专题03 分段函数（含解析）-2021-2022学年高一数学重难点手册（函数的概念与性质篇人教A版2019必修第一册）.docx

1、专题03 分段函数知识点分段函数的定义及本质分段函数的定义及本质(1)定义：分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数(2)本质：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集【提醒】 (1)分段函数是一个函数而不是几个函数解决分段函数问题时，要先确定自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系(2)作分段函数的图象时，应根据不同定义域上的解析式分别作出，再将它们组合在一起得到整个分段函数的图象(3)分段函数在书写时要用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且指明各段函数自变量的取值范围【基

2、础自测】1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)分段函数由几个函数构成()(2)分段函数有多个定义域 ()(3)函数的图象一定是其定义域上的一条连续不断的曲线 ()(4)函数f(x)|x|可以用分段函数表示 () 【答案】（1）（2）（3）（4）2f(x)|x1|的图象是 ()【答案】B【解析】f(x)|x1|当x1时，f(1)0，可排除A、C.又x1时，f(1)2，排除D.3函数y的定义域为_，值域为_【答案】(，0)(0，)2(0，)4已知函数f(x)则f(2)_.给出下列三组函数，其中表示同一函数的是_(填序号)f(x)x，g(x)；f(x)2x1，g(t)2t1；f(x)x，g(

3、x).【解析】1【解析】f(2)1.题型一分段函数的定义域、值域【例1】(1)已知函数f(x)，则其定义域为()ARB(0，) C(，0) D(，0)(0，)(2)函数f(x)的定义域为_，值域为_【答案】(1)D(2)(1,1)(1,1)【解析】(1)要使f(x)有意义，需x0，故定义域为(，0)(0，)(2)由已知得定义域为x|0x10x|1x0x|1x1，即(1,1)又0x1时，0x211；1x0时，1x210；x0时，f(x)0.故值域为(1,0)0(0,1)(1,1)【方法技巧】求分段函数定义域、值域的策略(1)分段函数的定义域是各段函数定义域的并集；(2)分段函数的值域是各段函数值

4、域的并集；(3)绝对值函数的定义域、值域通常要转化为分段函数来解决【变式训练】1函数f(x)的值域是 ()AR B0，) C0,3 D0,23【答案】D【解析】当x0,1时，f(x)2x20,2，所以函数f(x)的值域为0,22,30,232已知函数f(x)求函数f(x)的定义域和值域【解析】由已知定义域为1,1(1，)(，1)R.又x1,1时，x20,1，故函数的值域为0,1题型二分段函数求值问题【例2】已知函数f(x)(1)求f(5)，f()，f的值；(2)若f(a)3，求实数a的值；(3)若f(x)2x，求x的取值范围【解析】(1)由5(，2，(2,2)，(，2，知f(5)514，f()

5、()22()32.f1，且22，不合题意，舍去；当2a2x可化为x12x，即x1，所以x2；当2x2x可化为x22x2x，即x0，所以2x2x可化为2x12x，则x.综上可得，x的取值范围是x|x0或0x2【方法技巧】1求分段函数函数值的方法(1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间(2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止当出现f(f(x0)的形式时，应从内到外依次求值2已知函数值求字母取值的步骤(1)先对字母的取值范围分类讨论(2)然后代入到不同的解析式中(3)通过解方程求出字母的值(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内【变式训练】1求函数值设f(x)则f(f(2)_.【答案】2【解析】

6、f(2)(2)24，f(f(2)f(4)422.2求自变量的值函数f(x)若f(x0)8，则x0_.【解析】当x02时，f(x0)x28，即x6，x0或x0(舍去)；当x02时，f(x0)x08，x010.综上可知，x0或x010.3分段函数与不等式已知函数f(x)则不等式f(x)f(1)的解集是_【解析】作出函数f(x)的图象如图所示，令f(x)f(1)，得x3,1,3，所以当f(x)f(1)时，必有x(3,1)(3，)题型三分段函数的图象及应用【例3】(1)已知f(x)的图象如图所示，求f(x)的解析式(2)已知函数f(x)1(2x2)用分段函数的形式表示函数f(x)；画出函数f(x)的图

7、象；写出函数f(x)的值域【解析】(1)当0x1时，f(x)1；当1x2时，设f(x)kxb(k0)，则解得此时f(x)x2.综上，f(x)(2)当0x2时，f(x)11，当2x0时，f(x)11x.所以f(x)函数f(x)的图象如图所示由知，f(x)在(2,2上的值域为1,3)【方法技巧】1由分段函数的图象确定函数解析式的步骤【方法技巧】2作分段函数图象的注意点作分段函数的图象时，定义域内各分界点处的取值情况决定着图象在分界点处的断开或连接，特别注意端点处是实心点还是空心圈【变式训练】 1.由函数的图象确定其解析式已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是_【答案】【解析】由图可知

8、，图象是由两条线段组成，当1x2时，由2x08，得x04.x04.10已知函数f(x)1(2x2)(1)用分段函数的形式表示函数f(x)；(2)画出函数f(x)的图象；(3)写出函数f(x)的值域【解析】(1)当0x2时，f(x)11，当2x0时，f(x)11x.所以f(x)(2)函数f(x)的图象如图所示(3)由(2)知，f(x)在(2,2上的值域为1,3)11(多选)已知函数f(x)关于函数f(x)的结论正确的是()Af(x)的定义域为RBf(x)的值域为(，4)C若f(x)3，则x的值是Df(x)1的解集为(1,1)【答案】BC【解析】由题意知函数f(x)的定义域为(，2)，故A错误；当

9、x1时，f(x)的取值范围是(，1，当1x2时，f(x)的取值范围是0,4)，因此f(x)的值域为(，4)，故B正确；当x1时，x23，解得x1(舍去)当1x2时，x23，解得x或x(舍去)，故C正确；当x1时，x21，解得x1，当1x2时，x21，解得1x1，因此f(x)1的解集为(，1)(1,1)，故D错误故选B、C.12已知f(x)则不等式xf(x)x2的解集是()Ax|x1Bx|x2Cx|0x1Dx|x0【答案】A【解析】当x0时，f(x)1，xf(x)x2x1，所以0x1；当x0时，f(x)0，xf(x)x2x2，所以x0，综上，x1.13(一题两空)根据统计，一名工人组装第x件某产

10、品所用的时间(单位：分)为f(x)(A，c为常数)已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是_，_.【答案】6016【解析】因为组装第A件产品用时15分钟，所以15.由题意知4A，且30.由解得c60，A16.14如图所示，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)(1)求f(f(0)的值；(2)求函数f(x)的解析式【解析】(1)直接由图中观察，可得f(f(0)f(4)2.(2)设线段AB所对应的函数解析式为ykxb(k0)，将与代入，解得得y2x4(0x2)同理，线段BC所对应的函数解析式为yx2

11、(2x6)f(x)15甲、乙两车同时沿某公路从A地出发，驶往距离A地300 km的B地，甲车先以75 km/h的速度行驶，在到达A，B中点C处停留2 h后，再以100 km/h的速度驶往B地，乙车始终以v(单位：km/h)的速度行驶(1)将甲车距离A地的距离f(t)(单位：km)表示为离开A地的时间t(单位：h)的函数，求出该函数的解析式并画出函数的图象；(2)若两车在途中恰好相遇两次(不包括A，B两地)试求乙车行驶速度v的取值范围【解析】(1)f(t)它的图象如图所示：(2)由已知，得乙车离开A地的距离g(t)(单位：km)表示为离开A地的时间t(单位：h)的函数为g(t)vt，其图象是一条线段，如图所示由图象，知当此线段经过点(4,150)时，v；当此线段经过点时，v.故当v时，两车在途中恰好相遇两次(不包括A，B两地)，即v的取值范围是.