4.1 从问题到方程-（苏科版）（解析版）.docx

1、从问题到方程知识点一、一元一次方程的概念1.一元一次方程的定义：方程，这样，它们都只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1（次）的，像这样的方程，叫做一元一次方程.这里的“元”指的是未知数，“一元”就是只有一个未知数的意思，“一次”是指所含未知数的项的最高次数是1.2.一元一次方程的标准形式：（a、b是常数，且）.3.一个方程须同时满足：只含有一个未知数；未知数的次数都是1；等号两边都是整式，这三个条件才可以判定它是一元一次方程.例：下列方程为一元一次方程的是（）Ax34Bx2+3x+2C12D2y3x2【解答】A【解析】B是二次的，C不是整式方程，D含有两个未知数，它们都不符合一元一次

2、方程的定义只有A符合一元一次方程的定义故选A知识点二、根据实际问题列一元一次方程1.根据实际问题列一元一次方程，即把文字语言叙述的问题转化为用数学语言表达的句子，关键是准确找出相等关系，在实际问题中，常用一些关键词表示问题中的数量关系，如“和、差、积、商、大、小、几分之几”等，解题时，要抓住这些关键词，然后找出等量关系.2.列一元一次方程的步骤（1）找出题中的等量关系，找出已知量与未知量；（2）设未知数，用含未知数的代数式表示其他未知量；（3）由题中的相等关系，列出一元一次方程（列方程时，须使得方程两边的单位统一）.例：古代名著算学启蒙中有一题：良马日行二百二十里，驽马日行一百四十里，驽马先行

3、一十二日，问良马几何追及之意思是：跑得快的马每天走220里，跑得慢的马每天走140里慢马先走12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则由题意，可列方程为（）ABC220x140x+14012D140+12x220【解答】C【解析】由题意可得，220x140x+14012，故选C巩固练习一选择题1下列是一元一次方程的是（）Ax1B2x+y5C1x=1Dx22x30【分析】根据一元一次方程的定义判断即可【解答】解：A选项是一元一次方程，故该选项符合题意；B选项中含有两个未知数，故该选项不符合题意；C选项中的方程是分式方程，故该选项不符合题意；D选项最高次数是2次，故该选项不符合题意；故

4、选：A【点评】本题考查了一元一次方程的定义，掌握只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程是解题的关键2方程（7a）x2+ax80是关于x的一元一次方程，那么a的值是（）A0B7C8D10【分析】根据一元一次方程的定义得出7a0且a0，再求出a即可【解答】解：方程（7a）x2+ax80是关于x的一元一次方程，7a0且a0，解得：a7，故选：B【点评】本题考查了一元一次方程的定义，能熟记一元一次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1的整式方程，叫一元一次方程3孙子算经中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有

5、九十四足，问鸡兔各几何”设鸡有x只，可列方程为（）A4x+2（94x）35B4x+2（35x）94C2x+4（94x）35D2x+4（35x）94【分析】由上有三十五头且鸡有x只，可得出兔有（35x）只，利用足的数量2鸡的只数+4兔的只数，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解【解答】解：上有三十五头，且鸡有x只，兔有（35x）只依题意得：2x+4（35x）94故选：D【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键4某人骑电动车到单位上班，若每小时骑30千米，则可早到10分种；若每小时骑20千米，则迟到5分种设他家到单位的路程为x千米，则所列方程

6、为（）Ax30+10=x20-5Bx30+1060=x20-560Cx30+560=x20-1060Dx30-1060=x20+560【分析】设他家到单位的路程为x千米，根据时间路程速度结合“若每小时骑30千米，可早到10分钟，若每小时骑20千米，则迟到5分钟”，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解【解答】解：设他家到单位的路程为x千米，依题意，得：x30+1060=x20-560，故选：B【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键5一条地下管线由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需要24天，如果由这两个工程队从两端同时施工，要

7、多少天可以铺好这条管线？设要用x天可以铺好这条管线，则可列方程为（）A12x+24x1 B（112+124）x1C12x+24x=1D（12+24）x1【分析】利用甲、乙两工程队每天完成的工作量乘以总天数1，进而得出答案【解答】解：设要用x天可以铺好这条管线，则可列方程：（112+124）x1故选：B【点评】此题主要考查了由实际问题列出一元一次方程，以总工作量为1得出等式是解题关键65月份某公司的综合评分为90分，比4月份的综合评分提高了15%设该公司4月份的综合评分为x依题意，下面列出的方程正确的是（）A15%x90B（115%）x90C（1+15%）x90D90（1+15%）x【分析】设该

8、公司4月份的综合评分为x，等量关系是：4月份的综合评分（1+15%）5月份的综合评分，依此列出方程即可【解答】解：设该公司4月份的综合评分为x，根据题意得（1+15%）x90故选：C【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，理解题意找到等量关系是解决本题的关键7下列方程中：x2=2x；x6；2-y4=y-15；x24x3；0.3x1；x+2y0，其中一元一次方程的个数是（）A3B4C5D6【分析】根据一元一次方程的定义判断即可【解答】解：x2=2x，分母中含有未知数，不是一元一次方程；x6，是一元一次方程；2-y4=y-15，是一元一次方程；x24x3，未知数的最高次数是2，不是一元一次

9、方程；0.3x1，是一元一次方程；x+2y0，方程中有2个未知数，不是一元一次方程所以其中一元一次方程的个数是3故选：A【点评】此题主要考查了一元一次方程的定义，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程通常形式是ax+b0（a，b为常数，且a0）8孙子算经中记载：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共鹿适尽，问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？设有x户人家，可列方程为（）Ax+3x100B3xx100Cx-x3=100Dx+x3=100【分析】

10、设有x户人家，根据“每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完”，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解【解答】解：设有x户人家，依题意，得：x+x3=100故选：D【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键二填空题9已知方程（k1）x3m+1+120是关于x的一元一次方程，则m0，k1【分析】根据一元一次方程的定义解答即可【解答】解：当方程（k1）x3m+1+120是关于x的一元一次方程，k10，3m+11，k1，m0故答案为：0，1【点评】本题考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫

11、一元一次方程10若（m+2）x m2-3-2m1，是关于x的一元一次方程，则m2【分析】根据一元一次方程的定义列出方程和不等式，即可得出结果【解答】解：（m+2）xm2-3-2m1，是关于x的一元一次方程，m+20m2-3=1，解得m2故答案为：2【点评】本题考查了一元一次方程的概念，只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程，ax+b0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a0）叫一元一次方程的标准形式11若（m3）x|m2|+21是关于x的一元一次方程，则m的值为 1【分析】若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，则这个

12、方程是一元一次方程据此可得出关于m的方程，继而可求出m的值【解答】解：根据一元一次方程的特点可得m-30|m-2|=1，解得：m1故答案为：1【点评】此题考查的是一元一次方程的定义，解题的关键是根据一元一次方程的未知数x的次数是1这个条件，此类题目应严格按照定义解答12如图，在编写数学谜题时，“”内要求填写同一个数字，若设“”内的数字为y，则列出的方程是 5（120+y）100y+30【分析】由给定的乘法竖式，即可得出关于y的一元一次方程，此题得解【解答】解：依题意得：5（120+y）100y+30故答案为：5（120+y）100y+30【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量

13、关系，正确列出一元一次方程是解题的关键13甲处有272人，乙处有196人，要使甲处的人数是乙处人数的3倍，应从乙处调多少人到甲处？若设应从乙处调x人到甲处，则可列方程：272+x3（196x）【分析】首先理解题意找出题中存在的等量关系：（甲处原来的人数+调入的人数）3（乙处原来的人数调出的人数），根据此等量关系列方程即可【解答】解：设应从乙处调x人到甲处，则甲处现有的工作人数为（272+x）人，乙处现有的工作人数为（196x）人根据“甲处的人数是乙处人数的3倍”列方程得：272+x3（196x），故答案为：272+x3（196x）【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，弄清楚人员调

14、动前后甲乙两处人数的变化是解决问题的关键14下列四个方程x10，a+b0，2x0，1y1中，是一元一次方程的有x10和2x0【分析】若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，则这个方程是一元一次方程据此可得出正确答案【解答】解：根据一元一次方程的定义可知：是一元一次方程的有x10和2x0故答案为：x10，2x0【点评】本题主要考查的是一元一次方程的定义判断一元一次方程，第一步先看是否是整式方程，第二步化简后是否只含有一个未知数，且未知数的次数是1此类题目可严格按照定义解题15某车间28名工人生产螺栓和螺母，每人每天平均生产螺栓12个或螺母18个，一个螺

15、栓需要两个螺母与之配套，如何安排生产才能让螺栓和螺母正好配套？设若x名工人生产螺栓，其余工人生产螺母，根据题意所列方程为 212x18（28x）【分析】安排x名工人生产螺栓，（28x）名工人生产螺母，根据生产的螺母是螺栓的2倍列方程即可【解答】解：设安排x名工人生产螺栓，则需安排（28x）名工人生产螺母，根据题意，得：212x18（28x），故答案为：212x18（28x）【点评】本题主要考查的是一元一次方程的应用，根据总人数为28人，生产的螺母是螺栓的2倍列出方程是解题的关键16有一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大1，如果把这两位数的个位与十位对调，那么所得的新数与原数的和是121，求

16、这个两位数设十位上的数字为x，则可列方程为 10x+（x+1）+10（x+1）+x121【分析】设十位上的数字为x，根据有一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大1，如果把这两位数的个位与十位对调，那么所得的新数与原数的和是121可列方程求解【解答】解：设十位上的数字为x，则10x+（x+1）+10（x+1）+x121故答案是：10x+（x+1）+10（x+1）+x121【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，关键是数字问题的设法，设十位数字是多少，然后根据原数和新数的和是121列方程三解答题17“五一”期间，某电器城按成本价提高30%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为2080

17、元，该电器的成本价为多少元？（只列方程）【分析】设该电器的成本价为x元，根据成本价（1+30%）80%售价为2080元可列出方程【解答】解：设该电器的成本价为x元，依题意有x（1+30%）80%2080【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，掌握销售问题中的基本数量关系是解决问题的关键18已知方程（1m2）x2（m+1）x+80是关于x的一元一次方程（1）求m的值及方程的解（2）求代数式5x22（xm+2x2）3（13xm+2）的值【分析】（1）根据一元一次方程的定义得到1m20且（m+1）0，解得m1，再解原方程得到x4；（2）把代数式化简得到原式x23x6，然后把x4代入计算即可【

18、解答】解：（1）方程（1m2）x2（m+1）x+80是关于x的一元一次方程，1m20且（m+1）0，m1，原一元一次方程化为：2x+80，解得x4；（2）5x22（xm+2x2）3（13xm+2）5x22x4x2x6x23x6，当x4时，原式424362，即代数式5x22（xm+2x2）3（13xm+2）的值是2【点评】本题主要考查了一元一次方程的定义和整式的加减解题的关键是掌握一元一次方程的解的定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解19某市收取水费按以下规定：若每月每户不超过20立方米，则每立方米水价按1.2元收费；若超过20立方米，则超过部分按每立方米2元收费，那

19、么（1）如果某户居民在某月用水x立方米，且x20，则所交水费为1.2x元；（2）如果某户居民在某月用水x立方米，且x20，则所交水费为（2x16）元；（3）如果某户居民在某月所交水费的平均水价为每立方米1.5元，设这户居民这个月共用了x立方米的水，请写出x的范围，并列出方程【分析】（1）直接利用x的取值范围，结合每立方米水价按1.2元，进而得出收费实际费用；（2）直接利用x的取值范围，结合超过20立方米，超过部分按每立方米2元收费，进而得出实际费用；（3）所交水费的平均水价为每立方米1.5元，超过1.2元，则这户居民这一月用水一定超过20立方米设这一月共用水x立方米，根据收费标准，可得方程，即

20、可得答案【解答】解：（1）由题意得：x20时，所交水费为1.2x元，故答案为：1.2x；（2）由题意得：x20时，所交水费：201.2+2（x20）（2x16）元；（3）由题意可得：x20，设这一月共用水x立方米，根据题意得：201.2+2（x20）1.5x，化简可得2x161.5x，解得：x32即他这一个月共用了32立方米的水【点评】此题主要考查了有实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程20数学兴趣小组设计了一个问题，分两步完成：（1）已知关于x的一元一次方程（a2）x|a|1+80，请画出数轴，并在数轴上标注出a与x对应的点，分别记作A，B（2）在（

21、1）的条件下，在数轴上另有一点C对应的数为y，C与A的距离是C与B的距离的5倍，求y的值【分析】（1）利用一元一次方程的定义得|a|11且a20，求出a得到一元一次方程为4x+80，解方程得x24，然后利用数轴表示A、B两点；（2）利用数轴上两点间的距离公式得到|y（2）|5|4y|，然后解绝对值方程即可得到y的值【解答】解：（1）由一元一次方程的定义得|a|11且a20，解得a2，所以关于x的一元一次方程变形为4x+80，解得x2，在数轴上表示如图所示：（2）依题意有|y（2）|5|y2|，解y+25（y2）得y3，解y+25（y2）得y=43（舍去）所以y的值为3【点评】本题考查了作图复杂

22、作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法也考查了数轴和一元一次方程的定义21甲、乙两人同时从相距25千米的A地去B地，甲骑车乙步行，甲的速度是乙的速度的3倍，甲到达B地停留40分钟，然后从B地返回A地，在途中遇见乙，这时距他们出发的时间恰好3小时，求两人的速度各是多少？A：设：设乙的速度为x千米/小时，则甲的速度为3x千米/小时B：（画出线段图）C：列方程 7x+3x252【分析】设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，根据路程速度时间可求甲遇见乙时，乙走的路程和甲走的路程；根据关于路程的等量关系：甲、乙两人行驶的

23、路程和是两个25千米，列出方程求解即可【解答】解：A：设：设乙的速度为x千米/小时，则甲的速度为3x千米/小时，甲遇见乙时，乙走的路程可以表示为 3xkm，甲走的路程可以表示为（3-4060）3x7xkmB：（画出线段图）如下：C：列方程7x+3x252，10x50，x5，3x15答：甲的速度是15千米/小时，乙的速度是5千米/小时故答案为：设乙的速度为x千米/小时，则甲的速度为3x千米/小时；7x+3x252【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用的知识，解答本题的关键是设出甲和乙的速度，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，此题难度不大22根据条件列方程：（1）正方形的

24、边长为2x，周长为50厘米（2）x的相反数减去3的差是x的2倍【分析】（1）由正方形的周长公式列出方程（2）找到等量关系：x的相反数减去3的差x的2倍【解答】解：（1）根据题意得到：42x50（2）根据题意得到：x32x【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是找到等量关系23在一次美化校园活动中，先安排31人去拔草，18人去植树，后又增派20人去支援他们，结果拔草的人数是植树的人数的2倍问支援拔草和植树的分别有多少人？（只列出方程即可）【分析】首先设支援拔草的有x人，则支援植树的有（20x）人，根据题意可得等量关系：原来拔草人数+支援拔草的人数2（原来植树的人数+支援植

25、树的人数）【解答】解：设支援拔草的有x人，由题意得：31+x218+（20x）【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程24列方程解应用题：一件衬衫先按进价加价60元标价，再以8折出售，仍可获利24元，这件衬衫的进价是多少钱？审题：A设：这件衬衫的进价是x元B：进价标价折数售价利润x元（x+60）元8折0.8（x+60）元0.8（x+60）x元C：列方程0.8（x+60）x24【分析】设这件衬衫的进价是x元，根据题意：标价成本价+60，售价标价0.8，利润销售价成本，即可列出方程【解答】解：A设：这件衬衫的进价是x元，B：进价标价折数

26、售价利润x元（x+60）元8折0.8（x+60）元0.8（x+60）x元C：列方程：0.8（x+60）x24故答案是：这件衬衫的进价是x元；（x+60）元；8折；0.8（x+60）元；0.8（x+60）x元；0.8（x+60）x24【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，弄清楚，成本价、标价、销售价，以及利润、成本、售价之间的关系是解本题的关键25（1）若关于x的方程（m4）x|m1|2+20是一元一次方程，求m的值（2）已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，试化简：|a|+|a+c|b2a|+|bc|【分析】（1）根据题意首先得到：|m1|1，解此绝对值方程，求出m的两个值分别

27、代入所给方程中，使系数不为0的方程，解即可；如果系数为0，则不合题意，舍去（2）首先根据数轴判断绝对值里代数式的大小，再根据绝对值的意义正确去掉绝对值【解答】解：（1）关于x的方程（m4）x|m1|2+20是一元一次方程，|m1|21，且m40，由|m1|21，得m4或m2，由m40，得m4，m2；（2）a0，a+c0，b2a0，bc0，|a|+|a+c|b2a|+|bc|（a）（a+c）（b2a）（bc）aacb+2ab+c2b【点评】本题主要考查的是一元一次方程的定义，绝对值的意义以及整式的运算，熟练掌握相关概念及整式的运算法则是解题的关键26如图是明代数学家程大位的算法统宗中的一个问题，

28、其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两（注：明代时1斤16两，故有“半斤八两”这个成语则下列设未知数列方程正确的序号是 设这群人人数为x，根据题意得7x49x+8；设这群人人数为x，根据题意得7x+49x8；设所分银子的数量为x两，根据题意得x-47=x+89设所分银子的数量为x两，根据题意得x+47=x-89【分析】根据题意列出方程求出答案【解答】解：设这群人人数为x，根据题意得：7x+49x8，故正确；设所分银子的数量为x两，根据题意得x-47=x+89，故正确故答案为：【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是找出等量关系，本题属于基础题型