专题2.12 二次函数y=ax² bx c(a≠0)的图像与性质.docx

1、专题2.12 二次函数y=ax+bx+c(a0)的图象与性质（知识讲解1）【学习目标】1. 会用描点法画二次函数的图象；会用配方法将二次函数的解析式写成的形式；2. .通过图象能熟练地掌握二次函数的性质；3. .经历探索与的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想【要点梳理】要点一、二次函数与之间的相互关系1. 顶点式化成一般式从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式2. 一般式化成顶点式 对照，可知， 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是特别说明：1抛物线

2、的对称轴是直线，顶点坐标是，可以当作公式加以记忆和运用2求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用要点二、二次函数的图象的画法1.一般方法：列表、描点、连线；2.简易画法：五点定形法. 其步骤为： (1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴 (2)求抛物线与坐标轴的交点，当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来特别说明：当抛物线与x轴只有一个交点或

3、无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，要点三、二次函数的图象与性质1.二次函数图象与性质函数二次函数（a、b、c为常数，a0）图象开口方向向上向下对称轴直线直线顶点坐标增减性在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大简记：左减右增在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小简记：左增右减最大(小)值抛物线有最低点，当时，y有最小值，抛物线有最高点，当时，

4、y有最大值， 2.二次函数图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系项目字母字母的符号图象的特征aa0开口向上a0开口向下bab0(a，b同号)对称轴在y轴左侧ab0(a，b异号)对称轴在y轴右侧cc=0图象过原点c0与y轴正半轴相交c0与y轴负半轴相交b2-4acb2-4ac=0与x轴有唯一交点b2-4ac0与x轴有两个交点b2-4ac0与x轴没有交点要点四、求二次函数的最大（小）值的方法如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当时，特别说明：如果自变量的取值范围是x1xx2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x1xx2内，若在此范围内，则当时，若不

5、在此范围内，则需要考虑函数在x1xx2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当xx2时，；当xx1时，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当xx1时，；当xx2时，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察xx1，xx2，时y值的情况特别说明：【典型例题】1已知抛物线经过点A（3，0），B（1，0）（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的顶点坐标【答案】（1）（2）（1，4）解：（1）抛物线经过点A（3，0），B（1，0），抛物线的解析式为；，即，（2）抛物线的解析式为，抛物线的顶点坐标为：（1，4）（1）根据抛物线经过点A（3，0），B（1，0），直接由交点式得出抛物线的解析式

6、（2）将抛物线的解析式化为顶点式，即可得出答案举一反三：【变式1】 用配方法把二次函数y=x24x+5化为y=a(x+m)2+k的形式，再指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标【答案】抛物线的开口向上，对称轴是直线x4，顶点坐标是(4，3)【分析】用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答即可 解： yx24x5(x4)23，抛物线的开口向上，对称轴是直线x4，顶点坐标是(4，3)【点拨】本题考查的是二次函数的三种形式，正确利用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键【变式2】已知二次函数用配方法将其化为的形式；在所给的平面直角坐标系xOy中，画出它的图象 【答案】（1）；（2）见解析

7、.【分析】（1）利用配方法把二次函数解析式化成顶点式即可；（2）利用描点法画出二次函数图象即可 解：=，顶点坐标为，对称轴方程为函数二次函数的开口向上，顶点坐标为，与x轴的交点为，其图象为： 故答案为（1）；（2）见解析.【点拨】本题考查二次函数的配方法，用描点法画二次函数的图象，掌握配方法是解题的关键【变式3】 已知二次函数y2x2+bx+c的图象经过点A（0，4）和B（1，2）（1）求此抛物线的解析式；（2）求此抛物线的对称轴和顶点坐标；（3）设抛物线的顶点为C，试求CAO的面积【答案】（1）y2x24x+4；（2）对称轴为直线x1，顶点坐标为（1，6）；（3）CAO的面积为2 【分析】（

8、1）利用待定系数法把A（0，4）和B（1，2）代入y2x2+bx+c中，可以解得b，c的值，从而求得函数关系式即可；（2）利用配方法求出图象的对称轴和顶点坐标；（3）由（2）可得顶点C的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出CAO的面积 解：（1）把A（0，4）和B（1，2）代入y2x2+bx+c，得：c=4-212+b+c=-2，解得：b=-4c=4，所以此抛物线的解析式为y2x24x+4；（2）y2x24x+42（x2+2x）+42（x+1）21+42（x+1）2+6，此抛物线的对称轴为直线x1，顶点坐标为（1，6）；（3）由（2）知：顶点C（1，6），点A（0，4），OA4，SCAO12O

9、A|xc|12412，即CAO的面积为2故答案为：（1）y2x24x+4；（2）对称轴为直线x1，顶点坐标为（1，6）；（3）CAO的面积为2【点拨】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数解析式的三种形式，二次函数的性质以及三角形的面积，难度适中正确求出函数的解析式是解题的关键2已知：二次函数 （1）求出该函数图象的顶点坐标；（2）在所提供的网格中画出该函数的草图 【答案】（1） (2，1)；（2）见解析【分析】（1）将二次函数化为顶点式即可得出顶点坐标；（2）利用五点法画二次函数的图象即可解：（1）化为顶点式为则该函数图象的顶点坐标为；（2）先求出自变量x在处的函数值，再列出表格

10、当和时，当和时，当时，列出表格如下：由此画出该函数的草图如下：【点拨】本题考查了二次函数的顶点式、画二次函数的图象，掌握函数图象的画法是解题关键举一反三：【变式1】已知二次函数y=x2+4x（1）写出二次函数y=x2+4x图象的对称轴；（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象（列表、描点、连线）；（3）根据图象，写出当y0时，x的取值范围【答案】（1）对称轴是过点（2，4）且平行于y轴的直线x=2；（2）见解析；（3）x0或x4试题分析：（1）把一般式化成顶点式即可求得；（2）首先列表求出图象上点的坐标，进而描点连线画出图象即可（3）根据图象从而得出y0时，x的取值范围解：（1）y=

11、-x2+4x=-（x-2）2+4，对称轴是过点（2，4）且平行于y轴的直线x=2；（2）列表得：x-1012345y-503430-5描点，连线（3）由图象可知，当y0时，x的取值范围是x0或x4【变式2】 已知二次函数yx2x（1）在平面直角坐标系内，画出该二次函数的图象；（2）根据图象写出：当x 时，y0；当0x4时，y的取值范围为 【答案】（1）见解析；（2）x1或x3；2y【分析】（1）先把解析式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标为（1，2）；再分别求出抛物线与坐标轴的交点坐标，然后利用描点法画二次函数图象；（2）利用函数图象写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可；先确定x4时，y，

12、然后利用函数图象写出当0x4时对应的函数值的范围解：（1）y（x1）22，抛物线的对称轴为直线x1，顶点坐标为（1，2）；当x0时，yx2x，则抛物线与y轴交点坐标为（0，）当y0时， x2x0，解得x11，x23，抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）、（3，0），如图， （2）当x1或x3时，y0；当0x4时，2y；故答案为x1或x3；2y【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数yax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标也考查了二次函数的性质【变式3】已知抛物线（1）求这条抛物线的对称轴；（2）若该抛物线的顶点在x轴上

13、，求其解析式；（3）设点，在抛物线上，若，求m的取值范围【答案】（1）；（2）或；（3）当a0时，；当a0时，或【分析】（1）将二次函数化为顶点式，即可得到对称轴；（2）根据（1）中的顶点式，得到顶点坐标，令顶点纵坐标等于0，解一元二次方程，即可得到的值，进而得到其解析式；（3）根据抛物线的对称性求得点Q关于对称轴的对称点，再结合二次函数的图象与性质，即可得到的取值范围解：（1），其对称轴为：（2）由（1）知抛物线的顶点坐标为：，抛物线顶点在轴上，解得：或，当时，其解析式为：，当时，其解析式为：，综上，二次函数解析式为：或（3）由（1）知，抛物线的对称轴为，关于的对称点为，当a0时，若，则-1

14、m3；当a0时，若，则m-1或m3.【点拨】本题考查了二次函数对称轴，解析式的计算，以及根据二次函数的图象性质求不等式的取值范围，熟知相关计算是解题的关键3、把抛物线先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线（1）直接写出抛物线的函数关系式；（2）动点能否在拋物线上？请说明理由；（3）若点都在抛物线上，且，比较的大小，并说明理由【答案】（1）；（2）不在，见解析；（3），见解析【分析】（1）先求出抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出平移后的抛物线的顶点坐标即可；（2）根据抛物线的顶点的纵坐标为，即可判断点不在拋物线上；（3）根据抛物线的增减性质即可解答解

15、：（1）抛物线，抛物线的顶点坐标为(-1，2)，根据题意，抛物线的顶点坐标为(-1+4，2-5)，即(3，-3)，抛物线的函数关系式为：； （2）动点P不在抛物线上 理由如下：抛物线的顶点为，开口向上，抛物线的最低点的纵坐标为 ，动点P不在抛物线上； （3）理由如下：由（1）知抛物线的对称轴是，且开口向上，在对称轴左侧y随x的增大而减小 点都在抛物线上，且，【点拨】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握平移的规律“左加右减，上加下减”以及熟练掌握二次函数的性质是解题的关键举一反三：【变式1】在平面直角坐标系中，关于的二次函数的图象过点，（1）求这个二次函数的表达

16、式；（2）求当时，的最大值与最小值的差；（3）一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别是和，且，求的取值范围 【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）利用待定系数法将点，代入解析式中解方程组即可；（2）根据（1）中函数关系式得到对称轴，从而知在中，当x=-2时，y有最大值，当时，y有最小值，求之相减即可；（3）根据两函数相交可得出x与m的函数关系式，根据有两个交点可得出0，根据根与系数的关系可得出a，b的值，然后根据，整理得出m的取值范围 解：（1）的图象过点，解得（2）由（1）得，二次函数对称轴为当时，y的最大值为(-2)2-(-2)-2=4,y的最小值为的最大值与最小值的差为；（

17、3）由题意及（1）得整理得即一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别是和，化简得即解得m5a，b为方程的两个解又a=-1，b=4-m即4-m3m0，（3）当x取何值时，y0；当x取何值时y0.【答案】（1）a0，b0，b2-4ac0； （2）a-b+c0； （3）当-3x0 ，当x1时，y0.【解析】思路点拨：（1）根据开口方向确定a的符号，根据对称轴的位置确定b的符号，根据抛物线与y轴的交点确定c的符号，根据抛物线与x轴交点的个数确定b2-4ac的符号；（2）根据图象和x=-1的函数值确定a-b+c与0的关系；（3）抛物线在x轴上方时y0；抛物线在x轴下方时y0解：由抛物线的开口向下，

18、得a0，又由0，a、b同号，由a0得b0（2）由抛物线的顶点在x 轴上方，对称轴为x=-1.当x=-1时，y=a-b+c0（3）由图象可知：当-3x0 ，当x1时，y0考点：二次函数的图象与系数的关系4、如图，抛物线yx2+(m1)x+m与y轴交于点(0，3)（1）m的值为_；（2）当x满足_时，y的值随x值的增大而减小；（3）当x满足_时，抛物线在x轴上方；（4）当x满足0x4时，y的取值范围是_ 【答案】（1）3；（2）x1；（3）-1x3；（4）-5y4【分析】根据函数的图象和性质即可求解解：（1）将（0，3）代入yx2+（m1）x+m得，3m，故答案为3；（2）m3时，抛物线的表达式为

19、yx2+2x+3，函数的对称轴为直线x1，10，故抛物线开口向下，当x1时，y的值随x值的增大而减小，故答案为x1；（3）令yx2+2x+3，解得x1或3，从图象看，当1x3时，抛物线在x轴上方；故答案为1x3；（4）当x0时，y3；当x4时，yx2+2x+35，而抛物线的顶点坐标为（1，4），故当x满足0x4时，y的取值范围是5y4，故答案为5y4【点拨】本题主要考查二次函数的图像与性质及系数的关系，熟练掌握二次函数的图像与性质及系数的关系是解题的关键举一反三：【变式1】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：abc0；ab+c0；2a+bc0；4a+2b+c0，若点（

20、 ，y1）和（ ，y2）在该图象上，则y1y2其中正确的结论是_（填入正确结论的序号） 【答案】解：抛物线开口向下，a0，对称轴在y轴右边，b0，抛物线与y轴的交点在x轴的上方，c0，abc0，故错误；二次函数y=ax2+bx+c图象可知，当x=1时，y0，ab+c0，故正确；二次函数图象的对称轴是直线x=1，c0，=1，2a+b=0，2a+bc，2a+bc0，故正确；二次函数y=ax2+bx+c图象可知，当x=2时，y0，4a+2b+c0，故正确；二次函数图象的对称轴是直线x=1，抛物线上x=时的点与当x=时的点对称，x1，y随x的增大而减小，y1y2，故错误；故答案为：【点拨】本题考查了二

21、次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a0时，抛物线向上开口；当a0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab0），对称轴在y轴右（简称：左同右异）常数项c决定抛物线与y轴交点 抛物线与y轴交于（0，c）5、如图，已知直线=-2x+m与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，B两点，且点A（1，4）为抛物线的顶点，点B在x轴上（1）求m的值；（2）求抛物线的解析式；（3）若点P是x轴上一点，当ABP为直角三角形时直接写出点P的坐标【答案】（

22、1）m6；（2）yx2+2x+3；（3）点P的坐标为（7，0）或（1，0）【分析】（1）将点A坐标代入y=-2x+m，即可求解；（2）y=-2x+6，令y=0，则x=3，故点B（3，0），则二次函数表达式为：y=a（x-1）2+4，将点B的坐标代入上式，即可求解；（3）分BAP=90、AP（P）B=90两种情况，求解即可解：（1）将点A坐标代入y2x+m得：42+m，解得：m6；（2）y2x+6，令y0，则x3，故点B（3，0），则二次函数表达式为：ya（x1）2+4，将点B的坐标代入上式得：0a（31）2+4，解得：a1，故抛物线的表达式为：y（x1）2+4x2+2x+3；（3）当BAP90

23、时，直线AB的表达式为：y2x+6，则直线PB的表达式中的k值为，设直线PB的表达式为：yx+b，将点A的坐标代入上式得：41+b，解得：b，即直线PB的表达式为：yx+，当y0时，x7，即点P（7，0）；当AP（P）B90时，点P（1，0）；故点P的坐标为（7，0）或（1，0）【点拨】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的基本知识，要注意类讨论，避免遗漏，本题较为简单举一反三：【变式1】已知二次函数如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；如图，二次函数的图象过，点，与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标【答案】（1）且；（2）P点坐标为解

24、：（1）根据题意得且；（2）先求二次函数的解析式，再求抛物线的对称轴，用待定系数法求直线AB的解析式，再求AB与对称轴的交点P. 解：根据题意得且，所以且；把代入得，解得，所以抛物线解析式为，所以抛物线的对称轴为直线，当时，则，设直线AB的解析式为，把，代入得，解得，所以直线AB的解析式为，当时，所以P点坐标为【点拨】本题考核知识点：二次函数与一次函数. 解题关键点：理解二次函数图象的交点问题.【变式2】如图所示，已知直线y=x与抛物线y=交于A、B两点，点C是抛物线的顶点(1)求出点A、B的坐标； (2)求出ABC的面积；(3)在AB段的抛物线上是否存在一点P，使得ABP的面积最大？若存在，

25、请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)点A、B的坐标分别为：(6，3)，(4，2)；(2)30；(3)当a1时，ABP的面积最大，此时点P的坐标为(1，)【分析】（1）由直线与抛物线交于A、B两点，可得方程，解方程即可求得点A、B的坐标；（2）首先由点C是抛物线的顶点，即可求得点C的坐标，又由SABC=SOBC+SOAC即可求得答案；（3）首先过点P作PDOC，交AB于D，然后设，即可求得点D的坐标，可得PD的长，又由SABP=SBDP+SADP，根据二次函数求最值的方法，即可求得答案解：(1)直线与抛物线交于A、B两点，解得：x6或x4，当x6时，y3，当x4时，y2，点A、B的坐标分别为：(6，3)，(4，2)；(2) 点C是抛物线的顶点点C的坐标为(0，6)，SABCSOBC+SOAC64+6630；(3)存在过点P作PDOC，交AB于D，设P(a，a2+6)，则D(a，a)，PDa2+6+a，SABPSBDP+SADP(a2+6+a)(a+4)+(a2+6+a)(6a) (4a6)，当a1时，ABP的面积最大，此时点P的坐标为(1，)【点拨】此题考查了二次函数与一次函数的交点问题，三角形面积的求解以及二次函数的最值问题等知识此题综合性很强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用