专题1-1 一网打尽全等三角形模型 ·十个模型（原卷版）.docx

1、专题1-1 一网打尽全等三角形模型（10个模型）导语：熟悉模型，补全结构条件不足另外凑，凑不出来挠挠头，下次考试再来秀目录模型梳理2题型一 倍长中线模型14题型二 一线三等角模型14题型三 半角模型172022山东日照真题18题型四 手拉手模型212022张家界真题232022贵阳中考23题型五 对角互补+邻边相等模型26题型六 平行线夹中点模型27题型七 截长补短模型28题型八 绝配角模型322023深圳宝安区二模332023深圳中学联考二模33题型九 婆罗摩笈模型352022武汉中考真题362020宿迁中考真题37题型十 脚蹬脚模型（海盗埋宝藏）39模型梳理模型1 倍长中线模型（一）基本模

2、型ABDCE已知：在ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD到点E，使EDAD，连接BE结论1：ACDEBDABDCFE已知：在ABC中，点D是BC边的中点，点E是AB边上一点，连接ED，延长ED到点F，使DFDE，连接CF结论2：BDECDF已知：在ABC中，点D是BC边的中点，作CEAD于E，BFAD于F，结论3：易证：CDEBDF（SAS）（二）结论推导结论1：ACDEBD证明：AD是BC边上的中线，CDBDADCEDB，ADED，ACDEBD结论2：BDECDF证明：点D是BC边的中点，BDCDBDECDF，DEDF，BDECDF（三）解题技巧遇到中点或中线，则考虑使用“倍长中线模型”

3、，即延长中线，使所延长部分与中线相等，然后连接相应的顶点，构造出全等三角形模型2 一线三等角模型（一）基本模型ABDPC123已知：点P在线段AB上，123，APBD（或ACBP或CPPD）结论1：CAPPBD123DPCBA已知：点P在AB的延长线上，123，APBD（或ACBP或CPPD）结论2：APCBDP（二）结论推导结论1：CAPPBD证明：1CAPC180，2BPDAPC180，12，CBPD13，APBD（或ACBP或CPPD），CAPPBD结论2：APCBDP证明：1CAPC，2BPDD，3BPDAPC，123，CBPD，APCDAPBD（或ACBP或CPPD），APCBDP（

4、三）解题技巧在一条线段上出现三个相等的角，且有一组边相等时，则考虑使用一线三等角全等模型找准三个等角，再根据平角性质、三角形内角和进行等角代换，判定三角形全等，然后利用全等三角形的性质解题一线三等角模型常以等腰三角形、等边三角形、四边形（正方形或矩形）为背景，在几何综合题中考查模型3 半角模型（一）基本模型ABCDEF等边三角形含半角已知：ABC是等边三角形，D为ABC外一点，BDC120，BDCD，点E，F分别在AB，AC上，EDF60结论1：EFBECF，DEBDEF，DFCDFEADBECF正方形含半角已知：四边形ABCD是正方形，点E，F分别在BC，CD上，EAF45结论2：EFBED

5、F，AEBAEF，AFDAFEABCED等腰直角三角形含半角已知：ABC是等腰直角三角形，BAC90，点D，E在BC上，DAE45结论3：DE 2BD 2CE 2（二）结论推导结论1：EFBECF，DEBDEF，DFCDFE证明：延长AC到点G，使CGBE，连接DGABC是等边三角形，ABCACB60ABCDEFGBDC120，BDCD，DBCDCB30，DBEDCF90，DBEDCG90，BDECDG，DEDG，DEBG，BDECDGEDF60，BDECDF60，CDGCDF60，即GDF60DFDF，DEFDGF，EFFG，DEFG，DFCDFEDEBDEFFGCGCF，EFBECF结论2

6、：EFBEDF，AEBAEF，AFDAFE证明：延长CB到点G，使BGDF，连接AGADBECFG正方形ABCD，ABGD90，ABAD，ABGADF，AGAF，GAFD，BAGDAFEAF45，BAEDAF45，BAEBAG45，即EAG45AEAE，AEFAEG，EFEG，AEBAEF，AFEGAFDAFEEGBEBG，EFBEDF结论3：DE 2BD 2CE 2证明：将ABD绕点A逆时针旋转90到ACF，连接EFABCEDFABC是等腰直角三角形，BAC90，BACB45，ACFB45，ECF90，EF 2CF 2CE 2BD 2CE 2，DAE45，BADCAE45，CAFCAE45，

7、即FAE45AEAE，AEFAED，EFDE，DE 2BD 2CE 2（三）解题技巧对于半角模型，一般情况下都需要做辅助线（延长或旋转），构造全等，通过等量代换得到相关的结论模型4 手拉手模型（一）基本模型ADEBCO已知：在ABC和ADE中，ABAC，ADAE，BACDAE，连接BD，CE相交于O，连接OA结论1：ABDACE，BDCE，结论2：BOCBAC，结论3：OA平分BOE（二）结论推导结论1：ABDACE，BDCE证明：BACDAE，BADCAEABAC，ADAE，ABDACE，ADEBCOFBDCE结论2：BOCBAC证明：设OB与AC相交于点FABDACE，ABDACEAFBO

8、FC，BOCBACADEBCOGH结论3：OA平分BOE证明：过点A分别做BD，CE的垂线，垂足为G，HABDACE，SABD SACE，BDCE，AGAH，OA平分BOE（三）解题技巧如果题目中出现两个等腰三角形，可以考虑连接对应的顶点，用旋转全等模型；如果只出现一个等腰三角形，可以用旋转的方法构造旋转全等模型5对角互补+邻边相等模型模型解读：通过做垂线或者利用旋转构造全等三角形解决问题。 如图，作垂线旋转模型6 平行线夹中点模型如图，AB/CD，点E是BC的中点【模型分析】如图，延长DE交AB于点F，易证：DCEFBE（AAS）。如图，延长AE交CD延长线于点F，易证：ABEFCE（AAS

9、）口诀：有中点，有平行，轻轻延长就能行模型7 截长补短模型【模型解读】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。截长: 指在长线段中截取一段等于已知线段: 补短: 指将短线段延长, 延长部分等于已知线段。该类题目中常出现等服三角形、角平分线等关键词句, 可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程, 截长补短法(往往需证2次全等) 。截长：在较长的线段上截取另外两条较短的线段。如图所示，在BF上截取BM=DF，易证BMCDFC（SAS），则MC=FC=FG，BCM=DCF，可得MCF为等腰直角三角形，又可证CFE=45，CFG=90，CFG=MCF，FGCM，可得四边形CGFM为平行四边形

10、，则CG=MF，于是BF=BM+MF=DF+CG.补短：选取两条较短线段中的一条进行延长，使得较短的两条线段共线并寻求解题突破。如图所示，延长GC至N，使CN=DF，易证CDFBCN（SAS），可得CF=FG=BN，DFC=BNC=135，又知FGC=45，可证BNFG，于是四边形BFGN为平行四边形，得BF=NG，所以BF=NG=NC+CG=DF+CG. 模型8 绝配角模型（一）基本模型ABCDE已知：在ABC中，ABC90，点D为边BC上一点，C2BAD，延长DB到点E，使BEBD，连接AE结论：ACEC（二）结论推导结论：ACEC证明：ABC90，BEBD，AEAD，EADE，BAEBA

11、D，EAD2BADC2BAD，EADC，CAEADEE，ACEC（三）解题技巧如果题目中出现二倍角，可以考虑用绝配角模型，构造等腰三角形，绝配角等腰三角形全等三角形一般同时出现，然后用勾股定理或相似求解构造等腰三角形是这类绝配角问题的重要方法模型9 婆罗摩笈模型如图，ABC和DBE是等腰直角三角形，连接AD，CE，M，N分别在AD，CE上，且MN经过点B【性质1：垂直得中点】若MNCE，则点N是AD的中点，CE2BN 【性质2：中点得垂直】若点N是AD的中点，则MNCE【证明】如图，（知中点得垂直，倍长中线）证明：延长BN至点P，使BNPN，连结PN，易证：PADBDABCPD，BE=PAPA

12、BD，PABABD180，又ABCDBE90CBEABD180，CBEPAB，易证：CBEPAB，BCMABN，ABNCBM90BCMCBM90BMC90模型10 脚蹬脚模型（海盗埋宝藏）模型成立条件：等腰三角形顶角互补已知：ABC、ADE为等腰直角三角形，B=D=90，AB=CB，AD=ED，点F为CE的中点，则BFD是等腰直角三角形.ABCED ABCEDF【证明】法一：倍长中线延长DF至点G，使得FG=FD，易证DEFGCF（SAS）；所以CG=ED=AD，2=7；又1+2+3=360，3+4+5+6+7=540（五边形内角和），4=6=90；所以3+5+7=1+2+3，所以1=5；则B

13、CGBAD（SAS），所以DBG=90，BG=BD；所以BF=DG=DF，BFDF。法二：构造手拉手模型将ABC沿AB 对称，将ADE 沿AD对称连接PE，CQ，易知ACQAPE，进而得出PE=CQ且PECQ，而BE是CPE的中位线，CD是CQE的中位线，故BF=DF，且BFFD重点题型归类精练题型一 倍长中线模型1 如图，在ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD上一点，BEAC，BE的延长线交AC于点F，求证：AFEFABCDFE2 如图，在ABC中，AD平分BAC，点E是BC的中点，过点E作EFAD，交AC于点F，交BA的延长线于点G，求证：BGCFAGBEDCF3 如图，ABCADE

14、，ACBAED90，连接EC并延长，交BD于点F，求证：F为BD的中点ABCDEF题型二 一线三等角模型基础篇1 如图，ABC90，ABBC，ADBD于点D，CEBD于点E，求证：CEBDBCADE2 如图，在ABC中，ACB90，ACBC，ADCD于点D，BECD于点E，若BE6，DE4，则ACE的面积为_ABCDE3 如图，在RtABC中，ABC90，BC1，AC，以AC为直角边向外作等腰RtACD，连接BD，则BD的长为_ABCD 4 如图，在中，过点B作，延长到点D，使得，连接，若，则的长为_5 如图，已知ABBC，ABBC，ADBD，BD2AD，求证：CDABBCAD提高篇6 如图，

15、ABC和BDE都是等腰直角三角形，BACBDE90，点E在BC上，点F是CE的中点，连接AF，DF，求证：AFDF且AFDFABCEDF7 如图，在ABC中，ACB90，ACBC，D为AC上一点，CEBD于点E，连接AE，若CE4，则ACE的面积为_AEDBC8 如图，ABC和CDE都是等腰直角三角形，ACBCDE90，点A在边DE上，连接BE交CD于点F，求证：AE2DFBCADEF9 如图，把两个腰长相等的等腰三角形拼接在一起，ABACAD，BAD90，过点D作DEAC于点E，若BEBC，DE8，求AE的长ABCDE10 如图，E为正方形ABCD外一点，连接AE，DE，AEAB，AF平分B

16、AE交DE于点F，连接CF（1）求AFD的度数；（2）求证：AFCFADBCFE11 如图，在ABC中，ABAC，点D在AB上，DEAB，交AC于点E，交BC的延长线于点F，若DFAC，ABm，AEn，求ADDE的值（用含m，n的式子表示）ABCFDE题型三 半角模型例题例1 如图，ABC是边长为1的等边三角形，D为ABC外一点，BDCD，BDC120，点E，F分别在AB，AC上，且EDF60，则AEF的周长为_AEFBCD例2 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，EAF45，CEF的周长为2，则正方形ABCD的边长为_ADBECF例3 如图，在RtABC中，ACB90，AC

17、BC，点E，F在AB上，ECF45，AE2，EF3，则BF的长为_CAEBF2022山东日照真题例4 如图1，ABC是等腰直角三角形，ACBC4，ACB90，M，N分别是边AC，BC上的点，以CM，CN为邻边作矩形PMCN，交AB于点E，F设CMa，CNb，且ab8（1）判断由线段AE，EF，BF组成的三角形的形状，并说明理由；（2）如图2，当ab时，求ECF的度数；当ab时，中的结论是否成立？并说明理由ACBMEPFN图1ACBMEPFN图2基础1 如图，D为等边ABC外一点，BDCD，BDC120，点E，F分别在AB，AC上，且EDF60，若BE1，AEF的周长为4，则AE的长为_AEFB

18、CD2 如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，DC上的点，且EFBEDF（1）求证：EAF45；（2）作EFC的平分线FG交AE的延长线于G，连接CG探究BC，CF与CG的数量关系，并证明ADBECFG提高3 如图，在RtABC中，C90，AC6，BC8，AB10，两锐角的角平分线交于点P，点E，F分别在边AC，BC上，且EPF45，则CEF的周长为_CABEFP4 如图，正方形ABCD的边长是4，点E是BC的中点，连接DE，DFDE交BA的延长线于点F，连接EF，AC，DE，EF分别与AC交于点P，Q，则PQ_FBACDEPQ5 如图，在RtABC中，C90，AC6，BC8，D为边AC

19、上一点，将BCD沿BD翻折得到BED，延长DE到点F，使DBF45，若SADF SBEF，则CD 2EF 2的值是_FBCADE6 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD的延长线上，且EAF45（1）探究EF，BE，DF之间的数量关系，并证明；（2）若CE5，DF2，求正方形ABCD的边长ADBECF7 （1）问题背景：如图1，在ABC中，BAC90，ABAC，点E、F在线段BC上，EAF45，用等式表示线段BE，EF与CF的数量关系，并证明；（2）拓展应用：如图2，在ABC中，BAC90，ABAC，点E在线段BC上，点F在BC的延长线上，EAF45，若EC1，CF2，求BE的长B

20、CEFABCFAE图1图28 在矩形ABCD中，AB3，BC5，点E是CD边上一点，将BCE沿BE折叠得到BFE，ABF的平分线与EF的延长线交于点G（1）如图1，当点F落在AD边上时，求DF的长；（2）如图2，若，求CE的长；（3）当点E从点C运动到点D时，直接写出点G运动的路径长BC图1ADEFGGBC图2ADF题型四 手拉手模型例题例1 在ABC和ADE中，ABAC，ADAE，BACDAE90，探究且BD与CE的数量关系和位置关系，并证明ADEBC例2 如图，P为正方形ABCD外一点，APD45，求证：BPC45ADPBC例3 已知ABC为等边三角形（1）如图1，P为ABC外一点，BPC

21、120，连接PA，PB，PC，求证：PAPBPC；（2）如图2，P为ABC内一点，PBPC，BPC150，若PA4，PBC的面积为，求ABC的面积ABCPABCP图1图2基础篇1如图，ABC和ADE都是等腰直角三角形，BACBAC90，D，E，C三点在一条直线上，BD1，BC，求DE的长ABCDE2如图，ABC和ADE都是等腰直角三角形，BACDAE90，点D在ABC内，BD的延长线与CE交于点F，若点F为CE的中点，AD3，BD，求DF的长ABCDEF3如图，在中，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分面积为 提高篇4如图，ABC是等边三角形，D为ABC外一点，ADC30，AD3，CD2，

22、则BD的长为_ABCD2022张家界真题5如图，点O是等边三角形ABC内一点，OA2，OB1，OC，则AOB与BOC的面积之和为（ ）A B C DABCO2022贵阳中考6如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，ACBC6，ACBADB90，若BE2AD，则ABE的面积是_CABDE7如图，在四边形ABCD中，ADBC，ABAC，ABAC，若ABD30，求ACD的度数BCAD8如图，在中，将线段绕着点逆时针旋转60得到，则的面积为 9如图，在中，将线段绕着点逆时针旋转60得到，则的面积为 10已知ABC是等边三角形，PA5，PB3（1）如图1，点P是ABC内一点，且PC4，求B

23、PC的度数；（2）如图2，点P是ABC外一点，且APB60，求PC的长BC图1PABC图2PA11ABC和DEC是等腰直角三角形，(1)【观察猜想】当ABC和DEC按如图1所示的位置摆放，连接BD、AE，延长BD交AE于点F，猜想线段BD和AE有怎样的数量关系和位置关系(2)【探究证明】如图2，将DCE绕着点C顺时针旋转一定角度，线段BD和线段AE的数量关系和位置关系是否仍然成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由(3)【拓展应用】如图3，在ACD中，将AC绕着点C逆时针旋转90至BC，连接BD，求BD的长12如图，和都是等腰直角三角形，（1）猜想：如图1，点在上，点在上，线段与的数量关

24、系是_，位置关系是_；（2）探究：把绕点旋转到如图2的位置，连接，（1）中的结论还成立吗？说明理由；（3）拓展：把绕点在平面内自由旋转，若，当，三点在同一直线上时，则的长是_题型五 对角互补+邻边相等模型1 如图，在四边形中，则四边形的面积等于 2 如图，在四边形ABDC中，B+C180，DBDC，BDC120，以D为顶点作一个60角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明3 如图，已知中，以斜边为边向外作正方形，且正方形的对角线交于点，连接已知，则另一直角边的长为 4 如图，在四边形ABCD中，ECF（090），B+D180，CBC

25、D，且BE+DFEF，则BCD （用含的代数式表示）.题型六 平行线夹中点模型1 如图，在四边形ABCD中，ADBC，点E是CD的中点，AEBE，求证：ABADBCADBCE2 如图，ABCD，BCD60，点E为AD的中点，若AB2，BC6，CD8，则BE的长为_ABDCE深圳中考3 如图，已知四边形ABCD为等腰梯形，ADBC，ABCD，AD，E为CD中点，连接AE，且，作AEAF交BC于F，则BF（）A1 B C D题型七 截长补短模型1 如图，ABC中，B=2A，ACB的平分线CD交AB于点D，已知AC=16，BC=9，则BD的长为_2 如图，正方形中，是的中点，交外角的平分线于（1）求

26、证：；（2）如图，当是上任意一点，而其它条件不变，是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由3 如图，ABC和BDC是等腰三角形，且AB=AC，BD=CD，BAC=80，BDC=100，以D为顶点作一个50角，角的两边分别交边AB，AC于点E、F，连接EF，点E、F分别在AB、CA延长线上，则BE、EF、FC之间存在什么样的关系？并说明理由4 如图，ABC为等腰直角三角形，ABAC，BAC90，点D在线段AB上，连接CD，ADC60，AD2，过C作CECD，且CECD，连接DE，交BC于F（1）求CDE的面积；（2）证明：DF+CFEF 5 在ABC中，BE，CD为ABC的角平分线，B

27、E，CD交于点F（1）求证：BFC=90+12A；（2）已知A=60如图1，若BD=4，BC=6.5，求CE的长；如图2，若BF=AC，求AEB的大小6 课堂上，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，平分交于点D，且，求证：，小明的方法是：如图2，在上截取，使，连接，构造全等三角形来证明(1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段构造全等三角形进行证明辅助线的画法是：延长至F，使=_，连接请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线；(2)小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：如图3，点D在的内部，分别平分，

28、且求证：请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）；(3)小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：如果在中，点D在边上，那么平分小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的请你利用图4对这个命题进行证明题型八 绝配角模型 例题【例1】如图，在RtABC中，BAC90，AB3，AC4，点D在边AC上，ABDC，求AD的长ADBC【例2】如图1，在RtABC中，ACB90，ACBC，点D为AB的中点，点E是BC上一点，连接DE，过点D作DFDE，交AC于点F（1）求证：BECF；（2）如图2，点M为AC上一点，且EMC2BDE，BE2，CE5，求EM的长ADEFMBC

29、图1ADEMBC图2基础篇1 如图，在RtABC中，ABC90，点D是边BC上一点，BADC，AC6，BD1，则CD的长为_ACDB2 如图，在RtABC中，C90，点D，E分别为BC，AC上的点，B2CDE，ADE45，AB5，AE3，则BD的长为_ABCDE2023深圳宝安区二模3 如图，在中，点为中点，则的值为 （后续计算用到相似）2023深圳中学联考二模4 如图，在中，点在边上，交的延长线于点，若，则 提高篇5 如图，ABC是等边三角形，点D在BC的延长线上，点E在线段AD上，DAC2DBE，BE与AC交于点F，若CF1，DE2，则CD的长为_ABCDFE6 如图，在ABC中，点E在边

30、AC上，EBEA，A2CBE，CDBE交BE的延长线于点D，BD8，AC11，则BC的长为_BECAD7 如图，在ABC中，ACB90，点D为AB中点，点E在AC边上，AEBC2，将BCE沿BE折叠至BCE，当CECD时，CE的长为_ADECBC8 如图，在ABC中，ACB90，点D为边BC上一点，BD2CD，DAC2ABC，若AD，求AB的长BDCA9 如图，在RtABC中，ACB90，ACBC8，点D是AB的中点，点E是AC上一点，EBC2ADE，求AE的长ABCDE10 如图，在RtABC中，BAC90，ABAC，点D，E分别在AC，BC上，BDE2ABD，EFBD于点G，交AB于点F，

31、用等式表示线段BF与AD的数量关系，并证明ABECDGF11 如图，在四边形ABCD中，ADBC，ABAC，ACD2ABD，延长BA到点E，使AEAB，连接DE，过点D作DHAE于点H（1）求证：ADEADC；（2）用等式表示线段AH与CD的数量关系，并证明；（3）若AD，CD6，求AB的长EDAHBC题型九 婆罗摩笈模型1 如图，ABE和ACF都是等腰直角三角形，BAECAF90，连接BC，EF，AD是BC边上的中线，猜想AD与EF的数量关系与位置关系，并证明CBDEAF2 如图，ABAE，ABAE，ADAC，ADAC，点M为BC的中点，求证：DE2AM.2022武汉中考真题3 如图，在中，

32、分别以的三边为边向外作三个正方形，连接过点作的垂线，垂足为，分别交，于点，若，则四边形的面积是 4 我们定义：如图1，在ABC中，把AB绕点A顺时针旋转（0180）得到AB，把AC绕点A逆时针旋转得到AC，连接BC，当a+180时，我们称ABC是ABC的“旋补三角形”，ABC边BC上的中线AD叫做ABC的“旋补中线”(1)特例感知在图2，图3中，ABC是ABC的“旋补三角形”，AD是ABC的“旋补中线”如图2，当ABC为等边三角形，且BC6时，则AD长为如图3，当BAC90，且BC7时，则AD长为(2)猜想论证在图1中，当ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明（如果你没有找

33、到证明思路，可以考虑延长AD或延长BA，）(3)拓展应用如图4，在四边形ABCD中，BCD150，AB12，CD6，以CD为边在四边形ABCD内部作等边PCD，连接AP，BP若PAD是PBC的“旋补三角形”，请直接写出PBC的“旋补中线”长及四边形ABCD的边AD长2020宿迁中考真题5 【感知】（1）如图，在四边形ABCD中，C=D=90，点E在边CD上，AEB=90，求证：=【探究】（2）如图，在四边形ABCD中，C=ADC=90，点E在边CD上，点F在边AD的延长线上，FEG=AEB=90，且=，连接BG交CD于点H求证：BH=GH【拓展】（3）如图，点E在四边形ABCD内，AEB+DE

34、C=180，且=，过E作EF交AD于点F，若EFA=AEB，延长FE交BC于点G求证：BG=CG6 如图1，2，3，ABC中，分别以AB，AC为边作RtABE和RtACD，ABAE，ACAD，BAECAD90，则有下列结论：图1中SABCSADE；如图2中，若AM是边BC上的中线，则ED2AM；如图3中，若AMBC，则MA的延长线平分ED于点N（1）上述三个结论中请你选择一个感兴趣的结论进行证明，写出证明过程；（2）能力拓展：将上述图形中的某一个直角三角形旋转到如图4所示的位置：ABC与ADE均为等腰直角三角形，BACDAE90，连接BD，CE，若F为BD的中点，连接AF，求证：2AFCE7

35、综合与实践以的两边、为边，向外作正方形和正方形，连接，过点A作于M，延长交于点N.(1)如图，若，证明：；(2)如图，（1）中结论，是否成立，若成立，请证明；若不成立，写出你的结论，并说明理由；(3)如图，且，则_.8 我们定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转()得到，把绕点A逆时针旋转得到，连接当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”(1)【探索一】如图1，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”，探索与的数量关系在探索这个问题之前，请先阅读材料：【材料】如图2在中，若，求边上的中线的取值范围是这样思考的：延长至E，使，连结利用全等将边转化到，在中利用

36、三角形三边关系即可求出中线的取值范围中线的取值范围是 请仿照上面材料中的方法，猜想图1中与的数量关系，并给予证明(2)【探索二】如图3，当时，是的“旋补三角形”，垂足为点E，的反向延长线交于点D，探索是否是的“旋补中线”，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由题型十 脚蹬脚模型（海盗埋宝藏）1 如图，ABC和CDE都是等腰直角三角形，BACDEC90，A，D，E三点在一条直线上，求证：BDC90ABCED2 如图，ABC和ADE都是等腰直角三角形，ACBAED90，连接BD，点F为BD的中点，连接CE，CF，EF，求证：CEF是等腰直角三角形ABCFED3 如图，在RtABC中，ABC90，

37、ABBC，点D是线段AC上一点，连接BD以BD直角边作等腰直角BDE，DBE90，连接AE，点F为AE中点，若AB4，BF1，则AD的长为 4 如图，ABC与BDE均为等腰直角三角形，BAAC，DEBD，点D在AB边上，连接EC，取EC中点F，求证：（1）AFDF； （2）AFDF5 如图，四边形ABCD是正方形，点O为对角线AC的中点（1）问题解决：如图，连接BO，分别取CB，BO的中点P，Q，连接PQ，则PQ与BO的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）问题探究：如图，AOE是将图中的AOB绕点A按顺时针方向旋转45得到的三角形，连接CE，点P，Q分别为CE，BO的中点，连接PQ，PB判断PQ

38、B的形状，并证明你的结论；（3）拓展延伸：如图，AOE是将图中的AOB绕点A按逆时针方向旋转45得到的三角形，连接BO，点P，Q分别为CE，BO的中点，连接PQ，PB若正方形ABCD的边长为1，求PQB的面积6 已知两个等腰有公共顶点C，连接，M是的中点，连接(1)如图1，当C，B，E三点共线时，若，B为中点，求的长；(2)如图1， 探索线段与的关系，并说明理由；(3)将图1中绕点C顺时针旋转至图2所示，（2）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由7 已知两个等腰有公共顶点C，连接是的中点，连接(1)如图1，当与在同一直线上时，求证：；(2)如图2，当时，求证：8 已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周（1）如图，连接BG、CF，求的值；（2）当正方形AEFG旋转至图位置时，连接CF、BE，分别取CF、BE的中点M、N，连接MN、试探究：MN与BE的关系，并说明理由；9 已知正方形ABCD与正方形CEFG，M是AF的中点，连接DM，EM（1）如图1，点E在CD上，点G在BC的延长线上，请判断DM，EM的数量关系与位置关系，并直接写出结论；（2）如图2，点E在DC的延长线上，点G在BC上，（1）中结论是否仍然成立？请证明你的结论