专题05 定角定高（知识解读）-备战2023年中考数学《重难点解读•专项训练》（全国通用）.docx

1、 专题05 定角定高（知识解读）【专题说明】定角定高问题是初中数学学习的重点和难点问题，也是升入名校考查的热点。此类问题综合性强，常常会与三角形，四边形进行结合起来，隐蔽性强。常应用于求一类三角形底边长的最小值，继而求三角形面积的最小值，问题的关键就在作这个动三角形的外接圆，根据“半径+弦心距定高”求出半径的最小值，那底边存在最小值，面积存在最小值。由于底边的长在变化，此外接圆“隐形圆”的大小也会发生变化，但是在运动过程中于找到“隐形圆”半径最小值，找到此处为突破口，建立数学模型，综合性问题就迎刃而解.【方法技巧】1.定角定高模型呈现：有一类问题满足这样的条件特征：如下图，直线BC外一点A，A

2、到直线BC距离为定值（定高），BAC为定角。则AD有最小值。又因为，像探照灯一样所以也叫探照灯模型。【典例分析】【典例1】辅助圆之定角定高求解探究（1）如图，已知线段AB，以AB为斜边，在图中画出一个直角三角形；（2）如图，在ABC中，ACB60，CD为AB边上的高，若CD4，试判断AB是否存在最小值，若存在，请求出AB最小值；若不存在，请说明理由；（3）如图，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形ABCD中，A45，BD90，CBCD6，点E、F分别为AB、AD上的点，若保持CECF，那么四边形AECF的面积是否存在最大值，若存在，请求出面积的最大值，若不存在，请说

3、明理由【变式1-1】如图，在ABC中，BAC60，ADBC于点D，且AD4，则ABC面积的最小值为 【变式1-2】如图，在ABC中，BAC90，BC边上的高AD6，则ABC周长的最小值为 【变式1-3】如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别是CD，BC边上的点，且EAF45，则AEF面积的最小值为 【变式1-4】（2019新城区校级一模）问题提出：如图1：在ABC中，BC10且BAC45，点O为ABC的外心，则ABC的外接圆半径是 问题探究：如图2，正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD两边上点且EAF45，请问线段BE、DF、EF有怎样的数量关系？并说明理由问题解决：如图3，四边形

4、ABCD中，ABAD4，B45，D135，点E、F分别是射线CB、CD上的动点，并且EAFC60，试问AEF的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值若不存在，请说明理由 专题05 定角定高（知识解读）【专题说明】定角定高问题是初中数学学习的重点和难点问题，也是升入名校考查的热点。此类问题综合性强，常常会与三角形，四边形进行结合起来，隐蔽性强。常应用于求一类三角形底边长的最小值，继而求三角形面积的最小值，问题的关键就在作这个动三角形的外接圆，根据“半径+弦心距定高”求出半径的最小值，那底边存在最小值，面积存在最小值。由于底边的长在变化，此外接圆“隐形圆”的大小也会发生变化，但是在运动过程中于找

5、到“隐形圆”半径最小值，找到此处为突破口，建立数学模型，综合性问题就迎刃而解.【方法技巧】1.定角定高模型呈现：有一类问题满足这样的条件特征：如下图，直线BC外一点A，A到直线BC距离为定值（定高），BAC为定角。则AD有最小值。又因为，像探照灯一样所以也叫探照灯模型。【典例分析】【典例1】辅助圆之定角定高求解探究（1）如图，已知线段AB，以AB为斜边，在图中画出一个直角三角形；（2）如图，在ABC中，ACB60，CD为AB边上的高，若CD4，试判断AB是否存在最小值，若存在，请求出AB最小值；若不存在，请说明理由；（3）如图，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形A

6、BCD中，A45，BD90，CBCD6，点E、F分别为AB、AD上的点，若保持CECF，那么四边形AECF的面积是否存在最大值，若存在，请求出面积的最大值，若不存在，请说明理由【解答】解：（1）如图中，ABC即为所求（2）如图中，作ABC的外接圆O，连接OA，OB，OC，作OEAB于E设OAOC2xAOB2ACB120，OAOB，OEAB，AEEB，AOEBOE60，OEOAx，AEx，OC+OECD，3x4，x，x的最小值为，AB2x，AB的最小值为（3）如图中，连接AC，延长BC交AD的延长线于G，将CDF顺时针旋转得到CBH，作CEH的外接圆OADCABC90，ACAC，CDCB，RtA

7、CDRtACB（HL），SACDSACB，DAB45，DCB135，DCG45，CDG90，CDDG6，CGCD12，ABGB12+6，由（2）可知，当CEH的外接圆的圆心O在线段BC上时，ECH的面积最小，此时四边形AFCE的面积最大，设OCOEr，易知OBEBr，r+r6，r6（2），EHr12（2），四边形AFCE的面积的最大值2（12+6）612（2）6144【变式1-1】如图，在ABC中，BAC60，ADBC于点D，且AD4，则ABC面积的最小值为 【答案】【解答】解：作ABC的外接圆O，连接OA，OB，OC，过点O作OEBC于点E，BAC60，BOC120，OBOC，OBCOCB3

8、0，设O的半径为r，则OEOBr，BEOBr，BCr，OA+OEAD，r+r4，解得：r，BC，ABC的面积的最小值为，故答案为：【变式1-2】如图，在ABC中，BAC90，BC边上的高AD6，则ABC周长的最小值为 【答案】12+12【解答】解：如图，延长CB到E，使得BEBA，延长BC到F，使得CDCA，连接AE，AF，作AEF的外接圆O，连接OE，OF，过点O作OJEF于点J，交O于点TBABE，CACF，BAEBEA，CAFCAF，ABCBAE+BEA，ACBCAF+CFA，AEF+AFE（ABC+ACB）45，EAF135，EOF90，OJEF，EJJF，OJEF，设OEOFr，则E

9、Fr，OJr，AB+BC+ACEB+BC+CFEF，EF最小时，ABC的周长最小，ADBC，AD+OJOT，6+rr，r12+6，EF12+12，AB+BC+AC12+12，ABC的周长的最小值为12+12，故答案为：12+12【变式1-3】如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别是CD，BC边上的点，且EAF45，则AEF面积的最小值为 【答案】3636【解答】解：如图，将ADE绕点A顺时针旋转90得到ABH，由旋转的性质得，AHAE，BAHDAE，EAF45，BAD90，BAF+DAEBAH+BAF45，FAHEAF45，在AEF和AHF中，AEFAHF（SAS），FHEF，SAEFS

10、AFH，设DEx，BFy，则BHDEx，EFBF+BHx+y，CE6x，CF6y，在RtEFC中，EC2+CF2EF2，（6x）2+（6y）2（x+y）2，化简得：y6+，SAEFSAFHFHAB6（x+y）3x+（6+）3（x+6）+123（）2+1212，当时，x66，SAEF的最小值为3636故答案为：3636【变式1-4】（2019新城区校级一模）问题提出：如图1：在ABC中，BC10且BAC45，点O为ABC的外心，则ABC的外接圆半径是 问题探究：如图2，正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD两边上点且EAF45，请问线段BE、DF、EF有怎样的数量关系？并说明理由问题解决：如

11、图3，四边形ABCD中，ABAD4，B45，D135，点E、F分别是射线CB、CD上的动点，并且EAFC60，试问AEF的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值若不存在，请说明理由【解答】解：（1）如图1，作出ABC的外接圆O，A45，BOC90，BC10，OBsin45BC，故答案为：5（2）EFBE+DF，理由如下：如图2，延长EB，使BGDF，连接AG，四边形ABCD是正方形，ABAD，ABGD90，在ABG和ADF中，ABGADF（SAS），AGAF，GABDAF，EAF45，DAF+BAE45，GAE45，在GAE和FAE中，GAEFAE（SAS），EFGEDF+BE，（3）存在最小值，如图3，延长CB，使BGDF，ABC45，ABG135，ABGADF，又ABAD，ABGADF（SAS），GABFAD，AGAF，ABC45，D135，C60，BAD120，EAF60，BAE+DAF60，GAE60，GAEFAE（SAS），在AEF中，EAF60，AH4，EF边上的高AK4，画AEF的外接圆O，作OMEF于M，EAF60，EOM60，设OMx，EM，OE2x，EF2，OM+OAAK，x+2x4，x，EF的最小值为2，SAEF的最小值为