专题2.4二次函数的实际应用（知识解读1）-2022-2023学年九年级数学下册《同步考点解读•专题训练》（北师大版）.docx

1、专题2.4 二次函数的实际应用（知识解读1）【直击考点】 【学习目标】1.能运用二次函数分析和解决简单的实际问题，培养分析问题、解决问题的能力和应用数学的意识2.经历探索实际问题与二次函数的关系的过程，深刻理解二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型【知识点梳理】考点1 运动类（1）落地模型（2） 最值模型考点2 经济类销售问题常用等量关系 ：利润=收入-成本； 利润=单件利润销量 ；【典例分析】【考点1 根据实际问题列二次函数】【典例1】（2022秋代县月考）如图，矩形的宽比长少25%，在四个角处各剪去一个边长为1cm的正方形（图中阴影部分），沿图中虚线折叠得到一个无盖的长方体若原矩形的长

2、为xcm，折成的长方体的底面积是ycm2，则这个长方体的底面积ycm2与原矩形的长xcm之间的函数关系式为（）Ay（x1）（x1）By（x2）（x+2）Cy（x+2）（x+2）Dy（x2）（x2）【变式1-1】（2022秋无为市月考）据安徽省统计局公布的数据，初步核算2021年安徽省生产总值为42959.2亿元，若设2023年安徽省生产总值为y亿元，平均年增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（）Ay42959.2（1+2x）By42959.2（1x）2Cy42959.2x2Dy42959.2（1+x）2【变式1-2】（2021秋科左中旗期末）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，

3、其中一边靠墙，另外三边用长为40米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，围成的苗圃面积为y平方米，则y关于x的函数关系式为（）Ayx（40x）Byx（18x）Cyx（402x）Dy2x（402x）【变式1-3】（2021秋垦利区期末）商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价上涨1元，则每星期就会少卖10件每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每星期销售的利润为y元，则y与x的函数关系式为（）Ay10（20010x）By200（10+x）Cy10（20010x）2Dy（10+x）（20010x）【考点2

4、运动类（1）落地模型】【典例2】（2022嵊州市模拟）如图1，校运动会上，初一的同学们进行了投实心球比赛我们发现，实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作是抛物线如图2建立平面直角坐标系，已知实心球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系是yx2+x，则该同学此次投掷实心球的成绩是（）A2mB6mC8mD10m【变式2-1】（2019秋岱岳区期中）铅球运动员李明某一次掷铅球的高度y（m）水平距离x（m）之间的函数关系式是：yx2+x+，则该运动员此次掷铅球的成绩是（）A6mB12mC8mD10m【变式2-2】（2022丰县二模）向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的函数表

5、达式为yax2+bx+c（a0），若此炮弹在第6秒与第13秒时的高度相等，则下列时间中炮弹所在高度最高的是（）A第7秒B第9秒C第11秒D第13秒【考点3 最值模型】【典例3】（2021温州模拟）烟花厂为成都春节特别设计制作了一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（）A3sB4sC5sD6s【变式3-1】（2022秋邻水县校级月考）随着经济的发展和人们生活水平的提高，越来越多的人选择乘飞机出行某种型号的飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时间（单位：s）的函数关系式为s60t1.5t2，那么飞机着

6、陆后滑行 s停下【变式3-2】（2022秋城厢区月考）汽车刹车后行驶的距离s（米）与行驶时间t（秒）的函数关系是s18t6t2，汽车从刹车到停下来滑行了 米【考点4 经济类】【典例4】某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可卖出180件如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y元（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时y的值为1920？（3）每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？【变式4】（2022淮安）端午节前夕，某超市从

7、厂家分两次购进A、B两种品牌的粽子，两次进货时，两种品牌粽子的进价不变第一次购进A品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进A品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋，总费用为8100元（1）求A、B两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；（2）当B品牌粽子销售价为每袋54元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对B品牌粽子进行降价销售经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋当B品牌粽子每袋的销售价降低多少元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大？最大利润是多少元？【典例5】（2022秋龙江县校级月考）冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物某商家开始

8、古样物“冰墩墩”纪含品的销售每个纪念品进价40元规定销售单价不低于44元且不高于52元销售期间发现当销售单价定为44元时每天可出售300个销售单价每上涨1元每天销量减少10个现商家决定提价销售设每天销售量为y个销售单价为x元（1）求当每个纪念品的销售单价是多少元时商家每天获利2400元；（2）将纪念品的销售单价定为多少元时商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？【变式5-1】（2022潍坊二模）“燃情冰雪，一起向未来”，北京冬奥会于2022年2月4日如约而至，某商家看准商机，进行冬奥会吉祥物“冰墩墩”纪念品的销售，每个纪念品进价40元当销售单价定为46元时，每天可售出400个，

9、由于销售火爆，商家决定提价销售经市场调研发现，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个，且规定利润率不得高于50%设每天销售量为y个，销售单价为x元（1）求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利4800元；（2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？【变式5-2】（2022秋青秀区校级月考）国庆假期期间，某酒店有20个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为100元时，房间恰好全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲如果游客居住房间，酒店需对每个房间每天支出20元的各种费用，设每间房间定价x元（x100）（1）每天有

10、游客居住的房间数为 （用含有x的式子表示）；（2）当每间房价为多少时，酒店当天的利润为1870元，且总支出最少？（3）当每间房价定为多少元，酒店的利润W（元）最大，最大利润是多少？【典例6】（2022丹东）丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：销售单价x（元/件）354045每天销售数量y（件）908070（1）直接写出y与x的函数关系式；（2）若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定

11、为多少元？（3）当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？【变式6-1】（2022辽宁）某超市以每件13元的价格购进一种商品，销售时该商品的销售单价不低于进价且不高于18元经过市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系（1）求y与x之间的函数关系式；（2）销售单价定为多少时，该超市每天销售这种商品所获的利润最大？最大利润是多少？【变式6-2】根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，表格记录的是某三周的有关数据：x（元/件）789y（件）850080007500（1）求y与x的函数关

12、系式（不求自变量的取值范围）；（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于17元/件，若某一周该商品的销售最不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于17元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元（1m6），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大请直接写出m的取值范围专题2.4 二次函数的实际应用（知识解读1）【直击考点】 【学习目标】1.能运用二次函数分析和解决简单的实际问题，培养分析问题、解决问题的能力和应用数学的意识2.经历探索实际问题与二次函数的关系的过程，深刻理解二次函数是刻

13、画现实世界的一个有效的数学模型【知识点梳理】考点1 运动类（1）落地模型（3） 最值模型考点2 经济类销售问题常用等量关系 ：利润=收入-成本； 利润=单件利润销量 ；【典例分析】【考点1 根据实际问题列二次函数】【典例1】（2022秋代县月考）如图，矩形的宽比长少25%，在四个角处各剪去一个边长为1cm的正方形（图中阴影部分），沿图中虚线折叠得到一个无盖的长方体若原矩形的长为xcm，折成的长方体的底面积是ycm2，则这个长方体的底面积ycm2与原矩形的长xcm之间的函数关系式为（）Ay（x1）（x1）By（x2）（x+2）Cy（x+2）（x+2）Dy（x2）（x2）【答案】D【解答】解：矩形

14、的宽比长少25%，且原矩形的长为xcm，原矩形的宽为（125%）xx（cm），又在原矩形四个角处各剪去一个边长为1cm的正方形（图中阴影部分），沿图中虚线折叠得到一个无盖的长方体，折成的长方体的底面长为（x2）cm，宽为（x2）cm，折成的长方体的底面积y（x2）（x2）（cm2），这个长方体的底面积y（cm2）与原矩形的长x（cm）之间的函数关系式为y（x2）（x2）故选：D【变式1-1】（2022秋无为市月考）据安徽省统计局公布的数据，初步核算2021年安徽省生产总值为42959.2亿元，若设2023年安徽省生产总值为y亿元，平均年增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（）Ay4295

15、9.2（1+2x）By42959.2（1x）2Cy42959.2x2Dy42959.2（1+x）2【答案】D【解答】解：依题意得y42959.2（1+x）2，故选：D【变式1-2】（2021秋科左中旗期末）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为40米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，围成的苗圃面积为y平方米，则y关于x的函数关系式为（）Ayx（40x）Byx（18x）Cyx（402x）Dy2x（402x）【答案】C【解答】解：设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，则苗圃园与墙平行的一边长为（402x）米依题意可得：y

16、x（402x）故选：C【变式1-3】（2021秋垦利区期末）商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价上涨1元，则每星期就会少卖10件每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每星期销售的利润为y元，则y与x的函数关系式为（）Ay10（20010x）By200（10+x）Cy10（20010x）2Dy（10+x）（20010x）【答案】D【解答】解：由题意可得，y与x的函数关系式为：y（6050+x）（20010x）（10+x）（20010x）故选：D【考点2 运动类（1）落地模型】【典例2】（2022嵊州市模拟）如图1，校运动会上，初一的同学们进

17、行了投实心球比赛我们发现，实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作是抛物线如图2建立平面直角坐标系，已知实心球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系是yx2+x，则该同学此次投掷实心球的成绩是（）A2mB6mC8mD10m【答案】D【解答】解：该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y0，则x2+x0，整理得：x28x200，解得：x110，x22（舍去），该同学此次投掷实心球的成绩为10m，故选：D【变式2-1】（2019秋岱岳区期中）铅球运动员李明某一次掷铅球的高度y（m）水平距离x（m）之间的函数关系式是：yx2+x+，则该运动员此次掷铅球的成绩是（）A6mB12m

18、C8mD10m【答案】D【解答】解：令y0，则x2+x+0，整理得：x28x200，解得：x12（舍去），x210，该运动员此次掷铅球的成绩是10m故选：D【变式2-2】（2022丰县二模）向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的函数表达式为yax2+bx+c（a0），若此炮弹在第6秒与第13秒时的高度相等，则下列时间中炮弹所在高度最高的是（）A第7秒B第9秒C第11秒D第13秒【答案】B【解答】解：此炮弹在第6与第13秒时的高度相等，抛物线的对称轴是：x9.5，炮弹所在高度最高是9.5秒，在四个选项中炮弹所在高度最高的是9秒故选：B【考点3 最值模型】【典例3】（2021温州

19、模拟）烟花厂为成都春节特别设计制作了一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（）A3sB4sC5sD6s【答案】D【解答】解：礼炮在点火升空到最高点引爆，t6（s），故选：D【变式3-1】（2022秋邻水县校级月考）随着经济的发展和人们生活水平的提高，越来越多的人选择乘飞机出行某种型号的飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时间（单位：s）的函数关系式为s60t1.5t2，那么飞机着陆后滑行 s停下【答案】20【解答】解：s60t1.5t21.5（t20）2+600，a1.50，当t40时，s有最大值

20、，即飞机着陆后滑行20秒能停下来故答案为：20【变式3-2】（2022秋城厢区月考）汽车刹车后行驶的距离s（米）与行驶时间t（秒）的函数关系是s18t6t2，汽车从刹车到停下来滑行了 米【答案】【解答】解：s18t6t26（t）2+，60，当t时，s最大，最大值为汽车刹车后到停下来前进了m故答案为：【考点4 经济类】【典例4】某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可卖出180件如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y元（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）当

21、x为何值时y的值为1920？（3）每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？【解答】解：（1）y（3020+x）（18010x）10x2+80x+1800（0x5，且x为整数）；（2）192010x2+80x+1800x28x+120，（x2）（x6）0，解得x2或x6，0x5，x2，当x2时，y的值为1920；（3）由（1）知，y10x2+80x+1800（0x5，且x为整数）100，当x4时，y最大1960元；每件商品的售价为34元答：每件商品的售价为34元时，商品的利润最大，为1960元【变式4】（2022淮安）端午节前夕，某超市从厂家分两次购进A、B两种品牌的粽子

22、，两次进货时，两种品牌粽子的进价不变第一次购进A品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进A品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋，总费用为8100元（1）求A、B两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；（2）当B品牌粽子销售价为每袋54元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对B品牌粽子进行降价销售经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋当B品牌粽子每袋的销售价降低多少元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大？最大利润是多少元？【解答】解：（1）A种品牌粽子每袋的进价是x元，B种品牌粽子每袋的进价是y元，根据题意得，解得，答：A种品牌粽子每袋的进价

23、是25元，B种品牌粽子每袋的进价是30元；（2）设B品牌粽子每袋的销售价降低a元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大，利润为w元，根据题意得，w（54a30）（20+5a）5a2+100a+4805（a10）2+980，50，当B品牌粽子每袋的销售价降低10元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大，最大利润是980元【典例5】（2022秋龙江县校级月考）冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物某商家开始古样物“冰墩墩”纪含品的销售每个纪念品进价40元规定销售单价不低于44元且不高于52元销售期间发现当销售单价定为44元时每天可出售300个销售单价每上涨1元每天销量减少10个现商家决定提价销售

24、设每天销售量为y个销售单价为x元（1）求当每个纪念品的销售单价是多少元时商家每天获利2400元；（2）将纪念品的销售单价定为多少元时商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？【解答】解：（1）根据题意得：y30010（x44）10x+740，当商家每天获利2400元时，（x40）（10x+740）2400，整理得：x2114x+32000，解得：x164，x250，44x52，x50，答：当每个纪念品的销售单价是50元时，商家每天获利2400元；（2）根据题意得：w（x40）y（x40）（10x+740）10x2+1140x2960010（x57）2+2890，100，当x57时

25、，w随x的增大而增大，44x52，当x52时，w最大，最大值为2640，【变式5-1】（2022潍坊二模）“燃情冰雪，一起向未来”，北京冬奥会于2022年2月4日如约而至，某商家看准商机，进行冬奥会吉祥物“冰墩墩”纪念品的销售，每个纪念品进价40元当销售单价定为46元时，每天可售出400个，由于销售火爆，商家决定提价销售经市场调研发现，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个，且规定利润率不得高于50%设每天销售量为y个，销售单价为x元（1）求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利4800元；（2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？【

26、解答】解：（1）设当每个纪念品的销售单价是x元时，商家每天获利4800元，由题意得：（x40）40010（x46）4800，解得，x170，x256，当x70时，利润率为100%50%不符合题意，故舍去；当x56时，利润率为100%50%符合题意，答：当每个纪念品的销售单价是56元时，商家每天获利4800元；（2）由题意得：w（x40）40010（x46）10x2+1260x3440010（x63）2+5290，100，二次函数开口向下，且当x63时，利润率为100%50%，当x60时，利润率为100%50%，当40x60时，w随x的增大而增大，故当x60时，符合题意，且利润最大，最大利润为w

27、10（6063）2+52905200元答：将纪念品的销售单价定为60元时，商家每天销售纪念品获得的利润w最大，最大利润是5200元答：纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大，最大利润是2640元【变式5-2】（2022秋青秀区校级月考）国庆假期期间，某酒店有20个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为100元时，房间恰好全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲如果游客居住房间，酒店需对每个房间每天支出20元的各种费用，设每间房间定价x元（x100）（1）每天有游客居住的房间数为 （用含有x的式子表示）；（2）当每间房价为多少时，酒店当天的利润

28、为1870元，且总支出最少？（3）当每间房价定为多少元，酒店的利润W（元）最大，最大利润是多少？【解答】解：（1）根据题意知，每间房间定价x元时，每天有游客居住的房间数为20x+30；故答案为：x+30；（2）该天利润为1870元，（x+30）（x20）1870，解得x130或x190，答：这天每间房的定价是130元或190元；（3）根据题意得：w（x+30）（x20）x2+32x600（x160）2+1960，0，当x160时，w取最大值，最大值为1960元；答：当每间房价定为160元，宾馆的利润w最大为1960元【典例6】（2022丹东）丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源某景区研发一

29、款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：销售单价x（元/件）354045每天销售数量y（件）908070（1）直接写出y与x的函数关系式；（2）若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？（3）当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？【解答】解：（1）设每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系式为ykx+b，把（35，90），（40，80）代入得：，解得，y2x+160；（2）根据题意得：（x30）（2x

30、+160）1200，解得x150，x260，规定销售单价不低于成本且不高于54元，x50，答：销售单价应定为50元；（3）设每天获利w元，w（x30）（2x+160）2x2+220x48002（x55）2+1250，20，对称轴是直线x55，而x54，x54时，w取最大值，最大值是2（5455）2+12501248（元），答：当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元【变式6-1】（2022辽宁）某超市以每件13元的价格购进一种商品，销售时该商品的销售单价不低于进价且不高于18元经过市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系（1）求y

31、与x之间的函数关系式；（2）销售单价定为多少时，该超市每天销售这种商品所获的利润最大？最大利润是多少？【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为ykx+b（k0），由所给函数图象可知：，解得：，故y与x的函数关系式为y20x+500；（2）设每天销售这种商品所获的利润为w，y20x+500，w（x13）y（x13）（20x+500）20x2+760x650020（x19）2+720，200，当x19时，w随x的增大而增大，13x18，当x18时，w有最大值，最大值为700，售价定为18元/件时，每天最大利润为700元【变式6-2】根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元件）（

32、x为正整数）之间满足一次函数关系，表格记录的是某三周的有关数据：x（元/件）789y（件）850080007500（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于17元/件，若某一周该商品的销售最不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于17元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元（1m6），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大请直接写出m的取值范围【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为：ykx+b（k0），把x7，y8500和x8

33、，y8000代入得：，解得：，y500x+12000；（2）根据题意可知：得：，解得：3x12，设利润为w元，根据题意得：w（y6）y（x6）（500x+12000）500x2+15000x72000500（x15）2+40500，5000，当x15时，w随x的增大而增大，3x12，且x为正整数，当x12时，w取最大值为：500（1215）2+4050036000，答：这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为36000元，售价为12元；（3）根据题意得：w（x6m）（500x+12000）500x2+（15000+500m）x7200012000m，对称轴为x15+0.5m，5000，当x15+0.5m时，w随x的增大而增大，该商场这种商品售价不大于15元/件时，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，1715+0.5m，解得：m4，1m6，4m6