专题11 三角形中的重要模型-特殊三角形中的分类讨论模型（原卷版）.docx

1、专题11 三角形中的重要模型-特殊三角形中的分类讨论模型模型1、等腰三角形中的分类讨论模型【知识储备】凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的性质与三角形三边关系解题即可。1）无图需分类讨论已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论；已知角度数无法确定是顶角还是底角时要分类讨论；遇高线需分高在内和外两类讨论；中线把等腰周长分成两部分需分类讨论。2）“两定一动”等腰三角形存在性问题：即：如图：已知，两点是定点，找一点构成等腰方法：两圆一线具体图解：当时，以点为圆心，长为半径作，点在上（，除外） 当时，以点为圆心，长为半径作，点在上（，除外）当时，作的中垂线

2、，点在该中垂线上（除外）例1（2023春四川成都八年级校考期中）已知等腰三角形的两边长分别是，若，满足，那么它的周长是（）A11B13C11或13D11或15例2（2023春黑龙江佳木斯八年级校考期中）一个等腰三角形的周长为18cm，且一边长是4cm，则它的腰长为（）A4cmB7cmC4cm或7cmD全不对例3（2023春四川达州八年级校考阶段练习）等腰三角形的一个角是，则它顶角的度数是（）AB或C或D例3（2023四川广安八年级校考期中）等腰三角形的一个外角为，则它的底角为（）ABC或D以上都不是例4（2023四川绵阳八年级校考阶段练习）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则等腰三角形的顶

3、角度数为 例5（2023山东滨州八年级校考期末）我们称网格线的交点为格点如图，在6行列的长方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（）A3B4C5D6例6（2023北京八年级期中）RtABC中，BAC=90，AB=AC=2，以AC为一边在ABC外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长为_例7（2023福建南平八年级校考期中）已知ABC中，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为ABC的关于点B的二分割线如图1，RtABC中，显然直线BD是ABC的关于点B的二分

4、割线在图2的ABC中，ABC110，若直线BD是ABC的关于点B的二分割线，则CDB的度数是 例8（2023四川成都八年级校考期中）如图，A、B两点的坐标分别为，点P是x轴上一点，且为等腰三角形，则点P的坐标为 例9（2023江苏苏州八年级校考期中）如图，中，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒（）(1)若点在上，且满足，求此时的值；(2)若点恰好在的角平分线上，求此时的值：(3)在运动过程中，当为何值时，为等腰三角形例10（2022春四川成都八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，经过的直线交x轴正半轴于点B，交y轴于点，直线交x轴负半轴于点D，若的面积为(

5、1)求直线的表达式和点D的坐标；(2)横坐标为m的点P在线段上（不与点重合），过点P作x轴的平行线交于点E，设的长为，求y与m之间的函数关系式并直接写出相应的m取值范围；(3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在点F，使为等腰直角三角形？若存在求出点F的坐标；若不存在，请说明理由模型2、直角三角形中的分类讨论模型【知识储备】凡是涉及直角三角形问题，优先考虑直角顶点（或斜边）分类讨论，再利用直角三角形的性质或勾股定理解题即可。1）无图需分类讨论：已知边长度无法确定是直角边还是斜边时要分类讨论；已知无法确定是哪个角是直角时要分类讨论（常见与折叠、旋转中出现的直角三角形）。2）“两定一动”直角三角形存

6、在性问题：（常见于与坐标系综合出题，后续会专题进行讲解）即：如图：已知，两点是定点，找一点构成方法：两线一圆具体图解：当时，过点作的垂线，点在该垂线上（除外） 当时，过点作的垂线，点在该垂线上（除外）。当时，以为直径作圆，点在该圆上（，除外）。例1（2023春河南安阳八年级校考期末）若三角形的两边长为4和5，要使其成为直角三角形，则第三边的长为 例2（2023春河南郑州八年级校考期中）如图，是的角平分线，是的高，点F为边上一点，当为直角三角形时，则的度数为 例3（2022秋河南新乡八年级校考期末）如图，在44的正方形网格中有两个格点A，B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得ABC是等腰直角

7、三角形，则满足条件的格点C的个数是（）A1个B2个C3个D4个例4（2022江西九江八年级期末）已知在平面直角坐标系中A（2，0）、B（2，0）、C（0，2）点P在x轴上运动，当点P与点A、B、C三点中任意两点构成直角三角形时，点P的坐标为_例5（2022秋辽宁丹东八年级校考期中）在ABC中，BAC90，ABAC4，以AC为一边，在ABC外作等腰直角ACD，则线段BD的长为 例6.（2023春山东东营八年级校考阶段练习）如图，长方形中，点为射线上的一个动点，若与关于直线对称，若为直角三角形，则的长为 例7.（2023秋浙江绍兴八年级统考期末）如图，在中，点D是边上的点，将沿折叠得到，线段与边交

8、于点F若为直角，则的长是 例8（2023秋河南商丘八年级校考期中）如图，中，cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为，点N的速度为当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动(1)点M、N运动几秒后，M、N两点重合？(2)点M、N运动几秒后，可得到等边三角形？(3)当点M、N在边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时M、N运动的时间(4)点M、N运动_后，可得到直角三角形例9（2023秋河南漯河八年级校考期末）如图，等边三角形中，D、E分别是、边上的点，与相交于点P，Q是射线上的动点(1)图中共有_组全等，请选择其中的一组全等予以证明(

9、2)若为直角三角形，求的值例10（2023四川成都八年级校考期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-4，4），点B的坐标为（0，2）（1）求直线AB的解析式；（2）以点A为直角顶点作CAD=90，射线AC交x轴的负半轴于点C，射线AD交y轴的负半轴于点D当CAD绕着点A旋转时，OC-OD的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，求出它的变化范围；（3）如图2，点M（-4，0）和N（2，0）是x轴上的两个点，点P是直线AB上一点当PMN是直角三角形时，请求出满足条件的所有点P的坐标课后专项训练1（2023福建龙岩八年级校考期中）在平面直角坐标系xOy中，点，若点C在x轴上，且为等腰

10、三角形，则满足条件的点C的个数为（）A1B2C3D42（2022山东青岛统考二模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，若为轴上一点，且使得为等腰三角形，则满足条件的点有（）A2个B3个C4个D5个3（2022安徽淮北九年级阶段练习）如图，在中，若点P为直线BC上一点，且为等腰三角形，则符合条件的点P有（）A1个B2个C3个D4个4（2022四川广元八年级期末）如图，在RtABC中，ACB90，CAB=36，以C为原点，C所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系 ，在坐标轴上取一点M使MAB 为等腰三角形，符合条件的 M 点有（）A6个 B7个 C8个 D9个5（2023四川

11、凉山八年级校考期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则底角是 6（2023春四川达州八年级校考阶段练习）我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫作等腰三角形的“特征值”，记作k若，则该等腰三角形的顶角为 度7（2022河南平顶山八年级期末）如图，中，的平分线与线段交于点，且有，点是线段上的动点（与A、不重合），连接，当是等腰三角形时，则的长为_8（2023上虞市初二月考）在如图所示的三角形中，A30，点P和点Q分别是边AC和BC上的两个动点，分别连接BP和PQ，把ABC分割成三个三角形ABP，BPQ，PQC，若分割成的这三个三角形都是等腰三角形，则C有可能的值有_个 9（2022

12、河南郑州八年级阶段练习）如图，已知等腰ABC中，AB=AC=5，BC=8，E是BC上的一个动点，将ABE沿着AE折叠到ADE处，再将边AC折叠到与AD重合，折痕为AF，当DEF是等腰三角形时，BE的长是_10（2022河南南阳二模）如图，在的纸片中，点在边上，以为折痕将折叠得到，与边交于点若为直角三角形，则的长是_11（2022江西萍乡二模）如图，在ABC 中，ABBC2，AOBO，P 是射线 CO 上的一个动点，AOC60，则当PAB为直角三角形时，AP 的长为_12（2023春江西鹰潭八年级校考阶段练习）如图，在中，已知，在直线上现将在直线上进行平移，当为直角三角形时，的长为 13（202

13、2秋四川成都八年级校考期中）如图，四边形是一张长方形纸片，将其放在平面直角坐标系中，使得点与坐标原点重合，点、分别在轴、轴的正半轴上，点的坐标为，的坐标为，现将纸片沿过点的直线折叠，使顶点落在线段上的点处，折痕与轴的交点记为(1)求点的坐标和的大小；(2)在轴正半轴上是否存在点，满足，若存在，求出点坐标，若不存在请说明理由；(3)点在直线上，且为等腰三角形，请直接写出点的坐标14（2023秋浙江杭州八年级校联考期末）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形的顶点A、B分别在x轴与y轴上，已知，点D为y轴上一点，其坐标为，点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿线段的方向运动，当点P与点B重合

14、时停止运动(1)当点P与点C重合时，求直线的函数解析式；(2)设运动时间为t秒当点P在运动过程中，求的面积S关于t的函数解析式；是否存在等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由15（2022春四川成都八年级校考阶段练习）如图，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点是线段上一动点（不与点重合），过点作于点(1)当点是中点时，求的面积；(2)连接，若平分，求此时点的坐标；(3)平分，在轴上有一动点，横坐标为，过点作直线轴，与线段有交点，求的取值范围；(4)平分，为轴上动点，为等腰三角形，求坐标16（2023春吉林长春八年级校考阶段练习）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的

15、边长为1个单位长度，存在线段，端点A，B均落在格点上，构建如图所示平面直角坐标系(1)直接写出点A，B的坐标：A（_，_），B（_，_）；(2)请在网格中找到点C，连接，使为等腰直角三角形，此时点C的坐标为_；(3)如图所示，网格中（包括网格的边界）存在点P，点P的横纵坐标均为整数，连接，得到锐角，且为等腰三角形，则满足条件的点P有_个17（2023秋浙江金华八年级校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，点A的坐标为(-1，0)，点B是直线上的动点，连接AB，设点B的横坐标为(1)如图1，当时，以AB为直角边在AB下方作等腰直角三角形ABC，使，求点C的坐标(2)如图2，把线段AB绕点A顺时针旋转

16、得到线段AD，当点B在直线上运动时，点D也随之运动，连接OD，求AOD的面积（用含的代数式表示）(3)在图3中以AB为直角边作等腰直角三角形ABE，当点E落在直线上时，求的值18（2023秋四川成都八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，经过A(-2，6)的直线交x轴正半轴于点B，交y轴于点C，OB=OC，直线AD交x轴负半轴于点D，若ABD的面积为27（1）求直线AD的解析式；（2）横坐标为m的点P在AB上（不与点A，B重合），过点P作x轴的平行线交AD于点E，设PE的长为y（y0），求y与m之间的函数关系式并直接写出相应的m的取值范围；（3）在（2）的条件下，在x轴上是否

17、存在点F，使PEF为等腰直角三角形？若存在求出点F的坐标，若不存在，请说明理由19（2023秋四川成都八年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为(1)求直线的表达式；(2)点M是坐标轴上的一点，若以为直角边构造，请求出满足条件的所有点M的坐标；(3)如图2，以A为直角顶点作，射线交x轴的正半轴于点C，射线交y轴的负半轴于点D，当绕点A旋转时，求的值20（2022秋四川成都八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴的正半轴于点C，且面积为10(1)求直线BC的解析式；(2)如图1，若点M为线段BC上一点，且满足，求点M的坐标；(3)如图2，点F为线段AB中点，点G为y轴上任意一点，连接FG，以FG为腰，G为直角顶点，在FG右侧作等腰直角，当顶点Q落在直线BC上时，求点的坐标