专题2.1 函数的解析式与定义域、值域【八大题型】（举一反三）（新高考专用）（解析版）.docx

1、专题2.1 函数的解析式与定义域、值域【七大题型】【新高考专用】【题型1 具体函数的定义域的求解】2【题型2 抽象函数的定义域的求解】3【题型3 已知函数定义域求参数】4【题型4 已知函数类型求解析式】6【题型5 已知f(g(x)求解析式】8【题型6 函数值域的求解】10【题型7 根据函数的值域或最值求参数】121、函数的解析式与定义域、值域函数的解析式与定义域、值域问题是高考数学的必考内容。函数问题定义域优先，在解答函数问题时首先要考虑定义域；函数的解析式在高考中较少单独考查，多在解答题中出现；函数的值域在整个高考范畴应用的非常广泛，例如恒成立问题、有解问题、数形结合问题、实际应用问题；基本

2、不等式问题；数列的最大项、最小项；向量与复数的四则运算及模的最值；解析几何的函数性研究问题等；常常需要转化为求最值问题。在二轮复习过程中，在熟练掌握基本的解题方法的同时，也要多训练综合性较强的题目.【知识点1 函数的定义域的求法】1.求给定解析式的函数定义域的方法求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.2.求抽象函数定义域的方法(1)若已知函数f(x)的定义域为a,b，则复合函数fg(x)的定义域可由不等式ag(x)b求出.(2)若已知函数fg(x)的定义域为a,b，则f(x)的定义域为

3、g(x)在xa,b上的值域.【知识点2 函数解析式的四种求法】1.函数解析式的四种求法(1)配凑法：由已知条件f(g(x)=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式.(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法来求解.(3)换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.(4)方程思想：已知关于f(x)与或f(-x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).【知识点3 求函数值域的一般方法】1求函数值域的一般方法(1)分离常数法；(2)反解法

4、；(3)配方法；(4)不等式法；(5)单调性法；(6)换元法；(7)数形结合法；(8)导数法.【题型1 具体函数的定义域的求解】【例1】（2023上江苏南京高一校考阶段练习）函数fx=3-xx-1的定义域为（）A-,3B1,+C1,3D-,13,+【解题思路】由函数形式得到不等式组，解出即可.【解答过程】由题意得3-xx-10x-10，解得1x3，则定义域为1,3，故选：C.【变式1-1】（2023海南模拟预测）函数f(x)=2-x+1x-1的定义域为()A-,1B1,2C-,2D-,11,2【解题思路】根据表达式有意义列出不等式组求解即可【解答过程】由题知2-x0x-10,解得x2且x1即函

5、数f(x)=2-x+1x-1的定义域为(-,1)(1,2故选：D.【变式1-2】（2023上江西景德镇高一统考期中）函数f(x)=x-30+3-x+2x-1的定义域为（）A-,12,3B-1,23,+C-,11,3D-1,22,3【解题思路】根据题意可得，x-303-x0x-10，求解即可.【解答过程】根据题意可得，x-303-x0x-10，解得x0x-20，解得1x2或20,解得1x52.故选：D.【变式2-2】（2022上湖南衡阳高一校考期中）已知函数fx+1的定义域为1,7，则函数hx=f(2x)+9-x2的定义域为（）A4,16B(-,13,+)C1,3D3,4【解题思路】根据给定条件

6、，结合抽象函数定义域的意义，列出不等式求解作答.【解答过程】函数fx+1的定义域为1,7，则2x+18，因此在f(2x)中，22x8，函数hx=f(2x)+9-x2有意义，必有22x89-x20，解得1x3，所以函数h(x)的定义域为1,3.故选：C.【变式2-3】（2021高一单元测试）已知函数f(x)的定义域为(0,1)，若c(0,12)，则函数g(x)=f(x+c)+f(x-c)的定义域为（）A(-c,1-c)B(c,1-c)C(1-c,c)D(c,1+c)【解题思路】由已知函数的定义域有0x+c10x-c1，即可求复合函数的定义域.【解答过程】由题意得：0x+c10x-c1，即-cx1

7、-ccx1+c，又c(0,12)，cx0m-32-4m0，解之得1m9，综上，实数m的取值范围是1m9故选：A.【变式3-1】（2023上高一课时练习）若函数y=ax+1在区间-2,-1上有意义，则实数a的可能取值是()A1B2C3D4【解题思路】分a0，求出不等式ax+10的解，即可得出答案.【解答过程】当a0时，由ax+10可得，x-a或x0时，由ax+10可得，x-a或x0，要使函数在区间-2,-1上有意义，则应有-a-1，所以，a1，所以00=(a+1)2-4a2-10，解得a0，解得x5，所以fx的定义域为5,+；（3）因为fx的定义域为1,+，所以y=x2-3x-m=x-322-9

8、4-m0在1,+上恒成立，所以y=x2-3x-m的最小值ymin=-94-m0，解得m-94，所以m的取值范围为-,-94.【题型4 已知函数类型求解析式】【例4】（2023上高一课时练习）图象是以1,3为顶点且过原点的二次函数fx的解析式为（）Afx=-3x2+6xBfx=-2x2+4xCfx=3x2-6xDfx=2x2-4x【解题思路】由待定系数法求函数解析式问题，根据题意可以设二次函数的顶点式，然后根据函数过原点，将0,0代入即可.【解答过程】设图象是以1,3为顶点的二次函数fx=ax-12+3（a0）因为图象过原点，所以0=a+3，a=-3，所以fx=-3x-12+3=-3x2+6x故

9、选：A.【变式4-1】（2023上浙江嘉兴高一校考阶段练习）已知函数f(x)是一次函数，且ff(x)-2x=3，则f(5)=（）A11B9C7D5【解题思路】设fx=ax+ba0，根据ff(x)-2x=3恒成立可得a，b，然后可解.【解答过程】设fx=ax+ba0，则ff(x)-2x=fax+b-2x=aax+b-2x+b=3，整理得a2-2ax+ab+b-3=0，所以a2-2a=0ab+b-3=0，解a=2b=1，所以fx=2x+1，所以f5=25+1=11.故选：A.【变式4-2】（2023上河北石家庄高一校考期中）已知f(x)是二次函数，若f(0)=0，且f(x+1)=f(x)+x+1(

10、1)求二次函数的解析式；(2)当-1x1时，求二次函数的最大值与最小值【解题思路】（1）设fx=ax2+bx+ca0，根据系数相等得到方程组，求出a,b,c的值即可；（2）根据二次函数的性质即可得解.【解答过程】（1）设fx=ax2+bx+ca0，由f(0)=c=0，得c=0，所以fx=ax2+bx，由f(x+1)=f(x)+x+1，得ax+12+bx+1=ax2+bx+x+1，即ax2+2a+bx+a+b=ax2+b+1x+1，即2a+bx+a+b=b+1x+1，所以2a+b=b+1a+b=1，解得a=b=12，所以fx=12x2+12x；（2）函数fx=12x2+12x的对称轴为x=-12

11、，所以fxmax=f1=1,fxmin=f-12=-18.【变式4-3】（2023上安徽高一校联考期中）已知一次函数f(x)满足f(f(x)=x+3.(1)求f(x)的解析式；(2)若g(x)=xf(x)-12，求g(1)+g(2)+g(2023)+g(12023)+g(12022)+g(12)的值.【解题思路】（1）直接由待定系数法列出方程组即可求解.（2）所求式子为对称结构，通过验证发现g(x)+g(1x)=1，由此通过分组求和即可求解.【解答过程】（1）设f(x)=ax+b(a0).则f(f(x)=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b=x+3，于是有a2=1ab+b=3，

12、解得a=1b=32， f(x)=x+32.（2）由（1）知g(x)=xx+1，则g(1x)=1x1x+1=1x+1,x0，g(x)+g(1x)=1. g(2)+g(12)=g(3)+g(13)=g(2023)+g(12023)=1，g(1)=12， g(1)+g(2)+g(2023)+g(12023)+g(12)=12+20221=40452.【题型5 已知f(g(x)求解析式】【例5】（2023重庆统考模拟预测）已知函数f1-x=1-x2x2x0，则fx=（）A1x-12-1x0B1x-12-1x1C4x-12-1x0D4x-12-1x1【解题思路】利用换元法令t=1-x，运算求解即可.【解

13、答过程】令t=1-x，则x=1-t，且x0，则t1，可得ft=1-1-t21-t2=1t-12-1,t1，所以fx=1x-12-1x1.故选：B.【变式5-1】（2023上天津南开高一南开中学校考期中）已知fx-1x=x2+1x2，则函数fx+1的表达式为（）Afx+1=x+12+1x+12Bfx+1=x+1x2+1x+1x2Cfx+1=x2+2x+3Dfx+1=x2+2x+1【解题思路】利用配凑法先求出函数fx，再整体代入即可求出函数fx+1的表达式.【解答过程】因为fx-1x=x2+1x2=x-1x2+2所以fx=x2+2所以fx+1=x+12+2，即fx+1=x2+2x+3.故选：C.【

14、变式5-2】（2023上河南高一校联考期中）已知函数fx满足fx=1x-1x1(1)求f2-x的解析式；(2)求f120+f320+f520+f3520+f3720+f3920的值【解题思路】（1）代入求解即可；（2）利用fx+f2-x=0求解即可.【解答过程】（1）fx=1x-1x1，f2-x=12-x-1=11-x，其中2-x1,x1.故f2-x=11-xx1.（2）fx+f2-x=1x-1+11-x=0,所以f120+f3920=f120+f2-120=0，所以f120+f320+f520+f3520+f3720+f3920=f120+f320+f520+f2-520+f2-320+f2

15、-120=0.【变式5-3】（2023上安徽蚌埠高一校考期中）求下列函数的解析式：(1)已知fx+2=2x+3，求fx；(2)已知fx+1=x+2x，求fx；(3)已知fx是一次函数，且ffx=16x-25，求fx；(4)定义在区间-1,1上的函数fx满足2fx-f-x=x2，求fx的解析式【解题思路】（1）利用配凑法求解即可；（1）利用配凑法或换元法求解即可；（3）利用待定系数法求解即可；（4）利用方程组法求解即可.【解答过程】（1）因为fx+2=2x+3=2x+2-1，所以fx=2x-1（2）解法一（换元法）：令t=x+1，t1，则x=t-12，所以ft=t-12+2t-1=t2-1t1，

16、所以fx=x2-1x1解法二（配凑法）：fx+1=x+2x=x+12-1，因为x+11，所以fx=x2-1x1（3）设fx=kx+bk0，则ffx=kkx+b+b=k2x+kb+b=16x-25，所以k2=16kb+b=-25，解得k=4b=-5或k=-4b=253，所以fx=4x-5或fx=-4x+253（4）对任意的x-1,1有-x-1,1，由2fx-f-x=x2，得2f-x-fx=-x2，联立解得，fx=x2-1x1【题型6 函数值域的求解】【例6】（2023上福建厦门高一校考期中）已知函数f(x)=x2-2x-2,x-2,2，函数f(x)的值域为（）A-3,6B-2,6C2,10D1,

17、10【解题思路】根据二次函数的性质即可得到值域.【解答过程】f(x)=x2-2x-2=x-12-3，因为x-2,2，所以fx的值域为f1,f-2，即-3,6，故选：A.【变式6-1】（2023上江苏苏州高一苏州中学校考期中）函数y=1-x+1-2x的值域为（）A-,12B0，+C12,+D12,+【解题思路】令1-2x=t，t0，可得y=t+122，利用函数单调性求值域.【解答过程】令1-2x=t，t0，则x=1-t22，所以函数y=1+t2-12+t=t22+t+12=t+122，函数在0,+上单调递增，t=0时，y有最小值12，所以函数y=1-x+1-2x的值域为12,+.故选：C.【变式

18、6-2】（2023上河南郑州高一统考期中）下列函数中与函数y=x2值域相同的是（）Ay=xBy=1xCy=-x2Dy=x2-2x+1【解题思路】先得出函数y=x2值域，再由一次函数、二次函数、反比例函数的性质进行判断.【解答过程】函数y=x2=x0，故其值域为0,+.对于A，函数y=x的值域为R，故A错误；对于B，函数y=1x的值域为yy0，故B错误；对于C，函数y=-x20，其值域为-,0，故C错误；对于D，y=x2-2x+1=(x-1)20，其值域为0,+，故D正确；故选：D.【变式6-3】（2023上安徽芜湖高一校考阶段练习）在实数集R中定义一种运算“*”，具有下列性质：对任意a，bR，

19、a*b=b*a；对任意aR，a*0=a；对任意a，bR，a*b*c=c*ab+a*c+b*c-2c则函数fx=x*x2x-2,2的值域是（）A-,5B-98,5C98,+D-5,5【解题思路】注意新定义的运算方式即可.【解答过程】在中，令c=0，则a*b=ab+a+b，所以fx=x*x2=x22+3x2=12x+322-98函数fx在x=-32时取最小值，最小值为-98；在x=2时取最大值，最大值为5，所以函数fx=x*x2x-2,2的值域是-98,5故选：B【题型7 根据函数的值域或最值求参数】【例7】（2023上吉林长春高一校考阶段练习）若函数fx=2a2+5a+3x2+a+1x-1的定义

20、域值域都为R,则实数a满足Aa=-1或a=-32B-139a-1Ca-1且a-32Da=-32【解题思路】根据题意f(x)表示一次函数，可得出系数的特征，即可求出结论.【解答过程】若2a2+5a+30，f(x)表示二次函数，值域不为R，不合题意.所以f(x)为一次函数，2a2+5a+3=0a+10解得a=-32.故选:D.【变式7-1】（2023全国统考一模）函数f(x)=x2-4x-6的定义域为0,m，值域为-10,-6，则m的取值范围是A0，4B4，6C2，6D2，4【解题思路】因为函数fx=x2-4x-6的图象开口朝上，由 f0=f4=-6,f2=-10，结合二次函数的图象和性质可得m的

21、取值范围.【解答过程】函数fx=x2-4x-6的图象是开口朝上，且以直线x=2为对称轴的抛物线，故f0=f4=-6,f2=-10，函数fx=x2-4x-6的定义域为0,m,值域为-10,-6，所以2m4，即m的取值范围是2,4,故选D.【变式7-2】（2022上浙江嘉兴高一校考阶段练习）已知f(x)=ax2+(a-4)x-21+x2(1)若a=4时，求fx的值域；(2)函数g(x)=x2+1f(x)+52，若函数h(x)=g(x)的值域为0,+)，求a的取值范围【解题思路】（1）根据函数解析式，采用分离常数项的方法，结合不等式性质，可得答案；（2）根据二次根式的定义，结合二次函数的性质，可得答

22、案.【解答过程】（1）由a=4，则fx=4x2-21+x2=41+x2-61+x2=4-61+x2，由不等式性质，则x20，1+x21，0-61+x2-6，44-61+x2-2，故fx-2,4，即fx的值域为-2,4.（2）由题意，gx=x2+1ax2+a-4x-21+x2+52=ax2+a-4x+12，由函数h(x)=g(x)的值域为0,+)，则gx0有解且gx无最大值，当a=0时，符合题意；当a0时，根据二次函数的性质，可得a0=a-42-2a0，其中a-42-2a0，a2-8a+16-2a0，a2-10a+160，a-2a-80，解得a2或a8，综上，故a0,28,+.【变式7-3】（2

23、023上广东广州高一校考期中）已知函数fx满足fx+1=x2+x+1(1)求f1的值，并求出fx的解析式；(2)若函数g(x)=f(x)-(2t-1)x，且g(x)在4,5的最大值与最小值的差值恒小于4，求实数t的取值范围【解题思路】（1）令x=0代入求f1；利用构造法求fx的解析式；（2）g(x)=x2-2tx+1，讨论对称轴与区间4,5的关系，分别求出最小值和最大值，列不等式解出t的范围.【解答过程】（1）因为函数fx满足fx+1=x2+x+1所以令x=0得：f1=02+0+1=1，即f1=1.由fx+1=x2+x+1=x+12-x=x+12-x+1+1得：fx=x2-x+1.（2）函数g

24、(x)=f(x)-(2t-1)x=x2-2tx+1，对称轴为x=t.当t4时，g(x)在4,5单调递增，所以g(x)max=g(5)，g(x)min=g(4)，所以有g(5)-g(4)4，即25-10t+1-16-8t+152，所以52t4；当4t4.5时，g(x)在4,t单调递减，在t,5单调递增，且5-tt-4，所以g(x)max=g(5)=26-10t，g(x)min=g(t)=-t2+1，所以有g(5)-g(t)4，即25-10t+1-t2+14，解得：3t7，所以4t4.5；当4.5t5时，g(x)在4,t单调递减，在t,5单调递增，且5-tt-4，所以g(x)max=g(4)=17

25、-8t，g(x)min=g(t)=-t2+1，所以有g(4)-g(t)4，即17-8t-t2+14，解得：4-2t4+2，所以45时，g(x)在4,5单调递减，所以g(x)max=g(4)，g(x)min=g(5)，所以有g(4)-g(5)4，即25-10t+1-16-8t+14，解得：t132，所以5t132；综上所述：52t-1且x0Dxx-1【解题思路】根据函数解析式有意义的要求列不等式求函数定义域.【解答过程】由函数解析式有意义可得x+10且x0所以函数的定义域是xx-1且x0，故选：A.2（2022北京统考高考真题）函数f(x)=1x+1-x的定义域是 -,00,1 【解题思路】根据

26、偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；【解答过程】解：因为fx=1x+1-x，所以1-x0x0，解得x1且x0，故函数的定义域为-,00,1；故答案为：-,00,1.3（2021浙江统考高考真题）已知aR，函数f(x)=x2-4,x2x-3+a,x2,若ff6=3，则a= 2 .【解题思路】由题意结合函数的解析式得到关于a的方程，解方程可得a的值.【解答过程】ff6=f6-4=f2=2-3+a=3，故a=2，故答案为：2.4（2022浙江统考高考真题）已知函数f(x)=-x2+2,x1,x+1x-1,x1,则ff12= 3728 ；若当xa,b时，1f(x)3，则b-a的最大

27、值是 3+3 【解题思路】结合分段函数的解析式求函数值，由条件求出a的最小值,b的最大值即可.【解答过程】由已知f(12)=-122+2=74，f(74)=74+47-1=3728，所以 ff(12)=3728，当x1时，由1f(x)3可得1-x2+23，所以-1x1，当x1时，由1f(x)3可得1x+1x-13，所以1x2+3，1f(x)3等价于-1x2+3，所以a,b-1,2+3，所以b-a的最大值为3+3.故答案为：3728；3+3.5（2022北京统考高考真题）设函数f(x)=-ax+1,xa,(x-2)2,xa.若f(x)存在最小值，则a的一个取值为 0（答案不唯一） ；a的最大值为

28、 1 【解题思路】根据分段函数中的函数y=-ax+1的单调性进行分类讨论，可知，a=0符合条件，a0时函数y=-ax+1没有最小值，故f(x)的最小值只能取y=(x-2)2的最小值，根据定义域讨论可知-a2+10或-a2+1a-22，解得 0a1.【解答过程】解：若a=0时，f(x)=1(x-2)2,x0,x0，f(x)min=0；若a0时，当x0时，当xf(a)=-a2+1，当xa时，f(x)min=0(a-2)2(0a2)(a2)-a2+10或-a2+1（a-2）2，解得0a1，综上可得0a1；故答案为：0（答案不唯一）；1.6（2020山东统考高考真题）已知函数fx=2x-5,x0x2+2x,x0.（1）求ff1的值；（2）求fa-13，求实数a的取值范围.【解题思路】（1）根据分段函数的解析式，代入计算即可；（2）先判断a-1的取值范围，再代入分段函数解析式，得到fa-10，所以f1=21-5=-3，因为-30，所以ff1=f-3=-32+2-3=3.（2）因为a-10，则fa-1=2a-1-5，因为fa-13，所以2a-1-53，即a-14，解得-3a5.