专题07 弧长、扇形面积和圆锥侧面积（解析版）.docx

1、专题7 弧长、扇形面积和圆锥侧面积知识梳理：1、弧长公式半径为R的圆中360的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：n的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)2、扇形面积公式半径为R的圆中360的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：n的圆心角所对的扇形面积公式：3、圆锥的侧面积和全面积连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.圆锥的母线长为，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n，则圆锥的侧面积，圆锥的全面积.扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.题型一：求弧长【例1】如图，边

2、长为4的正方形ABCD内接于O，则的长是 （结果保留）【答案】【解析】解：连接OA、OB正方形ABCD内接于O，ABBCDCAD，AOB36090，在RtAOB中，由勾股定理得：2AO242，解得：AO2，的长，【例2】如图，在ABC中，ABAC，A50，以AB为直径的O交边BC，AC于D，E两点，AC2，则的长是 【答案】【解析】解：连接OE，OD，ABAC，A50，BC65，又OBOD，OAOE，BODB65，AOEA50，BOD50，AOE80，DOE50，由于半径为1，的长是【例3】如图，AB是圆O的直径，CD是弦，CDAB，BCD30，AB6，则弧BD的长为（）AB4C2D45【答案

3、】A【解析】解：BOD2BCD23060，由弧长公式得，弧BD的长为，【例4】如图，O的半径为6，圆周角BAC40，则的长为（）ABCD【答案】C【解析】解：连OB，OC，如图，BAC40，BOC2BAC80，的长，【例5】已知一个扇形的圆心角为120，半径是6cm，则这个扇形的弧长是（）A8B6C4D2【答案】C【解析】解：根据弧长的公式l，得到：l4，故选：C【例6】如图，在扇形OAB中，AOB=110，半径OA=18，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交OA于点C，则的长为_【答案】【解析】解析：连接OD根据折叠的性质知，OB=DB又OD=OB，OD=OB=DB

4、，即ODB是等边三角形，DOB=60AOB=110，AOD=AOBDOB=50，的长为题型二：求扇形面积【例1】如图，从一块直径为4dm的圆形铁皮上剪出一圆心角为90的扇形，则此扇形的面积为（）dm2A4B16C4D8【答案】A【解析】解：连接AB，则C90，所以AB是圆的直径，即AB4dm，由勾股定理得：AC2+BC2AB2，即2AC2（4）2，解得：ACBC4（dm），阴影部分的面积是4（dm2）故选：A【例2】如图，一只羊被4米长的绳子拴在长为3米，宽为2米的长方形封闭围墙的一个顶点上，则这头羊活动范围的最大面积是 米2【答案】【解析】解：+（平方米）【例3】如图，在ABC中，ABAC，

5、C30，AC4，以AB为直径的O交BC于点D，则图中阴影部分的面积为（）ABCD2【答案】B【解析】解：ABAC4，AB为直径，BC30，OAOB2，AOD2B60，图中阴影部分的面积，【例4】如图，在RtABC中，C90，A30，BC，作ABC的平分线BD交AC于点D，以点A为圆心，AD长为半径作弧，交AB于点E，则阴影部分的面积为（）ABCD【答案】A【解析】解：在RtABC中，C90，A30，BC，ACBC3，ABC903060，BD是ABC的平分线，CBD30，在RtBCD中，CDBCtan301，AD312，S阴影部分S扇形ADE，故选：A题型三：求圆心角和半径【例1】已知扇形的面积

6、为16，半径为6，则此扇形的圆心角为 【答案】160【解析】解：设此扇形的圆心角为n，由题意可得，16，解得n160，故答案为：160【例2】在同一个圆中，扇形A，B，C面积之比为1：3：5，则最小扇形的圆心角度数（）A40B100C120D150【答案】A【解析】解：由扇形的面积越小，扇形的圆心角越小，得A的圆心角最小按比例分配，得扇形A的圆心角为36040，【例3】如图，AB是O的直径，CD垂直OB交O于C，D两点，ABC60，图中阴影部分的面积，则O的半径为（）A1B2C3D4【答案】B【解析】解：如图，连接AC，AB是O的直径，ACB90，又ABC60，BAC906030，BOD2BA

7、C60，设O的半径为R，由于S阴影部分S扇形BOD，所以，所以R2，题型四：求圆锥的侧面积或全面积【例1】某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高AO=8米，母线AB与底面半径OB的夹角为，OA：OB=4:3，则圆锥的侧面积是_平方米（结果保留）【答案】【解析】解析：AO=8米，母线AB与底面半径OB的夹角为，BO=6，AB=10，根据圆锥的侧面积公式：【例2】若一个圆锥的侧面展开图是半径为4cm的半圆，则该圆锥的全面积是 cm2【答案】12【解析】解：侧面积是：r2428（cm2），底面积224（cm2），故圆锥的全面积是：8+412（cm2），【例3】已知圆锥的底面半径是2，母线长

8、是3，则圆锥的侧面积为 【答案】6【解析】解：该圆锥的侧面积236【例4】若圆锥的底面半径为2cm，圆锥的母线长为7cm，则它的侧面展开图的面积为 cm2【答案】14【解析】解：底面半径为2cm，则底面周长4cm，侧面面积4714cm2【例5】一个圆柱的高为3cm，侧面积为12cm2，则它的全面积是（）As30cm2Bs20cm2Cs24cm2Ds16cm2【答案】B【解析】解：设圆柱的底面半径为rcm则有2r312，r2，圆柱的全面积222+1220（cm2），故选：B【例6】如图所示，圆锥的底面半径为1，高为，则圆锥的表面积为（）AB2C3D4【答案】C【解析】解：根据题意，圆锥的母线长为

9、2，所以圆锥的表面积12+2123故选：C【例7】如图是一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是_【答案】【解析】解析：由三视图可知此几何体为圆锥d=4，h=3圆锥的母线长为圆锥的侧面积为题型五：求圆锥底面圆半径【例1】把半径为12且圆心角为150的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面圆的半径为 【答案】5【解析】解：设这个圆锥的底面圆的半径为r，根据题意得2r，解得r5，故答案为：5【例2】用半径为6cm，圆心角为120的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是 cm【答案】2【解析】解：设这个圆锥的底面圆的半径为rcm，由题意得：2r，解得：r2，这个圆锥的底面圆的半径为2cm

10、，故答案为：2【例3】一圆锥的母线长为6cm，它的侧面展开图扇形的面积为12，则这个圆锥的底面半径r为 cm【答案】2【解析】解：设这个圆锥底面圆的半径为rcm，根据题意得2r612，解得r2，即这个圆锥底面圆的半径是2cm故答案为：2【例4】用半径为6cm，圆心角为120的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是 cm【答案】2【解析】解：设这个圆锥的底面圆的半径为rcm，由题意得：2r，解得：r2，这个圆锥的底面圆的半径为2cm，故答案为：2【例5】如图，从一块半径为1m的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120的扇形ABC，如果剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的周长为 m

11、【答案】【解析】解：如图，连接OA，OB，OC，则OBOAOC1m，因此阴影扇形的半径为1m，圆心角的度数为120，则扇形的弧长为：m，而扇形的弧长相当于围成圆锥的底面周长，因此有：2r，解得，r（m），圆的周长为2r（cm），故答案为：题型六：求圆锥的高、母线【例1】如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形若扇形的半径R6cm，扇形的圆心角120，该圆锥的高为 cm【答案】4【解析】解：设圆锥的底面半径为rcm，根据题意得 2r，解得r2，所以该圆锥的高h4【例2】一个圆柱的底面半径为4，侧面积为64，则该圆柱的母线长为（）A8B16C8D16【答案】A【解析】解：由圆柱的侧面积公

12、式可得圆柱的母线长6（24）8故选：A【例3】已知圆柱的底面半径为3cm，轴截面面积为24cm2，则圆柱的母线长为 【答案】4【解析】解：圆柱底面直径是326（cm）2464cm答：圆柱的母线长是4cm，故答案为：4cm【例4】如果把一个圆柱体橡皮泥的一半捏成与圆柱底面积相等的圆锥，则这个圆锥的高与圆柱的高的比为 【答案】3：2【解析】解：设圆柱的高为a，圆锥的高为b，圆柱底面积为S，根据题意得SaSb，所以b：a3：2故答案为：3：2【例5】如图，正六边形ABCDEF的边长为6，连接AC，以点A为圆心，AC为半径画弧CE，得扇形ACE，将扇形ACE围成一个圆锥，则圆锥的高为（）A3B6C3D

13、【答案】D【解析】解：过点B作BHAC于H，六边形ABCDEF是正六边形，ABCBAF120，ABBC，BAC30，AHHC，AHABcosBAC3，AC6，同理，FAE30，CAE60，的长为：2，扇形ACE围成的圆锥的底面半径为：，圆锥的高为：，故选：D【例6】如图，将半径为15cm的圆形纸片剪去圆心角为144的一个扇形，用剩下的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），这个圆锥的高是（）A8cmB12cmC20cmD18cm【答案】B【解析】解：设圆锥的底面圆的半径为rcm，根据题意得2r解得r9，所以圆锥的高12（cm）故选：B【例7】用一个半圆围成一个圆锥的侧面，圆锥的底面圆的半径为3

14、则该圆锥的母线长为（）A3B6C9D12【答案】B【解析】解：设该圆锥的母线长为l，根据题意得23，解得l6，即该圆锥的母线长为6故选：B【例8】如图，用圆心角为120，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，则这个纸帽的高是 cm【答案】4【解析】解：圆心角为120，半径为6cm的扇形的弧长4，圆锥的底面圆的周长为4，圆锥的底面圆的半径为2，这个纸帽的高4（cm）故答案为4题型七：求圆锥侧面展开图圆心角【例1】将一个半径为4cm，母线长为10cm的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，所得到展开图的圆心角是 度【答案】160【解析】解：设扇形的圆心角为n，将一个半径为4cm，母线长为10cm

15、的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，圆锥侧面积公式为：Srl41040cm2，扇形面积为40，解得：n144，侧面展开图的圆心角是144度故答案为：144【例2】某中学开展劳动实习，学生到教具加工厂制作圆锥他们制作的圆锥，母线长为30cm，底面圆的半径为10cm，这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是 【答案】160【解析】解：设这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是n，210，解得n120，即这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是120，故答案为：120【例3】已知圆锥的底面直径为4，母线长为6，则此圆锥侧面展开图的圆心角是（）A240B150C120D90【答案】160【解析】解：圆锥的底面周长4，4，

16、解得n120【例4】如图是一个圆锥形冰淇淋外壳，已知其母线长为10cm，底面半径为3cm，则这个冰淇淋外壳的侧面展开图的圆心角度数为（）A108B120C144D150【答案】160【解析】解：设这个冰淇淋外壳的侧面展开图的圆心角度数为n，根据题意得23，解得n108，即这个冰淇淋外壳的侧面展开图的圆心角度数为108故选：A题型八：求阴影部分面积【例1】如图，将半径为2，圆心角为120的扇形OAB绕点A逆时针旋转60，点O，B的对应点分别为O，B，连接BB，则图中阴影部分的面积是_【答案】【解析】解析：连接OO，BO，将半径为2，圆心角为120的扇形OAB绕点A逆时针旋转60，OAO=60，O

17、AO是等边三角形，AOO=60，AOB=120，OOB=60，OOB是等边三角形，AOB=120，AOB=120，BOB=120，OBB=OBB=30，图中阴影部分的面积=SBOB（S扇形OOBSOOB）【例2】如图，两个半径相等的直角扇形的圆心C、E分别在对方的圆弧上，其中点C是的中点，半径AE、CF交于点G，半径BE、CD交于点H，若直角扇形的半径为2cm，则图中阴影部分的面积等于_cm2【答案】【解析】解析：过点C作CMAE，作CNBE，垂足分别为M、N，则四边形EMCN是矩形，点C是的中点，EC平分AEB，CM=CN，矩形EMCN是正方形，MCG+FCN=90，NCH+FCN=90，M

18、CG=NCH，在CMG与CNH中，MCG=NCH，CM=CN，CMG=CNB=90，CMGCNH（ASA），中间空白区域面积相当于对角线是2的正方形面积，空白区域的面积为：，图中阴影部分的面积=两个扇形面积和2个空白区域面积的和=【例3】如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径的O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作O的切线DF，交AC于点F（1）求证：DFAC；（2）若O的半径为4，CDF22.5，求阴影部分的面积【答案】见解析【解析】解析：（1）连接ODOB=ODABC=ODB，AB=AC，ABC=ACBODB=ACB，ODAC，DF是O的切线DFOD，DFAC（2）连接OEDFAC，C

19、DF=22.5，ABC=ACB=67.5BAC=45，OA=OE，AOE=90，O的半径为4S扇形AOE=，SAOE=8，S阴影=题型九：运动路线问题【例1】矩形ABCD的边AB4，AD3，现将矩形ABCD放在直线l上且沿着l向右作无滑动地翻滚，当它翻滚至类似开始的位置A1B1C1D1时（如图所示），则顶点A所经过的路线长是_【答案】【解析】解析：AB=4，AD=3，AM=，顶点A所经过的路线长为：【例2】已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50米，半圆的直径为4米，则圆心

20、O所经过的路线长是_【答案】米【解析】解析：有图形可知，圆心先向前走O1O2的长度即圆周长的，然后沿着弧O2O3旋转圆周长的，最后向右平移50米所以圆心总共走过的路程为圆周长的一半即半圆的弧加上50由已知的圆的半径为2米设半圆形的弧长为l米则半圆形的弧长米故圆心O所经过的路线长为米【例3】如图，圆锥的底面半径为5，母线长为20，一只蜘蛛从底面圆周上一点A出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点A的最短路程是_【答案】【解析】解析：圆锥的底面周长，设侧面展开图的圆心角的度数为n，解得n=90，圆锥的侧面展开图，如图所示：最短路程为：【例4】如图有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为6m的正ABC（1）求该圆锥

21、形粮堆的侧面积；（2）母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从B处沿圆锥表面去偷袭老鼠，小猫经过的最短路程（结果不取近似值）【答案】见解析【解析】解析：（1）根据圆锥的侧面积等于展开扇形的面积得：，解得n=180答：圆锥侧面展开图的圆心角的度数为180（2）根据第（1）中的结论，知：展开的半个侧面的圆心角是90，根据勾股定理得：答：小猫经过的最短路程是m【例5】如图，边长为的正方形ABCD的顶点A、B在一个半径为的圆上，顶点C、D在圆内，将正方形ABCD沿圆的内壁逆时针方向作无滑动的滚动当点C第一次落在圆上时，点C运动的路径长为_【答案】【解析】解析：设圆心为O，正方形ABCD第一次滚动

22、至AMEF处，第二次滚动至HNGF处，连接AO、BO、AC、AE、FAAB=，AO=BO=AB=AO=BOAOB是等边三角形AOB=OAB=60同理，FAO是等边三角形，FAB=2OAB=120EAC=FAD=12090=30GFE=12090=30AD=AB=当点C第一次落在圆上时，点C运动的路径长为【例6】如图，在扇形纸片中，在桌面内的直线l上现将此扇形在直线l上按顺时针方向旋转（旋转过程中无滑动），当落在l上时，停止旋转则点O所经过的路线长为（ ）ABCD【答案】B【解析】解析：点O经过的路线长=12题型十：综合性简答题【例1】如图，在中，以为直径的分别交线段、于点、，过点作，垂足为，线

23、段、的延长线相交于点（1）求证：是的切线；（2）若，求图中阴影部分的面积【答案】见解析【解析】解析：（1）连接AD、OD，如下图所示：AB是圆的直径点D为CB的中点点O为AB的中点OD为的中位线是的切线；（2），为边长为4的等边三角形【例2】如图，ABC中，ACB90，BAC的平分线交BC于点O，以点O为圆心，OC长为半径作圆（1）求证：AB是O的切线；（2）若B30，BC12，求阴影部分面积【答案】见解析【解析】解析：（1）证明：过O作ODAB于D，如图所示：ACB90，OCAC，OA平分BAC，ODOC，OC为O的半径，OD为O的半径，AB是O的切线；（2）ODAB，ODB90，B30，A

24、CB90，OB2OD，ACBC4，OCOD，BC12，BC3OC12，ODOC4，BOD903060，COD120，由（1）得：AB是O的切线，OCAC，AC为O的切线，ADAC4，阴影部分面积AOC的面积+AOD的面积扇形OCD的面积44+4416【例3】古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”波波决定研究一下圆如图，、是的两条半径，C是半径上一动点，连接并延长交于D，过点D作圆的切线交的延长线于E，已知（1）求证：；（2）若，求长；（3）当从增大到的过程中，求弦在圆内扫过的面积【答案】见解析【解析】解析：（1）证明：连接，如图1所示：是的切线，、是的两条半径，；（2），设，

25、即：，解得：，；（3）过点作交的延长线于，如图2所示：当时，当时，当从增大到的过程中，在圆内扫过的面积为：课后作业：1如图，A、B是O上的两点，AOB120，OA3，则劣弧AB的长是（）AB2C3D4【答案】B【解析】解：由题意可得，劣弧AB的长是：2故选：B2若扇形的弧长是5，半径是18，则该扇形的圆心角是（）A50B60C100D120【答案】A【解析】解：扇形的弧长，5，n50，该扇形的圆心角是50故选：A3一个扇形半径30cm，圆心角120，用它作一个圆锥的侧面，则圆锥底面半径为（）A5cmB10cmC20cmD30cm【答案】B【解析】解：设圆锥底面半径为rcm，根据题意得2r，解得

26、r10，即圆锥底面半径为10 cm故选：B4已知圆锥的底面半径为2，母线长为4，则其侧面积为（）A4B6C8D16【答案】C【解析】解：圆锥的侧面积22428，故选：C5圆锥的截面是一个等边三角形，则它的侧面展开图圆心角度数是（）A60B90C120D180【答案】D【解析】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为R，它的轴截面是正三角形，R2r，2r，解得n180，故选：D6如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r3cm，扇形的圆心角120，则该圆锥的母线长l为 cm【答案】9【解析】解：圆锥的底面周长236cm，设圆锥的母线长为R，则：6，解得R9故答案为：97

27、.如图，在RtABC中，C=90，AC=5 cm，BC=12 cm，以BC边所在的直线为轴，将ABC旋转一周得到一个圆锥，求这个圆锥的侧面积.【答案】65【解析】解：C=90，AC=5 cm，BC=12 cm，由勾股定理，得AB=13 cm.以BC边所在的直线为轴，将ABC旋转一周，则所得到的几何体的底面圆周长为25=10(cm)，侧面积为1013=65(cm2).8（2022江苏泰州九年级期末）一圆锥高为4cm，底面半径为3cm，则该圆锥的侧面积为（）ABCD【答案】C【解析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形的面积公式求解解:

28、一圆锥高为4cm，底面半径为3cm，圆锥母线=，圆锥的侧面积=（cm2）故选C9（2022江苏连云港九年级期末）如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型若圆的半径为r，扇形的半径为R，扇形的圆心角等于90，则r与R之间的关系是（）AR2r；B；CR3r；DR4r【答案】D【解析】解：扇形的弧长是：， 圆的半径为r，则底面圆的周长是2r，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长则得到：即：R=4r，r与R之间的关系是R=4r故选D10如图，O的直径AB16，半径OCAB，D为上一动点（不包括B，C两点），DEOC，DFAB，垂足分别为E，F（1）求EF的长（2）若点E为

29、OC的中点，求劣弧CD的长度；若点P为直径AB上一动点，直接写出PC+PD的最小值【答案】见解析【解析】解：（1）如图，连接OD，O的直径AB16，圆的半径为1628OCAB，DEOC，DFAB，四边形OFDE是矩形，EFOD8（2）点E为OC的中点，EDO30，DOE60，劣弧CD的长度为延长CO交O于点G，连接DG交AB于点P，则PC+PD的最小值为DG，PC+PD的最小值为11如图，ABOB，AB2，OB4，把ABO绕点O顺时针旋转60得CDO，则AB扫过的面积（图中阴影部分）为（）A2B2CD【答案】C【解析】解：ABOB，AB2，OB4，OA2，边AB扫过的面积，故选：C12如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120，AB长为25cm，则纸扇外边缘弧BC长为 cm【答案】【解析】解：纸扇外边缘弧BC的长（cm），故答案为：