专题2.1 有理数的运算（全章知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年七年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）.docx

1、专题2.1 有理数的运算（全章知识梳理与考点分类讲解）【知识点一】有理数的加法有理数加法法则：（1）同号相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，绝对值相等时何为0，绝对值不等时，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数同0相加，仍得这个数。运算律：交换律：a+b=b+a 结合律：（a+b）+c=a+（b+c）【知识点二】有理数的减法有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。如：3-5=3+(-5)将减法转化成加法时，注意两变：一是减号变加号，二是减数变为其相反数。【知识点三】有理数的乘法有理数乘法法则： 两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值

2、相乘。任何数与0相乘，积仍为0。如果两个数互为倒数，则它们的乘积为1。乘法的交换律、结合律、分配律在有理数运算中同样适用。有理数乘法运算步骤：先确定积的符号；求出各因数的绝对值的积。乘积为1的两个有理数互为倒数。注意：零没有倒数求分数的倒数，就是把分数的分子分母颠倒位置。带分数要先化成假分数。正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。【知识点四】有理数的除法有理数除法法则：两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何非0的数都得0。0不可作为除数，否则无意义。【知识点五】有理数的乘方接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似注意：一个数可以看作是本身的一次方，如5=

3、；当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括上，再在右上角写指数。乘方的运算性质：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；任何数的偶数次幂都是非负数；1的任何次幂都得1，0的任何次幂都得0；-1的偶次幂得1；-1的奇次幂得-1；在运算过程中，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值。【知识点六】有理数的混合运算法则先算乘方,再算乘除,最后算加减。 如果有括号,先算括号里面的。【知识点七】科学记数法与近似数1.科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法例如：200 000=2.近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近

4、似数或近似值.如长江的长约为6300，这里的6300就是近似数.要点说明：一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入.3.精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度. 要点说明：（1）精确度是指近似数与准确数的接近程度.（2）精确度有两种形式：精确到哪一位保留几个有效数字这两种的形式的意义不一样，一般来说精确到哪一位可以表示误差绝对值的大小，例如精确到米，说明结果与实际数相差不超过米，而有效数字往往用来比较几个近似数哪个更精确些.【考点一】有理数的加法【例1】（2023秋全国七年级专题练习）计算：（1）（2）【答案】（

5、1）0；（2）【分析】（1）原式运用加法的交换律和结合律进行计算即可得到答案；（2）原式先将化为，再运用加法的交换律和结合律进行计算即可得到答案解：（1） （2）= = = =0； =【点拨】本题主要考查了有理数加法的运算，熟练掌握有理数加法的计算方法是解题的关键【举一反三】【变式1】（2022秋山西太原七年级太原市第十八中学校校考阶段练习）数学张老师在多媒体上列出了如下的材料：计算：解：原式上述这种方法叫做拆项法请仿照上面的方法计算：（1）；（2）【答案】（1）；（2）0【分析】（1）先根据阅读部分的信息把运算式中的前两个分数的每一个拆成一个整数与一个分数的和，再利用加法的交换律与结合律进行

6、简便运算即可.（2）先根据阅读部分的信息把运算式中的前两个分数的每一个拆成一个整数与一个分数的和，再利用加法的交换律与结合律进行简便运算即可.（1）解： （28+）+（25）+（）（2825）+（）3+3；（2）解： （2021）+（）+（2022）+（）+4044+（）（20212022+4044）+（）1+（1）0【点拨】本题考查的是利用简便方法进行有理数的加减运算，掌握把一个分数拆成一个整数与一个分数的和是解本题的关键.【变式2】（2022秋全国七年级专题练习）为体现社会对教师的尊重，教师节这天上午，出租车司机小王在东西走向的公路上免费接送老师如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下

7、（单位：千米）3，8，13，15，10，12，13，17（1）当最后一名老师到达目的地时，小王距离开始接送第一位老师之前的地点的距离是多少？（2）若出租车的耗油量为0.4升/千米，这天上午出租车共耗油多少升？【答案】（1）当最后一名老师到达目的地时，小王距离开始接送第一位老师之前的地点的距离是29千米（2）这天上午出租车共耗油36.4升【分析】（1）根据有理数的加法运算，将所有数据相加即可；（2）求出这天上午行驶的路程，再乘每千米耗油量，即可得答案解：（1），当最后一名老师到达目的地时，小王距离开始接送第一位老师之前的地点的距离是29千米（2），（升）答：这天上午出租车共耗油36.4升【点拨】

8、本题考查了正数和负数，掌握有理数的加法运算是解题关键【考点二】有理数的减法【例2】（2023秋全国七年级专题练习）计算（1）（2）【答案】（1）3；（2）【分析】（1）把分数转化为小数，然后进行有理数的加减运算即可；（2）原式去括号，然后合并同类项，进行通分，再进行有理数的加减运算即可（1）解：原式；（2）原式【点拨】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键【举一反三】【变式1】（2023秋全国七年级专题练习）计算题：（1）（4）+33（2）（3）（11）（7.5）（+9）+2.5（4）【答案】（1）29；（2）；（3）10；（4）4【分析】（1）根据有理数的加法运算即可求

9、出答案（2）根据有理数的加减运算即可求出答案（3）根据有理数的加减运算即可求出答案（4）根据有理数的加减运算以及绝对值的性质即可求出答案（1）解：（4）+33 （2） 4+33 29 （3）（11）（7.5）（+9）+2.5 （4）11+7.59+2.5 119+7.5+2.5 20+10 10 【点拨】本题考查有理数的加减运算，解题的关键是熟练运用有理数的加减运算法则，本题属于基础题型【变式2】（2023秋全国七年级专题练习）计算题（1）（2）（3）（4）【答案】（1）-29；（2）-5；（3）；（4）【分析】（1）将负数先求和，然后在按有理数加法计算法则计算即可；（2）将负数先求和，然后在

10、按有理数加法计算法则计算即可；（3）首先通分，然后按照有理数加减法混合计算法则计算即可；（4）通过有理数加法交换律，将第二项和第三项交换位置，然后按照有理数加减法混合计算法则计算即可解：（1） （2）（3）（4）【点拨】本题考查了有理数加减混运算，和有理数加法运算律，熟练掌握有理数加减法运算法则是本题的关键【考点三】有理数的乘法【例3】（2023秋全国七年级专题练习）简便方法计算：（1）（2）【答案】（1）0；（2）149【分析】对于（1），原式逆用乘法分配律计算即可求出值；对于（2），原式变形后，利用乘法分配律计算即可求出值解：（1）原式 （2）原式250 0； 150+1149【点拨】此题

11、考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键【举一反三】【变式1】（2023秋全国七年级专题练习）计算：（1）；（2）【答案】（1）；（2）0【分析】（1）根据有理数乘法运算法则，运用乘法交换律计算即可；（2）根据0乘以任何数都得0计算即可.解：（1）；（2）【点拨】本题考查有理数的乘法，熟知有理数乘法的运算法则是解题的关键.【变式2】（2023秋全国七年级专题练习）用简便方法计算：（1）；（2）【答案】（1）-149；（2）0【分析】（1）把变为，然后利用乘法分配律解答；（2）利用乘法分配律解答（1）解：原式= （2）解：原式=-150+1 =0=-149；【点拨】本题考查有理数的

12、混合运算，乘法分配律的应用，熟练掌握乘法分配律的逆应用是解题关键【考点四】有理数的除法【例4】（2017秋七年级课时练习）计算：（1） （2）（3）【答案】（1）5；（2）；（3）-10试题分析：本题考查了有理数的乘法和除法.（1）把-8-和-0.125交换到一起计算;（2）把除法转化为乘法计算;（3）先把除法转化为乘法,再利用乘法的分配律计算.解：（1）（-8）5（-0.125）=（-8）（-0.125）5=15=5；（2）原式= =；（3）原式【举一反三】【变式1】（2020秋七年级课时练习）计算：（1）；（2）【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据有理数乘除混合运算从左到右依次计算可以

13、解答本题；（2）现将带分数化为假分数后再根据有理数乘除混合运算从左到右依次计算可以解答本题解：（1）（2）【点拨】本题考查的是有理数的运算能力,属于基本题型,熟练掌握有理数的乘除运算法则是解题关键【变式2】（2023秋宁夏石嘴山七年级统考期末）数学老师布置了一道思考题“计算：”，小明仔细思考了一番用了如下方法解决了这个问题小明的解法：原式的倒数为，所以请你运用小明的解法解答下面的问题计算：【答案】【分析】求出原式的倒数，即可确定出原式的值解：原式的倒数为，则【点拨】本题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键【考点五】有理数的乘方【例5】（2023秋全国七年级专题练习）已知与互为相反

14、数，求的值【答案】0【分析】根据相反数的性质得到，再根据绝对值非负性得到，代入求解即可；解：因为与互为相反数，所以，所以，所以，因此【点拨】本题主要考查了绝对值的非负性应用、相反数的性质和代数式求值，准确计算是解题的关键【举一反三】【变式1】（2020秋湖北孝感七年级校联考阶段练习）已知：，（1）当时，求的值；（2）当时，求的值【答案】（1）14或-14；（2）-2或-14【分析】（1）先根据绝对值和乘方的意义求出a和b的值，然后分2种情况求解即可；（2）先根据判断出a和b的大小，然后分2种情况求解即可；解：（1），因为，同号，所以，或者，当，时，；当，时，所以，当，同号时a+b等于14或-1

15、4；（2），所以，或者，当，时，；当，时，；所以，当时，a+b等于-2或-14【点拨】本题考查了绝对值和乘方的意义，有理数的乘法法则和加法法则，熟练掌握各知识点是解答本题的关键【变式2】（2019秋七年级统考课时练习）计算：（1）；（2）（3）；（4）；（5）【答案】（1）21;（2）;（3）;2（4）-23;（5）【分析】根据有理数的运算法则；同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加，异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，再把绝对值相减，据此即可计算题目中的加、减运算；对于除法，可先根据除以一个数等于乘以这个数的倒数，将除法运算转化为乘法运算后再计算，即可解答.解：（1）原式.（2）原式（

16、3）原式.（4）原式.（5）原式.【点拨】此题考查有理数的混合运算，解题关键在于掌握各运算法则.【考点六】科学记数法与近似数【例6】（2022秋七年级课时练习）光在真空中的传播速度约是3108m/s，光在真空中传播一年的距离称为光年请你算算：（1）1光年约是多少千米？（一年以3107s计算）（2）银河系的直径达10万光年，约是多少千米？（3）如果一架飞机的飞行速度为900km/h，那么光的速度是这架飞机速度的多少倍？（精确到万位）【答案】（1）91012千米；（2）银河系的直径达10万光年，约是91017千米；（3）1.2106倍【分析】（1）根据题意列出算式，求出即可；（2）根据题意列出算式

17、，求出即可；（3）先化单位，再根据题意列出算式，求出即可解：（1）3107310891015（m）91012千米，答：1光年约是91012千米；（2）10万=1000001000009101291017（千米），答：银河系的直径达10万光年，约是91017千米；（3）3108m/s1.08109km/h，1.081099001.2106，答：光的速度是这架飞机速度的1.2106倍【点拨】本题考查了科学记数法的应用，解此题的关键是能根据题意列出算式【举一反三】【变式1】（2022秋全国七年级专题练习）用四舍五入法，按下列要求对159 897 000 000 分别取近似值（用科学记数法表示）（1）

18、精确到千万位； （2）精确到亿位； （3）精确到百亿位【答案】（1） 1.599 01011；（2） 1.5991011；（3） 1.61011【分析】（1）把百万位上的数字7进行四舍五入即可；（2）把千万位上的数字9进行四舍五入即可；（3）把十亿位上的数字9进行四舍五入即可解：（1）159 897 000 0001.599 01011；（2）159 897 000 0001.5991011；（3）159 897 000 0001.61011【点拨】本题考查了近似数：经过四舍五入得到的数叫近似数【变式2】（2023浙江七年级假期作业）用四舍五入法，按括号中的要求对下列各数取近似值（1）3499

19、95（精确到百位）；（2）349995（精确到千位）（3）3.4995（精确到0.01）；（4）0.003584（精确到千分位）【答案】（1）；（2）；（3）3.50；（4）0.004【分析】精确到哪位，就是对它后边的一位进行四舍五入当1|a|10时，n取非负整数；当0|a|1时，n取非正整数解：（1）原式350000；（2）原式350000；（3）原式3.50；（4）原式0.004【点拨】本题考查了用四舍五入法求近似数，精确到哪一位，即对下一位的数字进行四舍五入【考点七】有理数的混合运算【例7】（2023秋全国七年级专题练习）计算（1）（2）【答案】（1）7；（2）（1）解：（2）解：【点拨

20、】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法【举一反三】【变式1】（2023秋全国七年级专题练习）淇淇在计算：时，步骤如下：解：原式 （1）淇淇的计算过程中开始出现错误的步骤是_；（填序号）（2）请给出正确的解题过程【答案】（1）；（2）见分析【分析】（1）根据有理数的运算法则可知从计算错误；（2）根据有理数的运算法则计算即可（1）解：由题意可知：；故开始出现错误的步骤是，（2）解：，【点拨】本题考查含乘方的有理数的运算，解题的关键是掌握运算法则并能够正确计算【变式2】（2022秋全国七年级专题练习）计算：（1）（2）【答案】（1）26；（2）2【分析】（1）先算乘方，再算乘法，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算；注意乘法分配律简便计算；（2）先算乘方，再算乘除，最后算减法；如果有括号，要先做括号内的运算（1）解：27242424318+4926；（2）1（4）1（）1（）1（4）1+32【点拨】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算，进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化