专题16圆锥曲线常考题型04——定值问题（原卷版）-【重难点突破】2021-2022学年高二数学上册常考题专练（人教A版2019选择性必修第一册）.docx

1、专题17 圆锥曲线常考题型04定值问题圆锥曲线中的定值问题是圆锥曲线问题中的另一个难点解决这个难点的基本思想是函数思想，可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系中不受变量影响的某个值，就是要求的定值具体地说，就是将要证明或要求解的量表示为某个合适变量的函数，化简消去变量即得定值1过抛物线的焦点为且斜率为的直线交曲线于，、，两点，交圆于，两点，两点相邻）求证：为定值；2已知椭圆的左、右顶点分别为、，设是曲线上的任意一点当点异于、时，直线，的斜率分别为，则是否为定值？请说明理由；3椭圆，的离心率，点在上（1）求椭圆的方程；（2）直线不过原点且不平行于坐标轴

2、，与有两个交点，线段的中点为证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值4已知抛物线与双曲线有相同的焦点（1）求的方程，并求其准线的方程；（2）过且斜率存在的直线与交于不同的两点，证明：，均为定值5已知椭圆的焦点与双曲线的焦点相同，且的离心率为（1）求与的方程；（2）若，直线与交于，两点，且直线，的斜率都存在求的取值范围；试问两直线，的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由6设点为双曲线上任意一点，双曲线的离心率为，右焦点与椭圆的右焦点重合（1）求双曲线的标准方程；（2）过点作双曲线两条渐近线的平行线，分别与两渐近线交于点，求证：平行四边形的面积为定值，并求出此定值7已知椭圆的离心率

3、为，点在椭圆上（1）求椭圆的方程；（2）设动直线与椭圆有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点为圆心的圆，满足此圆与相交两点，（两点均不在坐标轴上），且使得直线，的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程与定值；若不存在，请说明理由8已知抛物线的准线过点（1）求抛物线的标准方程；（2）过点作直线交抛物线于，两点，证明：为定值9已知平面上的动点及两定点，直线，的斜率分别是，且（1）求动点的轨迹的方程；（2）设直线与曲线交于不同的两点，若为坐标原点），证明点到直线的距离为定值，并求出这个定值若直线，的斜率都存在并满足，证明直线过定点，并求出这个定点10如图，已知椭圆经过点，离心率为，直线经过椭圆的右焦点

4、，交椭圆于，两点（）求椭圆的方程（）若直线交轴于点，且，当直线的倾斜角变化时，是否为定值？若是，请求出的值；否则，请说明理由11已知椭圆的离心率为，其右顶点为，下顶点为，定点，的面积为3，过点作与轴不重合的直线交椭圆于，两点，直线，分别与轴交于，两点（1）求椭圆的方程；（2）试探究，的横坐标的乘积是否为定值，说明理由12已知椭圆，、分别是椭圆短轴的上下两个端点；是椭圆的左焦点，是椭圆上异于点、的点，是边长为4的等边三角形（）写出椭圆的标准方程；（）设点满足：，求证：与的面积之比为定值13给定椭圆，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“卫星圆”若椭圆的离心率，点在上求椭圆的方程和其“卫星圆”方程；（

5、）点是椭圆的“卫星圆”上的一个动点，过点作直线，使得，与椭圆都只有一个交点，且，分别交其“卫星圆”于点，证明：弦长为定值14已知椭圆的左、右焦点分别是、，离心率，过点的直线交椭圆于、两点，的周长为16（1）求椭圆的方程；（2）已知为原点，圆与椭圆交于、两点，点为椭圆上一动点，若直线、与轴分别交于、两点，求证：为定值15已知椭圆的两个焦点分别为，以椭圆短轴为直径的圆经过点（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆相交于、两点，设点，记直线，的斜率分别为，问：是否为定值？并证明你的结论16如图，椭圆经过点，且离心率为（）求椭圆的方程；（）经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同两点，（均异于点，问直线

6、与的斜率之和是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由17已知直线与椭圆相交于，两点，是椭圆上一点（）当时，求面积的最大值；（）设直线和与轴分别相交于点，为原点证明：为定值18如图，已知点是抛物线上一点，过点作两条斜率相反的直线分别与抛物线交于、两点，直线的斜率为（）若直线、恰好为圆的切线，求直线的斜率；（）求证：直线的斜率为定值并求出当为直角三角形时，的面积19已知椭圆的两个焦点是，点，在椭圆上，且（）求椭圆的方程；（）设点关于轴的对称点为，是椭圆上一点，直线和与轴分别相交于点，为原点证明：为定值20椭圆焦点在轴上，离心率为，上焦点到上顶点距离为（）求椭圆的标准方程；（）直线与椭圆交

7、于，两点，为坐标原点，的面积，则是否为定值，若是求出定值；若不是，说明理由21已知圆和点是圆上任意一点，线段的垂直平分线和相交于点，记的轨迹为曲线（1）求曲线的方程；（2）点是曲线与轴正半轴的交点，过点的直线交于、两点，直线，的斜率分别是，试探索是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由22如图，已知动圆过点，且与圆内切，设动圆圆心的轨迹为曲线（1）求曲线的方程；（2）过圆心的直线交曲线于，两点，问：在轴上是否存在定点，使当直线绕点任意转动时，为定值？若存在，求出点的坐标和的值；若不存在，请说明理由23已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为设过点的直线与椭圆相交于不同两点，周长为8（）求椭圆的标准方程；（）已知点，证明：当直线变化时，总有与的斜率之和为定值24在直角坐标系中，曲线与轴交于、两点，点的坐标为，当变化时，解答下列问题：（1）能否出现的情况？说明理由；（2）证明过、三点的圆在轴上截得的弦长为定值25已知椭圆过点，两点（1）求椭圆的方程及离心率；（2）设为第三象限内一点且在椭圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值