专题04 二次函数y=ax² bx c的图象与性质（知识串讲 9大考点）(原卷版）.docx

1、专题04 二次函数y=ax+bx+c的图象与性质 考点类型 知识串讲（一）一般式化为顶点式（配方法）利用配方法可以将y=ax2+bx+c转化为顶点式,即y =ax2+bx+c=a=a 顶点是（二）二次函数y=ax+bx+c的图像与性质a的符号a0a0图象开口方向向上向下对称轴顶点坐标增减性当x-时,y随x的增大而增大当x-时,y随x的增大而减小最值当时y最小值=当时y最大值=（三）待定系数法求解解析式形式内容适用条件一般式y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a0)当已知抛物线上任意三点坐标时,通常设函数的关系式为一般式,然后列出关于a、b、c的三元一次方程组求解顶点式y=a(x-h)2+k

2、(a、h、k为常数,a0),抛物线的顶点坐标为(h,k)当已知抛物线的顶点坐标、对称轴或最值时,通常设函数的关系式为顶点式,然后代入已知点的坐标,解方程交点式y=a(x-x1)(x-x2)(a、x1、x2为常数,a0),其中x1、x2是抛物线与x轴两交点的横坐标当已知抛物线与x轴的两交点坐标时,通常设函数的关系式为交点式,然后代入另一点的坐标,解关于a的一元一次方程（四）函数图像与各系数的关系a决定抛物线的开口方向及开口大小当a0时，抛物线开口向上；当a0时，抛物线开口向下.某些特殊形式代数式的符号：ab+c即为x=1时，y的值；4a2b+c即为x=2时，y的值.2a+b的符号，需判对称轴-与

3、1的大小.若对称轴在直线x=1的左边，则-1，再根据a的符号即可得出结果.2a-b的符号，需判断对称轴与-1的大小.a、b决定对称轴（x=-）的位置当a，b同号，-0，对称轴在y轴左边；当b0时，-=0，对称轴为y轴；当a，b异号，-0，对称轴在y轴右边c决定抛物线与y轴的交点的位置当c0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；当c0时，抛物线经过原点；当c0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上.b24ac决定抛物线与x轴的交点个数b24ac0时，抛物线与x轴有2个交点;b24ac0时，抛物线与x轴有1个交点;b24ac0时，抛物线与x轴没有交点 考点训练考点1：一般式化为顶点式典例1：（2023辽宁鞍

4、山统考一模）将抛物线y=x2+4x-4向下平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到抛物线的表达式为_【变式1】（2022春全国九年级专题练习）将y=x2-2x+3化成y=ax-h2+k的形式，则y=_【变式2】（2023春广东河源九年级校考阶段练习）抛物线y=-x2-2x+2的开口方向_，对称轴是_，顶点坐标是_【变式3】（2023四川成都统考一模）将二次函数y=2x2-8x+13化成y=a(x+h)2+k的形式为_考点2：求二次函数的顶点与对称轴（配方法、公式法）典例2：（2023湖南永州校考一模）二次函数y=x2-4x+3，当-1x4时，y的取值范围为_【变式1】（2022秋江苏淮安

5、九年级校考阶段练习）二次函数y=2x2+4x+3的最小值是_【变式2】（2023秋河南洛阳九年级统考期末）当x=_时，二次函数y=2x2+3x-1的函数值最大【变式3】（2023春江苏苏州九年级专题练习）二次函数y=2x2-8x+10x3的最小值是_，最大值是_考点3：二次函数y=ax+bx+c的图像与性质典例3：（2023山东德州统考一模）下表中列出的是二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值：x-2013y12-8-12-8下列各选项中，正确的是（）Aabc1时，y的值随x值的增大而增大【变式1】（2023河南省直辖县级单位校联考一模）已知点A-4,y1，B-3,y2，C

6、0,y3，D2,y4在二次函数y=ax2+4ax-6的图象上，若y1，y2，y3，y4四个数中有且只有一个数大于0，则a的取值范围为（）Aa12Ba12或a-2D-2a12【变式2】（2023秋九年级单元测试）二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，与x轴的交点坐标为1,0和-5,0，下列说法正确的是（）Ab2-4ac0时，y的值随x值增大而减小C对称轴是直线x=-3D9a-3b+c0时，y随x的增大而减小B当x-1时，y随x的增大面增大C图像在第三象限内，y随x的增大而增大D图像在第四象限内，y随x的增大而增大考点4：二次函数对称性的应用典例4：（2023浙江宁波统考一模）如图，二次函数

7、y=ax2+bx+ca0图象经过点A-1,-2，对称轴为直线x=1，则9a+3b+c的值是_【变式1】（2023春江苏常州九年级常州实验初中校考阶段练习）已知抛物线y=ax2+bx+c(a0)上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：x-1234y52510当x=-2时，y=_【变式2】（2023春江苏常州九年级校考期末）二次函数y=ax-12+h的图象经过点A0,4,Bm,4，则m=_【变式3】（2023春吉林长春九年级吉林省第二实验学校校考阶段练习）已知点Px1,y1，Qx2,y2在抛物线y=x2-6x+3上，且tx1t+2，6-tx28-t，若对于x1，x2，都有y10；a+b+c0；4

8、a+b=0；若点1,y1和3,y2在该图象上，则y1=y2，其中正确的结论是_（填序号）【变式2】（2023上海一模）如图所示的抛物线y=x2-bx+b2-9的图像，那么b的值是_【变式3】（2023秋江苏镇江九年级统考期末）已知二次函数y=ax2+bx+ca0，其中自变量x与函数值y之间满足下面的对应关系：x-1237y-1.54.8-1.5-12下列判断中，正确的是_（填序号）顶点是2,4.8；a0；b2-4ac1.5时，y随着x的增大而减小考点6：根据二次函数的图像判断式子的符号典例6：（2023山东菏泽统考二模）已知二次函数y=ax2+bx+ca0的图像如图所示，有5个结论：abc0；

9、ba+c；9a+3b+c0；c0；a13；对于任意实数m，都有mam+ba+b成立；若-2,y1，12,y2，2,y3在该函数图象上，y2y3y1，其中正确结论有_（填序号）【变式2】（2023山东枣庄统考二模）如图，抛物线y=ax2+bx+ca0交x轴于A-1,0，B3,0，交y轴的负半轴于C，顶点为D下列结论：bc0；当m1时，a+b4a；2a-b=1； a-b+c=0；5ab考点7：求二次函数的最值典例7：（2022秋九年级单元测试）若实数x、y满足方程：x2+y+3x-3=0，则x+y的最大值=_【变式1】（2023秋江苏泰州九年级统考期末）若x+y=2，则xy+1的最大值为_【变式2

10、】（2022秋浙江温州九年级校考阶段练习）已知二次函数y=x2-4x+1，当-1x4时，y的取值范围是_【变式3】（2023安徽合肥校考一模）已知二次函数y=-x2+mx+2-m，（1）当m=2时，二次函数y=-x2+mx+2-m的最大值为_（2）当-1x2时，二次函数y=-x2+mx+2-m的最大值为6，则m的值为_考点8：待定系数法求解析式一般式典例8：（2022秋九年级单元测试）已知二次函数y=ax2+bx-1的图像过A2，0和B4，5两点，则这个二次函数的表达式为_【变式1】（2022秋九年级单元测试）如果抛物线y=x2-k经过点1,-4，那么k的值是_【变式2】（2023湖南永州校考

11、一模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）的y与x的部分对应值如表x-113y3-33当x=2时，函数值为_【变式3】（2023秋江苏淮安九年级统考期末）已知二次函数y=x2+x+m的图像过点1,4，则m的值为_考点9：待定系数法求解析式顶点式典例9：（2022秋九年级单元测试）已知二次函数图象的对称轴是直线x=2，函数的最小值为3，且图象经过点-1,5，则此二次函数的解析式是_【变式1】（2022秋广东汕头九年级统考期末）已知抛物线的顶点坐标是2，-3，且与y轴的交点坐标为0，5，则该抛物线的解析式为_【变式2】（2022秋福建泉州九年级校考阶段练习）已知抛物线y=ax

12、2+bx+c如图所示，则其对应的函数关系式为_【变式3】（2023秋九年级单元测试）抛物线y=ax2+bx+ca0与x轴交于A，B两点，与y轴交于C0,3，且此抛物线的顶点坐标为M-1,4，则此抛物线的表达式为_ 同步过关一、单选题1（2023春江苏九年级专题练习）抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-3,0)，对称轴是直线x=-1，则a+b+c=（）A6B8C9D02（2022秋浙江宁波九年级校联考期中）已知二次函数y=-x2+2x-3，用配方法化为y=ax-h2+k的形式，结果是（）Ay=-x-12-2By=-x-12+2Cy=-x-12+4Dy=-x+12-43（2022秋北京西城九年级

13、北京四中校考阶段练习）已知二次函数y=-x2+2x+m，分别取x1=-1，x2=12，x3=2，那么对应的函数值为y1，y2，y3中，最大的为（）Ay3By2Cy1D不能确定4（2023秋浙江杭州九年级期末）已知二次函数y=x2-3x+m（m为常数）的图象与x轴有两个交点，其中一个交点为-1,0，则另一个交点是（）A-1,0B2,0C3,0D4,05（2023秋广西防城港九年级统考期中）如图，二次函数yax2+bx+c（a0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OC2OB则下列结论：abc0；a+b+c0；ac2b+40；OAOBca，其中正确的结论有（）A1个B2个C3个D4个6（

14、2023秋河北邢台九年级邢台市第七中学校考期末）将抛物线y=x2-2x+2所在的平面直角坐标系进行平移，得到y=x-32+2下列平移正确的是（）A先向右平移2个单位，再向上平移1个单位B先向左平移2个单位，再向上平移1个单位C先向左平移2个单位，再向下平移1个单位D先向右平移2个单位，再向下平移1个单位7（2022春全国九年级专题练习）如图，二次函数yax2bxc的图象经过点（1，0），对称轴是直线x1，下列结论错误的是（）Aabc0Bb24ac0C2ab0D3a2c08（2023春八年级课时练习）已知抛物线y=(m+1)x2+5有最高点，则m的范围是（）Am-1Cm-1Dm-19（2022秋

15、浙江杭州九年级校考期中）若抛物线yax2+2ax+4a(a0)上有A(-32，y1)、B(2，y2)、C(32，y3)三点，则y1、y2、y3的大小关系为().Ay1y2y3By1y3y2Cy3y1y2Dy2y3y110（2022春全国九年级专题练习）已知k是不为0的常数，则函数y=kx与y=kx2+k2的图象可能是（）ABCD11（2023四川成都统考一模）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论错误的是()Aa0Bb0Db2-4ac012（2022陕西西安九年级西安市铁一中学校考期中）设点(-2，y1)，(1，y2)，(2，y3)是抛物线y=x2-2x-1上的三点，则y1、y2

16、、y3的大小关系为（）Ay1y2y3By1y3y2Cy3y2y1Dy3y1y213（2022秋广西南宁九年级统考期中）二次函数y=ax2+bx+c(a0) 的图象如图所示，对称轴是直线x=1 ，下列结论：abc0；b24ac ；2a-b=0；a+b+2c0；3a+c0其中正确的是（）A2 个B3 个C4 个D5 个14（2023秋河北廊坊九年级廊坊市第四中学校考期中）关于二次函数y=2x2+x-1，下列说法正确的是（）A图像与y轴的交点坐标为(0，1) B图像的对称轴在y轴的右侧C当x0时，y的值随x值的增大而减小Dy的最小值为-9815（2022四川广安统考中考真题）已知抛物线y=ax2 +

17、bx +c的对称轴为x=1，与x轴正半轴的交点为A（3，0），其部分图象如图所示，有下列结论：abc 0；2c3b 0；5a +b+2c=0；若B（43，y1）、C（13，y2）、D（-13，y3）是抛物线上的三点，则y1y20；4a+2b+c0；若抛物线经过点-3，n，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c-n=0a0，的两根分别为-3，5；5a+c0，上述结论中正确的是_（只填序号）24（2022全国九年级专题练习）若一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有两个不相等的实数根，则下列结论中：b2-4ac0；方程cx2+bx+a=0，一定有两个不相等的实数根；设t-b2a，当a0时，一定有

18、at2+btax2+bx；若m、n（mn）是关于x的方程1+x-px-q=0的两根，且pq则qnmp一定正确的结论序号为 _25（2023江苏南通统考二模）已知抛物线y=ax2+bx-3过点m-b,m2-mb-3mb，与y轴和直线x=4分别相交于点A、B，点Mm,n为抛物线上A，B两点之间（包含A，B两点）的一个动点，若n-3，则b的取值范围为_三、解答题26（2023江西南昌九年级南昌市第三中学校考阶段练习）（1）解方程：(x+3)2=2x+6（2）将二次函数y=-2x2+8x-3化为 y=a(x-h)2+k形式，并写出它的顶点坐标、对称轴27（2023秋山东烟台九年级统考期中）已知抛物线y

19、=2x2+bx+c经过点(1，0)，(0，3)（1）求该抛物线的函数表达式；（2）将抛物线y=2x2+bx+c平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式28（2022春九年级课时练习）已知抛物线y=14x2+bx+c的对称轴为直线x=2，且经过点（0，1），求该抛物线的表达式29（2022秋安徽合肥九年级合肥市第四十五中学校考阶段练习）（1）将函数y=12x2+x-32配方成顶点式为_（2）画出其图象并回答问题：当-3x3时，y的范围是_30（2022四川绵阳校考模拟预测）如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面的最大

20、距离是5m(1)求抛物线的表达式；(2)因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度31（2023秋九年级单元测试）已知二次函数y=ax22ax+c的图象与x轴交于A、B两点（A左B右），与y轴正半轴交于点C，AB=4，OA=OC，求：二次函数的解析式32（2022春九年级课时练习）已知二次函数y=2x2-4x+3的图像为抛物线C(1)抛物线C顶点坐标为_；(2)将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线C1，请判断抛物线C1是否经过点P2,3，并说明理由；(3)当-2x3时，求该二次函数的函数值y的取值范围33（2023福建厦门九年级厦门双十中学思明分校校考

21、期末）已知二次函数yax2+bx+c（a0）的顶点坐标为(1， 1)，且当x3时，y3，求该二次函数的解析式，并在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象34（2022春江苏九年级专题练习）在平面直角坐标系中，已知抛物线yax2+bx4经过A（4，0），C（2，0）两点（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，AMB的面积为S求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值35（2022秋浙江宁波九年级统考期末）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A-1,0，B3,0和C0,3三点(1)求这个二次函数及直线BC的函数关系式；(2)直接写出不等式ax2+bx+c-x+3的解；(3)点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标