专题14 角、相交线与平行线（10个高频考点）（举一反三）（全国版）（解析版）.docx

1、专题14 角、相交线与平行线（10个高频考点）（举一反三） 【考点1 角、钟面角、方向角】1【考点2 对顶角、邻补角】4【考点3 补角、余角】6【考点4 同位角、内错角、同旁内角】8【考点5 角的和差】10【考点6 角的大小比较】15【考点7 点到直线的距离】18【考点8 相交线与平行线】21【考点9 平行公理及其推论】23【考点10 平行线的判定与性质】30【要点1 角的概念】定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部【要点2 角的表示方法】表示方法A图例记法适用

2、范围用三个大写字母表示BOAOB或BOA任何情况下都适应.表示端点的字母必须写在中间.用一个大写字母表示AA以这个点为顶点的角只有一个.用数字表示11任何情况下都适用.但必须在靠近顶点处加上弧线表示角的范围，并注上数字或希腊字母.【要点3 钟表上有关夹角问题】钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30的角，分针1分钟转6，时针每小时转30，时针1分钟转0.5，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题【要点4 方向角】在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角例如，图中射线OA的方向是北偏东60；射线OB的方向是南偏西30这里的“北偏东60”和“南偏西30”表示方向的角，就

3、叫做方向角【考点1 角、钟面角、方向角】【例1】（2022河北统考模拟预测）如图，同时能用三个字母和一个字母表示的角是（）A1B2CA和DDA和C【答案】D【分析】根据角的表示方法以及具体要求回答即可【详解】解：A、C能够用一个字母表示，也能够用三个字母表示，以B为顶点的角有3个，不能用一个字母表示，点D为顶点的角有2个，不能用一个字母表示故选：D【点睛】本题主要考查的是角的表示方法，掌握角的表示方法是解题的关键【变式1-1】（2022湖南益阳统考中考真题）如图，PA，PB表示以P为起点的两条公路，其中公路PA的走向是南偏西34，公路PB的走向是南偏东56，则这两条公路的夹角APB_【答案】9

4、0【分析】根据题意可得APC34，BPC56，然后进行计算即可解答【详解】解：如图：由题意得：APC34，BPC56，APBAPCBPC90，故答案为：90【点睛】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的定义是解题的关键【变式1-2】（2022辽宁抚顺一模）钟面角是指时钟的时针与分针所成的角，则当时间为4：30时钟面角为_.【答案】45【分析】根据分针每分钟转36060=6，时针每分钟转3601260=0.5进行求解即可【详解】解：分针每分钟转36060=6，时针每分钟转3601260=0.5，当时间为4：30时钟面角为6300.5460+30=45，故答案为：45【点睛】本题主要考查了钟面角的计算

5、，熟知时针和分针每分钟走的度数是解题的关键【变式1-3】（2022浙江宁波统考一模）66的方格图中，按要求作格点三角形ABC（1）在图1中，作等腰直角ABC，使得BAC=45；（画出一个即可）（2）在图2中，作钝角ABC，使得BAC=45【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据题意作出图形即可；（2）根据题意作出图形即可【详解】（1）如图1，所示，ABC即为所求；（2）如图2，所示，ABC即为所求【点睛】本题考查了应用与设计的作图关键是根据题意，由网格的特点确定三角形的第三个顶点C【考点2 对顶角、邻补角】【例2】（2022河北模拟预测）下列图形中，1与2是对顶角的是()ABCD【

6、答案】C【分析】根据对顶角的定义，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角，进而得出答案【详解】利用对顶角的定义可得出：符合条件的只有C，故选C【点睛】本题考查了对顶角的概念，一定要紧扣概念中的关键词语，如：两条直线相交，有一个公共顶点反向延长线等【变式2-1】（2022广东统考中考模拟）与互为补角，同时又是对顶角，则它们两边所在的直线（ ）A互相垂直B互相平行C既不垂直也不平行D不能确定【答案】A【详解】与是对顶角，=，又与互补，+=180，可求=90.故选A.【变式2-2】（2022上海校联考模拟预测）已知，B与A互为邻补角，且B=2A，那么

7、A为_度【答案】60【分析】设A=x，则B=2x，然后根据领补角的定义进行求解即可【详解】解：设A=x，则B=2x根据题意得，x+2x=180，解得：x=60，A=60，故答案为：60【点睛】本题主要考查领补角的定义及一元一次方程的解法，熟练掌握领补角的定义及一元一次方程的解法是解题的关键【变式2-3】（2022陕西西安西安市中铁中学校考三模）小明把一副直角三角板按如图所示的方式摆放，其中C=F=90，A=45，D=30，则+等于（）A180B210C360D270【答案】B【分析】根据直角三角形两锐角互余可得2+3=90，再根据三角形外角的性质，对顶角相等可得+=2+D+3+F，即可求解【详

8、解】解：如图，C=F=90，2+3=90，=1+D，=4+F，1=2，3=4，+=1+D+4+F=2+D+3+F=2+3+30+90=210，故选B【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，三角形外角的性质，对顶角的性质，熟练掌握直角三角形两锐角互余，三角形外角的性质，对顶角相等是解题的关键【考点3 补角、余角】【例3】（2022陕西西安统考三模）已知1=50，则1的余角的补角的度数是（）A60B140C40D130【答案】B【分析】先根据余角的定义求出1的余角，再根据补角的定义解答【详解】解：1=50，1的余角是40，40的补角是18040=140，1的余角的补角的度数是140故选：B【点睛】

9、本题考查了余角和补角的定义，属于基础题型，熟练掌握二者的概念是解题关键【变式3-1】（2022广西中考真题）如图摆放一副三角板，直角顶点重合，直角边所在直线分别重合，那么BAC的大小为_【答案】135#135度【分析】根据三角板及其摆放位置可得BAO=180=BAC+OAC,OAC=45，求解即可【详解】BAO=180=BAC+OAC,OAC=45，BAC=18045=135，故答案为：135【点睛】本题考查了求一个角的补角，即两个角的和为180度时，这两个角互为补角，熟练掌握知识点是解题的关键【变式3-2】（2022江苏泰州统考二模）4215的余角是_【答案】4745【分析】根据余角及补角的

10、定义进行计算即可【详解】解：4215的余角是90-4215=4745故答案为：4745【点睛】本题考查的是余角及补角的定义，如果两个角的和等于90（直角），就说这两个角互为余角，如果两个角的和等于180，就说这两个角互为补角【变式3-3】（2022山东济南统考一模）如图，CABE于点A，ADBF于点D，则下列说法中正确的是（）A的余角只有BB的补角是DACC与ACF互补D与ACF互余【答案】C【分析】根据题意CABE于点A，ADBF于点D，结合图形可得的余角与补角，逐项分析判断即可求解【详解】CABE于A，ADBF于D，B+=DAC+=90，所以A不正确；+DAE=180，所以B也不正确；DA

11、C +ACD=DAC+=90，ACD=，ACD+ACF=180，ACF与互补故C正确，D不正确故选C【点睛】本题考查了垂直的定义，直角三角形的两锐角互余，掌握余角与补角的定义是解题的关键【考点4 同位角、内错角、同旁内角】【例4】（2022浙江杭州模拟预测）如图，直线l1，l2被直线l3所截，则（）A1和2是同位角B1和2是内错角C1和3是同位角D1和3是内错角【答案】C【分析】两条直线a、b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，被截两直线a、b的同一侧的角（都在左侧或者都在右侧），把这样的两个角称为同位角；根据定义分别判断即可【详解】解：1和2既不是同位角，也不是内错角，故选项A、B错误；1和

12、3是同位角，故选项C正确，选项D错误；故答案为：C【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，掌握同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形是解题的关键【变式4-1】（2022青海统考中考真题）数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）.从左至右依次表示（）A同旁内角、同位角、内错角B同位角、内错角、对顶角C对顶角、同位角、同旁内角D同位角、内错角、同旁内角【答案】D【分析】两条线a、b被第三条直线c所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位置关系的角称为同位角；两个角分别在截线的异侧，且夹在两条被截线之间

13、，具有这样位置关系的一对角互为内错角；两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角据此作答即可【详解】解：根据同位角、内错角、同旁内角的概念，可知第一个图是同位角，第二个图是内错角，第三个图是同旁内角故选：D【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是掌握同位角、内错角、同旁内角，并能区别它们【变式4-2】（2022浙江杭州模拟预测）下列图中1和2是同位角的是（）ABCD【答案】D【分析】根据同位角的定义，即两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角对每个图进行判断即可【详

14、解】解：图中1和2是同位角，符合题意；图中1和2是同位角，符合题意；图中1和2不是同位角，不符合题意；图中1和2不是同位角，不符合题意；图中是同位角的是故选：D【点睛】本题考查了同位角的定义，掌握基本概念是解题的关键【变式4-3】（2022福建三明统考中考模拟）如图，图中的同位角的对数是（）A4B6C8D12【答案】D【详解】试题分析：根据同位角的定义可以得出图中有12对同位角.考点：同位角的定义【要点5 角的和、差关系】如图所示，AOB是1与2的和，记作：AOB1+2；1是AOB与2的差，记作：1AOB-2【要点6 角平分线】从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平

15、分线如图所示，OC是AOB的角平分线，AOB2AOC2BOC，AOCBOC =12AOB【考点5 角的和差】【例5】（2022浙江杭州模拟预测）如图，将一幅三角板按照如图1所示的位置放置在直线EF上，现将含30角的三角板OCD绕点O逆时针旋转180，在这个过程中（1）如图2，当OD平分AOB时，试问OC是否也平分AOE，请说明理由（2）当OC所在的直线平分AOB时，求AOD的度数；（3）试探究BOC与AOD之间满足怎样的数量关系，并说明理由【答案】（1）OC平分AOE，理由见解析；（2）AOD=67.5；（3）AOD+BOC=135或BOCAOD=135或AOD+BOC=225，理由见解析【分

16、析】（1）先根据角平分线的定义求出AOD的度数，从而可得AOC，再根据互补角的定义可得AOE的度数，由此即可得；（2）先根据角平分线的定义求出AOC的度数，再根据角的和差即可得；（3）设旋转角的度数为，分045、4590和90180三种情况，分别根据角的和差即可得【详解】（1）OC平分AOE，理由如下：OD平分AOB，且AOB=45，AOD=12AOB=22.5，COD=90，AOC=CODAOD=9022.5=67.5，又AOB=45，AOE=180AOB=135，AOC=12AOE，即OC平分AOE；（2）当OC所在的直线平分AOB时，由角平分线的定义得：AOC=12(360AOB)=15

17、7.5，则AOD=AOCCOD=157.590=67.5；（3）设旋转角的度数为，则0180，由题意，分以下三种情况：当045时，AOD在AOB内部，则AOD+BOC=AOD+BOD+COD，=AOB+COD，=45+90，=135，当4590时，AOD在AOB外部，且BOC180，则BOCAOD=AOB+AOD+CODAOD，=AOB+COD，=45+90，=135，当90【分析】由平行线的性质可知CAE=ACF，由角的大小比较方法可知BCFGCF=DAE，进而可得出结论【详解】解：如图，AE/CF，CAE=ACF，BCFACB，故答案为：【点睛】本题考查了平行线的性质，角的大小比较方法，熟

18、练掌握各知识点是解答本题的关键【变式6-3】（2022陕西西安校考一模）线段AB与射线AP有一公共端点A(1)用直尺和圆规作出AB的中点M；(不写作图方法)(2)用直尺和圆规作出以点B为顶点的ABQ，使ABQ=PAB，且BQ与AP相交于点C.(不写作图方法)(3)联结CM，用量角器测量AMC和BMC的度数，你认为AMC和BMC的大小关系如何？【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)相等【分析】（1）分别以点A、B为圆心，以大于12AB的长为半径，在线段AB的上方和下方分别画弧，交于两点，连接这两点，与线段AB的交点就是中点M；（2）根据作一个角等于已知角的方法，即可作出ABQ=PAB，找到点

19、C的位置；（3）用量角器测量AMC和BMC的度数，会发现两角的度数相等（1）如图所示，点M即为所求；（2）如图所示：ABQ即为所求；（3）用量角器测量可知：AMC=90，BMC=90，所以AMC和BMC的大小相等【点睛】本题考查了用圆规和直尺的基本尺规作图方法、角的大小比较，熟练掌握作图步骤和方法是解题关键【考点7 点到直线的距离】【例7】（2022北京校考模拟预测）下列图形中，线段AD的长表示点A到直线BC的距离的是（）ABCD【答案】B【分析】直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离【详解】解：AAD与BC不垂直，故线段AD的长不能表示点A到直线BC距离，不合题意；B ADBC于

20、D，则线段AD的长表示点A到直线BC的距离，符合题意；CAD与BC不垂直，故线段AD的长不能表示点A到直线BC距离，不合题意；DAD与BC不垂直，故线段AD的长不能表示点A到直线BC距离，不合题意故选：B【点睛】本题考查了点到直线的距离的定义，注意从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段【变式7-1】（2022吉林松原校考一模）小明参加跳远比赛，他从地面踏板P处起跳落到沙坑中，两脚后跟与沙坑的接触点分别为A，B，小明未站稳一只手撑到沙坑C点，则跳远成绩测量正确的图是（）ABCD【答案】C【分析】由于C点到踏板最近，则C点到踏板的垂线段的长为跳远成绩【详解】解：跳远成绩应该为

21、身体与沙坑的接触点中到踏板的垂线段长的最小值由于C点到踏板最近，所以C点到踏板的垂线段的长为跳远成绩故选：C【点睛】本题考查了垂线段最短，点到直线的距离，掌握垂线的定义以及垂线段最短是解题的关键【变式7-2】（2022北京统考中考模拟）点A在直线m外，点B在直线m上，A、B两点的距离记作a，点A到直线m的距离记作b，则a与b的大小关系是 ()AabBabCabDab【答案】C【分析】分两种情况：a和b构成一个直角三角形，且a是斜边，b是直角边，所以ab；若B是垂足时，a=b【详解】如图，a是斜边，b是直角边，ab，若点A、点B所在直线垂直直线m，则a=b，故选C【点睛】本题考查了点到直线的距离

22、，明确点到直线的距离是这点到直线的垂线段的长度，属于基础题【变式7-3】（2022辽宁沈阳统考中考模拟）如图，四边形ABCD中，BADADC90，ABAD22，CD2，点P在四边形ABCD的边上，若点P到BD的距离为32，则点P的个数为_个【答案】2【分析】考查A点到BD的距离，设这个距离为x，可以通过解直角三角形求出x，若x32，则存在2个点满足，若x=32，则存在1个点满足，若x32，则没有点满足，同样的方法考查C点到BD的距离，最后合计满足点的个数，即可【详解】过点A作AEBD于E，过点C作CFBD于F，BADADC90，ABAD22，CD2，ABDADB45，CDF90ADB45，si

23、nABDAEAB，AEABsinABD22sin452222232，所以在AB和AD边上有符合P到BD的距离为32的点2个，sinCDFCFCD，CFCDsinCDF222 132，所以在边BC和CD上没有到BD的距离为32的点，总之，P到BD的距离为32的点有2个故答案是：2【点睛】本题主要考查解直角三机形，求A，C两点到BD的距离【考点8 相交线与平行线】【例8】（2022河北石家庄石家庄市第四十一中学校考模拟预测）如图，在同一平面内经过直线l外一点O有四条直线，借助直尺和三角板判断，与直线l平行的是（）ABCD【答案】C【分析】由过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，即可得到答案【

24、详解】解：经过刻度尺平移测量，符合题意，故选：C【点睛】本题考查了平行线，利用了平行线的性质：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行【变式8-1】（2022河北保定统考二模）在同一平面内，两条直线可能的位置关系是（）A平行、相交或垂直B相交C平行或相交D平行【答案】C【分析】根据在同一平面内，两条直线可能的位置关系求解即可，注意垂直是相交的特殊情况【详解】解：在同一平面内，两条直线可能的位置关系是平行或相交故选：C.【点睛】本题考查了同一平面内，两条直线的位置关系，掌握同一平面内两条直线的位置关系是解题的关键【变式8-2】（2022福建厦门统考一模）两条直线相交所成的四个角中，下列说法正确

25、的是（ ）A一定有一个锐角B一定有一个钝角C一定有一个直角D一定有一个不是钝角【答案】D【详解】试题解析：因为两条直线相交，分为垂直相交和斜交，故分两种情况讨论：当两直线垂直相交时，四个角都是直角，故A、B错误；当两直线斜交时，有两个角是锐角，两个角是钝角，所以C错误；综上所述，D正确故选D【变式8-3】（2022河北模拟预测）下面关于平行线的说法中，正确的个数是 （）在同一平面内，不相交的两条直线必平行在同一平面内，不相交的两条线段必平行在同一平面内，不平行的两条直线必相交在同一平面内，不平行的两条线段必相交A0B2C3D4【答案】B【分析】根据平面内直线和线段的位置关系判断【详解】在同一平

26、面内，不相交的两条直线必平行，不平行的两条直线必相交，线段则不一定，故正确。故选B【点睛】本题主要考查在同一平面内两直线的位置关系，需要注意和说的是线段【要点8 平行公理及其推论】经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行. 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 【考点9 平行公理及其推论】【例9】（2022重庆九龙坡重庆市育才中学校考一模）已知直线ABCD(1)如图1，直接写出ABE，CDE和BED之间的数量关系(2)如图2，BF，DF分别平分ABE，CDE，那么BFD和BED有怎样的数量关系？请说明理由(3)若点E的位置如图3所示，BF，DF仍分别平分ABE，CD

27、E，请直接写出BFD和BED的数量关系【答案】(1)ABE+CDE=BED；(2)BFD=12BED，理由见解析；(3)2BFD+BED=360，理由见解析【分析】（1）过点E作EFAB，根据平行线的性质得ABE=1，CDE=2，进而即可得到结论；（2）由角平分线的定义得ABF=12ABE，CDF=12CDE，结合第（1）题的结论，即可求证；（3）过点E作EG/CD，由平行线的性质得ABE+CDE+BED=360，结合第（1）题的结论与角平分线的定义得BFD=12(ABE+CDE)，进而即可得到结论(1)证明：ABE+CDE=BED，理由如下：如图1，过点E作EFAB，ABCD，EFCD，AB

28、E=1，CDE=2，ABE+CDE=1+2=BED，即ABE+CDE=BED；(2)证明：BFD=12BED理由如下：BF，DF分别平分ABE，CDE，ABF=12ABE，CDF=12CDE，ABF+CDF=12ABE+12CDE=12(ABE+CDE)，由（1）得，BFD=ABF+CDF=12(ABE+CDE)，又BED=ABE+CDE，BFD=12BED；(3)证明：2BFD+BED=360，理由如下：如图3，过点E作EG/CD，AB/CD，EG/CD，AB/CD/EG，ABE+BEG=180，CDE+DEG=180，ABE+CDE+BED=360，由（1）知，BFD=ABF+CDF，又B

29、F，DF分别平分ABE，CDE，ABF=12ABE，CDF=12CDE，BFD=12(ABE+CDE)，2BFD+BED=360【点睛】本题主要考查平行公理的推理，平行线的性质定理与角平分线的定义，添加辅助线，掌握平行线的性质定理是解题的关键【变式9-1】（2022江苏盐城校考一模）如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按如图方式摆放两个三角板的一直角边重合，含30角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则1的度数是（）A30B25C20D15【答案】D【分析】先根据平行公理的推论可得AB/EF/CD，再根据平行线的性质可得CEF=2=30,AEF=1，

30、然后根据CEF+AEF=45即可得【详解】如图，过点E作AB/EF由题意得：AB/CD,2=30,AEC=45AB/EF/CDCEF=2=30,AEF=1又CEF+AEF=AEC=4530+1=45解得1=15故选：D【点睛】本题考查了平行公理的推论、平行线的性质等知识点，熟记平行线的性质是解题关键【变式9-2】（2022江苏泰州靖江市靖城中学校考一模）如图，ABEF，设C90，那么x，y，z的关系式为_【答案】y=90-x+z【分析】作CG/AB，DH/EF，由AB/EF，可得AB/CG/HD/EF，根据平行线性质可得x=1，CDH=2，HDE=z，由C90，可得1+2=90，由y=z+2，

31、可证y=z+90-x即可【详解】解：作CG/AB，DH/EF，AB/EF，AB/CG/HD/EF，x=1，CDH=2，HDE=zBCD901+2=90，y=CDH+HDE=z+2，2=90-1=90-x，y=z+90-x即y=90-x+z【点睛】本题考查平行线的性质，掌握平行线的性质，利用辅助线画出准确图形是解题关键【变式9-3】（2022福建泉州统考模拟预测）如图 1，已知 ABCD，BE 平分ABD，DE 平分BDC（ABD 的度数大于 90 小于 120）（1）求证：BED = 90；（2）若点 F 为射线 BE 上一点，EDF = ，ABF 的角平分线 BG 与CDF 的角平分线DG

32、交于点 G，试用含的式子表示BGD 的大小；（3）延长 BE 交 CD 于点 H，点 F 为线段 BH 上一动点，ABF 邻补角的角平分线与CDF邻补角的角平分线 DG 交于点 G，探究BGD 与BFD 之间的数量关系，请直接写出结论： （题中所有的角都是大于 0小于 180的角）【答案】（1）见解析；（2）BGD=902；（3）BFD+2BGD=360【分析】（1）由ABCD可得ABD+BDC=180，由角平分线的定义和等量代换可得EBD+EDB=90，进一步即可根据三角形的内角和定理证得结论；（2）当点G在AB、CD之间时，如图2，由（1）的结论和角平分线的定义可推出21+2CDG=90，

33、过点G作GHAB，由平行线的性质可得BGD=1+CDG，进一步即可推出结论；当点G在AB、CD下方时，如图3，同样的方法解答即可；（3）如图4，过点F、G分别作FNAB、GMAB，则ABGMFNCD，由平行线的性质和角平分线的定义可得BFD=3+5，BGD=4+6，然后利用角的和差整理变形即得结论【详解】解：（1）证明：ABCD，ABD+BDC=180，BE 平分ABD，DE 平分BDC，EBD=12ABD,EDB=12BDC，EBD+EDB=12ABD+BDC=90，BED = 90；（2）当点G在AB、CD之间时，如图2，EBD+EDB=90，ABD+BDC=180，ABE+EDC=90，

34、即ABE+FDC=90，BG 平分ABE，DG 平分CDF，ABE=21，CDF=2CDG，21+2CDG=90，过点G作GHAB，ABCD，GHABCD，1=2，HGD=CDG，BGD=2+HGD=1+CDG=902；当点G在AB、CD下方时，如图3，同理可得：ABE+EDC=90，即ABE+FDC=90，BG 平分ABE，DG 平分CDF，ABE=21，CDF=2CDG，212CDG=90，过点G作GHAB，ABCD，GHABCD，1=2，HGD=CDG，BGD=2HGD=1CDG=902；综上，BGD=902；（3）如图4，过点F、G分别作FNAB、GMAB，ABCD，ABGMFNCD，

35、3=BFN，5=DFN，4=BGM，6=DGM，BFD=BFN+DFN=3+5，BGD=BGM+DGM=4+6，BG平分FBP，DG平分FDQ，4=12FBP=121803,6=12FDQ=121805，BFD+BGD=3+5+4+6=3+5+121803+121805=180+123+5= 180+12BFD，整理得：BFD+2BGD=360故答案为：BFD+2BGD=360【点睛】本题考查了平行线的判定和性质、平行公理的推论、角平分线的定义和三角形的内角和等知识，具有一定的难度，正确添加辅助线、熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键【要点9 平行线的判定与性质】1.平行线的判定方法 两条直

36、线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 两直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，则这两条直线平行.2.平行线的性质 两条平行被第三条直线所截同位角相等.简单说成两直线平行同位角相等. 两条平行线被第三条直线所截内错角相等.简单说成两直线平行内错角相等.两条平行线被第三条直线所截同旁内角互补.简单说成两直线平行同旁内角互补.【考点10 平行线的判定与性质】【例10】（2022秋全国八年级期末）如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，MEB+NFD=180(1)试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由

37、；(2)如图2，BEF与EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GHEG，求证：PFGH；(3)如图3，在（2）的条件下，连接PH，T是GH上一点，使PHT=HPT，作PQ平分EPT，问HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由【答案】(1)平行，理由见解析(2)见解析(3)不发生变化，一直是45【分析】（1）根据对顶角相等和等量代换，得出AEF+CFE =180，进而根据平行线的判定得出结论；（2）根据角平分线的定义以及平行线的性质，得出EPF =90，则EGPF又GHEG，得出PFGH；（3）根据平行线的性质和等量代换可知FPH=HPT，再根据

38、角平分线的性质得出QPT=12EPT，进而得出HPQ=12（EPTFPT）=12EPF，求得HPQ的度数【详解】（1）解：ABCD，理由如下：MEB+NFD=180又MEB=AEF，NFD=CFE，AEF+CFE =180，ABCD；（2）证明：如图2，由（1）知，ABCD，BEF+EFD=180又BEF与EFD的角平分线交于点P，FEP+EFP = 12（BEF+EFD）=90，EPF =90，即EGPFGHEG，PFGH；（3）解：HPQ的大小不发生变化，理由如下：PFGH，FPH=PHT，PHT=HPT，FPH=HPT，PQ平分EPT，QPT=12EPT，HPQ=QPT-HPT，HPQ=

39、12（EPTFPT）=12EPF，EPF=90，HPQ=45，HPQ的大小不发生变化，一直是45【点睛】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练地掌握以上知识是解决问题的关键【变式10-1】（2022江苏无锡统考中考真题）如图，AB是圆O的直径，弦AD平分BAC，过点D的切线交AC于点E，EAD25，则下列结论错误的是（）A AEDE B AE/OD C DE=OD DBOD=50【答案】C【分析】过点D作DFAB于点F，根据切线的性质得到ODDE，证明ODAE，根据平行线的性质以及角平分线的性质逐一判断即可【详解】解：DE是O的切线，ODDE，OA=OD，OAD=ODA，AD平分BA

40、C，OAD=EAD，EAD=ODA，ODAE，AEDE故选项A、B都正确；OAD=EAD=ODA=25，EAD=25，BOD=OAD+ODA=50，故选项D正确；AD平分BAC，AEDE，DFAB，DE=DFOD，故选项C不正确；故选：C【点睛】本题考查的是切线的性质，角平分线的性质定理，平行线的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键【变式10-2】（2022黑龙江哈尔滨统考中考真题）已知矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，点E是边AD上一点，连接BE,CE,OE，且BE=CE(1)如图1，求证：BEOCEO；(2)如图2，设BE与AC相交于点F，CE与BD相交于点H，过点D

41、作AC的平行线交BE的延长线于点G，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形（AEF除外），使写出的每个三角形的面积都与AEF的面积相等【答案】(1)见解析(2)DEG、DEH、BFO、CHO【分析】（1）利用SSS证明两个三角形全等即可;（2）先证明RtABERtDCE得到AE=DE，则SAOE=SDOE，根据三线合一定理证明OEAD， 推出ABOE，得到SAOE=SBOE，即可证明SBFO=SAEF由BEOCEO，得到OBF=OCH，SBOE=SCOE，证明BOFCOH，即可证明SBFO=SCHO=SAEF，则SOEF=SOEH，即可推出SDEH=SAEF，最后证明AEFD

42、EG，即可得到SAEF=SDEG；（1）证明：四边形ABCD是矩形，AC与BD相等且互相平分，OB=OC，BE=CE，OE=OE，BEOCEO（SSS）；（2）解：四边形ABCD是矩形，AB=CD，BAE=CDE=90，OA=OD=OB=OC，又BE=CE，RtABERtDCE（HL）AE=DE，SAOE=SDOE，OA=OD，AE=DE，OEAD， ABOE，SAOE=SBOE，SAOESEOF=SBOESEOF，SBFO=SAEF；BEOCEO，OBF=OCH，SBOE=SCOE，又BOF=COH，OB=OC，BOFCOH（ASA），SBFO=SCHO=SAEF，SBOESBOF=SCOE

43、SCOH，SOEF=SOEH，SAOESOEF=SDOESOEH，SDEH=SAEF；ACDG，AFE=DGE，EAF=EDG，又AE=DE，AEFDEGAAS，SAEF=SDEG；综上所述，DEG、DEH、BFO、CHO这4个三角形的面积与AEF的面积相等【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三线合一定理，矩形的性质，平行线的性质与判定等等，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键【变式10-3】（2022北京统考中考真题）在ABC中，ACB=90，D为ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使得CE=DC.(1)如图1，延长BC到点F，使得CF=BC，连接AF，EF，若AF

44、EF，求证：BDAF；(2)连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图2，若AB2=AE2+BD2，用等式表示线段CD与CH的数量关系，并证明【答案】(1)见解析(2)CD=CH；证明见解析【分析】（1）先利用已知条件证明FCEBCDSAS，得出CFE=CBD，推出EFBD，再由AFEF即可证明BDAF；（2）延长BC到点M，使CMCB，连接EM，AM，先证MECBDCSAS，推出ME=BD，通过等量代换得到AM2=AE2+ME2，利用平行线的性质得出BHE=AEM=90，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得到CD=CH【详解】（1）证明：在FCE和BCD中，CE=CDFCE=

45、BCDCF=CB， FCEBCDSAS， CFE=CBD， EFBD，AFEF，BDAF（2）解：补全后的图形如图所示，CD=CH，证明如下：延长BC到点M，使CMCB，连接EM，AM，ACB=90，CMCB， AC垂直平分BM，AB=AM，在MEC和BDC中，CM=CBMCE=BCDCE=CD， MECBDCSAS， ME=BD，CME=CBD，AB2=AE2+BD2， AM2=AE2+ME2， AEM=90，CME=CBD，BHEM， BHE=AEM=90，即DHE=90，CE=CD=12DE， CH=12DE， CD=CH【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，平行线的判定与性质，勾股定理的逆用，直角三角形斜边中线的性质等，第二问有一定难度，正确作辅助线，证明DHE=90是解题的关键