专题04 点与圆之间的位置关系（解析版）.docx

1、专题04 点与圆之间的位置关系知识梳理：1.点与圆的位置关系d表示点到圆心的距离，r为圆的半径点和圆的位置关系如下表：点与圆的位置关系d与r的大小关系点在圆内dr点在圆上dr点在圆外dr2、圆的确定：过一点的圆有无数个，如图所示过两点A、B的圆有无数个，如图所示经过在同一直线上的三点不能作圆不在同一直线上的三点确定一个圆如图所示3、三角形的外接圆经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心这个三角形叫做这个圆的内接三角形三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线交点它到三角形各顶点的距离相等，都等于三角形外接圆的半径

2、如图所示点与圆之间的位置关系例题讲解类型一：直接判断点与圆的位置关系【例1】若O的半径为5 cm，点A到圆心O的距离为4 cm，则点A与O的位置关系是 （ ）A.点A在圆外 B.点A在圆上 C.点A在圆内 D.不能确定【答案】 C【解析】根据点与圆的位置关系d=4，r=5，dr，所以点在圆内。【例2】若P的半径为13，圆心P的坐标为(5，12)，则平面直角坐标系的原点O与P的位置关系是( )A.在P内 B.在P上 C.在P外 D.无法确定【答案】B【解析】根据坐标公式结合勾股定理，OP=13，d=r，所以点在圆上。【例3】在RtABC中，cm，cm，若以C为圆心，以2cm为半径作圆，则点A在C

3、_；点B在C_；若以AB为直径作O，则点C在O_【答案】 上；外；上【解析】 C的半径为2cm，而cm，cm，点A在C上；点B在C外；点C到AB的中点的距离等于，点C在以AB为直径的O上【例4】O的半径为2，圆心到点P的距离为d，且d是方程的根，则点P与O的位置关系是（）A点P在O内部 B点P在O上 C点P在O外部 D不能确定【答案】B【解析】解方程的两根，得：x=4或2所以d=4或2(舍去)，当R=4，d=4时，点P在O上【例5】矩形ABCD中，AB10，BC42，点P在边AB上，且BP：AP4：1，如果P是以点P为圆心，PD长为半径的圆，那么下列结论正确的是（）A点B、C均在P外B点B在P

4、外，点C在P内C点B在P内，点C在P外D点B、C均在P内【答案】A【解答】解：如图，四边形ABCD为矩形，ADBC42，AB10，BP：AP4：1，AP2，BP8，在RtADP中，AP2，AD42，DP=AD2+AP2=4+32=6，在RtPBC中，CP=BP2+BC2=64+32=46，86，466，点B，点C均在P外，故选：A题型二：已知点与圆的位置关系确定半径等条件【例1】如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，M为AB的中点，以CD为直径画圆P（1）当点M在圆P外时，求CD的长的取值范围；（2）当点M在圆P上时，求CD的长；（3）当点M在圆P内时，求CD的长的取值范围【答案】 （1）；（

5、2）；（3）【解析】 （1）取CD的中点P，连接MP，M为AB的中点，MP是梯形ABCD的中位线，点M在圆P外，即，；（2）点M在圆P上，即，；（3）点M在圆P内，即，【例2】在RtABC中，如果以点C为圆心作圆，使点A在圆C内，点B在圆C外，那么圆C半径r的取值范围为_【答案】 【解析】 如果以点C为圆心作圆，使点A在圆C内，则，点B在圆C外，则，因而圆C半径r的取值范围为【例3】在RtACB中，C90，AC3，BC33，以点A为圆心作圆A，要使B、C两点中的一点在圆A外，另一点在圆A内，那么圆A的半径长r的取值范围是 【答案】故答案为3r6；【解析】解：RtACB中，C90，AC3，BC3

6、3，AB6，如果以点A为圆心作圆，使点C在圆A内，则r3，点B在圆A外，则r6，因而圆A半径r的取值范围为3r6【例4】如图，在每个小正方形的边长均为1的55的网格中，选取7个格点（小正方形的顶点），若以点A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个点在圆内，则r的取值范围是（）A3r10B2r5C10r13D5r3【答案】 D【解析】解：给各点标上字母，如图所示AB=12+22=2，ACAD=12+22=5，AG3，AF=12+32=10，AE=22+32=13所以以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，这三个点只能为B、C、D点，5r3【例5】在直角坐标平

7、面内，点O是坐标原点，点A的坐标是（3，2），点B的坐标是（3，4）如果以点O为圆心，r为半径的圆O与直线AB相交，且点A、B中有一点在圆O内，另一点在圆O外，那么r的值可以取（）A5B4C3D2【答案】B【解析】解：点A的坐标是（3，2），点B的坐标是（3，4），OA=32+22=13，OB=32+42=5，以点O为圆心，r为半径的圆O与直线AB相交，且点A、B中有一点在圆O内，另一点在圆O外，13r5，r4符合要求故选：B【例6】如图，在矩形ABCD中，AB4，AD3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A，B，C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是来源

8、:学科网ZXXK()A3r4 B3r5来源:学科网C3r5 Dr4【答案】 B【解析】先由勾股定理算出BD=5，要确定点与圆的位置关系，主要根据点到圆心的距离与半径的大小关系来判断，所以保证A点在圆内，B点在圆外就满足题目条件，故选择B类型三：点到圆上的最值问题【例1】 一个点到圆的最大距离为11cm，最小距离为5cm，则圆的半径为_【答案】 3cm或8cm【解析】 当点P在圆内时，最近点的距离为5cm，最远点的距离为11cm，则直径是16cm，因而半径是8cm；当点P在圆外时，最近点的距离为5cm，最远点的距离为11cm，则直径是6cm，因而半径是3cm【例2】已知点P到圆O的最小距离为a，

9、最大距离为b，则圆O的半径为_【答案】或【解析】 解：若点P在圆O外，则最大距离为POr（r为圆的半径），最小距离为POr，即POr=a，POr=b，相减得；若点P在圆O内，则最大距离为POr（r为圆的半径），最小距离为rPO，即POr=a，rPO=b，相加得.【例3】如图，在RtABC中，ABC90，AB3，BC4，点D是半径为1的A上的一个动点，点E为CD的中点，连结BE，则线段BE长度的最小值为 【答案】2【解答】解：如图，取AC的中点N，连接AD、EN、BN在RtABC中，ABC90，AB3，BC4，AC=AB2+BC2=32+42=5，ANNC，BN=12AC=52，ANNC，DEE

10、C，EN=12AD=12，BNENBEBN+EN，52-12BE52+12，2BE3，BE的最小值为2，故答案为：2【例4】如图，在RtABC中，ABC90，AB8，BC6，点D是半径为4的A上一动点，点M是CD的中点，则BM的最大值是 【答案】7【解析】解：如图，取AC的中点N，连接MN，BNABC90，AB8，BC6，AC10，ANNC，BN=12AC5，ANNC，DMMC，MN=12AD=2，BMBN+NM，BM5+27，即BM的最大值是7【例5】在ABC中，若O为BC边的中点，则必有AB2AC22AO22BO2成立依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE4，EF3，

11、点P在以DE为直径的半圆上运动，求PF2PG2的最小值来源:学,科,网【答案】10【解析】解：如图，设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连结MN交半圆于点P，此时PN取最小值DE4，四边形DEFG为矩形，GFDE，MNEF，MPFNDE2，NPMNMP1，PF2PG22PN22FN221222210，PF2PG2的最小值为10.类型四：利用三角形外接圆性质确定圆心【例1】如图，点A，B，C均在66的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为_【答案】5【解析】解：如图分别作ABBC的中垂线，两直线的交点为O，以O为圆心、OA为半径作圆，则圆O即为过A、

12、B、C三点的外接圆，由图可知：圆O还经过点D、E、F、G、H这5个格点【例2】如图，ABC的外接圆的圆心坐标是_ _【答案】（5，2）【解析】解：作线段BC的垂直平分线，作AB的垂直平分线两条直线相交于点D D的坐标为（5，2）【例3】ABC的外心在三角形的内部，则ABC是（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D无法判断【答案】A【解析】若外心在三角形的外部，则三角形是钝角三角形；若外心在三角形的内部，则三角形是锐角三角形；若外心在三角形的边上，则三角形是直角三角形，且这边是斜边【例4】当点A（1，2），B（3，3），C（5，n）三点可以确定一个圆，则n需要满足的条件为 【答案】n8【解析】

13、解：设直线AB的解析式为ykx+b，A（1，2），B（3，3），解得：k，b，直线AB的解析式为yx+，点A（1，2），B（3，3），C（5，n）三点可以确定一个圆时，点C不在直线AB上，n5+8，当点A（1，2），B（3，3），C（5，n）三点可以确定一个圆，则n需要满足的条件为n8，【例5】平面直角坐标系内的三个点A（1，3）、B（0，3）、C（2，3）， 确定一个圆，（填“能”或“不能”）【答案】不能【解析】解：B（0，3）、C（2，3），A（1，3），点A、B、C共线，三个点A（1，3）、B（0，3）、C（2，3）不能确定一个圆【例6】如图，在平面直角坐标系内，已知点A(2，2)，B(

14、6，4)，C(2，4)(1)求ABC的外接圆的圆心M的坐标；(2)求ABC的外接圆在x轴上所截弦DE的长【答案】（1）圆心M的坐标为(2，1) （2）4.【解析】(1)B(6，4)，C(2，4)，线段BC的垂直平分线是直线x2. A(2，2)，C(2，4)，线段AC的垂直平分线是直线y1，ABC的外接圆的圆心M的坐标为(2，1)(2)连接DM，过点M作MNDE于N，则MN1. 由题意得AC6，BC8，由勾股定理得AB10，易知DMAB5，DN2，由垂径定理得DE2DN4.类型五：计算三角形外接圆半径和相关度数问题【例1】小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A，B，C，小明想建一个圆形花

15、坛，使三棵树都在花坛的边上.(1)请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；(2)若在ABC中，AB8米，AC6米，BAC90，试求小明家圆形花坛的面积.【答案】（1）见解析 （2）25【解析】解：(1)用尺规作出ABC中任意两边的垂直平分线，交于O点，以O为圆心，OA长为半径作出O，O即为所求作的花坛的位置.图略.(2)BAC90，AB8米，AC6米，在RtABC中，由勾股定理，得BC10米.ABC外接圆的半径为5米.小明家圆形花坛的面积为25平方米.【例2】如图，ABC中，A70，O为ABC的外心，则BOC的度数为（）A110B125C135D140【答案】D【解析

16、】解：ABC中，A70，O为ABC的外心，BOC2A140【例3】一个直角三角形的两条边长是方程x27x+120的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为 【答案】4或5【解析】解：x27x+120，（x3）（x4）0，解得：x13，x24，当直角边分别为3，4时，斜边为：5，此时直角三角形外接圆的直径为5，当直角边为3，斜边为4时，此时直角三角形外接圆直径为4故答案为4或5【例4】如图，ABC中，ABAC，AD是BAC的平分线，F是AC的中点，过点F作EFAC交AB于点E，交AD于点O若OA3，则ABC外接圆的面积为（）A3B4C6D9【答案】D【解析】解：ABAC，AD是BAC的平分线，BD

17、CD，ADBC，EF是AC的垂直平分线，点O是ABC外接圆的圆心，OA3，ABC外接圆的面积r2329【例5】如图，将AOB置于平面直角坐标系中，O为原点，ABO60，若AOB的外接圆与y轴交于点（0，3）（1）求DAO的度数；（2）求点A的坐标和AOB外接圆的面积【答案】（1）30（2）9【解析】解：（1）ADOABO60，AOD90，DAO30（2）D的坐标是（0，3），则OD3，在直角AOD中，OAODtanDAO3，AD2OD6，A的坐标是（3，0），AOB外接圆的面积是9【例6】在等边ABC中，D，E分别是AC，BC上的点，AE与BD相交于点P若BCD的面积是12，BE6，APB12

18、0，则ABP的外接圆的半径长为 【答案】【解析】解：如图以AB为边向外作等边三角形ABK，作ABK的外接圆O，连接OA，OB，过点O作OJAB于J，过点B作BHAC于HABK是等边三角形，K60，APB120，K+APB180，ABC是等边三角形，ABACBC，BACC60，APB120，PAB+ABPPAB+CAE60，CAEABD，BADACE（ASA），ADEC，ACBC，BECD6，SBCDCDBH12，BH4，AB8，OAOB，OJAB，AJJB4，OAB30，OA，APB的外接圆的半径为类型六：外接圆相关知识点综合大题【例1】如图1，在ABC中，BABC，D是平面内不与A，B，C重

19、合的任意一点，ABCDBE，BDBE.(1)求证：ABDCBE；(2)如图2，当点D是ABC的外接圆圆心时，请判断四边形BECD的形状，并证明你的结论.【答案】见解析【解析】解：(1)证明：ABCDBE，ABDCBE.又BABC，BDBE，ABDCBE(SAS).(2)四边形BECD是菱形.证明：ABDCBE，ADCE.点D是ABC的外接圆圆心，ADBDCD.又BDBE，BDBEECCD.四边形BECD是菱形.【例2】如图，O是ABC的外接圆，C是优弧上一点，设OAB，C.(1)当36时，求的度数；(2)猜想与之间的关系，并给予证明.【答案】（1）54（2）90.【解析】解：(1)连结OB，则

20、OAOB，OABOBA.C36，AOB72.OAB(180AOB)54，即54.(2)与之间的关系是90.证明：OBAOAB，AOB1802.AOB2，18022.90.【例3】如图，O是锐角三角形ABC的外接圆，AB8，ACB60，且BCAC，点D是ABC高线的交点，连接AD，BD，CD，则ADB的度数为 ，CD的长为 【答案】120；【解析】解：连结AO，并延长交O于E，连结EC，延长BD交AC于F，AE为直径，ACEABE90，点D是ABC高线的交点，BFAC，AGBC，CDAB，CFBCGA90，FDG360909060120，ADBFDG120，ACECFB90，CDAB，EBAB，

21、CEDB，CDEB，四边形CDBE为平行四边形，CDBE，ACBAEB60，EAB90AEB906030，在RtABE中，BE，CDBE【例4】如图，O为ABC的外接圆，AB为O直径，ACBC，点D在劣弧BC上，CECD交AD于E，连接BD（1）求证：ACEBCD（2）若CD2，BD3，求O的半径（3）若点F为DE的中点，连接CF，FO，设CDa，BDb，求CF+FO（用含有a，b的代数式表示）【答案】见解析【解析】解：（1）证明：AB为O直径，ACB90，CECD，ECD90，ACE90ECBBCD，在ACE和BCD中，ACEBCD（ASA）；（2）ACEBCD，CECD，AEBD，CECD

22、，ECD是等腰直角三角形，CD2，BD3，DE2，AE3，AD5，AB为O直径，ADB90，AB2，O的半径为；（3）法一：过O作OHAD于H，如图：ECD是等腰直角三角形，CDa，EDa，F为DE的中点，CFDFDEa，ACEBCD，AEBDb，ADED+AEa+b，OHAD，ADB90，OHBD，AOOB，DHADa+b，OHBDb，HFDHDF（a+b）ab，在RtOHF中，FOb，CF+FOa+b法二：延长AD至点H，使DHAE，连接BH，如图：由（1）得ACEBCD，BDAEDH，AB为直径，ADBBDH90，BDH为等腰直角三角形，BDb，BHb，ECD是等腰直角三角形，CDa，E

23、Da，CFaDFEF，而DHAE，AE+EFDH+DF，即AFHF，F为AH中点，O为AB中点，FOBDb，CF+FOa+b课后练习题：1、已知A半径为5，圆心A的坐标为（1，0），点P的坐标为（2，4），则点P与A的位置关系是（ ）A点P在A上 B点P在A内 C点P在A外 D不能确定【答案】见解析【解析】解：圆心A的坐标为（1，0），点P的坐标为（2，4）A半径为5点P与圆心的距离等于圆的半径点P在A上2、O的半径是R，点P到圆心O的距离为d，并且dR，则P点（ ）A在O内或在O上 B在O外C在O上 D在O外或在O上【答案】D【解析】要确定点与圆的位置关系，主要根据点到圆心的距离与半径的大小

24、关系来判断，3、P为O所在平面一点，若点P到O的最短距离为3，最长距离为5，则O的半径为（）A2 B4 C1或4 D2或8【答案】C【解析】解：点P在圆内；如图，AP=3，BP=5，AB=8，OA=4；点P在圆外；如图，AP=3，BP=5，AB=2，OA=14、已知O和直线l，过圆心O作OPl，P为垂足，A，B，C为直线l上三个点，且PA2，PB3，PC4，若O的半径为5，OP4，判断A，B，C三点与O的位置关系【答案】见解析【解析】解：OPl，OP4，r5，RtPAO中，PA2，OA5点A在O内部；在RtBPO中，PB3，OB5，点B在O上；在RtPOC中，PC4，OC5，点C在O外5、小明

25、不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（）ABCD【答案】A【解析】解：第块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长6、如图，圆O的半径为1，ABC内接于圆O若A60，B75，则AB 【答案】见解析【解析】解：如图，连接OA，OB，在ABC中，BAC60，ABC75，ACB180AB45，AOB90，OAOB，OAB是等腰直角三角形，ABOA故答案为：7如图，ABC是O的内接三角形，ABBC，BAC30，AD是直径，AD8，则AC的长为 【

26、答案】见解析【解析】解：连接CD，ABBC，BAC30，ACBBAC30，B1803030120，D180B60，AD是直径，ACD90，CAD30，AD8，CDAD4，AC4，故答案为：48已知直角三角形的两直角边的长分别为5cm和2cm，则它的外接圆半径为 cm【答案】【解析】解：由勾股定理得：直角三角形的斜边长3（cm），这个直角三角形的外接圆半径为cm，9、在数轴上，点A所表示的实数为5，点B所表示的实数为a，A的半径为3，要使点B在A内时，实数a的取值范围是（）Aa2Ba8C2a8Da2或a8【答案】C【解析】解：A的半径为3，若点B在A内，AB3，点A所表示的实数为5，2a8，故选

27、：C10、在直角坐标系中，M（2，0），M的半径为4，那么点P（2，3）与M的位置关系 【答案】点P在圆外【解析】解：M（2，0），P（2，3），MP5，圆M的半径为4，54，点P在圆外，11、如图所示，已知矩形ABCD的边AB3cm，AD4cm（1）以点A为圆心，4cm为半径作A，则点B，C，D与A的位置关系如何？（2）若以点A为圆心作A，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，则A的半径r的取值范围是什么？【答案】(1)点B在A内，点D在A上，点C在A外；(2)3cmr5cm【解析】解；（1）连接AC，AB3cm，AD4cm，AC5cm，点B在A内，点D在A上，点C在A外

28、；（2）以点A为圆心作A，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，A的半径r的取值范围是：3cmr5cm12、如图，一段圆弧与长度为1的正方形网格的交点是A、B、C（1）请完成以下操作：以点O为原点，垂直和水平方向为轴，网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；根据图形提供的信息，标出该圆弧所在圆的圆心D，并连接AD、CD；（2）请在（1）的基础上，完成下列填空：D的半径为 ；点（6，2）在D ；（填“上”、“内”、“外”）ADC的度数为 【答案】（1）见解析 （2）答案为：2，上，90【解析】解：（1）平面直角坐标系如图所示：圆心点D，如图所示；（2）D的半径AD2，点（6，2）到圆心D的距离2半径，点（6，2）在D上D（2，0），C（6，2），A（0，4），ODCE，OADE，AODDEC，AODDEC（SAS），OADEDC，OAD+ADO90，ADC90，