专题2.22 轴对称的最值问题（提升练）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）.docx

1、专题2.22 轴对称的最值问题（提升练）一、单选题1如图，在中，是的垂直平分线，P是直线上的任意一点，则的最小值是（）A3B4C5D62如图，直线m是中BC边的垂直平分线，点P是直线m上一动点，若，则周长的最小值是（）A15B16C17D15.53如图，M，N分别是射线上的动点，平分，则的周长的最小值为（）A9BC6D274如图，已知的大小为，是内部的一个定点，且，点、分别是、上的动点，若周长的最小值等于，则()ABCD5如图，在中，D为的中点，点P为边上的一个动点，点E为边上的一个动点，则的最小值为（）ABCD6如图，点C，D在内部，连接，在射线上取一点E，在射线上取一点F，连接，得到四边形

2、CEFD，若，则四边形周长最小值是（）A5B6C7D117如图，在RtABC中，B60，D是线段BC上一动点，将A绕点D顺时针旋转90至点E，连接CE当CE取最小值时，ACE（）A45B65C75D1058如图，RtABC中，C90，B60首先以顶点B为圆心、适当长为半径作弧，在边BC、BA上截取BE、BD；然后分别以点D、E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G若BG1，P为边AB上一动点，则GP的最小值为（）A无法确定BC1D29如图，是角平分线上一点，垂足为，点是的中点，且，如果点是射线上一个动点，则的最小值是（）A8B6C4D210如图，若为等腰直

3、角三角形，为上的动点，则的最大值是（）A3B4C5D6二、填空题11如图，ABC中，BC=10，AD是BAC的角平分线，CDAD，则BCD的面积最大值为 12如图，点M、N分别在射线、上，的面积为12，P是直线上的动点，点P关于对称的点为，点P关于对称的点为，当点P在直线上运动时，的面积最小值为 13如图，在中，将沿射线折叠，使点A与边上的点D重合，E为射线上的一个动点，则周长的最小值 14如图，在中，直线m垂直平分，点P为直线m上的动点，则的最小值是 15如图，等边和等边的边长都是4，点在同一条直线上，点P在线段上，则的最小值为 16如图，等边三角形中，是边上的中线，F是边上的动点，E是边的

4、中点当的周长取得最小值时，的度数为 17如图，在ABC中，ABAC5，SABC12，ADBC于点D，CEAB于点E若点P是AD上一动点，连接PE，PB，则PEPB的最小值是 18如图，在菱形中，对角线交于点，点为的中点，点为上一点，且，点为上一动点，连接，则的最大值为 三、解答题19如图，在中，(1)作的垂直平分线交于点N，交于点M（保留作图痕迹）(2)连接，若，的周长是求的长；在直线上是否存在点P，使的值最小，若存在，标出点P的位置并求的最小值，若不存在，说明理由20如图，在中，的垂直平分线交于，交于（1）若，则的度数是 ；（2）连接，若，的周长是求的长；在直线上是否存在点，使的值最小，若存

5、在，标出点的位置并直接写出的最小值；若不存在，说明理由21已知：为等边三角形(1)如图1，点、分别为边上的点，且求证：求的度数(2)如图2，点为外一点，、的延长线交于点，连接，猜想线段、之间的数量关系并加以证明(3)如图3，是等边三角形外一点若，连接，直接写出的最大值与最小值的差22如图1、图2和图3，A、B两点在直线l同侧，且点A、B所在直线与l不平行，在直线l上画出符合要求的点P（不写做法与理由，保留作图痕迹）（1）为最大值，在图1中的直线l上画出点的位置；（2），在图2中的直线l上画出点的位置；（3）为最小值，在图3中的直线l画出点的位置23已知：ABC为等边三角形（1）如图1，点D、E

6、分别为边BC、AC上的点，且BDCE求证：ABDBCE；求AFE的度数；（2）如图2，点D为ABC外一点，BA、CD的延长线交于点E，连接AD，已知BDC60，且AD2，CD5，求BD的长；（3）如图3，线段DB的长为3，线段DC的长为2，连接BC，以BC为边作等边ABC，连接AD，直接写出当线段AD取最大值与最小值时BDC的度数24如图，ABC，CDE都是等边三角形 发（1）写出AE与BD的大小关系.（2）若把CDE绕点C逆时针旋转到图的位置时，上述（1）的结论仍成立吗？请说明理由（3）ABC的边长为5，CDE的边长为2，把CDE绕点C逆时针旋转一周后回到图位置，求出线段AE长的最大值和最小

7、值参考答案1D【分析】根据线段的垂直平分线的性质可得，根据两点之间线段最短即可求解【详解】解：设与于点,连接，如图，是的垂直平分线，根据两点之间线段最短，最小，此时点P与点M重合所以的最小值即为的长，为6所以的最小值为6故选：D【点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题，解决本题的关键是利用线段的垂直平分线的性质2A【分析】根据垂直平分线的性质，所以周长.【详解】直线m是中边的垂直平分线,周长两点之间线段最短的周长，周长最小为故选：【点拨】本题主要考查线段垂直平分线的性质定理，以及两点之间线段最短解题的关键是能得出3A【分析】作P点关于射线的对称点C点，作P点关于射线的对称点D点，连接，与射线的交

8、点即为M点、N点，连接，此时的周长最小，证明是等边三角形即可求解【详解】解：作P点关于射线的对称点C点，作P点关于射线的对称点D点，连接，与射线的交点即为M点、N点，连接，此时的周长最小，C点、P点关于射线对称，射线垂直平分，同理：，是等边三角形，的周长，故选：A【点拨】本题考查了轴对称的性质、等边三角形的判定及性质，利用对称将的周长最小值转化为两点间线段最短是关键与难点4A【分析】设点关于的对称点为，关于的对称点为，当点、在上时，的周长为，此时周长最小，根据可得出是等边三角形，进而可求出的度数【详解】解：如图，作点关于的对称点，关于的对称点，连接，交于，于此时，的周长最小连接，点与点关于对称

9、，垂直平分，同理，可得，又的周长，是等边三角形，故选：A【点拨】本题主要考查了最短路径问题，本题找到点和的位置是解题的关键要使的周长最小，通常是把三边的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决5C【分析】根据等腰三角形三线合一可得，连接，过点C作，可得，当E、P、C三点共线且时，最小值=，结合面积法即可求解.【详解】解：在中，D为的中点，连接，过点C作，B、C关于轴对称，当E、P、C三点共线且时，最小值=，故选C【点拨】本题主要考查等腰三角形的性质，轴对称的性质，掌握等腰三角形三线合一以及面积法时关键.6B【分析】过点C作的对称点，过点D作的对称点，连接交、于点E和F，则四边形周长取得最小值，

10、证明是等边三角形，据此求解即可【详解】解：过点C作的对称点，过点D作的对称点，连接交、于点E和F，则四边形周长取得最小值，点C、点关于对称，点D、点关于对称，四边形周长，是等边三角形，四边形周长最小值是故选：B【点拨】本题考查轴对称-最短问题，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题7C【分析】以为斜边向下作等腰直角三角形，根据，当三点共线时，取得最小值，即可求解【详解】解：如图，以为斜边向下，作等腰直角三角形，当三点共线时，取得最小值，此时故选C【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质，两点之间线段最短，掌握以上知识是解题的关键8B【分析】由尺规作图步骤可得，BG平

11、分ABC，根据角平分线的性质以及含30度角的直角三角形的性质，可得CGBG，根据垂线段最短即可求解【详解】解：由尺规作图步骤可得，BG平分ABC，C90，B60，CBGABG30，CGBG，点G到AB的距离等于GC，GP的最小值为，故选：B【点评】本题考查作图基本作图，垂线段最短，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型9C【分析】根据角平分线的定义可得AOP=AOB=30，再根据直角三角形的性质求得PD=OP=4，然后根据角平分线的性质和垂线段最短得到结果【详解】解：P是AOB角平分线上的一点，AOB=60，AOP=AOB=30，PDOA，M是OP的中点，DM=2

12、，OP=2DM=8，PD=OP=4，点C是OB上一个动点，PC的最小值为P到OB距离，PC的最小值=PD=4故选：C【点拨】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角三角形的性质，熟记性质并作出辅助线构造成直角三角形是解题的关键10C【分析】作点关于直线的对称点，连接并延长交于点，连接，易得，进而构造出等边三角形，然后根据三角形的三边关系可得，求出的长即可【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接并延长交于点，连接， 由轴对称图形的性质可知，即当三点共线时，的最大值为，为等腰直角三角形，是等边三角形，即的最大值为4故选：C【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定与

13、性质、轴对称图形的性质等知识，通过轴对称图形的性质转化线段和角是解题的关键1115【分析】延长，交点于，可证，得出，则，当时，最大面积为30，即最大面积为15【详解】解：如图：延长，交点于，平分，在和中，；，即；，当时，面积最大，即最大面积故答案为：15【点拨】本题考查了角平分线定义、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是利用三角形中线的性质得到进行求解12【分析】连接，过点作交的延长线于，先利用三角形的面积公式求出，再根据轴对称的性质可得，从而可得，然后利用三角形的面积公式可得的面积为，可得当点与点重合时，取得最小值，的面积最小，由此即可得【详解】解：如图，连接，过点作

14、交的延长线于，且，点关于对称的点为，点关于对称的点为，的面积为，由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为，的面积的最小值为，故答案为：【点拨】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，掌握轴对称的性质是关键1324【分析】设与的交点为点，连接，先根据折叠的性质可得，再根据两点之间线段最短可得当点与点重合时，周长最小，进而求解即可【详解】解：如图，设与的交点为点，连接，由折叠的性质得：，周长=，要使周长最小，只需最小，由两点之间线段最短可知，当点与点重合时，取最小值，最小值为，周长故答案为：24【点拨】本题考查了折叠的性质等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题关键142【分析】根据直线m垂

15、直平分，得到点A与C关于直线m对称，设直线m与的交点为D，当点P与D重合时，的值最小，且最小值是的长度，根据直角三角形的性质得到结论【详解】解：直线m垂直平分，点A与C关于直线m对称，设直线m与的交点为D，当点P与D重合时，的值最小，此时则最小值是的长度，在中，的最小值是2，故答案为：2 【点拨】本题主要考查了轴对称-最短路线问题，含30度角的直角三角形以及线段垂直平分线的性质，解题的关键是找到点P所在的位置158【分析】连接，根据和都是边长为4的等边三角形，证明，可得，所以，进而可得当点P与点C重合时，的值最小，正好等于的长，即可求解【详解】解：如图，连接，和都是边长为4的等边三角形，在和中

16、，当点P与点C重合时，点A与点关于对称，的值最小，正好等于的长，的最小值为，故答案为：8【点拨】本题考查了轴对称最短路线问题、全等三角形的判定和性质和等边三角形的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键1660【分析】过E作，交于N，连接交于F，连接，推出M为中点，求出E和M关于对称， 则此时的值最小，的周长最小，根据等边三角形性质求出， 即可求出答案【详解】解：过E作，交于N，连接交于F，连接，是等边三角形， E是边的中点， ， 为等边三角形， ， 是边上的中线，是等边三角形， ， ， ， ， E和M关于对称， 则此时的值最小，的周长最小， 是等边三角形， ， ， 由轴对称的性质可得：，故

17、答案为：【点拨】本题考查了轴对称最短路线问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练想利用轴对称的性质确定F的位置是解本题的关键17【分析】根据等腰三角形的性质可得，点与点重合，求等价于，由点好直线，垂线段最短即可求出答案【详解】解：如图所示，作点B关于AD的对称点B，ABAC5，ABC是等腰三角形，B与点C重合，连接CE，则CE的长度即为PE与PB和的最小值，ABC中，ABAC5，SABC12，解得：，故答案为： 【点拨】本题主要考查等腰三角形的性质，最短路径的知识掌握等腰三角形三线合一，再根据点到直线的垂线段最短，即可求出答案，解决问题18【分析】作的对称点，连接并延长交于点，根据三角形

18、三边关系可得到，最后根据等边三角形的性质及菱形的性质即可解答【详解】解：作的对称点，连接并延长交于点，当在同一条直线上时，有最大值，在菱形中，是等边三角形，点为的中点，为的中点，是等边三角形，故答案为；【点拨】本题考查了等边三角形的性质与判定，菱形的性质，中点的定义，三角形的三边关系，掌握等边三角形的性质及菱形的性质是解题的关键19(1)见解析(2)；存在，与直线MN的交点即为点P，【分析】（1）根据垂直平分线的作法作图即可；（2）利用线段垂直平分线的性质得，可得答案；根据垂直平分线的性质得点B关于直线的对称点为点A，要使的值最小，则连接与直线的交点即为点P，即的最小值即可的长【详解】（1）解

19、：如图所示：（2）垂直平分，的周长，又，；垂直平分，点B关于直线的对称点为点A，要使的值最小，则连接与直线的交点即为点P，当点P与点M重合时，最小值，最小值为【点拨】本题考查已知等腰三角形性质，垂直平分线的性质，两点之间线段最短以及三角形内角和定理等知识，灵活运用垂直平分线的性质是解题的关键20（1）50（2）6cm8cm【分析】（1）根据等腰三角的性质，三角形的内角和定理，可得A的度数，根据直角三角形两锐角的关系，可得答案；（2）根据垂直平分线的性质，可得AM与MB的关系，再根据三角形的周长，可得答案；根据两点之间线段最短，可得P点与M点的关系，可得PBPC与AC的关系【详解】解：（1）若B

20、70，ABC=ACB=70A=180-70-70=40的垂直平分线交于，MNABNMA=90-A= 50，故答案为：50；（2）如图：MN垂直平分ABMBMA，又MBC的周长是14cm，ACBC14cm，BC6cm当点P与点M重合时，PBCP=AP+PC=AC的值最小，最小值是8cm故P点为所求，的最小值是8cm【点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质，利用线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得出PBPA21(1)证明见解析；(2)，理由见解析(3)的最大值与最小值的差为【分析】（1）根据“边角边”，证明三角形全等即可利用全等三角形的性质以及三角形的外角的性质即可解决问题；（2）在上取一点

21、，使得，利用全等三角形的性质证明即可；（3）以为边向外作等边，连接，根据“边角边”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，再根据三角形的三边关系，求出的取值范围，进而得出的取值范围，即可得出的最大值和最小值，然后相减即可得出答案【详解】（1）证明：是等边三角形，在和中，；解：，；（2）解：，理由如下：如图2中，在上取一点，使得，是等边三角形，在和中，；（3）解：如图3中，以为边向外作等边，连接，在和中，的最小值为，最大值为，的最大值与最小值的差为【点拨】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解本题的关键在正确添加辅助线，构造全等三角形解决问

22、题，属于中考常考题型22（1）的位置见解析；（2）的位置见解析；（3）的位置见解析【分析】（1）根据三角形两边之差小于第三边可得，且当P在AB的延长线上时等号成立，由此可得点的位置；（2）根据垂直平分线上的点到线段两端距离相等，作AB的垂直平分线与l的交点即为点的位置；（3）作B点关于直线l的对称点，连接与l的交点即为点的位置，原理是两点之间线段最短和轴对称的性质【详解】解：（1）如图，点的位置如下；（2）如图，点的位置如下；（3）如图，点的位置如下【点拨】本题考查作线段的垂直平分线，涉及的知识点有三角形三边关系、垂直平分线的性质和轴对称最短路径问题掌握相关定理，能正确分析是解题关键23（1）

23、见解析，60；（2）7；（3）当AD取最小值时，点T落在线段BD上，BDC60，当AD取最大值时，点T落在BD的延长线上，BDC120【分析】（1）i）根据SAS证明三角形全等即可ii）利用全等三角形的性质以及三角形的外角的性质即可解决问题（2）如图2中，在DB上取一点J，使得CJCD，利用全等三角形的性质证明BDAD+DC即可（3）如图3中，以CD为边向外作等边CDT，连接BT构造全等三角形，证明BTAD，求出BT的取值范围即可解决问题【详解】（1）证明：ABC是等边三角形，ABBC，ABDC60，BDCE，ABDBCE（SAS）解：ABDBCE，BADCBE，AFEFBA+BADFBA+C

24、BECBA60（2）解：如图2中，在DB上取一点J，使得CJCD，CDJ60，CJCD，CDJ是等边三角形，JCDACB60，DJDCCJ，BCJACD，CBCA，BCJACD（SAS），BJAD，BDBJ+DJAD+DC2+57（3）解：如图3中，以CD为边向外作等边CDT，连接BTCTCD，CBCA，TCDBCA60，TCBDCA，TCBDCA（SAS），BTAD，CTCD2，BD3，32BT3+2，1BT5，1AD5AD的最小值为1，最大值为5当AD取最小值时，点T落在线段BD上，BDC60，当AD取最大值时，点T落在BD的延长线上，BDC120【点拨】本题属于三角形综合题，考查等边三角

25、形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型24（1）AEBD，理由见解析；（2）AEBD，理由见解析；（3）线段AE长的最大值为7，最小值3【分析】（1）根据等边三角形的性质可得ACBC，CECD，ACBDCE60，利用SAS可证明ACEBCD，即可得AE=BD；（2）根据等边三角形的性质可得ACBC，CECD，ACBDCE60，利用角的和差关系可得ACEBCD，利用SAS可证明ACEBCD，可得AE=BD；（3）利用三角形三边关系即可得答案.【详解】（1）AEBD，理由：ABC，CDE都是等边三角形，ACBC

26、，CECD，ACBDCE60，ACEBCD（SAS），AEBD.（2）AEBD，理由：ABC，CDE都是等边三角形，ACBC，CECD，ACBDCE60，ACB+BCEDCE+BCE，ACEBCD，ACEBCD（SAS），AEBD.（3）ABC的边长为5，CDE的边长为2，AC5，CE2，在ACE中，AC+CEAE，当点E在AC的延长线上时，AE达到最大，最大值为AEAC+CE5+27，在ACE中，ACCEAE，当点E在线段AC上时，AE达到最小AEACCE523，即：线段AE长的最大值为7，最小值3【点拨】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质及三角形的三边关系，根据三角形的三边关系得出AE的取值范围是解题关键.