线 D两条射线解析由题意可知|MF1|MF2|6，|F1F2|6，|F1F2|，因此点M的轨迹是两条射线4已知F1，F2分别为双曲线C：x2y21的左、右焦点，点P在C上，F1PF260，则|PF1|PF2|等于()A1 B4 C6 D8考点双曲线的定义题

10、点双曲线的焦点三角形答案B解析设|PF1|m，|PF2|n，由余弦定理得|F1F2|2m2n22mncosF1PF2，即m2n2mn8，(mn)2mn8，mn4，即|PF1|PF2|4.5椭圆1与双曲线1有相同的焦点，则a的值是_考点双曲线性质的应用题点双曲线与椭圆结合的有关问题答案1解析由a0,0a24，且4a2a2，可解得a1.6若双曲线的离心率为，则实数m=_【答案】2【解析】，所以，解得【名师点睛】本题主要考查的是双曲线的标准方程和双曲线的简单几何性质，属于基础题解题时要注意、的关系，即，以及当焦点在轴时，哪些量表示，否则很容易出现错误最后根据离心率的公式计算即可.7若kR，方程1表示

11、焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围是()A3k2 Bk3Ck2 Dk2考点双曲线的标准方程题点已知方程判断曲线的类型答案A解析由题意知，k30且k20，3k0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为P是C上一点，且F1PF2P若PF1F2的面积为4，则a=（ ）A1B2C4D8【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.【详解】，根据双曲线的定义可得，即，即，解得，故选：A.【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.4（2019年新课标全国II卷理数）设F为双曲线C：（a0

12、，b0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点若|PQ|=|OF|，则C的离心率为（ ）A B C2 D【答案】A【解析】【分析】准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率【详解】设与轴交于点，由对称性可知轴，又，为以为直径的圆的半径，为圆心，又点在圆上，即，故选A【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来5（2019年新课标全国III卷理数

13、）双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则PFO的面积为（ ）ABC D【答案】A【解析】【分析】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题【详解】由，又P在C的一条渐近线上，不妨设为在上，故选A【点睛】忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的高，便可求三角形面积6（2019年天津卷）已知抛物线的焦点为，准线为.若与双曲线的两条渐近线分别交于点A和点B，且（为原点），则双曲线的离心率为（ ）ABC2D【答案】D【解析】【分析】只需把用表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率【详解】抛物线的准线的方程为，双曲线的渐近线方程为，则有，故选D【点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB的长度今天错在哪里啦？_