专题20 等腰三角形存在性问题巩固练习（基础）-冲刺2021年中考几何专项复习（解析版）.docx

1、等腰三角形存在性问题巩固练习1如图，在矩形ABCD中，AB12cm，BC21cm，点P从点B出发沿BC以2cm/s的速度移动到点C；同时，点Q从点A出发沿AD以1cm/s的速度移动到点D；当点P运动到点C时点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为ts是否存在点P，使DPQ是等腰三角形？如果存在，求出所有符合条件的t的值；如果不存在，请说明理由【分析】先表示出PQ，PD，DQ，再分三种情况讨论计算即可【解答】解：如图，过点Q作QEBC，由题意得，AQt，PEBPBEBPAQ2ttt，DQ21t，PC212t，QE12，（0t212）在RtPQE中，PQ2122+t2，在RtPCD中，PD2（212

2、t）2+122，DPQ是等腰三角形，当PQPD时，即：122+t2（212t）2+122，t7或t21（舍）；当PQDQ时，即：122+t221t，此方程无解，当PDDQ时，（212t）2+12221t，此方程无解即：t7时，DPQ是等腰三角形【点评】此题是矩形的性质，主要考查了勾股定理，矩形的性质，等腰三角形的性质，解本题的关键是表示出PD，DQ，PQ2如图，已知抛物线yax2+bx+c与x轴交于A（m，0），B（n，0），点A位于点B的右侧，且m，n是一元二次方程x2+2x30的两个根，与y轴交于C（0，3）在抛物线上的对称轴上是否存在点P，使得PAC为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐

3、标；若不存在，请说明理由【分析】解方程求得A和B的坐标，求得对称轴，当A是直角顶点时，求得过A于AC垂直的直线与抛物线的对称轴的交点，然后判断是否是等腰三角形；同理当C是直角顶点时利用相同的方法判断；当AC是等腰三角形的底边时，求得AC的中垂线与对称轴的交点，然后判断是否是直角三角形即可【解答】解：解方程x2+2x30得x13，x21，则A的坐标是（1，0），B的坐标是（3，0）抛物线的对称轴是x1设AC的解析式是ykx+b，则k+b=0b=3，解得：k=-3b=3，则直线AC的解析式是y3x+3当A是直角顶点时，过A且垂直于AC的直线解析式设是y=13x+c，把A代入得：13+c0，解得：c

4、=-13，则解析式是y=13x-13令x1，则y=-13-13=-23，则交点是（1，-23）到A的距离是(-1-1)2+(-23)2=2103，AC=32+12=10，则三角形不是等腰三角形；同理，当C时直角时，过C于AC垂直的直线的解析式是y=13x+3，与对称轴x1的交点是（1，83）到C的距离是(-1-1)2+(83)2=103AC，则不是等腰直角三角形；当P是直角，即AC是斜边时，AC的中点是（12，32），过这点且与AC垂直的直线的解析式是y=13x+86当x1时，y=-13+86=1则与对称轴的交点是（1，1）则到A的距离是(-1-1)2+12=5（5）2+（5）2（10）2，P

5、的坐标是（1，1）【点评】本题考查了二次函数与x轴的交点以及等腰直角三角形的判定，正确进行讨论是关键3如图，直线l1与直线l2：y=34x相交于点A（2a+1，3），且与y轴交于点B（0，6）（1）求a的值；（2）求直线l1的函数关系式；（3）直线l平行于y轴，分别交直线l1，l2、x轴于点M、N、P，设点P的横坐标为t（t0，t4），在y轴上是否存在点F，使得FMN为等腰直角三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由【分析】（1）把点A（2a+1，3）代入y=34x，即可求得a的值；（2）利用待定系数法即可求得直线l1的函数关系式；（3）分别利用t表示出M、N的坐标，可表示出MN，分

6、FMN、FNM和MFN为直角三种情况，分别求得F点的坐标，表示出FM、FN，分别得到关于m的方程可求得m【解答】解：（1）直线l2：y=34x经过点A（2a+1，3），3=34（2a+1），解得a=32；（2）设直线l1的函数关系式ykx+b，点A（4，3），点B（0，6）4k+b=3b=6，解得k=-34b=6直线l1的函数关系式y=-34x+6；（3）P（t，0）（t0，t4），则M（t，-34t+6），N（t，34t），MN|-32t+6|，）当FMN90且FMN为等腰三角形时，F（0，-34t+6），FMMN，即：t|-32t+6|，解得：t=125或t12，）同理当FNM90且FMN

7、为等腰三角形时，F（0，34t），FNMN，即：t|-32t+6|，解得：t=125或t12，）当MFN90且FMN为等腰三角形时，F（0，3），FM2t2+（34t3）2，FN2t2+（34t3）2，MN2（-32t+6）2，MN2FM2+FN2，t2+（34t3）2+t2+（34t3）2（-32t+6）2，整理可得78t2+18t180，解得t=127或t12（舍去）；综上可知存在使得FMN为等腰直角三角形的点F，此时t的值为125或127或12【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式和等腰三角形的判定、勾股定理等知识点的综合应用掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键，在（3）中利用t表

8、示出FN、FM和MN得到关于t的方程是解题的关键，注意分类讨论思想和方程思想的应用4如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-94，0），点C（0，3），点B是x轴上一点（位于点A的右侧，以AB为直径的圆恰好经过点C）（1）求证AOCCOB；（2）已知抛物线yax2+bx+3经过A、B两点，求抛物线的解析式；（3）线段BC上是否存在D，使BOD为等腰三角形？若存在，则求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可以得到ACB是直角，再根据相似三角形的判定方法证明即可（2）利用三角形相似求出点B的坐标，然后根据A，B两点的坐标，重新假设抛物线的解析

9、式，代入点C坐标求出a即可（3）分别以OB为底边和腰求出等腰三角形中点D的坐标【解答】（1）证明：以AB为直径的圆恰好经过 点C，ACB90，AOCBOC90，ACO+BCO90，BCO+CBO90，ACOCBO，AOCCOB（2）AOCCOB，OC2AOOB，A（-94，0），点C（0，3），AO=94，OC3，又CO2AOOB，32=94OB，OB4，B（4，0），抛物线经过B（4，0），A（-94，0），可以假设抛物线为ya（x4）（x+94），把（0，3）代入得a=-13y=-13x2+712x+3（3）ODDB，如图：D在OB 的中垂线上，过D作DHOB，垂足是H，则H是OB中点DH

10、=12OC，OH=12OB，D（2，32），BDBO，如图：过D作DGOB，垂足是G，BGOB=BDCB=DGOC，OB4，CB5，BDOB4，CDCB=15，BG4=45=DG3，BG=165，DG=125，OGBOBG=45，D（ 45，125）【点评】本题考查的是二次函数的综合题、圆的有关性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题5如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（3，1），动点A以每秒1个单位的速度从点O出发沿x轴正半轴运动，同时动点B以每秒2个单位的速度从点O出发沿y轴正半轴运动，作直

11、线AB设运动的时间为t秒，是否存在t，使ABC是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由【分析】运动的时间是t，则OAt，OB2t，利用勾股定理把AB2，BC2和AC2用t表示出来，然后利用勾股定理列方程求得t的值，然后判断t是否满足条件，以及是否是等腰三角形即可【解答】解：运动的时间是t，则OAt，OB2t在直角OAB中，AB2OA2+OB2t2+（2t）25t2，过C作CDx轴于点D，则D的坐标是（3，0）在直角ACD中，AC2CD2+AD21+（3t）2t26t+10，BC232+（2t1）24t24t+10，当AB是斜边时，AB2AC2+BC2，则5t2t26t+10+4t2

12、4t+10，解得：t2此时AB220，AC22，BC218，此时不是等腰三角形，故不符合条件；当AC是斜边时，AC2AB2+BC2，则t26t+105t2+（4t24t+10），解得：t0或4（不符合题意，舍去）；当BC是斜边时，AB2+AC2BC2，则5t2+（t26t+10）4t24t+10，解得：t0（舍去），或1当t1时，AB25，AC216+105，此时ABAC总之，当t1时，ABC是等腰直角三角形【点评】本题考查了一次函数与勾股定理的综合应用，正确进行讨论，利用m表示出AB2，BC2和AC2是关键6如图，直线y7x+7交x轴于点A，交y轴于点B（1）SAOB；（2）第一象限内是否存

13、在点C，使ABC为等腰直角三角形且ACB90？若存在，求出C点坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）由直线解析式，分别令x与y为0求出y与x的值，确定出A与B坐标，进而求出OA与OB的长，即可求出三角形AOB面积；（2）第一象限内存在点C，使ABC为等腰直角三角形且ACB90，理由为：设C（x，y）（x0，y0），根据题意得BC2AC2，BC2+AC2AB2，列出关于x与y的方程组，求出方程组的解得到x与y的值，即可确定出C坐标【解答】解：（1）对于直线y7x+7，令x0，得到y7；令y0，得到x1，A（1，0），B（0，7），即OA1，OB7，则SAOB=12OAOB=72；（2）第一象限

14、内存在点C，使ABC为等腰直角三角形且ACB90，理由为：设C（x，y）（x0，y0），根据题意得：BC2AC2，BC2+AC2AB2，即(-1-x)2+y2=x2+(y-7)2(-1-x)2+y2+x2+(y-7)2=12+72，解得：x=3y=3此时C（3，3）【点评】此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形性质，两点间的距离公式，以及等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键7在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线l1过点A（1，0）且与y轴平行，直线l2过点B（0，2）且与x轴平行，直线l1与l2相交于P点E为直线l2上一点，反

15、比例函数y=kx（k0）的图象过点E且与直线l1相交于点F（1）若点E与点P重合，求k的值；（2）连接OE、OF、EF，若OEF的面积为PEF面积的2倍，求点E的坐标；（3）当k2时，在y轴上是否存在一点G，使FEG是等腰直角三角形？如果存在，求出G点坐标；若不存在，说明理由【分析】（1）利用待定系数法即可解决（2）分两种情形列方程解决问题：如图2中，当E在P右边时，作EMx轴于M设E（m，2）则F（1，2m），如图3中，当E在P左边时，作EMx轴于M设E（m，2）则F（1，2m），（3）分四种情形如图4中，当E在P右边时，FEG90，EFEG，设E（m，2），则F（1，2m），如图5中，当E

16、在P右边时，GFE90，FGFE，作FMy轴于M设E（m，2），则F（1，2m），如图6中，当E在P左边时，FEG90，EGEF设E（m，2），则F（1，2m），如图7中，当E在P左边时，EFG90，EFFG，作GMPA于M设E（m，2），则F（1，2m），利用全等三角形的性质，列出方程即可解决问题【解答】解：（1）如图1中，由题意P（1，2），把P（1，2）代入y=kx得到，k2，k的值为2（2）如图2中，当E在P右边时，作EMx轴于M设E（m，2）则F（1，2m），SOEFSAOF+S梯形AMEFSOEM，SAOFSEOM，SOEFS梯形AMEF，SEOF2SPEF，2+2m2（m1）21

17、2（m1）（2m2），m3，此时E（3，2）如图3中，当E在P左边时，作EMx轴于M设E（m，2）则F（1，2m），同理可得，2+2m2（1m）212（1m）（22m），m=13，此时E（13，2）综上所述，当E（3，2）或（13，2）时，OEF的面积为PEF面积的2倍（3）如图4中，当E在P右边时，FEG90，EFEG，设E（m，2），则F（1，2m），EPFEBG，EFEG，FEPBEG，FEPEGB，PFBE，BGPE，m2m2，m2，BGPE1，G（0，1）如图5中，当E在P右边时，GFE90，FGFE，作FMy轴于M设E（m，2），则F（1，2m），由FPEFMG，得到FMPF，MG

18、PE，2m21，m=32，PEMG=12，BG=12，G（0，52）如图6中，当E在P左边时，FEG90，EGEF设E（m，2），则F（1，2m），由EFPGEB，得到，EBPF，BGPE，m22m，m=13，BGPE=23，OG=43，G（0，43）k2，此时E（13，2），不符合题意如图7中，当E在P左边时，EFG90，EFFG，作GMPA于M设E（m，2），则F（1，2m），由EFPFGM得到PEFM，PFGM，22m1，m=12，BGPF+FM=32，OG=12，G（0，12），k2，此时E（12，2），不符合题意；综上所述，满足条件的点G左边为（0，1）或（0，52）【点评】本题考查

19、反比例函数综合题、待定系数法、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用分割法求三角形的面积，学会用分类讨论的思想思考问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题8如图，将抛物线yx2向右平移a个单位长度，顶点为A，与y轴交于点B，且AOB为等腰直角三角形（1）求a的值；（2）在图中的抛物线上是否存在点C，使ABC为等腰直角三角形？若存在，直接写出点C的坐标，并求SABC；若不存在，请说明理由【分析】（1）根据平移的性质找出平移后的抛物线的解析式yx22ax+a2，令其x0找出点B的坐标，根据AOB为等腰直角三角形即可得出关于a的一元二次方程，解方程即可求出a值；（2）

20、作点B关于抛物线对称轴对称的点C，连接BC，交抛物线的对称轴于点D，根据等腰直角三角形的判定定理找出ABC为等腰直角三角形，由抛物线的对称性结合点B的坐标即可得出点C的坐标，再利用三角形的面积公式即可求出SABC的值【解答】解：（1）平移后的抛物线的解析式为y（xa）2x22ax+a2，令yx22ax+a2中x0，则ya2，B（0，a2）AOB为等腰直角三角形，aa2，解得：a1或a0（舍去）故a的值为1（2）作点B关于抛物线对称轴对称的点C，连接BC，交抛物线的对称轴于点D，如图所示AOB为等腰直角三角形，ABD为等腰直角三角形，BAD45AD为抛物线的对称轴，ABAC，CADBAD45，A

21、BC为等腰直角三角形点B（0，1），抛物线对称轴为x1，点C的坐标为（2，1）SABC=12ABAC=1222=1故在图中的抛物线上存在点C，使ABC为等腰直角三角形，点C的坐标为（2，1）且SABC1【点评】本题考查了平移的性质、解一元二次方程、等腰直角三角形的判定以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）找出关于a的一元二次方程；（2）找出点C的位置本题属于中档题，难度不大，解决该题时，巧妙的利用了抛物线的对称性来寻找点C的位置9如图，OA、OB的长分别是关于x的方程x212x+320的两根，且OAOB，点P在AB上，且PB3PA请解答下列问题：（1）求点P的坐标（2）求直线AB的解析式；（

22、3）在坐标平面内是否存在点Q，使得以A、P、O、Q为顶点的四边形是等腰梯形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）首先解x212x+320，即可求得点A与B的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线AB的解析式；首先过点P作PHx轴于点H，由PB3PA，利用平行线分线段成比例定理，即可求得AH的长，则可求得点P的横坐标，代入一次函数解析式，即可求得点P的坐标；（2）利用（1）的解题结果即可；（3）分别从PQAO，AQPO，APOQ去分析，利用函数解析式与两点间的距离公式即可求得答案【解答】解：（1）x212x+320，（x4）（x8）0，解得：x14，x28OA、OB的长

23、分别是关于x的方程x212x+320的两根，且OAOB，OA8，OB4A（8，0），B（0，4）设直线AB的解析式为ykx+b，则-8k+b=0b=4，解得：k=12b=4，直线AB的解析式为：y=12x+4过点P作PHx轴于点H设P（x，y），AH|8x|x+8PHy轴，APPB=13，AHHO=13，即x+8-x=13解得 x6点P在y=12x+4上，y=12（6）+41P（6，1）（2）由（1）知，直线AB的解析式为：y=12x+4；（3）存在如图，若PQAO，过点Q作QGAO于G，过点P作PHAO于H，梯形OAPQ是等腰梯形，AHOG862，QGPH1，点Q的坐标为（2，1）；如图，若

24、AQPO，OP的解析式为：y=-16x，设直线AQ的解析式为：y=-16x+m，A（8，0），-16（8）+m0，解得：m=-43，直线AQ的解析式为：y=-16x-43，设点Q的坐标为：（x，-16x-43），梯形APOQ是等腰梯形，PAOQ，x2+（-16x-43）28（6）2+12，整理得：37x2+16x1160，即（37x58）（x+2）0，解得：x=5837或x2（舍去），y=-165837-43=-5937，点Q的坐标为：（5837，-5937）；如图，若APOQ，直线AP的解析式为：y=12x+4，直线OQ的解析式为：y=12x，设点Q的坐标为（x，12x），AQOP，（x+8

25、）2+（12x）212+（6）2，整理得：5x2+64x+1080，即：（5x+54）（x+2）0，解得：x=-545或x2（舍去），y=12（-545）=-275，点Q的坐标为（-545，-275）综上，点Q的坐标为（2，1）或（5837，-5937）或（-545，-275）【点评】此题属于一次函数的综合题，考查了待定系数求函数解析式、平行线分线段成比例定理、因式分解法解一元二次方程以及等腰梯形的性质此题难度较大，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用10如图，过点C（0，2）的抛物线yax2+bx+c的顶点M坐标为（2，3），过点C作CBx轴交抛物线于点B，点P在线段BC上，C

26、Pm（1）求B点坐标，并用含m的代数式表示PB的长；（2）点A，Q分别为x轴和抛物线上的动点，若恰好存在以CP为边，点A，C，P，Q为顶点的平行四边形，求出所有符合条件的点Q坐标；（3）是否存在m值，使MBP为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的m值；若不存在，请说明理由【分析】（1）由C与B关于抛物线的对称轴x2对称，C（0，2），可得B点坐标为（4，2），那么BC4，再根据PBBCCP可用含m的代数式表示PB的长；（2）分两种情况进行讨论：当CP为一边时，CPAQ，则点Q为抛物线与x轴的交点坐标；当CP为对角线时，根据平行四边形相对的两个顶点到另一条对角线的距离相等求解；（3）先由M、B

27、、P三点的坐标，利用两点间的距离公式求出MB25，MP2（m2）2+1，BP4m再分三种情况进行讨论：由MPMB列出方程（m2）2+15，解方程求出m的值；由MPBP列出方程（m2）2+1（4m）2，解方程求出m的值；由BPMB列出方程（4m）25，解方程求出m的值【解答】解：（1）C与B关于抛物线的对称轴x2对称，C（0，2），B点坐标为（4，2），CPm，PBBCCP4m；（2）抛物线yax2+bx+c的顶点M坐标为（2，3），ya（x2）23，将C（0，2）代入，得a（02）232，解得a=14，y=14（x2）23，即y=14x2x2当y0时，14（x2）230，解得x223，抛物线与

28、x轴的交点坐标为（223，0）或（2+23，0）点P在线段BC上，CBx轴，当CP为一边时，CPAQ，则点Q坐标为（223，0）或（2+23，0）；所以符合条件的点Q坐标坐标为（223，0）或（2+23，0）；（3）M（2，3），B（4，2），P（m，2），MB2（42）2+（2+3）25，MP2（m2）2+（2+3）2（m2）2+1，BP4m当MBP为等腰三角形时，分三种情况：如果MPMB，那么（m2）2+15，解得m10，m24（不合题意舍去），所以m0；如果MPBP，那么（m2）2+1（4m）2，解得m=114，所以m=114；如果BPMB，那么（4m）25，解得m14-5，m24+5（

29、不合题意舍去），所以m4-5；综上所述，所有符合条件的m值为0或114或4-5【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求二次函数的解析式，抛物线的性质，平行四边形、等腰三角形的性质，综合性较强，难度适中在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果11已知直线L1：y=12x+5与坐标轴交于A、B两点，直线L2：y2x+10与坐标轴交于C、D两点，两直线交于点P（1）求P点坐标；（2）判别PAC的形状，并说明理由；（3）在x轴上是否存在点Q，使PAQ是等腰三角形？若存在，请直接写出Q点的坐标【分析】（1）将y=12x+5和y2x+10组成方程组，方程组的解就是交点坐

30、标；（2）根据系数的积的比为1，判断出两直线垂直，得到PAC为直角三角形（3）过P作PEx轴于E，E点坐标为（2，0），根据勾股定理求出PA的长，直接求出Q1，Q2，Q4，作GQ3AP，求出GQ3解析式，得到Q3的坐标【解答】解：如图：（1）将y=12x+5和y2x+10组成方程组得y=12x+5y=-2x+10，解得x=2y=6，可得P（2，6）（2）L1：y=12x+5的比例系数为k，L2：y2x+10的比例系数为2，可得12（2）1，APC90，PAC为直角三角形（3）过P作PEx轴于E，E点坐标为（2，0）P（2，6），A（10，0），PA=62+122=65，可见，OQ165-10，

31、Q1（65-10，0），Q2（65-10，0），作GQ3AP，设GQ3解析式为y2x+b，H坐标为（4，3），将H（4，3）代入y2x+b得，32（4）+b，解得b5，y2x5，当y0时，x=-52，Q3（-52，0），Q4（14，0）【点评】本题考查了一次函数综合题，熟悉函数和方程的关系，充分利用图形，根据一次函数的特点，分别求出各点的坐标再计算12如图，在矩形ABCD中，BC4，CD3，直线MN过点A，BANDBC，点P是直线MN上的一个动点（不与点A重合），点E在射线AD上，满足PBEBDC，设PAx，（1）如图，若点P在射线AN上求线段DE的长（用含x的代数式表示）并直接写出x的取值范

32、围；（2）如图若点P在射线AM上，求BPEP的值；（3）设直线PE交直线AB于点F，是否存在x的值，使PAF为等腰三角形？若存在，直接写出x的值：若不存在，请说明理由【分析】（1）如图中，作BFAN于F只要证明ABPDBE，可得PAED=ABDB，即xDE=35，由此即可解决问题（2）只要证明ABDPBE，可得ABPB=ADEP，推出PBEP=ABAD=34（3）如图中，当FAFP时，由ABEADB，可得BA2AEAD，求出DE即可解决问题如图当APAF时，只要证明EBEF即可解决问题【解答】解：（1）如图中，作BFAN于F四边形ABCD是矩形，BADAFB90，ABF+BAF90，ADB+A

33、BD90，BAFADB，ABFABDPBE，PBFABE，PBFEBA，PBBE=BFBA，BPFAEB，APBBED，PBBF=BEAB，ABFPBE，ABFEBP，EPBAFB90BAE，ABPEBD，APBBED，ABPDBE，PAED=ABDB，xDE=35，DE=53x，点E在射线AD上，点P不与A重合，053x4，0x125（2）如图中，由（1）可知BPE90，BADBPE，ABDPBE，ABDPBE，ABPB=ADEP，PBEP=ABAD=34（3）如图中，当FAFP时，FAPFPA，PBEABD，PABFEB，AFPBFE，APFFBE，ABEADB，BAEBAD，ABEADB，BA2AEAD，AE=94，DE4-94=74，DE=53x，53x=74，x=2120，PA=2120如图中，当APAF时，FF，FPBFAC，FPBFAC，FPAF=FBEF，FPFB=AFEF，FF，FAPFEB，FPAFBE，FAPF，FABE，EFEB，AEBF，AFABAP3，综上所述，当AP的值为2120或3时，PAF是等腰三角形【点评】本题考查四边形综合题、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题