专题11四点共圆模型-【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（全国通用）（原卷版）.docx

1、【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题11四点共圆模型解题策略模型1：定点定长共圆模型若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆如图，若OAOBOCOD，则A，B，C，D四点在以点O为圆心、OA为半径的圆上模型2：对角互补共圆模型2若一个四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个顶点共圆如图，在四边形ABCD中， 若AC180（或BD180）则A，B，C，D四点在同一个圆上 拓展：若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆如图，在四边形ABCD中，CDE为外角，若BCDE，则A，B，C，D四点在同一个圆上模型3：定弦定角共圆模型若两个点在一条线段的同旁，并

2、且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线段的两个端点共圆如图，点A，D在线段BC的同侧，若AD，则A，B，C，D四点在同一个圆上经典例题【例1】（2021全国九年级课时练习）在边长为12cm的正方形ABCD中，点E从点D出发，沿边DC以1cm/s的速度向点C运动，同时，点F从点C出发，沿边CB以1cm/s的速度向点B运动，当点E达到点C时，两点同时停止运动，连接AE、DF交于点P，设点EF运动时间为t秒回答下列问题：(1)如图1，当t为多少时，EF的长等于45cm?(2)如图2，在点E、F运动过程中，求证：点A、B、F、P在同一个圆(O)上；是否存在这样的t值，使得问题中的O与

3、正方形ABCD的一边相切?若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；请直接写出问题中，圆心O的运动的路径长为_【例2】（2022吉林白山八年级期末）（1）如图，OAB、OCD的顶点O重合，且A+B+C+D=180，则AOB+COD=_；（直接写出结果）（2）连接AD、BC，若AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线.如图，如果AOB=110，那么COD的度数为_；（直接写出结果）如图，若AOD=BOC，AB与CD平行吗？为什么？【例3】（2020四川眉山一模）问题背景：如图1，等腰ABC中，AB=AC,BAC=120，作ADBC于点D，则D为BC的中点，BAD=12BAC=6

4、0，于是BCAB=2BDAB=3；迁移应用：如图2，ABC和ADE都是等腰三角形，BAC=DAE=120，D，E，C三点在同一条直线上，连接BD求证：ADBAEC；请直接写出线段AD,BD,CD之间的等量关系式；拓展延伸：如图3，在菱形ABCD中，ABC=120，在ABC内作射线BM，作点C关于BM的对称点E，连接AE并延长交BM于点F，连接CE，CF证明CEF是等边三角形；若AE=5,CE=2，求BF的长【例4】（2022全国九年级课时练习）定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角已知四边形ABCD是圆美四边形 （1）求美角A的度数；（2）如图1，若O的半

5、径为5，求BD的长；（3）如图2，若CA平分BCD，求证：BC+CD=AC培优训练一、解答题1（2022辽宁葫芦岛一模）射线AB与直线CD交于点E，AED60，点F在直线CD上运动，连接AF，线段AF绕点A顺时针旋转60得到AG，连接FG，EG，过点G作GHAB于点H(1)如图1，点F和点G都在射线AB的同侧时，EG与GH的数量关系是_；(2)如图2，点F和点G在射线AB的两侧时，线段EF，AE，GH之间有怎么样的数量关系？并证明你的结论；(3)若点F和点G都在射线AB的同侧，AE=1，EF=2，请直接写出HG的长2（2022上海宝山九年级期末）如图，已知正方形ABCD，将AD绕点A逆时针方向

6、旋转n(0n90)到AP的位置，分别过点C、D作CEBP,DFBP，垂足分别为点E、F(1)求证：CE=EF；(2)联结CF，如果DPCF=13，求ABP的正切值；(3)联结AF，如果AF=22AB，求n的值3（2022重庆市育才中学九年级期末）在等边ABC中，D是边AC上一动点，连接BD，将BD绕点D顺时针旋转120，得到DE，连接CE（1）如图1，当B、A、E三点共线时，连接AE，若AB=2，求CE的长；（2）如图2，取CE的中点F，连接DF，猜想AD与DF存在的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，在（2）的条件下，连接BE、AF交于G点若GF=DF，请直接写出CD+ABBE的值4（2

7、022黑龙江哈尔滨工业大学附属中学校九年级期末）在平面直角坐标系中，抛物线y3ax210axc分别交x轴于点A、B（A左B右）、交y轴于点C，且OBOC6（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，点P在第一象限对称轴右侧抛物线上，其横坐标为t，连接BC，过点P作BC的垂线交x轴于点D，连接CD，设BCD的面积为S，求S与t的函数关系式（不要求写出t的取值范围）；（3）如图3，在（2）的条件下，线段CD的垂直平分线交第二象限抛物线于点E，连接EO、EC、ED，且EOC45，点N在第一象限内，连接DN，DNEC，点G在DE上，连接NG，点M在DN上，NMEG，在NG上截取NHNM，连接MH并延

8、长交CD于点F，过点H作HKFM交ED于点K，连接FK，若FKGHKD，GK2MN，求点G的坐标 5（2021广东珠海市紫荆中学九年级期中）如图，ABC中，BAC90，ABAC4，直角ADE的边AE在线段AC上，AEAD2，将ADE绕直角顶点A按顺时针旋转一定角度，连接CD、BE，直线CD，BE交于点F，连接AF，过BC中点G作GMCD，GNAF（1）求证：BECD；（2）求证：旋转过程中总有BFAMGN；（仅对090时加以证明）（3）在AB上取一点Q，使得AQ1，求FQ的最小值6（2021湖北武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）九年级阶段练习）【问题背景】如图1，P是等边ABC内一点，APB

9、150，则PA2+PB2PC2小刚为了证明这个结论，将PAB绕点A逆时针旋转60，请帮助小刚完成辅助线的作图；【迁移应用】如图2，D是等边ABC外一点，E为CD上一点，ADBE，BEC120，求证：DBE是等边三角形；【拓展创新】如图3，EF6，点C为EF的中点，边长为3的等边ABC绕着点C在平面内旋转一周，直线AE、BF交于点P，M为PG的中点，EFFG于F，FG43，请直接写出MC的最小值7（2022全国九年级课时练习）如图1，在正方形ABCD中，点F在边BC上，过点F作EFBC，且FE=FC(CECB)，连接CE、AE，点G是AE的中点，连接FG（1）用等式表示线段BF与FG的数量关系：

10、_；（2）将图1中的CEF绕点C按逆时针旋转，使CEF的顶点F恰好在正方形ABCD的对角线AC上，点G仍是AE的中点，连接FG、DF在图2中，依据题意补全图形；用等式表示线段DF与FG的数量关系并证明8（2021四川成都实外九年级阶段练习）“数学建模”是中学数学的核心素养，平时学习过程中能归纳一些几何模型，解决几何问题就能起到事半功倍的作用（1）如图1，正方形ABCD中，EAF=45，且DE=BF，求证：EG=AG；（2）如图2，正方形ABCD中，EAF=45，延长EF交AB的延长线于点G，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）如图3在（2）的条件下，作GQAE，垂足为点Q，交AF于点N，

11、连结DN，求证：NDC=459（2021上海徐汇九年级期中）如图，已知RtABC和RtCDE，ACB=CDE=90，CAB=CED，AC=8，BC=6，点D在边AB上，射线CE交射线BA于点F（1）如图，当点F在边AB上时，联结AE求证：AEBC；若EF=12CF，求BD的长；（2）设直线AE与直线CD交于点P，若PCE为等腰三角形，求BF的长10（2022全国九年级专题练习）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角（1）如图1，E是ABC中A的遥望角若A40，直接写出E的度数是 ；求E与A的数量关系，并说明理由（2）如图2，四边形

12、ABCD中，ABCADC90，点E在BD的延长线上，连CE，若BEC是ABC中BAC的遥望角，求证：DADE11（2022全国九年级课时练习）在正方形ABCD中，M是BC边上一点，点P在射线AM上，将线段AP绕点A顺时针旋转90得到线段AQ，连接BP，DQ（1）如图1，求证：BP=DQ；（2）如图2，若点P，B，D三点共线，求证：A，Q，P，D四点共圆；（3）若点P，Q，C三点共线，且AD=3，求BP的长12（2021江苏泗阳县实验初级中学九年级阶段练习）如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD上的两个动点，且BE=CF，AE和BF相交于点P（1）探究AE、BF的关系，并说明理由；

13、（2）求证：A、D、F、P在同一个圆上；（3）如图2，若正方形ABCD的边AB在y轴上，点A、B的坐标分别为(0,1+a)、(0,1a)，点E、F分别是BC、CD上的两个点，且BE=CF，AE和BF相交于点P，点M的坐标为(4,4)，当点P落在以M为圆心1为半径的圆上求a的取值范围13（2021重庆一中九年级阶段练习）如图，在等腰RtABC中，BAC=90，ADBC，垂足为D，点E为AC边上一点，连接ED并延长至F，使ED=FD，以EF为底边作等腰RtEGF（1）如图1，若ADE=30，AE=4，求CE的长；（2）如图2，连接BF，DG，点M为BF的中点，连接DM，过D作DHAC，垂足为H，连

14、接AG交DH于点N，求证：DM=NG；（3）如图3，点K为平面内不与点D重合的任意一点，连接KD，将KD绕点D顺时针旋转90得到KD，连接KA，KB，直线KA与直线KB交于点P，D为直线BC上一动点，连接AD并在AD的右侧作CDAD且CD=AD，连接AC，Q为BC边上一点，CD=3CQ，AB=122，当QC+CP取到最小值时，直线CP与直线BC交于点S，请直接写出BPS的面积14（2021福建省福州外国语学校三模）在RtABC中，ACB=90，AC=3，BC=4将RtABC绕点B顺时针旋转(060)得到RtDEB，直线DE，AC交于点P（1）如图1，当BDBC时，连接BP求BDP的面积；求ta

15、nCBP的值；（2）如图2，连接AD，若F为AD中点，求证；C，E，F三点共线15（2021黑龙江哈尔滨市虹桥初级中学校模拟预测）直线y=kx+k与x轴交于A，与y轴交于C点，直线BC的解析式为y=1kx+k，与x轴交于B（1）如图1，求点A的横坐标；（2）如图2，D为BC延长线上一点，过D作x轴垂线于点E，连接CE，若CD=CA，设ACE的面积为S，求S与k的函数关系式；（3）如图3，在（2）的条件下，连接OD交AC于点F，将CDF沿CF翻折得到FCG，直线FG交CE于点K，若3ACECDO=45，求点K的坐标16（2021全国九年级课时练习）在平行四边形ABCD中，已知A45，ADBD，点

16、E为线段BC上的一点，连接DE，以线段DE为直角边构造等腰RtDEF，EF交线段AB于点G，连接AF、DG（1）如图1，若AB122，BE5，则DE的长为多少？（2）如图2，若点H，K分别为线段BG，DE的中点，连接HK，求证：AG2HK；（3）如图3，在（2）的条件下，若BE2，BG22，以点G为圆心，AG为半径作G，点M为G上一点，连接MK，取MK的中点P，连接AP，请直接写出线段AP的取值范围17（2021江苏苏州二模）如图（1），已知矩形ABCD中，AB=6cm，BC=23cm，点E为对角线AC上的动点连接BE，过E作EB的垂线交CD于点F（1）探索BE与EF的数量关系，并说明理由（2

17、）如图（2），过F作AC垂线交AC于点G，交EB于点H，连接CH若点E从A出发沿AC方向以23cm/s的速度向终点C运动，设E的运动时间为ts是否存在t，使得H与B重合？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；t为何值时，CFH是等腰三角形；当CG=GH时，求CGH的面积18（2022江苏扬州模拟预测）如图，将一副斜边相等的直角三角板按斜边重合摆放在同一平面内，其中DAB45，CAB30，点O为斜边AB的中点，连接CD交AB于点E设AB1（1）求证：A、B、C、D四个点在以点O为圆心的同一个圆上；（2）分别求ABC和ABD的面积；（3）过点D作DFBC交AB于点F，求OEOF的比值19（202

18、1江苏南京二模）如图，A是O外一点，AB与O相切于点B，AO的延长线交O于点C，过点B作BD/AC，交O于点D，连接DO，并延长DO交O于点E，连接AE已知BD=2，O的半径为3（1）求证：AE是O的切线；（2）求AE的长；（3）如图，若点M是O上一点，且BM=3，过A作AN/BM，交弧ME于点N，连接ME，交AN于点G，连接OG，则OG的长度是_20（2020浙江温州九年级期中）如图，在ABCD中，AB=5,tanA=43，过点B作BEAD于点E，过B，D，E三点的圆分别交边AB，BC，CD于点F，M，N，连结BE，CE，连结BN交CE于点P（1）求证：EF=MN（2）当BPE是等腰三角形时

19、，求AD的长（3）连结BD，MN，当BD平分ADC时，求BMN与CDE面积的比值21（2020湖南郴州市第九中学九年级阶段练习）如图，边长为32的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（点P与A、C不重合），连接BP，将BP绕点B顺时针旋转90得到BQ，连接QP，QP与BC交于点E，其延长线与AD（或AD延长线）交于点F（1）连接CQ，证明：CQ=AP；（2）设AP=x，CE=y，试写出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）试问当P点运动到何处时，PB+PE的值最小，并求出此时CE的长（画出图形，直接写出答案即可）22（2021全国九年级课时练习）如图，四边形ABCD内接

20、于O，对角线ACBD，垂足为E，CFAB于点F，直线CF与直线BD于点G（1）若点G在O内，如图1，求证：G和D关于直线AC对称；（2）连接AG，若AG=BC，且AG与O相切，如图2，求ABC的度数23（2020北京市三帆中学九年级期中）已知：过O上一点A作两条弦AB、AC，且A=45，（AB、AC都不经过O）过A作AC的垂线AF，交O于D，直线BD，AC交于点E，直线BC，AD交于点F.（1）请在图1中，按要求补全图形；（2）在图2中探索线段BE和BF的数量关系，并证明你的结论；（3）探索线段AB、AE、AF的数量关系，并直接写出你的结论_.24（2020湖北武汉二中广雅中学二模）如图，等腰RtABC中，ACB90，D为BC边上一点，连接AD（1）如图1，作BEAD延长线于E，连接CE，求证：AEC45；（2）如图2，P为AD上一点，且BPD45，连接CP若AP2，求APC的面积；若AP2BP，直接写出sinACP的值为_