专题04 一元二次方程根的判别式的应用及根与系数的关系的应用（解析版）.docx

1、专题04 一元二次方程根的判别式的应用及根与系数的关系的应用（解析版）类型一 根的判别式的应用（1）利用判别式判断方程根的情况1（2022济源校级模拟）定义运算：mnmn2mn1例如：424224211则方程2x0的根的情况为（）A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根C没有实数根D以上结论都不对思路引领： 已知等式利用题中的新定义化简，再利用根与系数的关系确定出方程解的情况即可解：根据题中的新定义化简得：2x2x24x10，b24ac（4）242（1）16+8240，方程有两个不相等的实数根故选：A总结提升： 此题考查了根的判别式，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键2（2022

2、春平潭县期末）对于任意实数k，关于x的方程x22（k+5）x+2k2+4k+500的根的情况为（）A有两个相等的实数根B无实数根C有两个不相等的实数根D无法判定思路引领： 先计算根的判别式的值得到4（k3）2640，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况解：4（k+5）24（2k2+4k+50）4（k3）2640，方程无实数根故选：B总结提升： 本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的根与b24ac有如下关系：当0时，方程有两个不相等的实数根；当0时，方程有两个相等的实数根；当0时，方程无实数根（2）利用判别式求字母系数的值或取值范围3（2021春文登区期中）已知关于x

3、的方程（k1）x2kx+20有两个实数解，求k的取值范围 思路引领： 根据二次项系数非零及根的判别式0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围解：关于x的方程（k1）x2kx+20有两个实数解，k10=(k)24(k1)20，且k0，解得：k87且k1，故答案为0k87且k1总结提升： 本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式0，列出关于k的一元一次不等式组是解题的关键4（2018南通）若关于x的一元二次方程12x22mx4m+10有两个相等的实数根，则（m2）22m（m1）的值为 思路引领： 根据根的判别式即可求出答案解：由题意可知：4m

4、22（14m）4m2+8m20，m2+2m=12，（m2）22m（m1）m22m+4=12+4=72，故答案为：72总结提升： 本题考查根的判别式，解题的关键是正确理解根的判别式的作用，本题属于基础题型（3）根据字母系数判断方程根的情况5（2022焦作模拟）在平面直角坐标系中，若直线y2x+m不经过第二象限，则关于x的方程x2+2x+m0的实数根的情况为（）A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根C没有实数根D无法判断思路引领： 先根据一次函数的性质得到m0，再计算根的判别式的意义得到0，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况解：直线y2x+m不经过第二象限，m0，224m44m0，方程有

5、两个不相等的实数根故选：A总结提升： 本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的根与b24ac有如下关系：当0时，方程有两个不相等的实数根；当0时，方程有两个相等的实数根；当0时，方程无实数根也考查了一次函数的性质6（2022秋福鼎市期中）对于一元二次方程ax2+bx+c0（a0），下列说法：若ab+c0，则它有一根为1；若方程ax2+c0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c0必有两个不相等的实根；若c是方程ax2+bx+c0的一个根，则一定有ac+b+10成立；若b2a+3c，则一元二次方程ax2+bx+c0有两个不相等的实数根；其中正确的 思路引领： 先计算出根的

6、判别式，再利用求根公式解方程可对进行判断；根据根的判别式的意义，由方程ax2+c0有两个不相等的实根得到4ac0，则可判断b24ac0，于是可对进行判断；由c是方程ax2+bx+c0的一个根得到ac2+bc+c0，只有c0时由ac+b+10，则可对进行判断；利用b2a+3c计算根的判别式得到4（a+c）2+5c20，则根据根的判别式的意义可对进行判断解：若ab+c0时，则ba+c，则b24ac（a+c）24ac（ac）2，x=b(ac)2a=(a+c)(ac)2a，解得x1=ca，x21，所以正确；若方程ax2+c0有两个不相等的实根，则4ac0，因为方程ax2+bx+c0的根的判别式b24a

7、c0，所以方程ax2+bx+c0必有两个不相等的实根，所以正确；若c是方程ax2+bx+c0的一个根，则ac2+bc+c0，当c0时，ac+b+10，所以错误；若b2a+3c，则b24ac（2a+3c）24ac4a2+8ac+9c24（a+c）2+5c20，所以一元二次方程ax2+bx+c0有两个不相等的实数根，所以正确；故答案为：总结提升： 本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的根与b24ac有如下关系：当0时，方程有两个不相等的实数根；当0时，方程有两个相等的实数根；当0时，方程无实数根类型二 根与系数关系的应用（1）利用根与系数关系求代数式的值7（2022秋电白区

8、期中）已知m、n是一元二次方程x2+x20220的两个实数根，则代数式m2+2m+n的值等于（）A2019B2020C2021D2022思路引领： 利用一元二次方程的解及根与系数的关系，可得出m2+m2022，m+n1，再将其代入m2+2m+nm2+m+（m+n）中，即可求出结论解：m是一元二次方程x2+x20220的实数根，m2+m20220，m2+m2022m，n是一元二次方程x2+x20220的两个实数根，m+n1，m2+2m+nm2+m+（m+n）202212021故选：C总结提升： 本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记“两根之和等于ba，两根之积等于ca”是解题的关键8

9、（2021秋余干县校级月考）已知，是一元二次方程x22020x+10的两个实数根，则代数式（2020）（2020） 思路引领： 根据根与系数的关系即可得出+2020，1，将代数式（2020）（2020）展开，再将+2020，1代入其中即可得出结论解：，是一元二次方程x22020x+10的两个实数根，+2020，1，（2020）（2020）20202020+20202（+）2020+20202120202020+202021故答案为：1总结提升： 本题考查了根与系数的关系，熟练掌握两根之和为ba、两根之积为ca是解题的关键9（2001咸宁）已知x1，x2是方程x22x20的两实数根，则代数式x2

10、x1+x1x2= 思路引领： 根据一元二次方程的根与系数的关系求得x1+x2=ba、x1x2=ca，然后将其代入由x2x1+x1x2变形后的代数式求值解：x1，x2是方程x22x20的两实数根，由韦达定理，得x1+x22，x1x22，x2x1+x1x2=(x1+x2)2x1x22=4224故答案是：4总结提升： 此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法10（2022秋新田县期中）若x1，x2是方程x24x20200的两个实数根，则代数式x122x1+2x2的值等于（）A2026B2027C2028D2029思路引领： 根据一元二次方程根与系数

11、的关系可知x1+x2=ba，x1x2=ca，将x122x1+2x2变形后得到2（x1+x2）x1x2，由此即可求解解：x1，x2是方程x24x20200的两个实数根，且a1，b4，c2020，x1+x2=ba=4，x1x2=ca=2020，x14x2，x122x1+2x2=x1(x12)+2x2，x1（4x22）+2x22x1x1x2+2x22（x1+x2）x1x2，2（x1+x2）x1x224（2020）2028，故选：C总结提升： 本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键11（2022秋罗庄区校级月考）阅读理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有

12、一项重大发现：如果一元二次方程ax2+bx+c0的两个根分别是x1和x2，那么x1+x2=ba，x1x2=ca例如：方程2x2+3x50的两根分别是x1和x2，则x1+x2=ba=32，x1x2=ca=52请同学们阅读后利用上述结论完成下列问题：（1）已知方程3x2711x的两根分别是x1和x2，则x1+x2113，x1x273；（2）已知方程x2+5x30的两根分别是x1和x2求x12+x22的值；求x125x2+1的值思路引领： （1）先把方程化为一般式，然后利用根与系数的关系求解；（2）利用根与系数的关系得到x1+x25，x1x23，利用完全平方公式得到x12+x22（x1+x2）22x

13、1x2，然后利用整体代入的方法计算；先根据一元二次方程根的定义得到x125x1+3，则x125x2+1变形为5（x1+x2）+4，然后利用整体代入的方法计算解：（1）3x211x70，x1+x2=113，x1x2=73；故答案为：113，x73；（2）根据根与系数的关系得x1+x25，x1x23，x12+x22（x1+x2）22x1x2（5）22（3）31；x1为方程x2+5x30的根，x12+5x130，x125x1+3，x125x2+15x1+35x2+15（x1+x2）+45（5）+429总结提升： 本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的两根时，

14、x1+x2=ba，x1x2=ca（2）利用根与系数关系求待定系数的值或取值范围12（2022秋荔湾区校级期末）已知关于x的一元二次方程x24mx+3m20（m0）的一个根比另一个根大2，则m的值为（）A2Bm0C1D0思路引领： 设方程的两根分别为t，t+2，利用根与系数的关系得到t+t+24m，t（t+2）3m2，利用代入消元法得到（2m1）（2m+1）3m2，然后解关于m的方程得到满足条件的m的值解：设方程的两根分别为t，t+2，根据题意得t+t+24m，t（t+2）3m2，把t2m1代入t（t+2）3m2得（2m1）（2m+1）3m2，整理得m210，解得m1或m1（舍去），所以m的值为

15、1法二：x24mx+3m2（xm）（x3m），关于x的一元二次方程x24mx+3m20（m0）的两根分别为x1m，x23m，且x2x1，x2x12m2，m1，故选：C总结提升： 本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的两根时，x1+x2=ba，x1x2=ca13（2019秋博白县期中）已知a3，m，n为x22ax+20的两个根，则（m1）2+（n1）2的最小值是 思路引领： 根据根与系数的关系即可求出答案解：由题意可知：m+n2a，mn2，原式（m1）2+（n1）2+2（m1）（n1）2（m1）（n1）（m1+n1）22（m1）（n1）（2a2）22（m

16、nmn+1）（2a2）22（22a+1）4a24a2，令y4a24a2，其对称轴为：a=12a3时，原式的最小值为22故答案为：22总结提升： 本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型14（2018秋海淀区校级期中）已知xy1，且有3x2+2018x+90及9y2+2018y+30，则xyx2+y2的值为（）A12018B2018C3D310思路引领： 把9y2+2018y+30两边都除以y2，得3（1y）2+20181y+90，从而知x、1y是3x2+2018x+90的两根，根据韦达定理可得答案解：9y2+2018y+30，3（1y）2+20181y+90，

17、则x、1y是3x2+2018x+90的两根，x1y=xy=3，x2+y2xy=xy+yx=3+13=103，xyx2+y2=310，故选：D总结提升： 本题考查了根与系数的关系根据已知条件得到x、1y是关于x的方程3x2+2018x+90的两根是解题的难点类型三 一元二次的判别式及根与系数关系的综合应用15（2021秋黔东南州期末）关于x的方程（x1）（x+2）p20（p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（）A两个正根B两个负根C一个正根，一个负根D无实数根思路引领： 先把方程（x1）（x+2）p2化为x2+x2p20，再根据b24ac1+8+4p20可得方程有两个不相等的实数根，由2p2

18、0即可得出结论解：关于x的方程（x1）（x+2）p20（p为常数），x2+x2p20，b24ac1+8+4p29+4p20，方程有两个不相等的实数根，根据根与系数的关系，方程的两个根的积为2p20，一个正根，一个负根，故选：C总结提升： 本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的两根时，x1+x2=ba，x1x2=ca也考查了根的判别式16（2022泰山区校级二模）如果关于x的一元二次方程x2+2x+6b0有两个相等的实数根x1x2k，则直线ykx+b必定经过的象限是（）A一、二、三B一、二、四C二、三、四D一、三、四思路引领： 由方程有两个相等的实数根可

19、得出根的判别式0，解之即可得出b值，由根与系数的关系可得出k的值，再结合一次函数图象与系数的关系即可得出直线ykx+b所经过的象限解：关于x的一元二次方程x2+2x+6b0有两个相等的实数根x1x2k，224（6b）0，2k2，k1，b5，直线ykx+b经过第一、二、四象限故选：B总结提升： 本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及一次函数图象上点的坐标，根据根的判别式结合根与系数的关系求出k、b的值是解题的关键17（2020秋岫岩县月考）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c0的两个根分别为x1，x2，利用一元二次方程的求根公式x1+x2=ba，x1x2=ca可得利用上述结论来解答下列问题

20、：（1）已知2x2x10的两个根为m，n，则m+n12，mn12；（2）已知关于x的一元二次方程x2（k1）xk+20有两个实数根x1，x2，若（x1+x2+2）（x1+x22）+2x1x22，求k的值思路引领： （1）根据方程的系数，利用根与系数的关系可得出m+n，mn的值；（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2k1，x1x22k，结合（x1+x2+2）（x1+x22）+2x1x22可得出关于k的一元二次方程，利用公式法解该方程即可得出k值，再将k值分别代入原方程中，验证根的判别式是否大于等于0解：（1）一元二次方程2x2x10的两个根为m，n，m+n=12，mn=12故答案为：12；12

21、（2）关于x的一元二次方程x2（k1）xk+20有两个实数根x1，x2，x1+x2k1，x1x22k（x1+x2+2）（x1+x22）+2x1x22，即（x1+x2）24+2x1x22，（k1）24+2（2k）2，整理，得：k24k+30，k=4(4)24132，k13，k21当k3时，原方程为x22x10，（2）241（1）8，k3符合题意；当k1时，原方程为x2+10，0241140，k1不符合题意，舍去k的值为3总结提升： 本题考查了根与系数的关系以及公式法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“x1+x2=ba，x1x2=ca”；（2）根据根与系数的关系结合（x1+x2+2）（x1+

22、x22）+2x1x22，找出关于k的一元二次方程18已知关于x的一元二次方程x2（2k+1）x+k2+k0（1）求证：无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两根x1、x2是斜边长为5的直角三角形两直角边长，求k的值思路引领： （1）先根据判别式的值得到1，然后根据判别式的意义可判断方程总有两个不相等的实数根；（2）根据根与系数的关系得到x1+x22k+1，x1x2k2+k，再根据勾股定理得到x12+x2252，接着利用完全平方公式变形得到（x1+x2）22x1x225，则（2k+1）22（k2+k）25，然后解方程后利用方程的两根为正数确定k的值（1）证明：（2k+1）24

23、（k2+k）10，所以无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）解：x1+x22k+1，x1x2k2+k，x12+x2252，（x1+x2）22x1x225，（2k+1）22（k2+k）25，整理得k2+k120，解得k13，k24，x1+x22k+10，x1x2k2+k0，k的值为3总结提升： 本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的两根时，x1+x2=ba，x1x2=ca，反过来也成立也考查了根的判别式19（2022秋郾城区期中）已知关于x的一元二次方程x2（2k+1）x+k2+k0（1）求证：方程有两个不相等的实数根：（2）若ABC的两边A

24、B、AC的长是这个方程的两个实数根，第二边BC的长为4，当ABC是等腰三角形时，求k的值思路引领： （1）先计算出1，然后根据判别式的意义即可得到结论；（2）先利用公式法求出方程的解为x1k，x2k+1，然后分类讨论：ABk，ACk+1，当ABBC或ACBC时ABC为等腰三角形，然后求出k的值（1）证明：（2k+1）24（k2+k）10，方程有两个不相等的实数根（2）解：10，ABAC，AB、AC中有一个数为4当x4时，原方程为：1642（k+1）+k2+k0，即k27k+120，解得：k13，k24当k3时，原方程为x27x+120，x13，x24由三角形的三边关系，可知3、4、4能围成等腰

25、三角形，k3符合题意；当k4时，原方程为x29x+200，解得：x14，x25由三角形的三边关系，可知4、4、5能围成等腰三角形，k4符合题意综上所述：k的值为3或4总结提升： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的根的判别式b24ac：当0，方程有两个不相等的实数根；当0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质20（2018秋嘉善县期末）已知实数a、b，满足a2（b2+1）+b（b+2a）40，a（b+1）+b8（1）求a+b和ab的值；（2）求1a2+1b2的值思路引领： （1）根据完全平方公式以及配方法即可求出答案（2）根据配

26、方法对该分式进行变形，然后将a+b与ab的值代入即可求出答案解：（1）由题意可知：a2b2+a2+2ab+b240，（a+b）2+a2b240，ab+a+b8，令a+bm，abn，m2+n240，m+n8，m2+（8m）240，解得：m2或m6，n6或n2，a+b2，ab6或a+b6，ab2；设a、b是方程x2mx+n0的两个实根，m24n，当m2，n6时，42420，当m6，n2时，3680，a+b6，ab2；（2）原式=a2+b2a2b2=(a+b)22aba2b2，当a+b6，ab2时，原式=36448总结提升： 本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则以及完全平方公式，本

27、题属于中等题型21（2020浙江自主招生）已知关于x的方程（a21）（xx1）2（2a+7）（xx1）+10有实根（1）求a取值范围；（2）若原方程的两个实数根为x1，x2，且x1x11+x2x21=311，求a的值思路引领： （1）设xx1=y，分两种情况讨论，方程为一元一次方程，方程为二元一次方程，那么有（a21）y2（2a+7）y+110，根据0即可求解；（2）设y1=x1x11，y2=x2x21，根据根与系数的关系即可求解解：（1）设xx1=y，则原方程化为：（a21）y2（2a+7）y+10 （2），当方程（2）为一次方程时，即a210，a1若a1，方程（2）的解为y=19，原方程的

28、解为x=18满足条件；若a1，方程（2）的解为y=15，原方程的解为x=14满足条件；a1当方程为二次方程时，a210，则a1，要使方程（a21）y2（2a+7）y+10 （2）有解，则（2a+7）24（a21）28a+530，解得：a5328，此时原方程没有增根，a取值范围是a5328综上，a的取值范围是a5328（2）设x1x11=y1，x2x21=y2，则则y1、y2是方程（a21）y2（2a+7）y+10的两个实数根，由韦达定理得：y1+y2=2a+7a21，y1+y2=311，2a+7a21=311，解得：a=83或10，又a5328，a10总结提升： 本题考查了根与系数的关系及根的

29、判别式，属于基础题，关键是掌握根与系数之间的关系进行解题22（2022秋城关区校级期中）阅读理解：材料1：对于一个关于x的二次三项式ax2+bx+c（a0），除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，爱思考的小川同学还想到了其他的方法：比如先令ax2+bx+cy（a0），然后移项可得：ax2+bx+（cy）0，再利用一元二次方程根的判别式来确定y的取值范围，请仔细阅读下面的例子：例：求x2+2x+5的取值范围；解：令x2+2x+5yx2+2x+（5y）044（5y）0y4x2+2x+54材料2：在学习完一元二次方程的解法后，爱思考的小川同学又想到仿造一元二次方程的解法来解决一元二次不等式的解集

30、问题，他的具体做法如下：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c0（a0）有两个不相等的实数根x1、x2（x1x2）则关于x的一元二次不等式ax2+bx+c0（a0）的解集为：xx1或xx2则关于x的一元二次不等式ax2+bx+c0（a0）的解集为：x2xx1请根据上述材料，解答下列问题：（1）若关于x的二次三项式x2+ax+3（a为常数）的最小值为6，则a6或6；（2）求出代数式3x2+6x213x的取值范围；（3）若关于x的代数式5mxnx2x+2（其中m、n为常数且m0）的最小值为4，最大值为7，请求出满足条件的m、n的值思路引领： （1）根据材料一设yx2+ax+3，化为x的一元二次方程

31、用0得y的范围，再列出a的方程求解；（2）设y=3x2+6x213x，用0求解，再根据材料二得到结论；（3）用0得到代数式值的不等式，已知代数式值的最大、最小值，实质是已知和这个不等式对应的方程的二根，代入便可以求解解：（1）设yx2+ax+3，变形为x2+ax+3y0，0，a24（3y）0可得y314a2，而由已知y6，故314a2=6，a6或a6（2）设y=3x2+6x213x，变形为3x2+（6+3y）x2y0，0，（6+3y）243（2y）0，化简得3y2+16y+200，先求出3y2+16y+200的二根y12，y2=103，根据材料二得y103或y2（3）设y=5mxnx2x+2，变形得yx2（y+5m）x+2y+n0，0，（y+5m）24y（2y+n）0，整理得7y2（10m4n）y25m20，由已知可得4y7，根据材料二知7y2（10m4n）y25m20的二根是y14，y27，代入整理得25m240m+16n112=025m2+70m28n343=0，解得m=145n=74或m=145n=494总结提升： 本题难度较大，主要考查阅读能力，能灵活运用阅读材料，涉及方程、不等式解的关系，对计算要求也较高