专题2.4有理数新定义问题大题专练（培优强化30题）【苏科版】（原卷版）.docx

1、专题- 专题2.4有理数新定义问题大题专练（培优强化30题）一解答题（共30小题）1（2022春锡山区期中）如果acb，那么我们规定（a，b）c，例如：因为238，所以（2，8）3（1）根据上述规定，填空：（3，9） ，（4，1） ，（2，） ；（2）若记（3，4）a，（3，7）b，（3，28）c，求证：a+bc2（2022春梁溪区校级期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）；如果acb，那么（a，b）c例如：因为238，所以（2，8）3（1）根据上述规定，填空：（3，81） ，（2，32） ；若（x，）3，则x （2）若（4，5）a，（4，6）b，（4，30）c，探究a，b，c之间

2、的数量关系并说明理由3（2022春邗江区校级期中）阅读材料：如果10bn，那么b为n的“劳格数”，记为bd（n）由定义可知：10bn与bd（n）表示b、n两个量之间的同一关系如：102100，则d（100）2理解运用：（1）根据“劳格数”的定义，填空：d（103） ，d（1） ；（2）“劳格数”有如下运算性质：若m、n为正数，则d（mn）d（m）+d（n），d（）d（m）d（n）；根据运算性质，填空： ；（a为正数）（3）若d（2）0.3010，计算：d（4）、d（5）；（4）若d（2）2m+n，d（4）3m+2n+p，d（8）6m+2n+p，请证明mnp4（2022春沭阳县校级月考）规定两数

3、a、b之间的一种运算，记作（a，b）：如果acb，那么（a，b）c例如：因为238，所以（2，8）3（1）根据上述规定，填空：（5，125） ，（2，4） ，（2，8） ；（2）记（3，5）a，（3，6）b，（3，30）c，试说明：a+bc5（2022春邗江区校级月考）概念学习规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如222，（3）（3）（3）（3）等类比有理数的乘方，我们把222记作2，读作“2的圈3次方”，（3）（3）（3）（3）记作（3），读作“3的圈4次方”，一般地，把aaaa（n个a，a0）记作a，读作“a的圈n次方”（1）直接写出计算结果：2 ， ；（2）将下列

4、运算结果直接写成幂的形式：5 ； ；（3）想一想：将一个非零有理数a的圈n（n3）次方写成幂的形式为 ；（4）算一算：426（2022春泰州月考）如果acb，那么我们规定（a，b）c，例如：因为238，所以（2，8）3（1）根据上述规定，填空：（3，27） ，（4，4） ，（2，16） ；（2）记（5，6）a，（5，7）b，（5，42）c求证：a+bc7（2020秋海安市月考）已知M（1）2，M（2）（2）（2），M（3）（2）（2）（2），（n为正整数）（1）求2M（2018）+M（2019）的值（2）猜想2M（n）与M（n+1）的关系并说明理由8（2021秋灌云县月考）如果xny，那么我们

5、记为：（x，y）n例如329，则（3，9）2（1）根据上述规定，填空：（2，8） ，（2，） ；（2）若（4，a）2，（b，8）3，求（b，a）的值9（2021秋六合区期中）类比有理数的乘方，我们把求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，记作a，读作“a的圈n次方”如222，记作2，读作“2的圈3次方；（3）（3）（3）（3）记作（3），读作“3的圈4次方”（1）直接写出计算结果：2 ，（） ；（2）除方也可以转化为幂的形式，如222222（）2试将下列运算结果直接写成幂的形式（3） ；（） ；a ；（3）计算：22（）（2）（3）10（2022春贾汪区校级月考）已知1010210

6、00103，10210210000104，102103100000105（1）猜想106104 ，10m10n （m，n均为正整数）（2）运用上述猜想计算下列式子：（1.5104）（1.2105）；（6.4103）（2106）11（2020秋灌云县月考）请认真阅读下面材料如果a（a0，a1）的b次幂等于N，即有指数式abN，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：对数式：logaNb例如：（1）因为指数式224，所以以2为底，4的对数是2，对数式记作：log242（2）因为指数式4216，所以以4为底，16的对数是2，对数式记作：log41621请根据上面阅读材料将下列指数式改为对数式：（1）23

7、8（2）3292将下列对数式改为指数式（1）log210（2）log32733计算：log21612（2022新华区校级一模）（1）将下列计算的结果直接写成幂的形式：222（）1；2222 ； ；（5）（5）（5）（5）（5）（5） ；（2）一般地，把n个a（a为有理数且a0，n为正整数）相除的结果记作a，读作“a的圈n次方”计算：a （其中a0，n为正整数）请你尝试用文字概括归纳a的运算结果：一个非零有理数的圈n次方等于 ；（3）计算：24（）+（27）313（2022春遂川县期末）观察下列运算过程：22224，；，；（1）根据以上运算过程和结果，我们发现：22 ；（）2 ；（2）仿照（1）

8、中的规律，判断（）3与（）3的大小关系；（3）求（）4（）4（）3的值14（2022春攸县期末）如果10bn，那么b为n的劳格数，记为bd（n），由定义可知：10bn与bd（n）所表示的b，n两个量之间具有同一关系（1）根据劳格数的定义，计算d（10）和d（102）的值；（2）若m，n为正数，则d（mn）d（m）+d（n），d（）d（m）d（n）根据运算性质，填空： （a为正数）；若d（2）0.3010，则d（4） ，d（5） ，d（0.08） （3）若表中与数x对应的劳格数d（x）有且仅有两个是错误的，请找出错误的劳格数，并将其改正过来x1.5356891227d（x）3ab+c2aba+c

9、1+abc33a3c4a2b3b2c6a3b15（2022春开州区期末）一个四位正整数的千位、百位、十位、个位上的数字分别为a，b，c，d，如果abcd，那么我们把这个四位正整数叫做顺次数，例如四位正整数1369：因为1369，所以1369叫做顺次数（1）四位正整数中，最大的“顺次数”是 ，最小的“顺次数”是 ；（2）已知一个四位正整数的百位、个位上的数字分别是2、7，且这个四位正整数是“顺次数”，同时，这个四位正整数能被7整除，求这个四位正整数16（2022春阜宁县校级月考）规定：M（1）2，M（2）（2）（2），M（3）（2）（2）（2），M（n）（1）计算：M（5）+M（6）；（2）求2

10、M（2021）+M（2022）的值；（3）试说明：2M（n）与M（n+1）互为相反数17（2021秋青岛期末）我们知道，正整数按照能否被2整除可以分成两类：正奇数和正偶数受此启发，按照一个正整数被3除的余数把正整数分成三类：如果一个正整数被3除余数为1，则这个正整数属于A类，例如1，4，7等；如果一个正整数被3除余数为2，则这个正整数属于B类，例如2，5，8等；如果一个正整数能被3整除，则这个正整数属于C类，例如3，6，9等（1）2022属于 类（填A，B或C）；（2）从B类数中任取两个数，则它们的和属于 类（填A，B或C）；从A类数中任意取出2021个数，从B类数中任意取出2022个数，从C

11、类数中任意取出k个数（k为正整数），把它们都加起来，则最后的结果属于 类（填A，B或C）；（3）从A类数中任意取出m个数，从B类数中任意取出n个数（m，n为正整数），把它们都加起来，若最后的结果属于A类，则下列关于m，n的叙述正确的是 （填序号）m属于A类；m+2n属于A类；m，n不属于同一类；|mn|属于A类18（2022滦州市一模）观察下列两个等式：22+1，55+1，给出定义如下：我们称使等式abab+1成立的一对有理数“a，b”为“共生有理数对”，记为（a，b），如：数对（2，），（5，）都是“共生有理数对”（1）通过计算判断数对（1，2）是不是“共生有理数对”；（2）若（a，3）是“

12、共生有理数对”，求a的值；（3）若（m，n）是“共生有理数对”，则（n，m） “共生有理数对”（填“是”或“不是”）；（4）如果（m，n）是“共生有理数对”（其中n1），直接用含n的式子表示m19（2020秋管城区期中）我们知道，每个自然数都有因数，对于一个自然数a，我们把小于a的正的因数叫做a的真因数如10的正因数有1、2、5、10，其中1、2、5是10的真因数把一个自然数a的所有真因数的和除以a，所得的商叫做a的“完美指标”如10的“完美指标”是一个自然数的“完美指标”越接近1，我们就说这个数越“完美”如8的“完美指标”是，10的“完美指标”是，因为比更接近1，所以我们说8比10更完美（1

13、）试计算6的“完美指标”（2）试计算7和9的“完美指标”（3）试找出15到20的自然数中，最“完美”的数20（2018秋渑池县期中）阅读理解并填空：观察下列两个等式：22+1，55+1给出如下定义：我们称能使等式abab+1成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为（a，b），如数对（2，），（5，）都是“共生有理数对”（1）数对（2，1），（3，）中是“共生有理数对”的是 ；（2）若（m，n）是“共生有理数对”，则（n，m） “共生有理数对”（填“是”或“不是”）；（3）若（a，3）是“共生有理数对”，则a的值为 （4）请你再写出一对“共生有理数对” （注意不能与题目中已有的“共生有理数

14、对”重复）21（2019春福鼎市期中）阅读理解：在上学期的学习中，我们知道若anm，其中a是底数，n是指数，m称为幂，知道a和n可以求m我们不妨思考：如果知道a，m，能否求n呢？对于anm，规定a，mn，例如：6236，所以6，362（1）根据上述规定，填空：3， 4，2，32 ，4，1 ，5，0.2 ；（2）记5，x4m，5，y34m+2，求y与x之间的关系式22（2016春丹阳市月考）阅读材料：求1+2+22+23+24+22013的值解：设S1+2+22+23+24+22012+22013，将等式两边同时乘2得： 2S2+22+23+24+25+22013+22014 将下式减去上式得2

15、SS220141 即S220141 即1+2+22+23+24+22013220141仿照此法计算：1+2+22+23+210023（2021秋北京期中）对于有理数a，b，n，d，若|an|+|bn|d，则称a和b关于n的“相对关系值”为d，例如，|21|+|31|3，则2和3关于1的“相对关系值”为3（1）3和5关于1的“相对关系值”为 ；（2）若a和2关于1的“相对关系值”为4，求a的值24（2022春洪泽区期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果acb，那么（a，b）c例如：因为238，所以（2，8）3（1）根据上述规定，填空：（3，9） ，（4，1） ，（2，） （2）

16、小明在研究这种运算时发现一个现象：（3n，4n）（3，4），小明给出了如下的证明：设（3n，4n）x，则（3n）x4n，即（3x）n4n，所以3x4，即（3，4）x，所以（3n，4n）（3，4）请你用这种方法证明下面这个等式：（3，4）+（3，5）（3，20）25（2019秋崇川区校级期中）如果2bn，那么称b为n的布谷数，记为bg（n），如g（8）g（23）3（1）根据布谷数的定义填空：g（2） ，g（32） （2）布谷数有如下运算性质：若m，n为正数，则g（mn）g（m）+g（n），g（）g（m）g（n）根据运算性质填空： ，（a为正数）若g（7）2.807，则g（14） ，g（） （3）

17、下表中与数x对应的布谷数g（x）有且仅有两个是错误的，请指出错误的布谷数，要求说明你这样找的理由，并求出正确的答案（用含a，b的代数式表示）x36927g（x）14a+2b12a+b2ab3a2b4a2b6a3b26（2021秋高邮市期中）小聪是一个聪明而又富有想象力的孩子学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识，脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如555，（2）（2）（2）（2）等，类比有理数的乘方小聪把555记作f（3，5），（2）（2）（2）（2）记作f（4，2）（1）直接写出计算结果，f（4，） ，f（5

18、，3） ；（2）关于“有理数的除方”下列说法正确的是 （填序号）f（6，3）f（3，6）；f（2，a）1（a0）；对于任何正整数n，都有f（n，1）1；对于任何正整数n，都有f（2n，a）0（a0）（3）小明深入思考后发现：“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”的运算公式f（n，a）（n为正整数，a0，n2），要求写出推导过程将结果写成幂的形式；（结果用含a，n的式子表示）（4）请利用（3）问的推导公式计算：f（5，3）f（4，）f（5，2）f（6，）27（2022春邕宁区期末）材料：一般地，n个相同的因数a相乘：如238，此时，3叫做以2为底8的对数，记为l

19、og28（即log283）一般地，若anb（a0且a1，b0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logabn）如3481，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log3814）问题：（1）计算以下各对数的值：log24 ，log216 ，log264 （2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式为 log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式： （3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？logaM+logaN （ao且a1，M0，N0）28（2022东兴区校级二模）【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除

20、方，比如222，（3）（3）（3）（3）等，类比有理数的乘方，我们把222写作2，读作“2的圈3次方”，（3）（3）（3）（3）写作（3），读作“（3）的圈4次方”，一般地，把（a0）写作a，读作“a的圈n次方”【初步探究】（1）直接写出计算结果：2 ，（） ；（2）下列关于除方说法中，错误的是： A：任何非零数的圈2次方都等于1B：对于任何正整数n，11C：34D：负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？（3）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成

21、幂的形式：（3） ，（） （4）想一想：请把有理数a（a0）的圈n（n3）次方写成幂的形式为a （5）算一算： 29（2021秋汉寿县期末）观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使等式abab+1成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为（a，b）如数对，都是“共生有理数对”（1）判断数对（2，1），中， 是“共生有理数对”；（2）若（a，3）是“共生有理数对”，求a的值；（3）若（m，n）是“共生有理数对”，则（n，m） （填写“是”或“不是”）“共生有理数对”，说明你的理由30（2022春南岸区校级期中）对于一个三位正整数n，如果n满足：它的百位数字、十位数字之和与个位数字的差等于6，那么称这个数n为“文德数”，例如：n1936，因为9+366，所以936是“文德数”；n2602，因为6+0246，所以602不是“文德数”（1）判断666，785是否为“文德数”？并说明理由；（2）若将一个“文德数”m的个位数的两倍放到百位，原来的百位数变成十位数，原来的十位数变成个位数，得到一个新的三位数s（例如：若m543，则s654），若s也是一个“文德数”，求满足条件的所有m的值