专题1.13 平行线中的最值问题（分层练习）（综合练）-2023-2024学年七年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）.docx

1、专题1.13 平行线中的最值问题（分层练习）（综合练）一、单选题1（2021下安徽合肥八年级统考期末）如图，且相邻两条直线间的距离都是2，A，B，C分别为，上的动点，连接AB、AC、BC，AC与交于点D，则BD的最小值为（）A2 B3 C4 D52（2022湖北荆州统考一模）一副三角尺的位置如右图所示，其中三角尺ADE绕点A逆时针旋转度，使它的某一边与BC平行，则的最小值是（）A15 B30 C60 D1503（2023下重庆九龙坡七年级重庆实验外国语学校校考期中）如图，将沿方向平移得到对应的，延长，交于点若，为线段上一动点，连接，则的最小值为（）A B5 C D6二、填空题4（2023下江西

2、景德镇九年级景德镇一中校考阶段练习）如图于点D，将绕点A逆时针旋转，使，则的最小值为 5（2022下山东聊城七年级统考期末）如图，直线，且a、b之间相距，点P是直线a上一定点，点Q在直线b上运动，则在Q点的运动过程中，线段的最小值是 6（2023下湖南郴州七年级统考期末）如图，直线，且a，b之间相距点P是直线a上一定点，点Q在直线b上运动，则在Q点的运动过程中，线段的最小值是 7（2023下海南海口七年级海师附中校考期末）如图，在中，将平移个单位长度得到，点是的中点，的最小值等于 8（2023下湖北宜昌七年级统考期末）如图，有三条两两相交的公路、，从地测得公路的走向是北偏东50，从地测得公路的

3、走向是北偏西40若、的长分别为千米，千米、千米，点是公路上任意一点，则线段的最小值为 千米（用含、的式子表示）9（2023下陕西西安七年级校考期中）已知：如图，且，点是线段上的一个动点，则的最大值与最小值的差是 三、解答题10（2023下江苏宿迁七年级校考期中）将一块三角板（，）按如图所示放置在锐角内，使直角边落在边上现将三角板绕点逆时针以每秒的速度旋转秒（直角边旋转到如图所示的位置），过点作交射线于点，平分，其中的值满足：使代数式取得最小值（1）求的值；（2）当秒时，求的度数；（3）在某一时刻，当时，试求出与之间的数量关系11（2020下重庆巴南七年级统考期末）如图，l=C， 2+D=90，

4、BEFD，垂足为G（1）证明：AB/ CD（2）已知CF=3，FD=4，CD=5，点P是线段CD上的动点，连接FP，求FP的最小值12（2021下山东烟台七年级统考期中）如图，直线，点A，D在直线b上，射线AB交直线a于点B，于点C，交射线AB于点E，P为射线AB上一动点，P从A点出发沿射线AB方向运动，速度为1cm/s，设点P运动时间为t，M为直线a上一定点，连接PC，PD（1）当时，有最小值，求m的值；（2）当（m为（1）中的取值）时，探究、与的关系，并说明理由；（3）当（m为（1）中的取值）时，直接写出、与的关系13（2021下湖北武汉七年级武汉市武珞路中学校考期中）如图，每个小正方形的

5、边长为1，利用网格点画图和无刻度的直尺画图（保留画图痕迹）：（I）在方格纸内将三角形经过一次平移后得到三角形，图中标出了点的对应点，画出三角形；（2）过点画线段使且；（3）图中与的关系是_；（4）点在线段上，点是直线上一动点线段的最小值为_14（2023下北京海淀七年级首都师范大学附属中学校考开学考试）直线，对平面内不在上，且不在上的任意一点，若到，的距离分别为，则记（1）若，则线段与的公共点个数可能为_；（2）若取最小值且，则的取值范围是_15（2019上浙江杭州七年级期末）如图，已知线段，第1次平移，将线段沿的方向向右平移7个单位，得到线段，第2次平移，将线段沿的方向向右移平移7个单位，得

6、到线段，第n次平移，线段沿的方向平移7个单位，得到线段（的整数）在这个移动过程中，（1）求，的长（2）若的长为66，求n（3）是否存在的长为2019，若存在请求出n的值，若不存在，说明理由（4）是否存在线段的长为2020（i，j都是自然数），若存在请求出的最小值，若不存在，说明理由参考答案：1A【分析】求BD的最小值可以转化为求点B到直线AC的距离，当BDAC时，BD有最小值，根据题意求解即可解：由题意可知当BDAC时，BD有最小值，此时，AD=CD，ABC=90，BD=AD=BD=AC=2，BD的最小值为2故选：A【点拨】本题考查平行线的性质，需结合图形，根据平行线的性质推出相关角的关系从而

7、进行求解2A【分析】当ADE绕A点逆时针旋转时，AE边最先与BC平行，利用平行线的性质即可求解解：当ADE绕A点逆时针旋转时，AE边最先与BC平行，如图：AEBC，C=CAE=60，DAE=45，CAD=CAE-DAE=15，则的最小值是15，故选：A【点拨】本题考查了平行线的性质，直角三角板的角的度数的知识，熟记性质是解题的关键3A【分析】根据平移的性质得，当时，最小，此时有，即，即可求出答案解：将沿方向平移得到对应的，当时，最小，此时有，即，的最小值为故选：A【点拨】本题考查了平移的性质和垂线段最短，根据平移的性质得到是解题的关键4/25度【分析】过点C作，过点A作，利用平行线的性质即可求

8、解解：如图，过点C作，则，过点A作，则，故的最小值为故答案为：【点拨】本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是解题的关键54【分析】通过平行线之间垂线段最短的理论可知PQ垂直于两条直线时，PQ的值最小，再根据a、b之间距离求出PQ即可解：当时，根据垂线段最短，可以知道此刻PQ取最小值，且a、b之间的距离为4cm，的最小值是4cm，故答案为：4【点拨】本题考查了平行线之间的距离的定义，牢记平行线之间距离的定义和垂线段最短是本题的关键68【分析】根据垂线段最短进行求解即可解：直线，点P是直线a上一定点，点Q在直线b上运动，根据垂线段最短可知，在运动过程中，当时

9、，线段有最小值，a，b之间相距，线段的最小值为，故答案为：8【点拨】本题考查了平行线之间的距离的定义和垂线段最短，牢记平行线之间距离的定义和垂线段最短是本题的关键7【分析】根据线段中点的性质可得，根据平移的性质可得，当在直线上时，取得最小值，进而根据线段的差即可求解解：点是的中点，将平移个单位长度得到，当在直线上时，取得最小值，最小值为，故答案为：【点拨】本题考查了平移的性质，线段中点的性质，线段的和差，熟练掌握平移的性质，线段中点的性质是解题的关键8【分析】过C作于P，依据，可得在中，得出，代入数值求解即可解：如图，过C作于P，由题可得，中，即线段的最小值为，故答案为【点拨】此题是一道方向角

10、问题，结合生活中的实际问题，将解三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想9【分析】当点M与点A重合时，取最大值，此时，当时，取最小值，根据，求出最小值，即可求解解：，当点M与点A重合时，取最大值，此时，当时，取最小值，解得：，的最大值与最小值的差是，故答案为：【点拨】本题主要考查了平行线的性质，垂线段最短，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等；垂线段最短10（1）m的值为10；（2）的度数为；（3）【分析】（1）根据平方的非负性及代数式取得最小值，即可求出m的值；（2）根据旋转的速度及时间，即可求出的度数，进一步求出的度数；根据平行线的性质，即可求出的度数，进一步求出的度数；

11、（3）先根据平行线的性质，表示出的度数，进一步表示出的度数；再根据平行线的性质，表示出的度数，根据角平分线的定义，表示出的度数；再根据平行线的性质，得出，从而可求出答案（1）解：，当，即时，代数式取得最小值，代数式取得最小值时，m的值为10；（2），当秒时，的度数为；（3），平分，【点拨】本题考查平方的非负性，平行线的性质，角平分线的定义，解题关键是熟练掌握相关知识点11（1）证明见分析；（2）【分析】（1）先证明CFBE，得到，进而证明，得到即可证明ABCD；（2）先确定的最小值是点F到直线CD的垂线段的长度，过点F作，垂足为P，再由等面积法即可计算出FP的值解：（1）证明：，CFBE， ，

12、垂足为G， ， ABCD（2）根据题意，可知的最小值是点F到直线CD的垂线段的长度过点F作，垂足为P因为，所以因为，所以，所以故FP的最小值为【点拨】本题考查了平行线的性质及判定、三角形的等面积法的运用，解题的关键是熟悉平行线的性质以及判定12（1）10；（2），见分析；（3）或【分析】（1）根据P、C、D三点共线时，即点P与点E重合时PC+PD的值最小，解答即可；（2）当tm时，过P在AE上，过点P作PHab，根据平行线的性质可得结论；（3）分两种情况讨论，当点P在线段BE上时，当点P在线段AB的延长线上时，然后仿照第（2）问的证明方法，作出辅助线，根据平行线的性质可得结论解：（1）当点P与

13、E不重合时，在中，当点P与E重合时，此时最小， 故时，值最小；（2），理由如下：如图，当即时，点P在AE上，过点P作，；（3）当mt15即10t15时，点P在线段BE上，过点P作PHa，如图：又ab，PHab，PCM+CPH180，PDA+DPH180，PCM+CPH+PDA+DPH360，又CPDCPH+DPH，PCM+CPD+PDA360，即当10t15时，PCM+CPD+PDA360；当t15时，点P在线段AB的延长线上，过点P作PGa，如图：又ab，PGab，PCM+CPG180，PDA+DPG180，CPG180PCM， DPG180PDA，又CPDDPGCPG，CPD（180PDA

14、）（180PCM）180PDA180PCMPCMPDA，PCMCPD+PDA综上所述，当t10时，PCM+CPD+PDA360或PCMCPD+PDA【点拨】本题主要考查平行线的性质及平行公理的推论，熟练掌握平行线的性质及正确作出辅助线是解题的关键13（1）见分析；（2）见分析；（3），AD；（4）【分析】（1）根据平移的性质，按要求作图即可；（2）根据过点A画线段ADBC，AD=BC，即可；（3）由平移的性质可得，BC，从而可以得到，AD；（4）根据点到直线的距离垂线段最短，可知当BHCE时BH最短，由此利用三角形面积公式求解即可解：（1）如图所示，即为所求：（2）如图所示，即为所求：（3）平

15、移的性质可得 ，BC，由AD=BC，ADBC，从而可以得到，AD；故答案为：，AD；（4）根据点到直线的距离垂线段最短，可知当BHCE时BH最短，如图所示：ADBC， ，点H是直线CE上一动点线段BH的最小值为故答案为：【点拨】本题主要考查了平移作图，点到直线的距离垂线段最短，三角形面积，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解14（1）0或1；（2）【分析】（1）分两种情况进行讨论：当点A和B均在直线上方且到的距离相等时；当点A和B在直线，之间时，作出相应图形即可求解；（2）根据题意得出，分两种情况分析：当点P在上方或下方时，当点P在，之间时，结合图形求解即可（1）解：如图所示，当点A和B

16、均在直线上方且到的距离相等时，此时线段与的公共点个数为0；当点A和B在直线，之间时，如图所示：此时线段与的公共点个数为1；故答案为：0或1；（2）当取最小值且时，如图所示：此时点A恰好在，的中间直线上，之间的距离为2，即，当点P在上方或下方时，如图所示：此时即为，之间的距离为2；当点P在，之间时，如图所示：，当点P在，的中间直线上时，当点P不在，的中间直线上时，；综上可得：，故答案为：【点拨】题目主要考查垂线的定义及点到直线的距离，理解题意，作出相应图形求解是解题关键15（1）A0B1=7，A0B3=31；（2）8；（3）存在，n=287；（4）存在，最小值为290【分析】（1）由平移得出B0

17、B1=B1B2=B2B3=7，即B0B3=3B0B1=21，即可得出结论；（2）由平移得出B0B1=B1B2=B2B3=Bn-1Bn=7，进而得出B0Bn=nB0B1=7n，最后建立方程求解，即可得出结论；（3）同（2）的方法，求出n的值，再判断是否为整数，即可得出结论；（4）同（2）的方法找出规律A0Bj=10+7j，A0Ai=7i，进而得出AiBj=|A0Bj-A0Ai|=|10+7j-7i|=|10+7（j-i）|，进而建立绝对值方程，求出i-j=2019，即可得出结论解：由平移知，B0B1=B1B2=B2B3=7，B0B3=3B0B1=21，A0B0=10，A0B1=A0B0+B0B1

18、=17，A0B3=A0B0+B0B3=31；（2）由平移知，B0B1=B1B2=B2B3=Bn-1Bn=7，B0Bn=nB0B1=7n，A0Bn=A0B0+B0Bn=10+7n，A0Bn的长为66，10+7n=66，n=8；（3）假设存在，由（2）知，A0Bn=A0B0+B0Bn=10+7n，A0Bn的长为2019，10+7n=2019，n=287，n3的整数，存在n，使A0Bn的长为2019；（4）假设存在，由（2）知，A0Bn=A0B0+B0Bn=10+7n，A0Bj=10+7j，由平移知，A0A1=A1A2=A2A3=An-1An=7，A0An=nA0A1=7n，A0Ai=7i，AiBj=|A0Bj-A0Ai|=|10+7j-7i|=|10+7（j-i）|，线段AiBj的长为2020，|10+7（j-i）|=2020，7（j-i）=2010或7（j-i）=2030，j-i=287（由于i，j均为自然数，所以，舍去）或j-i=-290，i-j=290，i=j+290，i+j=j+290+j=2j+290，当j=0时，i+j最小，最小值为290即：存在线段AiBj的长为2020，此时i+j最小为290【点拨】此题是几何变换综合题，主要考查了平移的性质，方程的思想，解绝对值方程和解一元一次方程，找出规律是解本题的关键