专题08 二次函数与平行四边形有关的问题（知识解读）-备战2023年中考数学《重难点解读•专项训练》（全国通用）.docx

1、专题08 二次函数与平行四边形有关的问题（知识解读）【专题说明】二次函数为载体的平行四边形存在性问题是近年来中考的热点，其图形复杂，知识覆盖面广，综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高对这类题，常规解法是先画出平行四边形，再依据“平行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形的对角线互相平分”来解决由于先要画出草图，若考虑不周，很容易漏解为此，我借助探究平行四边形顶点坐标公式来解决这一类题，同学们要掌握好解决这类题型的基本思路和解题技巧。【解题思路】1. 线段中点坐标公式 2.平行四边形顶点公式： 分类：1. 三个定点，一个动点问题 已知三个定点的坐标，可设出抛物线上第四个顶点的坐标

2、，运用平行四边形顶点坐标公式列方程（组）求解。这种题型由于三个定点构成的三条线段中哪条为对角线不清楚，往往要以这三条线段分别为对角线分类，分三种情况讨论； 2. 两个定点、两个动点问题 这中题型往往比较特殊，一个动点在抛物线上，另一个动点在x轴（y轴）或对称轴或某一条直线上。设出抛物线上的动点坐标，另一个动点若在x轴上，纵坐标为0，则用平行四边形顶点纵坐标公式；若在y轴上，横坐标为0，则用平行四边形顶点横坐标公式。该动点哪个坐标已知就用与该坐标有关的公式。方法总结： 这种题型，关键是合理有序分类：无论式三定一动，还是两定两动，统统把抛物线上的动点作为第四个动点，其余三个作为顶点，分别以这三个定

3、点构成的三条线段为对角线分类，份三种情况讨论，然后运用平行四边形顶点坐标公式转化为方程（组），这种解法，不必画出平行四边形草图，只要合理分类，有序组合，从对角线入手不会漏解，条理清楚，而且适用范围广，其本质用代数的方法解决几何问题，体现的是分类讨论思想、属性结合的思想。【典例分析】【考点1 三定一动类型】【典例1】（2022乐业县二模）如图，抛物线yax2+bx3与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中点C的横坐标是2（1）求抛物线的函数表达式；（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使得PBC的周长最小，并求出点P的坐标；（3）在平面直角坐标系中，是否存在一点E

4、，使得以E、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由【变式1-1】（2022宝山区模拟）已知一个二次函数的图象经过A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，顶点为D（1）求这个二次函数的解析式；（2）求经过A、D两点的直线的表达式；（3）设P为直线AD上一点，且以A、P、C、B为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标【变式1-2】（2021秋建昌县期末）如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，P是抛物线上一动点（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线BC上方的抛物线上时，求PBC的最大面积，并直接写出

5、此时P点坐标；（3）若点M在抛物线的对称轴上，以B，C，P，M为顶点、BC为边的四边形能否是平行四边形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由【考点2 两定两动类型】【典例2】（2022牡丹区三模）如图，直线yx+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线yax2+x+c经过B，C两点（1）求抛物线的解析式；（2）E是直线BC上方抛物线上的一动点，当点E到直线BC的距离最大时，求点E的坐标；（3）Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【变式2-1】（2022南京模拟）已知，如图，抛物

6、线与坐标轴相交于点A（1，0），C（0，3）两点，对称轴为直线x1，对称轴与x轴交于点D（1）求抛物线的解析式；（2）点F为二次函数图象上与点C对称的点，点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点F，A，M，N为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由【变式2-2】（2022东莞市校级一模）如图所示，抛物线yx2+bx+c交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C（0，3），已知AB4，对称轴在y轴左侧（1）求抛物线的表达式；（2）若点N在对称轴上，则抛物线上是否存在点M，使得点A、O、N、M构成平行四边形，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明

7、理由；【变式2-3】（2022百色一模）如图，已知抛物线yx2+bx+c与一直线相交于A（1，0），B（2，3）两点，抛物线的顶点为M（1）求抛物线的表达式及顶点M的坐标；（2）若抛物线的对称轴与直线AB相交于点N，E为直线AB上的任意一点，过点E作EFy轴交抛物线于点F，以M，N，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出点E的坐标；若不能，请说明理由专题08 二次函数与平行四边形有关的问题（知识解读）【专题说明】二次函数为载体的平行四边形存在性问题是近年来中考的热点，其图形复杂，知识覆盖面广，综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高对这类题，常规解法是先画出平行四边形，再依据

8、“平行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形的对角线互相平分”来解决由于先要画出草图，若考虑不周，很容易漏解为此，我借助探究平行四边形顶点坐标公式来解决这一类题，同学们要掌握好解决这类题型的基本思路和解题技巧。【解题思路】2. 线段中点坐标公式 2.平行四边形顶点公式： 分类：3. 三个定点，一个动点问题 已知三个定点的坐标，可设出抛物线上第四个顶点的坐标，运用平行四边形顶点坐标公式列方程（组）求解。这种题型由于三个定点构成的三条线段中哪条为对角线不清楚，往往要以这三条线段分别为对角线分类，分三种情况讨论； 4. 两个定点、两个动点问题 这中题型往往比较特殊，一个动点在抛物线上，另一个动点

9、在x轴（y轴）或对称轴或某一条直线上。设出抛物线上的动点坐标，另一个动点若在x轴上，纵坐标为0，则用平行四边形顶点纵坐标公式；若在y轴上，横坐标为0，则用平行四边形顶点横坐标公式。该动点哪个坐标已知就用与该坐标有关的公式。方法总结： 这种题型，关键是合理有序分类：无论式三定一动，还是两定两动，统统把抛物线上的动点作为第四个动点，其余三个作为顶点，分别以这三个定点构成的三条线段为对角线分类，份三种情况讨论，然后运用平行四边形顶点坐标公式转化为方程（组），这种解法，不必画出平行四边形草图，只要合理分类，有序组合，从对角线入手不会漏解，条理清楚，而且适用范围广，其本质用代数的方法解决几何问题，体现的

10、是分类讨论思想、属性结合的思想。【典例分析】【考点1 三定一动类型】【典例1】（2022乐业县二模）如图，抛物线yax2+bx3与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中点C的横坐标是2（1）求抛物线的函数表达式；（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使得PBC的周长最小，并求出点P的坐标；（3）在平面直角坐标系中，是否存在一点E，使得以E、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）抛物线yax2+bx3与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，解得：，抛物线的函数表达式为yx22x3；（2）yx22x3（

11、x1）24，抛物线的对称轴为x1，A、B关于直线x1对称，所以AC与对称轴的交点为点P，此时CPBCPB+PC+BCAC+BC，此时BPC的周长最短，点C的横坐标是2，yC222233，C（2，3），设直线AC的解析式为ymx+n（m0），解得：，直线AC的解析式为yx1，当x1时，y112，P（1，2）；（3）存在一点E，使得以E、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形A（1，0），B（3，0），C（2，3），设E（x，y），当AB为对角线时，则，解得：，E（0，3）；当AC为对角线时，则，解得：，E（2，3）；当BC为对角线时，则，解得：，E（6，3）综上所述，E点坐标为（0，3）或（2，3

12、）或（6，3）【变式1-1】（2022宝山区模拟）已知一个二次函数的图象经过A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，顶点为D（1）求这个二次函数的解析式；（2）求经过A、D两点的直线的表达式；（3）设P为直线AD上一点，且以A、P、C、B为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标【解答】解：（1）设yax2+bx+c，将点A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入yax2+bx+c，解得，yx2+4x3；（2）yx2+4x3（x2）2+1，D（2，1），设直线AD的解析式为ykx+b，解得，yx1；（3）设P（t，t1），当AB为平行四边形的对角线时，t1+34，P（4，3）；当AC为平

13、行四边形的对角线时，13+t，t2，P（2，3）；当AP为平行四边形的对角线时，t+13，t2，P（2，1），此时3+01+0，P（2，1）不符合题意；综上所述：P点的坐标为（4，3）或（2，3）【变式1-2】（2021秋建昌县期末）如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，P是抛物线上一动点（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线BC上方的抛物线上时，求PBC的最大面积，并直接写出此时P点坐标；（3）若点M在抛物线的对称轴上，以B，C，P，M为顶点、BC为边的四边形能否是平行四边形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由【解答】解：（1）

14、抛物线yx2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，抛物线的解析式为yx22x+3；（2）如图1，由（1）知，抛物线的解析式为yx22x+3，令x0，则y3，C（0，3），设直线BC的解析式为ykx+3，点B（3，0），3k+30，k1，直线BC的解析式为yx+3，过点P作PQy轴交BC于Q，设P（m，m22m+3）（3m0），Q（m，m+3），PQm22m+3（m+3）m23m，SPBCPQ（xCxB）（m23m）0（3）（m+）2+，当m时，PBC的最大面积为，此时，点P的坐标为（，）；（3）能是平行四边形；如图2，由（1）知，抛物线的解析式为yx22x+3，抛物线的对称轴为x

15、1，设点M（1，a），P（n，n22n+3），假设存在以B，C，P，M为顶点、BC为边的四边形是平行四边形，当四边形BCMP是平行四边形时，点C（0，3），B（3，0），（n+0）（3+（1），n4，P（4，5），当四边形BCPM是平行四边形时，点C（0，3），B（3，0），n+（3）（0+（1），n2，P（2，5），即：满足条件的点P（4，5）或（2，5）【考点2 两定两动类型】【典例2】（2022牡丹区三模）如图，直线yx+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线yax2+x+c经过B，C两点（1）求抛物线的解析式；（2）E是直线BC上方抛物线上的一动点，当点E到直线BC的距离最大时，求点

16、E的坐标；（3）Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）直线yx+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，点B，C的坐标分别为B（0，4），C（4，0），把点B（0，4）和点C（4，0）代入抛物线yax2+x+c，得：，解之，得，抛物线的解析式为（2）BC为定值，当BEC的面积最大时，点E到BC的距离最大如图，过点E作EGy轴，交直线BC于点G设点E的坐标为，则点G的坐标为（m，m+4），当m2时，SBEC最大此时点E的坐标为（2，4）（3）存在由抛物线可得对称轴是直线x1Q是抛

17、物线对称轴上的动点，点Q的横坐标为1当BC为边时，点B到点C的水平距离是4，点Q到点P的水平距离也是4点P的横坐标是5或3，点P的坐标为或；当BC为对角线时，点Q到点C的水平距离是3，点B到点P的水平距离也是3，点P的坐标为综上所述，在抛物线上存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标是或或【变式2-1】（2022南京模拟）已知，如图，抛物线与坐标轴相交于点A（1，0），C（0，3）两点，对称轴为直线x1，对称轴与x轴交于点D（1）求抛物线的解析式；（2）点F为二次函数图象上与点C对称的点，点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点F，A，M，N为顶点的平行

18、四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由【解答】解：（1）抛物线对称轴为直线x1，设抛物线ya（x1）2+k，把A（1，0），C（0，3）代入ya（x1）2+k得：，y（x1）24；（2）y（x1）24，yx22x3，依题意设N（1，n），M（m，m22m3），C（0，3），对称轴为直线x1，F（2，3），A（1，0），F（2，3），N（1，n），M（m，m22m3），当以AF为对角线时，m0，M（0，3），当以AN为对角线时，m2，M（2，5），当以AM为对角线时，m4，M（4，5），综上所述：M（0，3）或M（2，5）或M（4，5）【变式2-2】（2022东莞市校级一模）如图

19、所示，抛物线yx2+bx+c交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C（0，3），已知AB4，对称轴在y轴左侧（1）求抛物线的表达式；（2）若点N在对称轴上，则抛物线上是否存在点M，使得点A、O、N、M构成平行四边形，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；【解答】解：（1）抛物线yx2+bx+c交y轴于点C（0，3），c3，抛物线的解析式为yx2+bx3，设A（x1，0），B（x2，0），由题意得x2x14，（x1+x2）24x1x216，x1+x2b，x1x23，b2+1216，b2，又对称轴在y轴左侧，b2，抛物线的表达式为yx2+2x3；（2）存在点M，使得点A、O、

20、N、M构成平行四边形抛物线的解析式为yx2+2x3，y0时，x3或x1，A（3，0），B（1，0），若OA为边，AOMN，OAMN3，N在对称轴x1上，点M的横坐标为2或4，当x2时，y5，当x4时，y5，M（2，5）或（4，5）；若OA为对角线时，A（3，0），O（0，0），OA的中点的坐标为（，0），N在直线x1上，设M的横坐标为m，m2，把m2代入抛物线解析式得y3，M（2，3）综上所述，M的坐标为（2，5）或（4，5）或（2，3）；（3）B（1，0），C（0，3），SOBC，SOBCSPBC，设BC的解析式为ykx+n，直线BC的解析式为y3x3，过点O作OPBC交抛物线于P，则SOB

21、CSPBC，直线OP的解析式为y3x，解得，P（，）或（，）【变式2-3】（2022百色一模）如图，已知抛物线yx2+bx+c与一直线相交于A（1，0），B（2，3）两点，抛物线的顶点为M（1）求抛物线的表达式及顶点M的坐标；（2）若抛物线的对称轴与直线AB相交于点N，E为直线AB上的任意一点，过点E作EFy轴交抛物线于点F，以M，N，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出点E的坐标；若不能，请说明理由【解答】解：（1）由题意得：，解得，所以抛物线的解析式为：yx2+2x+3；yx2+2x+3（x1）2+4，顶点M的坐标为（1，4）（2）能设点E的横坐标为t，则点F的横坐标为t，当1t2，由（2）得，EF（t2+2t+3）（t+1）t2+t+2；yx2+2x+3（x1）2+4，该抛物线的对称轴为直线x1，顶点M的坐标为（1，4），直线AB：yx+1，当x1时，y2，B（1，2），BD422，EFMN，当EFMN2时，四边形MNEF是平行四边形，t2+t+22，解得t10，t21（不符合题意，舍去），直线yx+1，当x0时，y1，E（0，1）；当x1或x2时，则EF（t+1）（t2+2t+3）t2t2，t2t22，解得t1，t2，直线yx+1，当x时，y；当x时，y，E（，），E（，），综上所述，点E的坐标为（0，1）或（，）或（，）