专题1.4实数11大必考考点精讲精练（知识梳理 典例剖析 变式训练）（解析版）【苏科版】.docx

1、 【苏科版】专题1.4实数11大必考考点精讲精练（知识梳理+典例剖析+变式训练）【目标导航】【知识梳理】1 平方根：（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方（3）一个正数a的正的平方根表示为“a”，负的平方根表示为“-a”正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作a零的算术平方根仍旧是零（4）平方根性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根2非负数的性质：算术平方根 （1）非负数的性质：算术平方根具有非负性（

2、2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题3.立方根（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根记作：3a（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数即任意数都有立方根（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数4.无理数与实数（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数 如圆周率、2的平方根等（2）、无理数与有理数

3、的区别：把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，比如4=4.0，13=0.33333而无理数只能写成无限不循环小数，比如2=1.414213562所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能（3）实数的定义：有理数和无理数统称实数（4）实数的分类：5.实数的性质：在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|0并且有若|x|=a（a0），则x=a乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数

4、，则ab=1；反之，若ab=1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数6.实数的大小比较（1）任意两个实数都可以比较大小正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小7.实数的运算（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级

5、运算要按照从左到有的顺序进行另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用【典例剖析】【考点1】平方根【例1】（2021秋吴江区月考）已知一个数的平方根是，这个数是AB9C81D【分析】根据平方根的定义解决此题【解析】，这个数是9故选：【变式1.1】（2022春崇川区校级期中）下列各式表示正确的是（）A25=5B25=5C25=5D(-5)2=-5【分析】利用平方根的定义化简各项，即可做出判断【解答】解：A、25=5，本选项错误；B、25=5，本选项错误；C、25=5，本选项正确；D、(-5)2=5，本选项错误故选：C【变式1.2】（2021秋江阴市校级月考）如果一个正数a的两个不同平方根是2x2和

6、63x，则这个正数a的值为（）A4B6C12D36【分析】根据平方根的定义解答即可【解答】解：由题意得：2x2+63x0，解得：x4当x4时，2x26，63x6，a（6）236故选：D【变式1.3】（2022鼓楼区校级开学）用“”规定新运算：对于任意实数a，b，都有aba2b，如果x132，那么x等于（）A15B15C-15D15【分析】根据新规定的运算，列出等式，再根据平方根的定义即可解答【解答】解：aba2b，x13x2132，x215，x15故选：D【考点2】算术平方根【例2】（2020春沭阳县期末）下列说法正确的是（）A若a2=-a，则a0B若a2=a，则a0Ca4b8=a2b4D3的

7、平方根是3【分析】根据平方根和算术平方根的定义分别对每一项进行分析，即可得出答案【解答】解：A、若a2=-a，则a0，故本选项错误；B、若a2=a，则a0，故本选项错误；C、a4b8=a2b4，故本选项正确；D、3的平方根是3，故本选项错误；故选：C【变式2.1】（2022春铜山区期末）9的值为（）A3B3C3D92【分析】9的算术平方根为3【解答】解：9=3故选：C【变式2.2】（2022秋吴江区校级月考）下列语句、式子中：16=44是16的算术平方根7是49的算术平方根7是（7）2的算术平方根其中正确的是（）ABCD【分析】根据算术平方根、平方根的定义解决此题【解答】解：16=4，那么错误

8、4是16的算术平方根，那么正确7是49的算术平方根，那么错误7是（7）2的算术平方根，那么正确综上：正确的有故选：C【变式2.3】（2021秋泰兴市期末）若方程x25的解分别为a、b，且ab，下列说法正确的是（）A5的平方根是aB5的平方根是bC5的算术平方根是aD5的算术平方根是b【分析】根据算术平方根、平方根的含义和求法，逐项判断即可【解答】解：x25的解分别为a、b，5的平方根是a、b，选项A不符合题意；x25的解分别为a、b，5的平方根是a、b，选项B不符合题意；x25的解分别为a、b，且ab，5的算术平方根是a，选项C符合题意；x25的解分别为a、b，且ab，5的算术平方根是a，选项

9、D不符合题意故选：C【考点3】算术平方根的性质【例3】（2020镇江模拟）已知3a+4+b2-12b+36=0，则ab的值为（）A4B4C8D8【分析】根据非负数的性质得出a，b的值，再代入得出ab的值即可【解答】解：3a+4+b2-12b+36=0，3a+4+（b6）20，3a+40，b60，a=-43，b6，ab=-4368，故选：C【变式3.1】（2021秋灌南县校级月考）若x+2+|y+7|+（z7）20，则xy+z的平方根为（）A2B4C2D23【分析】根据非负数的性质列出方程，解方程求出x、y、z的值，代入代数式计算，根据平方根的定义解答即可【解答】解：由题意得，x+20，y+70

10、，z70，解得x2，y7，z7，则xy+z2（7）+712，所以xy+z的平方根为12=23故选：D【变式3.2】（2021姜堰区二模）若实数a、b满足a+4b-6+a2+4b24ab，则a+b的值是（）A1B1C3D3【分析】利用完全平方公式对条件进行变形，根据非负数的性质求出a，b的值，最后求a+b即可【解答】解：根据条件得：a+4b-6+（a2b）20，根据非负数的性质得：a+4b-6=0a-2b=0，解得：a=2b=1，a+b2+13，故选：C【变式3.3】（2020秋广陵区校级期中）已知x，y，m满足x+2+(3x+y+m)2=0，且y为正数，则m的取值范围是（）Am6Bm6Cm6D

11、m6【分析】根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，然后根据y是负数即可得到一个关于m的不等式，从而求得m的范围【解答】解：x+2+（3x+y+m）20，x+20，3x+y+m0，x2，y6m，y为正数，6m0，解得：m6故选：B【考点4】立方根【例4】（2021春定南县期末）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入为64时，输出的值是A4BCD【分析】根据立方根的定义，即可解答【解析】64的立方根是4，4的立方根是：故选：【变式4.1】（2022春海安市期末）18的立方根是（）A-12B12C12D14【分析】根据立方根的定义，如果一个数x的立方等于a，则这个数x就是a的立方根【解答】解：(1

12、2)3=18，18的立方根是12故选：C【变式4.2】（2022春海安市校级月考）若30.30.6694，331.442，则下列各式中正确的是（）A330014.42B33006.694C3300144.2D330066.94【分析】根据被开立方数的小数点向右移动3位，则其立方根的小数点向右移动1位的规律进行求解【解答】解：被开立方数的小数点向右移动3位，则其立方根的小数点向右移动1位，33000.6694106.694，故选：B【变式4.3】（2020春海安市期中）下列说法：3都是27的立方根；116的算术平方根是14；-3-8=2；16的平方根是4；9是81的算术平方根，其中正确的有（）A

13、1个B2个C3个D4个【分析】根据平方根，算术平方根，立方根的定义找到错误选项即可【解答】解：3是27的立方根，原来的说法错误；116的算术平方根是14，原来的说法错误；-3-8=2是正确的；16=4，4的平方根是2，原来的说法错误；9是81的算术平方根，原来的说法错误故其中正确的有1个故选：A【考点5】无理数与实数【例5】（2021秋建邺区期中）在下列数：3.14，0，（每两个0之间依次多一个中，无理数的个数有A2个B3个C4个D5个【分析】根据无理数的概念进行解答即可【解析】无理数有，（每两个0之间依次多一个共2个故选：【变式5.1】（2022秋天宁区期中）在数-23，-2，0，3.303

14、0030003，227中，其中无理数有（）A1个B2个C3个D4个【分析】根据无理数的定义判断即可【解答】解：在数-23，-2，0，3.3030030003，227中，其中无理数有-2，3.3030030003，共2个故选：B【变式5.2】（2022秋睢宁县期中）下列说法：3是整数；2是分数；0是有理数；-29是无理数，其中正确的是（）ABCD【分析】根据实数的分类，逐一判断即可解答【解答】解：3是整数，故正确；2是无理数，故不正确；0是有理数，故正确；-29是有理数，故不正确；所以，上列说法，其中正确的是，故选：B【变式5.3】（2021秋溧阳市期末）下列说法不正确的是（）A4的平方根是2B

15、正数、零和负数都有立方根C只有非负数才有平方根D27的立方根是-33【分析】根据平方根与立方根的意义逐一判断即可【解答】解：A4的平方根是2，故A不符合题意；B正数、零和负数都有立方根，故B不符合题意；C只有非负数才有平方根，故C不符合题意；D27的立方根是3，故D符合题意；故选：D【考点6】实数的性质【例6】（2020越秀区校级一模）下列各组数中互为相反数的是（）A2与(-2)2B2与3-8C2与-12D2与|2|【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数对各选项分析判断后利用排除法求解【解答】解：A、(-2)2=2，2与(-2)2是互为相反数，故本选项正确；B、3-8=-2，2与3-8

16、相等，不是互为相反数，故本选项错误；C、2与-12是互为倒数，不是互为相反数，故本选项错误；D、|2|2，2与|2|相等，不是互为相反数，故本选项错误故选：A【变式6.1】（2022秋锡山区期中）5-2的相反数是（）A0.236B5+2C2-5D2+5【分析】根据相反数的定义即可得出结论【解答】解：5-2的相反数是2-5故选C【变式6.2】（2022春如皋市校级月考）下列各组数中相等的是（）A3与(-3)2B2与38C|-5|与5D2与-12【分析】直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质分别化简，进而判断得出答案【解答】解：A3与(-3)2=3，不相等，故此选项不合题意；B2与38=2，不相等

17、，故此选项不合题意；C|-5|与5，相等，故此选项符合题意；D2与-12不相等，故此选项不合题意；故选：C【变式6.3】（2021秋崇川区校级月考）若a=3+2，b=2-3，则a与b之间的关系是（）A互为倒数B互为相反数C互为负倒数D相等【分析】先求积，再判断【解答】解：ab（3+2）（2-3）=(2)2-(3)2=231a，b互为负倒数答案为：C故选：C【考点7】实数的估算与大小比较【例7】（2021秋射阳县校级月考）大于且小于的整数的个数有A6B7C8D9【分析】根据和的近似值即可得出答案【解析】，在和之间的整数有，0，1，2，3，4共8个，故选：【变式7.1】（2022秋锡山区校级期中）

18、在-2，-12，0，2四个数中，最大的数是（）A2B0C-12D-2【分析】先根据实数的大小比较法则比较数的大小，再得出选项即可【解答】解：-2-1202，最大的数是2，故选：A【变式7.2】（2022雨花台区校级模拟）2+3的小数部分是（注：n表示不超过n的最大整数）（）A2+3-2B2+3-3C4-2-3D2+32【分析】根据算术平方根的性质（被开方数越大，则其算术平方根越大）解决此题【解答】解：11.9622.8934，11.422.89321.421.7322+3的小数部分是2+3-3故选：B【变式7.3】（2022春海门市期末）如果m17-1m+1，那么正整数m的值是（）A1B2C3

19、D4【分析】由421752可得4175，进而得出m的值【解答】解：421752，4175，317-14，m为正整数，且m17-1m+1，m3故选：C【考点8】实数与数轴【例8】（2021秋江都区期中）如图，数轴上、两点分别对应实数、，则下列结论正确的是ABCD【分析】本题要先观察，在数轴上的位置，得，然后对四个选项逐一分析【解析】、，故选项错误；、，故选项错误；、，故选项正确；、，故选项错误故选：【变式8.1】（2022秋锡山区期中）如图，点A所表示的实数为（）A2B2+1C2-1D2.5【分析】先根据勾股定理求出AB的长，进而可得出结论【解答】解：如图所示，BC2AD2+CD212+122B

20、C=2，AB=2，OA1+2故选：B【变式8.2】（2022秋栖霞区校级月考）在七年上册的数学实验手册有一节关于寻找无理数的实验如图，直径为单位1的圆从数轴上表示1的点沿着数轴无滑动地逆时针滚动一周到达A点，则此时A点表示的数是（）A+1B1C+1D1【分析】先计算出圆的周长，然后用1减去圆的周长，从而得到A点表示的数【解答】解：圆的周长为1，A点表示的数为1故选：C【变式8.3】（2022秋玄武区校级月考）正方形ABCD在数轴上的位置如图所示，点D、A对应的数分别为0和1，若正方形ABCD绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2，则翻转2020次后，数轴上数2021

21、所对应的点是（）A点AB点BC点CD点D【分析】通过题意得到4个数为一个循环，由20204505，得到2020对应点D，则2021对应点A【解答】解：由题意可知，D初始位置对应的数字为0，D下一个对应得到数字是4，再下一个对应的数字是8，4个数为一个循环，旋转2020次后，20204505，数轴上数2020所对应的点是D，数轴上数2021所对应的点是A故选：A【考点9】近似数【例9】（2021秋相城区月考）对于近似数0.1830，下列说法正确的是A精确到0.001，精确到千分位B精确到0.0001，精确到千分位C精确到0.0001，精确到万分位D精确到0.0001，精确到万位【分析】根据近似数

22、的精确度求解【解析】近似数0.1830精确到0.0001，即精确到万分位故选：【变式9.1】小亮用天平称得一个罐头的质量为2.096kg，用四舍五入法将2.096精确到0.01的近似值为（）A2B2.1C2.09D2.10【分析】根据题目中的数据和四舍五入法可以解答本题【解答】解：2.0962.10故选：D【变式9.2】（2021秋射阳县校级期中）用四舍五入法，分别按要求取0.17326取近似值，下列结果中错误的是（）A0.2（精确到0.1）B0.17（精确到百分位）C0.174（精确到0.001）D0.1733（精确到0.0001）【分析】根据近似数的精确度对各选项进行判断【解答】解：A0.

23、173260.2（精确到0.1），所以A选项不符合题意；B0.173260.17（精确到百分位），所以B选项不符合题意；C0.173260.173（精确到0.001），所以C选项符合题意；D0.173260.1733（精确到0.0001），所以D选项不符合题意故选：C【变式9.3】（2021秋江都区期末）用四舍五入法得到的近似数1.05万，下列说法正确的是（）A精确到百分位B精确到0.01C精确到百位D精确到万位【分析】根据近似数的精确度求解【解答】解：四舍五入法得到的近似数1.05万，近似数精确到百位故选：C【考点10】实数的运算【例10】（2020秋钟楼区月考）计算：（1）38-（3）0+

24、（1）2021|3-2|；（2）121224【分析】（1）直接利用立方根的性质以及零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案；（2）直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案【解答】解：（1）原式211（2-3）2112+32+3；（2）原式=1212124=1228（2022秋邗江区校级期中）计算或解方程：（1）|4|-9+32（2022）0；（2）（x+2）327【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；（2）利用立方根的意义，进行计算即可解答【解答】解：（1）|4|-9+32（2022）043+19-1=19；（2）（x+2）327，x+23，x529（2022秋惠山区期中）计

25、算：（1）(2-1)0+|-3|-327+(-1)2022；（2）16+3-8-2-2【分析】（1）直接利用零指数幂的性质、绝对值的性质、立方根的性质、有理数的乘方运算法则分别化简，进而得出答案；（2）直接利用二次根式的性质、立方根的性质、负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案【解答】解：（1）原式1+33+12；（2）原式42-14=13430（2022秋射阳县校级月考）计算：（1）（3.14）0+（14）1+3-8；（2）（2）2（35）-4+3-64【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；（2）先化简各式，然后再进行计算即可解答【解答】解：（1）（3.14）0+（14）1+3

26、-81+4+（2）523；（2）（2）2（35）-4+3-644（2）2+（4）4+2240【考点11】实数综合问题【例11】（2020秋吴江区期中）（1）若实数m、n满足等式|m2|+n-4=0，求2m+3n的平方根；（2）已知y=x-24+24-x-8，求3x-5y的值【分析】（1）先由非负数的性质求出m2，n4，再把m、n的值代入2m+3n，然后根据平方根的定义求解即可；（2）根据二次根式的被开方数为非负数可得x-24024-x0，据此可得x24，进而求出y的值，再根据立方根的定义求解即可【解答】解：（1）|m2|+n-4=0，|m2|0，n-40，m20，n40，解得m2，n4，2m+

27、3n4+1216，2m+3n的平方根为16=4；（2）y=x-24+24-x-8，x-24024-x0，x24，y8，3x-5y=324+40=364=4【变式11.1】（2021秋盱眙县期末）已知某正数的两个不同的平方根是3a14和a2；b15的立方根为3（1）求a、b的值；（2）求4a+b的平方根【分析】（1）根据正数的两个不同的平方根是3a14和a2，列出方程解出a，再根据b15的立方根为3，列出方程解出b；（2）把a4、b12代入4a+b计算出代数式的值，然后求它的平方根【解答】解：（1）正数的两个不同的平方根是3a14和a2，3a14+a20，解得a4，b15的立方根为3，b1527

28、，解得b12a4、b12；（2）a4、b12代入4a+b得44+（12）4，4a+b的平方根是2【变式11.2】已知6a+34的立方根是4，5a+b2的算术平方根是5，c是13的整数部分，（1）求a，b，c的值；（2）求3ab+c的平方根【分析】（1）先根据立方根、平方根、13的整数部分求出a、b、c；（2）先计算3ab+c的值，再计算它的平方根【解答】解：（1）6a+34的立方根是4，5a+b2的算术平方根是5，6a+3464，5a+b225，6a30，5a+b27a5，b291316，3134c是13的整数部分，c3（2）3ab+c352+31616=4【变式11.3】（2018秋江都区期

29、中）为了比较5+1与10的大小，小伍和小陆两名同学对这个问题分别进行了研究（1）小伍同学利用计算器得到了52.236，103.162，所以确定5+110（填“”或“”或“”）（2）小陆同学受到前面学习在数轴上用点表示无理数的启发，构造出所示的图形，其中C90，BC3，D在BC上且BDAC1请你利用此图进行计算与推理，帮小陆同学对5+1和10的大小做出准确的判断【分析】（1）代入计算，再根据实数大小比较的方法进行比较即可求解；（2）依据勾股定理即可得到AD=CD2+AC2=5，AB=AC2+BC2=10，BD+AD=5+1，再根据ABD中，AD+BDAB，即可得到5+110【解答】解：（1）52.236，103.162，5+13.236，3.2363.162，5+110故答案为：；（2）C90，BC3，BDAC1，CD2，AD=CD2+AC2=5，AB=AC2+BC2=10，BD+AD=5+1，又ABD中，AD+BDAB，5+110