专题05 二次函数与相似三角形有关问题（专项训练）（解析版）.docx

1、专题05 二次函数与相似三角形有关问题（专项训练）1（2021黔东南州）如图，抛物线yax22x+c（a0）与x轴交于A、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），抛物线的顶点为D（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M是x轴上的动点，过点M作x的垂线交抛物线于点G，是否存在这样的点M，使得以点A、M、G为顶点的三角形与BCD相似，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）将点B（3，0），C（0，3）分别代入yax22x+c中，得：，解得，抛物线的函数关系为yx22x3；（2）由抛物线的表达式知，其对称轴为x1，故设点P（1，m），点Q（x，0），B（3，0），C（0，

2、3），以PB为对角线时，解得：，P（1，3），Q（4，0）；（2）当y0时，x22x30，解得：x11，x23，A（1，0），又yx22x3（x1）24，抛物线的顶点D的坐标为（1，4），C（0，3）、B（3，0）、D（1，4），BD222+4220，CD212+12，BC232+32，BD2CD2+BC2，BDC是直角三角形，且BCD90，设点M的坐标（m，0），则点G的坐标为（m，m22m3），根据题意知：AMGBCD90，要使以A、M、G为顶点的三角形与BCD相似，需要满足条件：，当m1时，此时有：，解得：，m21或m10，m21，都不符合m1，所以m1时无解；当1m3时，此时有：，解得

3、：，m21（不符合要求，舍去）或m10，m21（不符合要求，舍去），M（）或M（0，0），当m3时，此时有：或，解得：（不符合要求，舍去）或m16，m21（不符要求，舍去），点M（6，0）或M（，0），答：存在点M，使得A、M、G为顶点的三角形与BCD相似，点M的坐标为：M（0，0）或M（，0）或M（6，0）或M（，0）2（2021无锡）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线yx+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数yax2+2x+c的图象过B、C两点，且与x轴交于另一点A，点M为线段OB上的一个动点，过点M作直线l平行于y轴交BC于点F，交二次函数yax2+2x+c的图象于点E（1）求

4、二次函数的表达式；（2）当以C、E、F为顶点的三角形与ABC相似时，求线段EF的长度；【解答】解：（1）在yx+3中，令x0得y3，令y0得x3，B（3，0），C（0，3），把B（3，0），C（0，3）代入yax2+2x+c得：，解得，二次函数的表达式为yx2+2x+3；（2）如图：在yx2+2x+3中，令y0得x3或x1，A（1，0），B（3，0），C（0，3），OBOC，AB4，BC3，ABCMFBCFE45，以C、E、F为顶点的三角形与ABC相似，B和F为对应点，设E（m，m2+2m+3），则F（m，m+3），EF（m2+2m+3）（m+3）m2+3m，CFm，ABCCFE时，解得m或m

5、0（舍去），EF，ABCEFC时，解得m0（舍去）或m，EF，综上所述，EF或3（2021济宁）如图，直线yx+分别交x轴、y轴于点A，B，过点A的抛物线yx2+bx+c与x轴的另一交点为C，与y轴交于点D（0，3），抛物线的对称轴l交AD于点E，连接OE交AB于点F（1）求抛物线的解析式；（2）求证：OEAB；（3）P为抛物线上的一动点，直线PO交AD于点M，是否存在这样的点P，使以A，O，M为顶点的三角形与ACD相似？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）直线yx+分别交x轴、y轴于点A，B，A（3，0），B（0，），抛物线yx2+bx+c经过A（3，0），D（0，

6、3），解得：，该抛物线的解析式为yx2+2x+3；（2）yx2+2x+3（x1）2+4，抛物线的对称轴为直线x1，设直线AD的解析式为ykx+a，将A（3，0），D（0，3）代入，得：，解得：，直线AD的解析式为yx+3，E（1，2），G（1，0），EGO90，tanOEG，OA3，OB，AOB90，tanOAB，tanOABtanOEG，OABOEG，OEG+EOG90，OAB+EOG90，AFO90，OEAB；（3）存在A（3，0），抛物线的对称轴为直线x1，C（1，0），AC3（1）4，OAOD3，AOD90，ADOA3，设直线CD解析式为ymx+n，C（1，0），D（0，3），解得：，

7、直线CD解析式为y3x+3，当AOMACD时，AOMACD，如图2，OMCD，直线OM的解析式为y3x，结合抛物线的解析式为yx2+2x+3，得：3xx2+2x+3，解得：x1，x2，当AMOACD时，如图3，AM2，过点M作MGx轴于点G，则AGM90，OAD45，AGMGAMsin4522，OGOAAG321，M（1，2），设直线OM解析式为ym1x，将M（1，2）代入，得：m12，直线OM解析式为y2x，结合抛物线的解析式为yx2+2x+3，得：2xx2+2x+3，解得：x，综上所述，点P的横坐标为或4（2021怀化）如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA2，OB4

8、，OC8，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与MNB相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；【解答】解：（1）由题意得，点A、B、C的坐标分别为（2，0）、（4，0）、（0，8），设抛物线的表达式为yax2+bx+c，则，解得，故抛物线的表达式为yx2+2x+8；（2）存在，理由：当CPM为直角时，则以P、C、M为顶点的三角形与MNB相似时，则PCx轴，则点P的坐标为（1，8）；当PCM为直角时，在RtOBC中，设CBO，则tanCBO2tan，则sin，cos，在RtNMB中

9、，NB413，则BM3，同理可得，MN6，由点B、C的坐标得，BC4，则CMBCMB，在RtPCM中，CPMOBC，则PM，则PNMN+PM6+，故点P的坐标为（1，），故点P的坐标为（1，8）或（1，）；5（2021遂宁）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A和B（3，0）两点，与y轴交于C（0，3），对称轴为直线x1，直线y2x+m经过点A，且与y轴交于点D，与抛物线交于点E，与对称轴交于点F（1）求抛物线的解析式和m的值；（2）在y轴上是否存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与AOD相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由；【解答】解：（1）抛物线的对称轴x1，与x轴的交点为

10、A，B（3，0），A（1，0），可以假设抛物线的解析式为ya（x+3）（x1），把C（0，3）代入得到，a1，抛物线的解析式为yx2+2x3直线y2x+m经过点A（1，0），02+m，m2（2）如图1中，直线AF的解析式为y2x+2，直线交y轴于D，与抛物线交于点E，D（0，2），由，解得即点A，或，E（5，12），过点E作EPy轴于PEPDAOD90，EDPODA，EDPADO，P（0，12）过点E作EPDE交y轴于P，同法可证，PDEADO，PDAO，tanPtanDAO，PP2.5，P（0，14.5），综上所述，满足条件的点P的坐标为（0，12）或（0，14.5）6（2021泸州）如图，

11、在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx2+x+4与两坐标轴分别相交于A，B，C三点（1）求证：ACB90；（2）点D是第一象限内该抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线交BC于点E，交x轴于点F求DE+BF的最大值；点G是AC的中点，若以点C，D，E为顶点的三角形与AOG相似，求点D的坐标【解答】解：（1）yx2+x+4中，令x0得y4，令y0得x12，x28，A（2，0），B（8，0），C（0，4），OA2，OB8，OC4，AB10，AC2OA2+OC220，BC2OB2+OC280，AC2+BC2100，而AB2102100，AC2+BC2AB2，ACB90；（2）设直线BC解析式为ykx+b，

12、将B（8，0），C（0，4）代入可得：，解得，直线BC解析式为yx+4，设第一象限D（m，+m+4），则E（m，m+4），DE（+m+4）（m+4）m2+2m，BF8m，DE+BF（m2+2m）+（8m）m2+m+8（m2）2+9，当m2时，DE+BF的最大值是9；由（1）知ACB90，CAB+CBA90，DFx轴于F，FEB+CBA90，CABFEBDEC，（一）当A与E对应时，以点C，D，E为顶点的三角形与AOG相似，只需或，而G为AC中点，A（2，0），C（0，4），G（1，2），OA2，AG，由知：DEm2+2m，E（m，m+4），CE，当时，解得m4或m0（此时D与C重合，舍去）D（

13、4，6），当时，解得m3或m0（舍去），D（3，），在RtAOC中，G是AC中点，OGAG，GAOGOA，即CABGOA，DECGOA，（二）当O与E对应时，以点C，D，E为顶点的三角形与AOG相似，只需或，OGAG，与答案相同，同理与或答案相同，综上所述，以点C，D，E为顶点的三角形与AOG相似，则D的坐标为（4，6）或（3，）7（2021江岸区校级自主招生）如图，已知对称轴为直线x1的抛物线yax2+bx+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（1，0）（1）求点B的坐标及抛物线的表达式；（2）在x轴上是否存在点M，使MOC与BCP相似？若不存在，请说明理由；若存在，请直

14、接写出点M的坐标【不必书写求解过程】【解答】解：（1）由题意，解得，抛物线的解析式yx22x+3，令y0，则x22x+30，解得x1或3，B（3，0）（2）存在如图2中，连接PB，PCB（3，0），P（1，4），C（0，3），BC3，PC，PB2，PB2PC2+CB2，PCB90，PC：BC：31：3，当MO：OC1：3或OC：MO1：3时，COM与BCP相似，OM1或9，满足条件的点M的坐标为（1，0）或（1，0）或（9，0）或（9，0）8（2020柳州）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx24x+a（a0）与y轴交于点A，与x轴交于E、F两点（点E在点F的右侧），顶点为M直线与x轴、

15、y轴分别交于B、C两点，与直线AM交于点D（1）求抛物线的对称轴；（2）在y轴右侧的抛物线上存在点P，使得以P、A、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求a的值；（3）如图，过抛物线顶点M作MNx轴于N，连接ME，点Q为抛物线上任意一点，过点Q作QGx轴于G，连接QE当a5时，是否存在点Q，使得以Q、E、G为顶点的三角形与MNE相似（不含全等）？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）yx24x+a（x2）2+a4，抛物线的对称轴为直线x2；（2）由y（x2）2+a4得：A（0，a），M（2，a4），由yxa 得C（0，a），设直线AM的解析式为ykx+a，将M（2，a4）

16、代入ykx+a中，得2k+aa4，解得k2，直线AM的解析式为y2x+a，联立方程组得，解得 ，D（a，a），a0，点D在第二象限，又点A与点C关于原点对称，AC是以P、A、C、D为顶点的平行四边形的对角线，则点P与点D关于原点对称，即P（a，a），将点P（a，a）代入抛物线yx24x+a，解得a或a0（舍去），a；（3）存在，理由如下：当a5时，yx24x5（x2）29，此时M（2，9），令y0，即（x2）290，解得x11，x25，点F（1，0）E（5，0），ENFN3 MN9，设点Q（m，m24m5），则G（m，0），EG|m5|，QG|m24m5|，又QEG与MNE都是直角三角形，且M

17、NEQGE90，如图所示，需分两种情况进行讨论：i）当3时，即3，当m2时点Q与点M重合，不符合题意，舍去，当m4时，此时Q坐标为点Q1（4，27）；ii）当时，即，解得m或m或m5（舍去），当m时，Q坐标为点Q2（，），当m，Q坐标为点Q3（，），综上所述，点Q的坐标为（4，27）或（，）或（，）9（2020鄂州）如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C直线yx2经过B、C两点（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上的一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线BC及x轴分别交于点D、MPNBC，垂足为N设M（m，0）点P在抛物线上运动，若P、D、M三

18、点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）请直接写出符合条件的m的值；当点P在直线BC下方的抛物线上运动时，是否存在一点P，使PNC与AOC相似若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）针对于直线yx2，令x0，则y2，C（0，2），令y0，则0x2，x4，B（4，0），将点B，C坐标代入抛物线yx2+bx+c中，得，抛物线的解析式为yx2x2；（2）PMx轴，M（m，0），P（m，m2m2），D（m，m2），P、D、M三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点，、当点D是PM的中点时，（0+m2m2）m2，m1或m4（此时点D，M，P三点重合，舍去），、当点P是DM

19、的中点时，（0+m2）m2m2，m或m4（此时点D，M，P三点重合，舍去），、当点M是DP的中点时，（m2m2+m2）0，m2或m4（此时点D，M，P三点重合，舍去），即满足条件的m的值为或1或2；存在，由（1）知，抛物线的解析式为yx2x2，令y0，则0x2x2，x1或x4，点A（1，0），OA1，B（4，0），C（0，2），OB4，OC2，AOCCOB90，AOCCOB，OACOCB，ACOOBC，PNC与AOC相似，、当PNCAOC，PCNACO，PCNOBC，CPOB，点P的纵坐标为2，m2m22，m0（舍）或m3，P（3，2）；、当PNCCOA时，PCNCAO，OCBPCD，PDOC

20、，OCBCDP，PCDPDC，PCPD，由知，P（m，m2m2），D（m，m2），C（0，2），PD2mm2，PC，2mm2，m或m0（舍），P（，）即满足条件的点P的坐标为（3，2）或（，）10（2020潍坊）如图，抛物线yax2+bx+8（a0）与x轴交于点A（2，0）和点B（8，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC，BC与抛物线的对称轴l交于点E（1）求抛物线的表达式；（2）点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与OBC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）抛物线yax2+bx+8（a0）过点A（

21、2，0）和点B（8，0），解得抛物线解析式为：；（2）存在，点M的坐标为：（3，8），或（3，11）C（0，8），B（8，0），COB90，OBC为等腰直角三角形，抛物线的对称轴为，点E的横坐标为3，又点E在直线BC上，点E的纵坐标为5，E（3，5），设，当MNEM，EMN90，NMECOB，则，解得或（舍去），此时点M的坐标为（3，8），当MEEN，当MEN90时，则，解得：或（舍去），此时点M的坐标为；当MNEN，MNE90时，此时MNE与COB相似，此时的点M与点E关于的结果（3，8）对称，设M（3，m），则m885，解得m11，M（3，11）；此时点M的坐标为（3，11）；故在射线ED

22、上存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与OBC相似，点M的坐标为：（3，8）或或（3，11）11（2020怀化）如图所示，抛物线yx22x3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点（1）求点C及顶点M的坐标（2）直线CM交x轴于点E，若点P是线段EM上的一个动点，是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与ABC相似若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）令yx22x3中x0，此时y3，故C点坐标为（0，3），又yx22x3（x1）24，抛物线的顶点M的坐标为（1，4）；（2）存在，理由如下：连接AC，OP，如图2所示：设MC的解析式为：ykx+m，将

23、C（0，3），M（1，4）代入MC的解析式得：，解得：MC的解析式为：yx3，令y0，则x3，E点坐标为（3，0），OEOB3，且OCBE，CECB，CBEE，设P（x，x3），又P点在线段EC上，3x0，则，由题意知：PEO相似于ABC，分情况讨论：PEOCBA，解得，满足3x0，此时P的坐标为；PEOABC，解得x1，满足3x0，此时P的坐标为（1，2）综上所述，存在以点P、E、O为顶点的三角形与ABC相似，P点的坐标为或（1，2）12（2020连云港）在平面直角坐标系xOy中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”如图，抛物线L1：yx2x2的顶点为D，交x轴于点A、B（点A在

24、点B左侧），交y轴于点C抛物线L2与L1是“共根抛物线”，其顶点为P（1）若抛物线L2经过点（2，12），求L2对应的函数表达式；（2）当BPCP的值最大时，求点P的坐标；（3）设点Q是抛物线L1上的一个动点，且位于其对称轴的右侧若DPQ与ABC相似，求其“共根抛物线”L2的顶点P的坐标【解答】解：（1）当y0时，x2x20，解得x1或4，A（1，0），B（4，0），C（0，2），由题意设抛物线L2的解析式为ya（x+1）（x4），把（2，12）代入ya（x+1）（x4），126a，解得a2，抛物线的解析式为y2（x+1）（x4）2x26x8（2）抛物线L2与L1是“共根抛物线”，A（1，0）

25、，B（4，0），抛物线L1，L2的对称轴是直线x，点P在直线x上，BPAP，如图1中，当A，C，P共线时，BPPC的值最大，此时点P为直线AC与直线x的交点，直线AC的解析式为y2x2，P（，5）（3）由题意，AB5，CB2，CA，AB2BC2+AC2，ACB90，CB2CA，yx2x2（x）2，顶点D（，），由题意，PDQ不可能是直角，第一种情形：当DPQ90时，如图31中，当QDPABC时，设Q（x，x2x2），则P（，x2x2），DPx2x2（）x2x+，QPx，PD2QP，2x3x2x+，解得x或（舍弃），P（，）如图32中，当DQPABC时，同法可得PQ2PD，xx23x+，解得x或

26、（舍弃），P（，）第二种情形：当DQP90如图33中，当PDQABC时，过点Q作QMPD于M则QDMPDQ，由图33可知，M（，），Q（，），MD8，MQ4，DQ4，由，可得PD10，D（，）P（，）当DPQABC时，过点Q作QMPD于M同法可得M（，），Q（，），DM，QM1，QD，由，可得PD，P（，）综上所述：P点坐标为（，）或（，）或（，）或（，）13（2020铜仁市）如图，已知抛物线yax2+bx+6经过两点A（1，0），B（3，0），C是抛物线与y轴的交点（1）求抛物线的解析式；（2）点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N使得CMN90，且CMN与OBC相似，如果

27、存在，请求出点M和点N的坐标【解答】解：（1）将A（1，0）、B（3，0）代入yax2+bx+6，得：，解得：，抛物线的解析式为y2x2+4x+6（3）存在点M、点N使得CMN90，且CMN与OBC相似如图2，CMN90，当点M位于点C上方，过点M作MDy轴于点D，CDMCMN90，DCMNCM，MCDNCM，若CMN与OBC相似，则MCD与OBC相似，设M（a，2a2+4a+6），C（0，6），DC2a2+4a，DMa，当时，COBCDMCMN，解得，a1，M（1，8），此时NDDM，N（0，），当时，COBMDCNMC，解得a，M（，），此时N（0，）如图3，当点M位于点C的下方，过点M作MEy轴于点E，设M（a，2a2+4a+6），C（0，6），EC2a24a，EMa，同理可得：或2，CMN与OBC相似，解得a或a3，M（，）或M（3，0），此时N点坐标为（0，）或（0，）综合以上得，存在M（1，8），N（0，）或M（，），N（0，）或M（，），N（0，）或M（3，0），N（0，），使得CMN90，且CMN与OBC相似