专题09二次函数的应用（2个知识点4种题型1个易错点）（原卷版）.docx

1、专题09二次函数的应用（2个知识点4种题型1个易错点）【目录】倍速学习四种方法【方法一】 脉络梳理法知识点1.最大面积问题（重点）知识点2.最大利润问题（难点）【方法二】 实例探索法题型1.运动中的二次函数问题题型2.二次函数与建筑问题题型3.分段函数问题题型4.动点问题【方法三】差异对比法易错点：混淆销售利润各量之间的关系而导致错误【方法四】 成果评定法【学习目标】1. 能运用二次函数解决最大面积（高度）问题2. 能建立二次函数模型解决最大利润问题。3. 能从实际问题中抽象出二次函数，并能运用二次函数的性质解决问题。重点：利用二次函数解决最大面积，最大高度、最大利润问题。难点：二次函数性质的

2、应用。 【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.最大面积问题（重点）求解二次函数与面积结合的问题时，基本方法上与利润最大化是相同的，也是通过配方的方式求解相关面积的最值，当然也需要注意自变量的取值范围而与利润最大化问题不同的是，面积问题中可能会涉及到三角形、四边形或者圆等图形，也可能会出现动点与面积相结合的类型，变化较多【例1】（2023秋南开区期末）如图1，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为，围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃设花圃的宽为 （宽不大于长，面积为 （）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（）请求出花圃能围成的最大面积，并写出此时的值；（）如图2，为了方

3、便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽均为的两扇小门，能否使围成的花圃面积为？如果能，请直接写出花圃宽和长的值；如果不能，请说明理由【变式1】（2022秋龙岩期末）如图，现打算用的篱笆围成一个“日”字形菜园（含隔离栏，菜园的一面靠墙，墙可利用的长度为（篱笆的宽度忽略不计）（1）菜园面积可能为吗？若可能，求边长的长，若不可能，说明理由（2）因场地限制，菜园的宽度不能超过，求该菜园面积的最大值【变式2】（2023淮阴区一模）如图，中，为中点，、是边、上的动点，从出发向运动，同时以相同的速度从出发向运动，运动到停止，当为时，的面积最大知识点2.最大利润问题（难点）求解二次函数与利润最大化的问

4、题，主要是根据题意列出相关的二次函数解析式，再通过配方的方式求解最大值这是一种实际应用的题型，需根据自变量的实际意义确定函数的定义域，在求解最大值时，也需注意自变量的取值范围【例2】（2023秋鼓楼区校级月考）一人一盔安全守规，一人一戴平安常在，某电动自行车配件店经市场调查，发现进价为40元的新款头盔每月的销售量（件与售价（元成一次函数关系（1）若物价局规定，该头盔最高售价不得超过100元，当售价为多少元时，利润达到5600元；（2）若获利不得高于进价的，那么售价定为多少元时，月销售利润达到最大？最大利润是多少元？【变式】（2023宿迁）某商场销售、两种商品，每件进价均为20元调查发现，如果售

5、出种20件，种10件，销售总额为840元；如果售出种10件，种15件，销售总额为660元（1）求、两种商品的销售单价；（2）经市场调研，种商品按原售价销售，可售出40件，原售价每降价1元，销售量可增加10件；种商品的售价不变，种商品售价不低于种商品售价设种商品降价元，如果、两种商品销售量相同，求取何值时，商场销售、两种商品可获得总利润最大？最大利润是多少？【方法二】实例探索法题型1.运动中的二次函数问题1（2022连云港）如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y0.2x2+x+2.25运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m，则他距篮筐中心的水平距离OH是 m2（2023

6、宜昌）如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y（x10）（x+4），则铅球推出的距离OAm题型2.二次函数与建筑问题3（2022秋姜堰区期末）苏北里下河水乡溱潼镇，过去有着“出门就过河”的历史，随着经济的发展，桥梁逐渐增多，其中以新读书址大桥最为壮观现测得其中一钢架跨径为，拱高，每隔有一根立柱（1）该钢架可以看作一个二次函数的图象，如图2所示，请建立适当的平面直角坐标系，并写出这个二次函数的表达式；（2）求制作图2中这七根立柱共需要多长的不锈钢管4（2023秋新城区校级期中）一座拱桥的示意图如图2所示，当水面宽为16米时，桥洞顶部离水面4米已知桥洞

7、的拱桥是抛物线，请尝试解决以下问题：（1）建立合适的平面直角坐标系，求该抛物线的表达式；（2）由于暴雨导致水位上涨了2米，求此时水面的宽度；（3）已知一艘货船的高为2.6米，宽为3.2米，其截面如图3所示为保证这艘货船可以安全通过拱桥，水面在正常水位的基础上最多能上升多少米？（结果精确到题型3.分段函数问题5（2023秋西山区校级月考）已知抛物线经过点，它的对称轴为直线，对称轴与轴交于点，抛物线与轴交于点（1）求，的值；（2）若点为抛物线上不与，重合的点，且，求证：，三点共线；（3）当时，二次函数的最大值为，最小值为，并且满足，求的值题型4.动点问题6（2023靖江市模拟）我们将抛物线，且与抛

8、物线称之为“轮换抛物线”例如：抛物线与抛物线就是一组轮换抛物线已知抛物线，其轮换抛物线记作（1）若与交于轴上的同一点，求的值；（2）在（1）的条件下且，抛物线与其轮换抛物线的另一个交点记作点，若将点绕点顺时针旋转后，的对应点恰好落在抛物线的图象上，求出此时的值；（3）小明同学阅读了苏科版（数学）课本九年级下册页数学实验室介绍的用几何画板画二次函数图象内容后，自己动手画了抛物线及其轮换抛物线的图象，与与轴的交点分别记作、两点不重合）小明发现，不论、为何值时，两抛物线始终有一交点点在与轴垂直的某一固定直线上运动若，记，求的最大值7（2023姜堰区一模）【项目式学习】如图，抛物线与轴分别交于、两点、

9、分别在原点左右两侧），与轴交于点，点为抛物线上第一象限内一动点，过点、点的直线交轴于点，过点、点的直线交轴于点，连接、，试探究、之间的数量关系为探究该问题，拟采用研究问题的一般路径一一由特殊到一般的研究方式：（1）设，若点的横坐标为3，计算：，；比较大小： （填“”、“ ”或“” 若点的横坐标为，上述、之间的数量关系是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由小明在研究该问题时发现：当、两点的横坐标为、时，将抛物线解析式变形为，研究此问题更加方便请借助小明的发现验证你的猜想（2）请利用上述解决问题的经验，解决项目式学习中的问题；（3）若，直接写出的取值范围8（2023武进区一模）已知：如

10、图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，直线交轴于点，交轴于点（1）求抛物线的解析式；（2）若为抛物线上一点，连接，设点的横坐标为，的面积为，求与函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围）（3）在（2）的条件下，点在线段上，点是位于、两点之间的抛物线上一点，且，求点的坐标9（2023梁溪区一模）如图，将二次函数的图象沿轴翻折，然后向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到二次函数的图象函数的图象的顶点为，函数的图象的顶点为，和轴的交点为，（点位于点左侧）（1）求函数的解析式；（2）从，三点中任取两点和点构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率；（3）点是线段上的动点，是三边上的动点，是否

11、存在以为斜边的，使的面积为面积的？若存在，求的值，若不存在，请说明理由【方法三】差异对比法易错点：混淆销售利润各量之间的关系而导致错误10（2023洪泽区二模）某商店购入一批产品进行销售，进价为10元件，计划采取线上和线下两种方式进行销售调查发现，线下的月销售量件与售价元件满足一次函数的关系，部分数据如下表：（元件）1011121314（件900850800750700（1）求与的函数关系式；（2）若线上售价保持比线下每件少2元，且线上的月销量都是700件当线下售价为多少时，线上与线下的月总利润最大？最大利润是多少？【方法四】 成果评定法一选择题（共9小题）1（2023秋浑江区期末）一名男生推

12、铅球，铅球行进高度（单位：与水平距离（单位：之间的关系是则他将铅球推出的距离是A8B9C10D112（2022秋高碑店市期末）用总长为米的材料做成如图1所示的矩形窗框，设窗框的宽为米，窗框的面积为平方米，关于的函数图象如图2，则的值是A16B12C8D43（2022秋东明县期末）将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元，则下列关系式正确的是ABCD4（2023秋琼山区校级期中）运动会上，某运动员掷铅球时，所掷的铅球的高与水平的距离之间的函数关系式为，则该运动员的成绩是ABCD5（2023秋西湖

13、区校级月考）如图，小球的飞行高度（单位：与飞行时间（单位：具有的函数关系，下列解释正确的是A小球的飞行高度为时，小球飞行的时间是B小球飞行时飞行高度为，并将继续上升C小球从飞出到落地要用D小球的飞行高度可以达到6（2023秋西山区校级期中）某种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是若这种礼炮在点火升空到最高点引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为ABCD7（2023秋南开区期末）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：与小球运动时间（单位：之间的函数关系为，其中有下列结论：当时，小球运动到最大高度；当小球的运动高度为时，运动时间为或；小球运动中的最大高度为；小球从抛出到落地需要其中正确的结论有A

14、1个B2个C3个D4个8（2023秋朝阳区校级期中）如表记录了二次函数中两个变量与的5组对应值，其中500若当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，则的取值范围是ABCD9（2023秋庐阳区校级月考）如图，一座拱桥的轮廓是抛物线型，拱高8米，跨度24米，相邻两支柱间的距离均为6米，则支柱的长度为A6米B5米C4.5米D4米二填空题（共6小题）10（2022秋新化县期末）某商店从厂家以每件30元的价格购回一批商品，该商店可自行定价若每件商品售价为元，则可卖出件，但物价部门限定每件商品加价不能超过进价的，如果要使商店获得利润最多，每件商品定价应为 元11（2023沭阳县模拟）小敏在今年的校运动会跳

15、高比赛中跳出了满意一跳，函数的单位：，的单位：可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间是 12（2023秋大东区期末）如图，有一矩形养鸡场，养鸡场的一边靠墙（墙足够长），另三边用16米的长篱笆围成，则矩形面积的最大值是 13（2023谷城县模拟）飞机着陆后滑行的距离（单位：关于滑行的时间（单位：的函数解析式是，飞机着陆后滑行 米才能停下来14（2023秋宣化区期中）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，水面上升，水面宽度减少 15（2023秋长春期末）雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图，可以发现数学的研究对象一一抛物线在如图所示的平面直

16、角坐标系中，伞柄在轴上，坐标原点为伞骨、的交点点为抛物线的顶点，点、在抛物线上，、关于轴对称分米，点到轴的距离是0.6分米，、两点之间的距离是4分米分别延长、交抛物线于点、，则雨伞撑开时的最大直径的长为 分米三解答题（共4小题）16（2023秋双峰县期末）某店只销售某种进价为40元的产品，已知该店按60元出售时，每天可售出，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则每天的销售量可增加（1）若该店销售这种产品计划每天获利2240元，单价应降价多少元？（2）当单价降低多少元时，该店每天的利润最大，最大利润是多少元？17（2022秋丹江口市期末）疫情期间，按照防疫要求，学生在进校时必须排队接受体温检测

17、实验中学数学兴趣小组统计了学生早晨到校情况，发现学生到校的累计人数y（单位：人）随时间x（单位：分钟）的变化y可看作是x的二次函数，其图象经过原点，且顶点坐标为（351225），其中0x35校门口有一个体温检测棚，每分钟可检测48人（1）求y与x之间的函数解析式；（2）校门口排队等待体温检测的学生人数最多时有多少人？（3）检测体温到第2分钟时，为减少排队等候时间，学校在校门口临时增设一个人工体温检测点已知人工每分钟可检测12人，人工检测多长时间后，校门口不再出现排队等待的情况（直接写出结果）18（2023秋红桥区期末）小红和小琪在玩沙包游戏，某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题如图，在

18、平面直角坐标系中，一个单位长度代表长小红在点处将沙包（看作点）抛出，其运动的路线为抛物线为常数，的一部分，小琪恰在点处接住沙包，然后跳起在点处将沙包回传，其运动的路线为抛物线为常数）的一部分（）写出抛物线的顶点坐标，并求出，的值；（）若小红在轴右侧、距离轴的位置上，且与点的垂直距离小于的范围内可以接到回传的沙包，求的整数值；（）若小红在轴上方、距离轴的高度上，且与点的水平距离不超过的范围内可以接到回传的沙包，求的整数值（直接写出结果即可）19（2023秋长春期末）在平面直角坐标系中，抛物线经过点点是该抛物线上一点，其横坐标为以为对角线作矩形，轴（1）求抛物线所对应的函数表达式（2）当抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而减小时，的取值范围为 （3）设抛物线在矩形内部的图象（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为时，求与之间的函数关系式（4）设这条抛物线的顶点为，的面积为当时，直接写出的值