专题15 图形的初步认识(解析版).docx

1、专题15 图形的初步认识 【专题目录】技巧1：活用判定两直线平行的六种方法技巧2：与相交线、平行线相关的四类角的计算技巧3：应用平行线的判定和性质的几种常用作辅助线的方法【题型】一、线段的中点【题型】二、角的计算【题型】三、与角平分线有关的相关计算【题型】四、余角与补角的相关计算【题型】五、对顶角相等进行相关计算【题型】六、邻补角相等求角的度数【题型】七、平行线的判定【题型】八、平行线的应用【题型】九、求平行线间的距离【考纲要求】1、了解直线、线段、射线的相关性质以及线段中点和两点间距离的意义2、理解角的有关概念，熟练进行角的运算3、掌握相交线与平行线的定义，熟练运用垂线的性质，平行线的性质和

2、判定.【考点总结】一、直线、射线、线段与角直线射线线段与角直线公理经过两点有且只有一条直线.直线是向两方无限延伸的,直线没有端点.射线直线上一点和它一旁的部分叫做射线,这点叫做射线的端点,射线向一方无限延伸,射线只有一个端点.线段直线上两个点和它们之间的部分叫做线段.线段有两个端点,有长短之分,将某一线段分成两条相等的线段的点叫做该线段的中点.两点确定一条直线,两点之间线段最短,两点之间线段的长度叫做两点之间的距离.角1=60,1=60.1周角=2平角=4直角=360.余角、补角:如果两个角的和等于90,就说这两个角互为余角,同角或等角的余角相等；如果两个角的和等于180,就说这两个角互为补角

3、,同角或等角补角相等.对顶角：一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线,则称这两个角是对顶角,对顶角相等.角平分线角平分线上的点到角两边的距离相等；到角两边距离相等的点在角平分线上.垂线段公理直线外一点与已知线段连接的所有线段中，垂线段最短.线段垂直平分线（1）线段垂直平分线的定义:垂直平分一条线段的直线叫做线段的垂直平分线.（2）线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等,到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.平行线（1）过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.（2）平行线的性质: 两条直线平行,同位角相等; 两条直线平行,内错角相等; 两条直线平行,同旁内角互补.（3）

4、平行线的判定: 同位角相等,两条直线平行; 内错角相等,两条直线平行; 同旁内角互补,两条直线平行.【技巧归纳】技巧1：活用判定两直线平行的六种方法【类型】一、利用平行线的定义1下面的说法中，正确的是()A同一平面内不相交的两条线段平行 B同一平面内不相交的两条射线平行omC同一平面内不相交的两条直线平行 D以上三种说法都不正确【类型】二、利用“同位角相等，两直线平行”2如图，已知ABCACB，12，3F，试判断EC与DF是否平行，并说明理由【类型】三、利用“内错角相等，两直线平行”3如图，已知ABCBCD，12，试说明BECF.【类型】四、利用“同旁内角互补，两直线平行”4如图，BEC95，

5、ABE120，DCE35，则AB与CD平行吗？请说明理由【类型】五、利用“平行于同一条直线的两条直线平行”5如图，已知BCDF，EECD180.试说明ABEF.【类型】六、利用“垂直于同一条直线的两条直线平行(在同一平面内)”6如图，ABEF于B，CDEF于D，12.来源:Z+xx+k.Com(1)试说明：ABCD；(2)试问BM与DN是否平行？为什么？参考答案1C点拨：根据定义判定两直线平行，一定要注意前提条件：“同一平面内”，同时要注意在同一平面内，不相交的两条线段或两条射线不能判定其平行2解：ECDF，理由如下：ABCACB，12，3ECB.又3F，ECBF.ECDF(同位角相等，两直线

6、平行)3解：因为ABCBCD，12，所以ABC1BCD2，即EBCFCB，所以BECF(内错角相等，两直线平行)4解：ABCD，理由如下：延长BE，交CD于点F，则直线CD，AB被直线BF所截因为BEC95，所以CEF1809585.又因为DCE35，所以BFC180DCECEF180358560.又因为ABE120，所以ABEBFC180.所以ABCD(同旁内角互补，两直线平行)点拨：本题利用现有条件无法直接判断AB与CD是否平行，我们可考虑作一条辅助线，架起AB与CD之间的桥梁5解：因为BCDF，所以ABCD(同位角相等，两直线平行)因为EECD180，所以CDEF(同旁内角互补，两直线平

7、行)所以ABEF(平行于同一条直线的两直线平行)6解：(1)ABEF，CDEF，ABCD(在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行)(2)BMDN.理由如下：ABEF，CDEF，ABECDE90.又12，ABE1CDE2.即MBENDE，BMDN(同位角相等，两直线平行)点拨：1和2不是同位角，不能误认为1和2是同位角，直接得出BMDN，要得到BMDN，可说明MBENDE.技巧2：与相交线、平行线相关的四类角的计算【类型】一、利用平角、对顶角转换求角1如图，已知直线AB，CD相交于点O，OA平分EOC，若EOCEOD23，求BOD的度数解：由EOCEOD23，设EOC2x，则EOD3x.因为

8、EOC_180(_)，所以2x3x180，解得x36.所以EOC72.因为OA平分EOC(已知)，所以AOCEOC36.因为BODAOC(_)，所以BOD_【类型】二、利用垂线求角2如图，已知FEAB于点E，CD是过点E的直线，且AEC120，则DEF_.3如图，MONO于点O，OG平分MOP，PON3MOG，则GOP的度数为_4如图，两直线AB，CD相交于点O，OE平分BOD，AOCAOD711.(1)求COE的度数；(2)若OFOE，求COF的度数【类型】三、直接利用平行线的性质求角5如图，已知ABCD，AMP150，PND60.试说明：MPPN.【类型】四、综合应用平行线的性质与判定求角

9、6如图，1与 2互补，3135，则4的度数是()A45 B55 C65 D757如图，172，272，360，求4的度数参考答案1EOD；平角的定义；对顶角相等；362.30354点拨：设GOPx，则MOGx，PON3x，由题意得xx3x36090，解得x54.GOP54.4解：(1)AOCAOD711，AOCAOD180，AOC70，AOD110.又OE平分BOD，DOEDOBAOC7035.COE180DOE18035145.(2)OFOE，FOE90.又DOE35，FOD90DOE903555.COF180FOD18055125.5解：如图，过点P向左侧作PEAB，则AMPMPE180.

10、MPE180AMP18015030.ABCD，PEAB，PECD，EPNPND60.MPNMPEEPN306090，来源:学,科,网Z,X,X,K即MPPN.6A7解：172，272，12.ab.34180.又360，4120.技巧3：应用平行线的判定和性质的几种常用作辅助线的方法【类型】一、加截线(连接两点或延长线段相交)1如图，ABEF，CDEF，BAC50，则ACD()A120B130 C140 D150【类型】二、过“拐点”作平行线a“”形图2如图，ABCD，P为AB，CD之间的一点，已知228，BPC58，求1的度数b“”形图3(1)如图，若ABDE，B135，D145.求BCD的度

11、数(2)如图，在ABDE的条件下，你能得出B，BCD，D之间的数量关系吗？请说明理由(3)如图，ABEF，根据(2)中的猜想，直接写出BCDE的度数c“”形图4如图，ABDE，则BCD，B，D有何关系？为什么？d“”形图5如图，已知ABDE，BCD30，CDE138，求ABC的度数e“”形图6(1)如图，ABCD，若B130，C30，求BEC的度数；(2)如图，ABCD，探究B，C，BEC三者之间有怎样的数量关系？试说明理由【类型】三、平行线间多折点角度问题探究7(1)在图中，ABCD，则EG与BFD有何关系？(2)在图中，若ABCD，又能得到什么结论？参考答案1C2解：方法一：过点P作射线P

12、NAB，如图.PNAB，ABCD，PNCD.4228.PNAB，31.又3BPC4582830.130.方法二：过点P作射线PMAB，如图.PMAB，ABCD，PMCD.4180218028152.4BPC3360，3360BPC436058152150.ABPM，1180318015030.3解：(1)过点C向左作CFAB，BBCF180.又ABDE，CFDE，FCDD180，BBCFFCDD180180，即BBCDD360，BCD360BD36013514580.(2)BBCDD360.理由如下：过点C向左作CFAB，BBCF180.又ABDE，CFDE，FCDD180，BBCFFCDD1

13、80180，即BBCDD360.(3)BCDE540.4解：BCDBD.理由如下：如图，过点C作CFAB.CFAB，BBCF(两直线平行，内错角相等)ABDE，CFAB，CFDE(平行于同一条直线的两条直线平行)DCFD(两直线平行，内错角相等)BDBCFDCF.BCDBCFDCF，BCDBD.点拨：已知图形中有平行线和折线或拐角时，常过折点或拐点作平行线，构造出同位角、内错角或同旁内角，这样就可利用角之间的关系求解了5解：如图，过点C作CFAB.ABDE，CFAB，DECF.DCF180CDE18013842.BCFBCDDCF304272.又ABCF，ABCBCF72.6解：(1)过点E向

14、左侧作EFAB，BBEF180，BEF180B50，又ABCD，且EFAB，EFCD，FECC30，BECBEFFEC503080.(2)BBECC180.理由如下：过点E向左侧作EFAB，又ABCD，EFCD，FECC，又BEFBECFEC，BEFBECC.ABEF，BBEF180，BBECC180.7解：(1)EGBFD.理由：过折点E，F，G分别作EMAB，FNAB，GHAB，如图所示，由ABCD，得ABEMFNGHCD，这样1B，23，45，6D.因此BEFFGD1256B34DBEFGD.(2)E1E2E3EnBF1F2Fn1D.【题型讲解】【题型】一、线段的中点例1、如图，已知AB

15、8cm，BD3cm，C为AB的中点，则线段CD的长为_cm【答案】1【提示】先根据中点定义求BC的长，再利用线段的差求CD的长【详解】解：C为AB的中点，AB8cm，BCAB84（cm），BD3cm，CDBCBD431（cm），则CD的长为1cm；故答案为：1【题型】二、角的计算例2、如图，直线mn，直角三角板ABC的顶点A在直线m上，则的余角等于（ ）A19B38C42D52【答案】D【解析】试题分析：过C作CD直线m，mn，CDmn，DCA=FAC=52，=DCB，ACB=90，=9052=38，则a的余角是52故选D考点：平行线的性质；余角和补角【题型】三、与角平分线有关的相关计算例3、

16、如图，ABCD，EFD64，FEB的角平分线EG交CD于点G，则GEB的度数为（）A66B56C68D58【答案】D【提示】根据平行线的性质求得BEF，再根据角平分线的定义求得GEB【详解】解：ABCD，BEF+EFD180，BEF18064116；EG平分BEF，GEB58故选：D【题型】四、余角与补角的相关计算例4、如图，是直线上一点，射线平分，则（ ）ABCD【答案】B【提示】先根据射线平分，得出CEB=BEF=70，再根据，可得GEB=GEF-BEF即可得出答案【详解】，CEF=140，射线平分，CEB=BEF=70，GEB=GEF-BEF=90-70=20，故选：B【题型】五、对顶角

17、相等进行相关计算例5、如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（ ）A1=2B2=3C14+5D25【答案】A【提示】根据对顶角性质、三角形外角性质分别进行判断，即可得到答案【详解】解：由两直线相交，对顶角相等可知A正确；由三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和可知B选项为23，C选项为1=4+5，D选项为25故选：A【题型】六、邻补角相等求角的度数例6、如图，直线，相交于点，垂足为点若，则的度数为（ ）ABCD【答案】B【提示】已知，根据邻补角定义即可求出的度数【详解】故选：B【题型】七、平行线的判定例7、如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到ab，理由是（ ）A连

18、结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短B在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行C在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线D经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行【答案】B【提示】根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行判断即可【详解】解：由题意aAB，bAB，1=2ab所以本题利用的是：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，故选：B【题型】八、平行线的应用例8、如图，直线分别交，于点E，F，平分，若，则的大小是（ ）ABCD【答案】C【提示】利用平行线的性质求解，利用角平分线求解，再利用平行线的性质可得答案【详解】解：， 平分， 故选【

19、题型】九、求平行线间的距离例9、设AB，CD，EF是同一平面内三条互相平行的直线，已知AB与CD的距离是12cm，EF与CD的距离是5cm，则AB与EF的距离等于_cm【答案】7或17【提示】分两种情况讨论，EF在AB，CD之间或EF在AB，CD同侧，进而得出结论【详解】解：分两种情况：当EF在AB，CD之间时，如图：AB与CD的距离是12cm，EF与CD的距离是5cm，EF与AB的距离为1257（cm）当EF在AB，CD同侧时，如图：AB与CD的距离是12cm，EF与CD的距离是5cm，EF与AB的距离为12+517（cm）综上所述，EF与AB的距离为7cm或17cm故答案为：7或17图形的

20、初步认识（达标训练）一、单选题1如图所示，下列条件中能说明的是（）ABCD【答案】B【分析】利用平行线的判定定理对各选项进行分析即可【详解】解：A当12时，不能判定ab，故选项不符合题意；B当34时，3与4属于同位角，能判定ab，故选项符合题意；C当2+4180时，2与4属于同旁内角，能判定cd，故选项不符合题意；D当1+4180时，不能判定ab，故选项不符合题意；故选：B【点睛】此题主要考查平行线的判定，解答的关键是熟记平行线的判定条件并灵活运用2如图，则的度数是（）A137B53C47D43【答案】D【分析】根据两直线平行，同位角相等即可得【详解】解：，故选：D【点睛】本题考查了平行线的性

21、质，熟练掌握平行线的性质是解题关键3如图，若ABCD，CDEF，那么BCE（）A18021B18012C221D12【答案】A【分析】先利用平行线的性质说明3、1、4、2间关系，再利用角的和差关系求出BCE【详解】解：如图，ABCD，CDEF，13，2+4180，41802，BCE4+318021故选：A【点睛】本题主要考查了平行线的性质，掌握“两直线平行，内错角相等”、“两直线平行，同旁内角互补”是解决本题的关键4如图，平分，则的度数为（）ABCD【答案】D【分析】根据平行的性质可得1=BGF，则可求出AGF,再根据HG平分AGF，即可求出2【详解】，1=66，1=BGF=66，AGF=18

22、0-BGF=180-66=114，HG平分AGF，2=AGF=114=57，故选：D【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质，根据平行线的性质得到1=BGF是解答本题的关键5如图，则的度数为（）ABCD【答案】A【分析】根据补角的定义，两直线平行内错角相等，计算求值即可；【详解】解：ABCD，A=CDA，CDA=180-CDE=180-140=40，A=40，故选：A【点睛】本题考查了相交线和平行线，掌握平行线的性质是解题关键6将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为（）ABCD【答案】B【分析】利用直角三角形的两锐角互余先求出和的度数，再根据平角的定义求出的度数，最后由平行

23、线的性质即可得出答案【详解】解：如图，故选：B【点睛】本题考查平行线的性质，直角三角形的两锐角互余，平角的定义关键是根据两直线平行，同位角相等进行解答二、填空题7如图，直线，则的度数为_【答案】30#30度【分析】根据两直线平行，内错角相等，即可求解【详解】解：，1=30故答案为：30【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键8如图，ABCD，点E在CA的延长线上若BAE50，则ACD的大小为 _【答案】130#130度【分析】延长DC，根据平行线的性质得ECFBAE50，即可得【详解】解：如图所示，延长DC， ，ABCD，ECFBAE50，ACD180EC

24、F18050130故答案为：130【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质“两直线平行，同位角相等”三、解答题9已知，和中，试探究：(1)如图1，与的关系是_，并说明理由；(2)如图2，写出与的关系，并说明理由；(3)根据上述探究，请归纳得到一个真命题【答案】(1)，理由见解析(2)，理由见解析(3)如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补【分析】（1）根据平行线的性质得出B=1，1 =E，即可得出答案；（2）根据平行线的性质得出B+1 = 180，1=E，即可得出答案；（3）根据(1) (2)可推出，如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补（1）解：，

25、理由如下：如下图，ABDE，B=1，又BCEF，1=E，B=E；故答案为：；（2）解：，理由如下：如下图，ABDE，B+1=180，又BCEF，E=1，B+E=180故答案为：；（3）解：由题意得：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补【点睛】本题主要考查平行线的性质、命题与证明，熟练掌握平行线的性质是解题的关键图形的初步认识（提升测评）一、单选题1如图，直线，等腰直角的两个顶点、分别落在直线、上，若，则的度数是（）ABCD【答案】C【分析】根据等腰直角三角形的性质可得，根据平行线的性质可得，进而可得答案【详解】解：如图标记3，是等腰直角三角形，故选：C 【点睛】此题主要考查了平行

26、线的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等，等腰直角三角形的性质2如图，为的外角，平分，EBAC，则的度数为（）ABCD【答案】B【分析】根据平行线的性质，得到，再根据平分，即可得到的度数【详解】解：EBAC，又平分，故选：B【点睛】此题考查了平行线的性质：两直线平行内错角相等，以及角平分线的定义，熟记平行线的性质是解题的关键3如图，交、于点、，平分，若，则的度数为（）ABCD【答案】B【分析】根据平行线的性质，求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，再由平行线的性质得出结论即可【详解】解：， 平分交于点， ， 故选：B【点睛】本题考查平行线的性质：两直线平行，

27、内错角相等，熟练掌握该性质是解决本题的关键4将一副直角三角尺按如图所示放置（其中GEFGFE45，H60，EFH30），满足点E在AB上，点F在CD上，ABCD，AEG20，则HFD的大小是（）A70B40C35D65【答案】C【分析】由角的和差可求解AEF的度数，结合平行线的性质可求解EFD的度数，利用三角形的内角和定理可求解EFH的度数，进而可求解【详解】解：AEG20，GEF45，AEF20+4565，ABCD，EFDAEF65，EFH30，HFD653035故选：C【点睛】本题主要考查平行线的性质，求解EFD的度数是解题的关键5如图，已知直线，中，直线，交于一点，若，则等于（）ABCD

28、【答案】D【分析】首先根据同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行，得出，互相平行，再运用平行线的性质，得出，再根据平角定义，可得出，结合已知可求出的度数【详解】如图，故选：D【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂直定义和平角定义，熟练掌握平行线的性质与判定是解本题的关键二、填空题6已知，一个含有角的三角尺按照如图所示的位置摆放，若，则_度【答案】25【分析】先利用平行线的性质得出，最后利用直角三角形的性质即可【详解】解：如图，过直角顶点作直线，又，故答案为：25【点睛】此题主要考查了平行线的性质，三角板的特征，解题的关键是作出辅助线，是一道基础题目7如图所示，点在上，垂足为，已知，则的

29、度数为_【答案】56【分析】先根据平行线的性质求出ABE的度数，然后根据角的和差关系求ABF度数即可【详解】解：，ABE=BED=34，即EBF=90，ABF=EBF-ABE=90-34=56故答案为：56【点睛】本题考查了平行线的性质，角的和差与垂直的定义，解题的关键是根据平行线的性质求出ABE的度数三、解答题8（1）课题研究：“尺规作图：过直线外一点作这条直线的平行线”做法一：以为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；以为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点；再以为圆心，长为半径作弧，与前弧交于点；连接，则做法二：以为圆心，长为半径作弧；以为圆心，长为半径作弧；两弧交于点，连接；则请根据以

30、上作法，写出这两种方法用到的数学定理或基本事实：（各写出一个即可）做法一：_做法二：_（2）如图，中，请你再加一个条件，使四边形为菱形，并证明【答案】（1）做法一：同位角相等，两直线平行做法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形（2）AF=FC，见解析【分析】（1）利用平行线的判定定理，平行四边形的判定定理即可（2）根据平行四边形的性质，菱形的判定定理解答即可【详解】（1）做法一：同位角相等，两直线平行做法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形（2）添加条件：AF=FC，理由如下： 四边形ABCD是平行四边形，AB=CD，ABCD，DE=BF，EC=AF，AFCE，四边形AFCE是平行四边形， FC=AF，四边形AFCE是菱形【点睛】本题考查了平行线的判定，平行四边形的判定，菱形的判定，熟练掌握各种判定定理是解题的关键