专题21 尺规作图（精讲精练）（解析版）.docx

1、第21讲 尺规作图（精讲）1. 学会作一条线段等于已知线段2. 学会作一个角等于已知角3. 学会作已知角的角平分线4. 学会过一点作已知线段的垂线5. 作已知线段的垂直平分线第21讲 尺规作图（精讲）1考点1：作等线段3考点2：作等角8考点3：作角平分线16考点4：过直线外一点作已知直线的垂线26考点5：作垂直平分线30考点6：综合运用36课堂总结：思维导图66分层训练：课堂知识巩固67考点1：作等线段作一条线段等于已知线段已知：线段，作一条线段，？ 作法：用直尺画射线用圆规在射线上截取线段AB即为所求 【例题精析1】 在给出的图形中，完成以下作图（尺规作图，保留作图痕迹）作的平分线，交于点；

2、延长到，使，连接【分析】根据角平分线的定义利用直尺和圆规作出即可【解答】解：如图所示：射线和线段即为所求【点评】本题考查了作图基本作图，角平分线的定义，正确理解角平分线的定义是关键【例题精析2】 如图，在中，（1）用尺规作的平分线，交于点；（保留作图痕迹，不写作法）（2）若，求的度数【分析】（1）利用基本作图作的平分线即可；（2）由平分得到，由得到，然后根据三角形内角和计算的度数【解答】解：（1）如图，为所作；（2）平分，即，【点评】本题考查了作图基本作图，熟练掌握基本作图（作已知角的角平分线）是解决问题的关键也考查了等腰三角形的性质【对点精练1】 用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹

3、，已知：如图，线段，求作：线段，使【分析】作射线，在射线上截取，在线段上截取，则线段即为所求【解答】解：如图，线段即为所求【点评】本题考查作图复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型【对点精练2】 如图，已知线段，射线按要求完成作图：（1）用圆规在射线上截取，连接；（2）以为一边，以为顶点，在射线上方，用三角尺作；延长，交于点；（3）比较线段与的大小，与的大小，并直接写出结论【分析】（1）根据要求作出图形即可；（2）根据要求作出图形即可；（3）利用测量法解决问题即可【解答】解：（1）如图，线段即为所求；（2）如图，射线即为所求；（3）利用测量法可知，【点评】本题考查作图复杂

4、作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题【对点精练3】 如图，已知直线和直线外三点，请按下列要求画图：（1）画线段；（2）画射线；（3）延长到，使得；（4）在直线上找一点，使得最小，并说明你的作图依据：两点之间线段最短【分析】根据线段，直线，射线的定义，两点之间线段最短画出图形即可【解答】解：（1）如图，线段即为所求；（2）如图，射线即为所求；（3）如图，线段即为所求；（4）如图，点即为所求理由是：两点之间线段最短故答案为：两点之间线段最短【点评】本题考查作图复杂作图，直线，射线，线段的定义，两点之间线段最短等知识，解题的关键是理解直线，射线，线段的定义，属于中考常考题型考点2：作

5、等角作一个角等于已知角已知：求作：作法：以O为圆心，任意长为半径画弧，交OA与点D，交OB于点E； 作射线 以为圆心,OD长为半径画弧,交于点 以为圆心,ED长为半径画弧，交上一步所画的弧与 过作射线,为所求 【例题精析1】 已知，如图，作的外接圆，在上方作弦使，连接，并求证：（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）【分析】作线段，的垂直平分线交于点，连接，以为圆心，为半径作，以为圆心，为半径作弧，在的上方交于点，连接即可【解答】解：如图，线段即为所求【点评】本题考查作图复杂作图，三角形的外接圆等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型【对点精练1】 已知：线段，垂足为点求作：

6、四边形，使得点，分别在射线，上，且，【分析】以为圆心，为半径作弧交于点，分别以，为圆心，为半径作弧，两弧交于点，连接，作于，四边形即为所求【解答】解：如图，四边形即为所求【点评】本题考查作图复杂作图，平行线的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题【实战经典1】 （2021福建）如图，已知线段，垂足为（1）求作四边形，使得点，分别在射线，上，且，；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）设，分别为（1）中四边形的边，的中点，求证：直线，相交于同一点【分析】（1）先截取，再分别以、为圆心，为半径画弧，两弧交于点，然后过点作的垂线得到；（2）证明：

7、设交于，交于，利用平行线分线段成比例定理得到，则，于是可判断点与点重合【解答】（1）解：如图，四边形为所作；（2）证明：设交于，交于，分别为边，的中点，点与点重合，直线，相交于同一点【点评】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作也考查了平行线分线段成比例定理【实战经典2】 （2020福建）如图，为线段外一点（1）求作四边形，使得，且；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的四边形中，相交于点，的中点分别为，求证：，三点在同一条直线上 【分析】（1）利用尺规作图作，且，即可作出四边形；（2）在

8、（1）的四边形中，根据相似三角形的判定与性质即可证明，三点在同一条直线上【解答】解：（1）如图，四边形即为所求；（2）证明：如图，的中点分别为，连接，点在上，三点在同一条直线上【点评】本题考查了作图复杂作图、相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质【实战经典3】 （2020陕西）如图，已知，请用尺规作图法，在边上求作一点，使（保留作图痕迹，不写作法，答案不唯一）【分析】根据尺规作图法，作一个角等于已知角，在边上求作一点，使即可，或作的垂直平分线交于点【解答】解：如图，点即为所求【点评】本题考查了作图基本作图，解决本题的关键是掌握基本作图方法【实战经典4】 （2017泰

9、州）如图，中，（1）用直尺和圆规在的内部作射线，使（不要求写作法，保留作图痕迹）；（2）若（1）中的射线交于点，求的长【分析】（1）根据尺规作图的方法，以为一边，在的内部作即可；（2）根据与相似，运用相似三角形的对应边成比例进行计算即可【解答】解：（1）如图所示，射线即为所求；（2），即，【点评】本题主要考查了基本作图以及相似三角形的判定与性质的运用，解题时注意：两角对应相等的两个三角形相似；相似三角形的对应边成比例【实战经典5】 （2017青岛）已知：四边形求作：点，使，且点到边和的距离相等【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等可知：到边和的距离相等的点在的平分线上，所以第一步作的平分

10、线，要想满足，则作，得到点，再作两角相等得点【解答】解：作法：作的平分线，过作，交于点，以为角的顶点作，则点和就是所求作的点；【点评】本题是作图题，考查了角平分线的性质、平行线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边距离相等是关键考点3：作角平分线作已知角的角平分线作法：在OA和OB上分别截取OD、OE，使OD=OE。 分别以D、E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在AOB内交于点C 作射线OC，则OC就是AOB的平分线 【例题精析1】 如图所示，要把残破的轮片复制完整，已知弧上的三点，用尺规作图法找出所在圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法）【分析】作两弦的垂直平分线，其交点即为圆心；【解答

11、】解：分别作和的垂直平分线，设交点为，则为所求圆的圆心；【点评】本题综合考查作图，垂径定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型【例题精析2】 在劳动植树节活动中，两个班的学生分别在，两处参加植树劳动，现要在道路的，交叉区域内设一个茶水供应点，使到两条道路的距离相等，且使，请同学们用圆规、直尺在图中画出供应点的位置，保留画图痕迹，不要证明【分析】因为到两条道路的距离相等，且使，所以应是的平分线和的垂直平分线的交点【解答】解：如图，理由是：因为是的平分线和的垂直平分线的交点，所以到的两边和的距离相等，到、的距离相等，所以就是所求【点评】此题考查了基本作图以及线段垂直平分线

12、的性质和角平分线的性质，需仔细分析题意，结合图形，利用线段的垂直平分线和角的平分线的性质是解答此题的关键【对点精练1】 如图，在中，（1）作的垂直平分线，交于点，交于点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）当，时，求的周长【分析】（1）利用基本作图作垂直平分；（2）根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用等线段代换得到的周长【解答】解：（1）如图，为所作；（2）垂直平分，的周长【点评】本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）也考查了线段垂直平分线的性质【对点精练2】 如图所示，

13、要把残破的轮片复制完整，已知弧上的三点，用尺规作图法找出所在圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法）【分析】作两弦的垂直平分线，其交点即为圆心；【解答】解：分别作和的垂直平分线，设交点为，则为所求圆的圆心；【点评】本题综合考查作图，垂径定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型【对点精练3】 如图，已知请用尺规作图法作出边的垂直平分线，交于点；（保留作图痕迹，不要求写作法）在（1）的条件下，连接，若，求的周长【分析】利用基本作图作的垂直平分线即可；利用线段垂直平分线的性质得到，然后利用等线段代换得到的周长【解答】解：（1）如图，点为所作；点为的垂直平分线与的交点，的周长【点

14、评】本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）【对点精练4】 如图，在中，（1）尺规作图：作的平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）；（2）是底边的延长线上一点，是的中点，连接，若，求证：【分析】（1）以点为圆心，适当的长为半径作弧，交于两点，分别以这两点为圆心，适当的长为半径画弧，交于一点，最后过该点与点作射线，交于点即可；（2）先根据角平分线的定义以及三角形外角性质，求得，进而得出，再根据是的中点即可得出结论【解答】解：（1）如图所示，射线即为所求；（2）证明：，平分，是的外角

15、，又是的中点，【点评】本题主要考查了基本作图的运用以及等腰三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是掌握等腰三角形三线合一的性质【对点精练5】 如图，已知，用直尺和圆规按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）（1）作的角平分线；（2）在边上找一点，使得【分析】（1）利用尺规作的角平分线交于点，线段即为所求；（2）作线段的垂直平分线交于点，连接，点即为所求【解答】解：（1）如图，线段即为所求；（2）如图，点即为所求【点评】本题考查作图复杂作图，角平分线，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型【对点精练6】 如图，在中，点为边上一点，连接，用尺规在边上找一点

16、，使得与的面积相等（保留作图痕迹，不写作法）【分析】利用尺规作交于点，连接，即为所求【解答】解：如图，即为所求【点评】本题考查作图复杂作图，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用等高模型解决面积线段问题，是中考常考题型【对点精练7】 如图，在中，（1）用直尺和圆规分别作的平分线、线段的中垂线、它们的交点（不写作法，保留作图痕迹，在图上清楚地标注点；（2）过点作，垂足分别为点、求证：【分析】（1）利用尺规作出的角平分线，线段的中垂线即可；（2）证明，可得【解答】（1）解：如图，点即为所求；（2）证明：如图，连接，点在的垂直平分线上，平分，在和中，【点评】本题考查作图复杂作图，角平分线的性质，全

17、等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题【实战经典1】 （2017福建）如图，中，垂足为求作的平分线，分别交，于，两点；并证明（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）【分析】根据角平分线的性质作出即可先根据垂直的定义得出，故再根据余角的定义得出，根据角平分线的性质得出，再由可知，据此可得出结论【解答】解：就是所求的的平分线，、就是所求作的点证明：，【点评】本题考查的是作图基本作图，熟知角平分线的作法和性质是解答此题的关键【实战经典2】 （2017陕西）如图，在钝角中，过钝角顶点作交于点请用尺规作图法在边上求作一点，使得点到的距离等于的长（保留作图痕迹

18、，不写作法）【分析】根据题意可知，作的平分线交于点即可【解答】解：如图，点即为所求【点评】本题考查的是作图基本作图，熟知角平分线的作法和性质是解答此题的关键考点4：过直线外一点作已知直线的垂线过一点作已知线段的垂线求作：AB的垂线，使它经过点C作法：以点C为圆心，大于到线段距离为半径作弧，交AB与点D、E。 分别以点D、E为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点F。 作直线CF，CF即为所求的直线 【例题精析1】 如图，在中，（1）尺规作图：在线段上找一点，以为圆心作圆，使经过、两点；（2）在（1）中所作图中，求证：与的相切【分析】（1）作线段的垂直平分线，交于点，以为圆心，为半径作即可（2）欲证

19、明是的切线，只要证明即可【解答】解：（1）如图，即为所作（2）证明：连接中，由（1）可知，是的相切【点评】本题考查作图复杂作图，等腰三角形的性质，切线的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题【例题精析2】 如图在中，请利用尺规作图法作使得与相切于点，同时与相切（保留作图痕迹，不写作法）【分析】作的平分线，与交于点，以点为圆心，长为半径作即为所求【解答】解：如图，即为所求【点评】本题考查作图复杂作图，角平分线的性质定理，切线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题【例题精析3】 作图与计算：如图正方形（1）用带刻度的直尺和圆规，分别作正方形的外接圆和

20、内切圆（2）若正方形的边长是，求它的内切圆和外接圆组成的圆环的面积（答案保留【分析】（1）连接，交于点，分别为圆心，的一半为半径作圆即可；（2）判断出利用圆的半径，可得结论【解答】解：（1）正方形的外接圆和内切圆如图所示；（2）由题意，它的内切圆和外接圆组成的圆环的面积【点评】本题考查作图复杂作图，正方形的性质，圆的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型考点5：作垂直平分线作已知线段的垂直平分线作法：以A为圆心大于长为半径作弧，以B为圆心大于长为半径作弧,两弧交于C、D两点 连接CD，即为所求 【例题精析1】 如图，在四边形中，请利用尺规作图法在边上求作一点，连接、

21、，使得（保留作图痕迹，不写作法）【分析】作线段的垂直平分线交于点，点即为所求【解答】解：如图，点即为所求【点评】本题考查组复杂作图，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型【对点精练1】 （2021阿坝州）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线交于点，连接，则的大小为ABCD【分析】根据线段垂直平分线的性质得出，进而求出的度数【解答】解：由作图可知，直线是线段的垂直平分线，故选：【点评】本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型【对点精练2】 （2019无锡）如图

22、，为半圆的直径，为半圆上一点，（1）请用直尺（不含刻度）与圆规在上作一点，使得直线平分的周长；（不要求写作法，但要保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若，求的面积【分析】（1）延长，在延长线上截取，作的中垂线，垂足为，作直线即可得；（2）由作图知是中位线，据此知，继而由为等腰直角三角形得出，利用勾股定理求出的长，进一步计算得出答案【解答】解：（1）如图所示，直线即为所求；（2）如图，为的中位线，是的直径，是等腰直角三角形，由勾股定理可得，则的面积为【点评】本题主要考查作图复杂作图，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、线段中垂线的尺规作图、中位线定理等知识点【对点精练3】 （2019枣庄）如图，

23、是菱形的对角线，（1）请用尺规作图法，作的垂直平分线，垂足为，交于；（不要求写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）条件下，连接，求的度数【分析】（1）分别以、为圆心，大于长为半径画弧，过两弧的交点作直线即可；（2）根据计算即可；【解答】解：（1）如图所示，直线即为所求；（2）四边形是菱形，垂直平分线段，【点评】本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质，菱形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于常考题型【对点精练4】 （2018河池）如图，在中，（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）作的垂直平分线，垂足为；以为圆心，长为半径作圆，交于异于，连接；（2）探究与的位置关系，并证

24、明你的结论【分析】（1）根据线段中垂线的尺规作图及圆的概念作图可得；（2）连接，由（1）知，据此得，结合知，相加即可得出答案【解答】解：（1）如图所示，直线和即为所求（2），连接，由（1）知，则，设，则，【点评】本题主要考查作图复杂作图，解题的关键是掌握线段中垂线的尺规作图和圆的概念、性质及等腰三角形的性质考点6：综合运用【例题精析1】 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交的两侧于点、，连接，交于点，连接，则的度数为ABCD【分析】分别求出，的大小，可得结论【解答】解：，由作图可知垂直平分线段，故选：【点评】本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理

25、等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型【例题精析2】 尺规作图：作角等于已知角示意图如图所示，则说明的依据是ABCD【分析】根据证明三角形全等，可得结论【解答】解：在和中，故选：【点评】本题考查作图基本作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型【例题精析3】 如图，已知，用直尺和圆规作的平分线如图，步骤如下：第一步，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点第二步，分别以点，为圆心，的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点第三步，画射线射线即为所求下列说法正确的是ABCD【分析】根据基本作图（作一个角的平分线）进行判断【解答】解：第二步，分别以点，为圆心，大于的

26、长为半径画弧，两弧在的内部相交于点故选：【点评】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键【例题精析4】 在中，用无刻度的直尺和圆规在边上找一点，使，下列作法正确的是ABCD【分析】根据“要在边上找一点，使”知点应该是线段垂直平分线与的交点，据此求解即可【解答】解：若要在边上找一点，使，则点应该是线段垂直平分线与的交点，故选：【点评】本题主要考查作图基本作图，解题的关键是掌握线段垂直平分线的尺规作图和性质【例题精析5】 如图，的面积是，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，过点作于点，连接，则的面积是ABC

27、D【分析】如图，延长交于点想办法证明，可得结论【解答】解：如图，延长交于点由作图可知，平分，故选：【点评】本题考查作图基本作图，角平分线的性质，三角形中线的性质等知识，解题的关键是证明【例题精析6】 （2021青岛）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹已知：及其一边上的两点，求作：，使，且点在内部，【分析】先在的内部作，再过点作的垂线，垂足为点【解答】解：如图，为所作【点评】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作【例题精析7】 （2021湖北）已知和都为正三角形，点，在同一直线上，请仅用无刻度的直尺

28、完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹（1）如图1，当时，作的中线；（2）如图2，当时，作的中线【分析】（1）连接交于点，线段即为所求（2）延长交的延长线于，连接，交于点，连接交于，线段即为所求【解答】解：（1）如图1中，线段即为所求（2）如图2中，线段即为所求【点评】本题考查作图复杂作图，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是能结合题目条件，灵活运用所学知识解决问题【例题精析8】 （2021南京）如图，已知是外一点用两种不同的方法过点作的一条切线要求：（1）用直尺和圆规作图；（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明【分析】方法一：直接以为直径作圆，利用直径所对的圆周角是直

29、角，可得，可证直线是切线方法二：利用三角形中位线定理解决问题即可【解答】解：方法一：如图1中，连接，以为直径作圆交于，作直线，直线即为所求方法二：作点关于点的对称点，以为半径作圆，连接，设原来的圆半径为，以（即的长度为半径，为圆心画圆，交弧于点，连接，交于原来的圆于点，点即为切点（中位线能证明是半径且垂直【点评】本题考查专题复杂作图，切线的判定，线段的垂直平分线的性质，三角形的外接圆等知识，解题的关键是学会利用圆周角定理构造直角，属于中考常考题型【例题精析9】 （2021嘉峪关）在阿基米德全集中的引理集中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理如图，已知，是弦上一点，请你根据以下步骤完

30、成这个引理的作图过程（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）；作线段的垂直平分线，分别交于点，于点，连接，；以点为圆心，长为半径作弧，交于点，两点不重合），连接，（2）直接写出引理的结论：线段，的数量关系【分析】（1）根据要求作出图形即可根据要求作出图形即可（2）证明可得结论【解答】解：（1）如图，直线，线段，线段即为所求如图，点，线段，即为所求作（2）结论：理由：垂直平分线段，在和中，【点评】本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，正确寻找全等三角形解决问题【例题精析10】 （2021重庆）如图，在中，（1）用

31、尺规完成以下基本作图：在上截取，使；作的平分线交于点（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图形中，连接交于点，猜想按角分类的类型，并证明你的结论【分析】（1）利用基本作图画出对应的几何图形；（2）根据平行四边形的性质得到，则，再证明，从而得到，于是可判断为直角三角形【解答】解：（1）如图，、为所作；（2）为直角三角形证明：四边形为平行四边形，平分，为直角三角形【点评】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作也考查了平行四边

32、形的性质【例题精析11】 （2020昆明）如图，点是的直径延长线上的一点，点是线段的中点（1）尺规作图：在直径上方的圆上作一点，使得，连接，（保留清晰作图痕迹，不要求写作法）；并证明是的切线；（2）在（1）的条件下，若，求的长【分析】（1）利用尺规作图：以点为圆心，长为半径画弧，在直径上方的圆上交一点，再根据已知条件可得，根据三角形内角和可得，进而证明是的切线；（2）在（1）的条件下，根据，可得的长，进而可得半径，再根据勾股定理即可求的长【解答】解：（1）如图，点即为所求；证明：连接，点是线段的中点，且是的半径，是的切线；（2），在中，根据勾股定理，得则的长为8【点评】本题考查了作图复杂作图、

33、线段垂直平分线的性质、切线的判定与性质，解决本题的关键是掌握切线的判定与性质【对点精练1】 （2020咸宁）如图，在中，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，在上截取连接（1）求证：四边形是菱形；（2）请用无刻度的直尺在内找一点，使（标出点的位置，保留作图痕迹，不写作法）【分析】（1）根据平行四边形的性质和判定，菱形的判定即可证明；（2）连接，根据菱形的性质可得和的交点即为点【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是菱形；（2）如图所示：点即为所求：【点评】本题考查菱形的判定和性质、平行四边形的性质、作图基本作图等知识，解题的关键是作出图形，属于中考常考题型【对点精练2】

34、 （2020嘉峪关）如图，在中，是边上一点，且（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）作的角平分线交于点；作线段的垂直平分线交于点（2）连接，直接写出线段和的数量关系及位置关系【分析】（1）根据尺规作基本图形的方法：作的角平分线交于点即可；作线段的垂直平分线交于点即可（2）连接，根据等腰三角形的性质和三角形中位线定理，即可写出线段和的数量关系及位置关系【解答】解：（1）如图，即为所求；如图，线段的垂直平分线交于点（2），平分，点是的中点，点是的中点，是的中位线，线段和的数量关系为：，位置关系为：【点评】本题考查了作图复杂作图、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质【对点

35、精练3】 （2019陕西）如图，已知，点在边上请用尺规作图法求作，使与边相切（保留作图痕迹，不写作法）【分析】过点作的垂线交于，然后以点为圆心，为半径作圆即可【解答】解：如图，即为所求【点评】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作【对点精练4】 （2019广州）如图，的直径，弦，连接（1）尺规作图：作弦，使（点不与重合），连接；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图中，求四边形的周长【分析】（1）以为圆心，为半径画弧，

36、交于，线段即为所求（2）连接，交于点，设，构建方程求出即可解决问题【解答】解：（1）如图，线段即为所求（2）连接，交于点，设是直径，于，解得，四边形的周长【点评】本题考查作图复杂作图，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题【对点精练5】 （2019江西）在中，点在以为直径的半圆内请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）（1）在图1中作弦，使；（2）在图2中以为边作一个的圆周角【分析】（1）分别延长、交半圆于、，利用圆周角定理和等腰三角形的性质可得到，则可判断；（2）在（1）基础上分别延长、，它们相交于，则连接交半圆于，然后证明，从而根据圆周角定理

37、可判断【解答】解：（1）如图1，为所作；（2）如图2，为所作【点评】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作也考查了圆周角定理【对点精练6】 （2019金昌）已知：在中，（1）求作：的外接圆（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）若的外接圆的圆心到边的距离为4，则【分析】（1）作线段，的垂直平分线，两线交于点，以为圆心，为半径作，即为所求（2）在中，利用勾股定理求出即可解决问题【解答】解：（1）如图即为所求（2）设线段的垂

38、直平分线交于点由题意，在中，故答案为【点评】本题考查作图复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型【对点精练7】 （2019达州）如图，在中，（1）尺规作图：不写作法，保留作图痕迹作的平分线，交斜边于点；过点作的垂线，垂足为点（2）在（1）作出的图形中，求的长【分析】（1）利用基本作图，先画出平分，然后作于；（2）利用平分得到，再判断为等腰直角三角形，所以，然后证明，从而利用相似比计算出【解答】解：（1）如图，为所作；（2）平分，为等腰直角三角形，即，【点评】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合

39、了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作【对点精练8】 （2019德州）如图，点、分别在射线、上，（1）用尺规在图中作一段劣弧，使得它在、两点分别与射线和相切要求：写出作法，并保留作图痕迹；（2）根据（1）的作法，结合已有条件，请写出已知和求证，并证明；（3）求所得的劣弧与线段、围成的封闭图形的面积【分析】（1）过、分别作、的垂线，它们相交于，然后以为半径作即可；（2）写出已知、求证，然后进行证明；连接，先证明，然后根据切线的判定方法判断、为的切线；（3）先证明为等边三角形得到，再计算出，然后根据扇形的面

40、积公式，利用劣弧与线段、围成的封闭图形的面积进行计算【解答】解：（1）作法：过、分别作、的垂线，它们相交于，以点为圆心，为半径作，则为所作；（2）已知：如图，点、分别在射线、上，过、分别作、的垂线，它们相交于，以为半径作，求证：、为的切线；证明：，连接，、为的切线；（3），为等边三角形，平分，劣弧与线段、围成的封闭图形的面积【点评】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作也考查了圆周角定理和扇形面积公式【对点精练9】 （2018江

41、西）如图，在四边形中，为的中点，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）（1）在图1中，画出的边上的中线；（2）在图2中，若，画出的边上的高【分析】（1）连接，利用平行四边形的判定和性质解答即可；（2）连接，利用三角形重心的性质解答即可【解答】解：（1）如图1所示，即为所求：（2）如图2所示，即为所求【点评】本题考查作图复杂作图，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题，中考常考题型【对点精练10】 如图，点、在上，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图（1）在图（1）中，作一个度数为的圆周角；（2）在图（2）中，作一个度数为的圆周角【分析】（1）在优弧上任意取点，根据圆内接

42、四边形的性质可判断满足条件；（2）先作直径，连接，则利用内接四边形的性质可得到，在根据圆周角定理得到，于是可判断满足条件【解答】解：（1）如图（1），为所作；（2）如图（2），为所作【点评】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作也考查了圆周角定理【对点精练11】 （1）如图1，已知，是的角平分线，请你仅用无刻度的直尺作出的平分线；（2）如图2，已知，且，分别平分与，与相交于，请你仅用无刻度的直尺作出的平分线【分析】（1）连接点和与的交点，并延长交于，则满足条件；（2）、的延长线相交于点，可证明和都为等腰三角形

43、，同时可判断点为的角平分线的交点，则延长交于，所以满足条件【解答】解：（1）如图1，为所作；（2）如图2，为所作【点评】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图也考查了三角形三条角平分线相交于点【对点精练12】 如图，一组等距的平行线上有一个半圆，点为圆心，为直径，点，是半圆弧与平行线的交点只用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹）（1）在图1中作出边上的中线（2）在图2中作的角平分线【分析】（1）利用网格特征作出的中点，连接即可；（2）连接交于点，连接即可【解答】解：（1）如图1中，线段即为所求；（2）如图2中，线段即为所求【点评】本题考查作图复杂作图，平行线的性质，三角形的中线，垂径定理，圆

44、周角定理等知识，解题的关键是掌握网格特征，灵活运用所学知识解决问题【实战经典1】 （2021阿坝州）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线交于点，连接，则的大小为ABCD【分析】根据线段垂直平分线的性质得出，进而求出的度数【解答】解：由作图可知，直线是线段的垂直平分线，故选：【点评】本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型【实战经典2】 （2021兴安盟）如图，中，、交于点，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线，交于点，交于点，连接，若，的周长为14，则的长为AB6C

45、8D10【分析】根据平行四边形的性质可知，再由垂直平分线的性质得出，据此可得出结论【解答】解：由作图可知，是线段的垂直平分线，四边形是平行四边形，的周长为14，则故选：【点评】本题考查的是作图基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键【实战经典3】 （2021百色）如图，在中，尺规作图的部分作法如下：（1）分别以弦的端点、为圆心，适当等长为半径画弧，使两弧相交于点；（2）作直线交于点若，则等于ABCD【分析】根据作图过程和圆的性质可得是的垂直平分线，先根据勾股定理可得的长，进而可得的值【解答】解：如图，连接，根据作图过程可知：是的垂直平分线，在中，根据勾股定理，得，故选：【点评】本题考

46、查了作图基本作图，垂径定理、解直角三角形，解决本题的关键是根据作图过程可得【实战经典4】 （2021鄂尔多斯）已知：的顶点，点在轴的正半轴上，按以下步骤作图：以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，交于点分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内相交于点画射线，交于点，则点的坐标为A，B，C，D，【分析】利用基本作图得到，再根据平行四边形的性质得到，接着证明得到，设交轴于，如图，设，则，利用勾股定理得到，然后解方程求出即可得到点坐标【解答】解：由作法得平分，则，四边形为平行四边形，设交轴于，如图，设，在中，解得，故选：【点评】本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图（作已知角的角平分线）

47、；也考查了平行四边形的性质利用方程的思想求出是解决问题的关键【实战经典5】 （2021黄石）如图，在中，按以下步骤作图：以为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于、两点；分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；作射线，交边于点若，则线段的长为A3BCD【分析】利用基本作图得平分，过点作于，如图，根据角平分线的性质得到则，再利用勾股定理计算出，然后利用面积法得到，最后解方程即可【解答】解：由作法得平分，过点作于，如图，则，在中，即，故选：【点评】本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图（作已知角的角平分线）也考查了角平分线的性质【实战经典6】 （2021贵阳）如图，已知线段，利用尺规作的

48、垂直平分线，步骤如下：分别以点，为圆心，以的长为半径作弧，两弧相交于点和作直线直线就是线段的垂直平分线则的长可能是A1B2C3D4【分析】利用基本作图得到，从而可对各选项进行判断【解答】解：根据题意得，即，故选：【点评】本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）【实战经典7】 （2021广元）观察下列作图痕迹，所作线段为的角平分线的是ABCD【分析】根据基本作图的方法对各选项进行判断【解答】解：根据基本作图，、选项中为过点作的垂线，选项作的垂直平分线得到边上的中线，选项作平分故选：【

49、点评】本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）也考查了三角形的角平分线、中线和高【实战经典8】 （2021杭州）已知线段，按如下步骤作图：作射线，使；作的平分线；以点为圆心，长为半径作弧，交于点；过点作于点，则ABCD【分析】直接利用基本作图方法得出，再结合等腰直角三角形的性质表示出，的长，即可得出答案【解答】解：，平分，设，故，故选：【点评】此题主要考查了基本作图以及等腰直角三角形的性质，正确掌握基本作图方法得出线段之间关系是解题关键课堂总结：思维导图分层训练：课堂知识巩固1（2

50、022秋泰山区期末）如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是ABCD【解答】解：由作图可知垂直平分线段，平分，故选项，正确，故选项正确故选：2（2022秋馆陶县期末）数学课上，老师提出一个问题：经过已知角一边上的点，做一个角等于已知角如图，用尺规过的边上一点（图作（图我们可以通过以下步骤作图：作射线；以点为圆心，小于的长为半径作弧，分别交于点，；以点为圆心，的长为半径作弧，交上一段弧于点；以点为圆心，的长为半径作弧，交于点下列排序正确的是ABCD【解答】解：正确的排序是：以为圆心，以任意定长为半径作弧，分别交、于、；以点为圆心，的长为半径作弧，交于点以点为圆心，的长为半径作弧，交上

51、一段弧于点；作射线；故选：3（2022鄂州）如图，直线，点、分别在、上，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接若，则的度数为ABCD【解答】解：由题意可得，故选：4（2021鄂尔多斯）已知：的顶点，点在轴的正半轴上，按以下步骤作图：以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，交于点分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内相交于点画射线，交于点，则点的坐标为A，B，C，D，【解答】解：由作法得平分，则，四边形为平行四边形，设交轴于，如图，设，在中，解得，故选：二填空题（共1小题）5（2022通辽）如图，依据尺规作图的痕迹，求的度数 60【解答】解：，四边形是矩形，由作法可知，是的平分线，由作

52、法可知，是线段的垂直平分线，故答案为：60三解答题（共4小题）6（2022贵港）尺规作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）如图，已知线段，求作，使，【解答】解：如图，为所作7（2022青岛）已知：，求作：点，使点在内部且，【解答】解：先作出线段的垂直平分线；再作出的角平分线，与的交点为；则即为所求作的点8（2022陕西）如图，已知，是的一个外角请用尺规作图法，求作射线，使（保留作图痕迹，不写作法）【解答】解：如图，射线即为所求9（2022秋丹东期末）如图，已知平面上四个点，请按要求完成下列问题：（1）画直线，射线，连接；（2）在线段上求作点，使得；（保留作图痕迹）（3）请在直线上确定一点，使点到

53、点与点的距离之和最短，并写出画图的依据【解答】解：（1）如图，直线，射线，线段即为所求；（2）如图，点即为所求；（3）如图，点即为所求1（2022春滑县期末）如图，是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识将它变成一个菱形，甲、乙两位同学的作法分别如下甲：分别作与的平分线、，分别交于点，交于点，则四边形是菱形；乙：分别以点、为圆心，以的长为半径画弧，分别交于点，交于点，则四边形是菱形对于甲、乙两人的作法，判断正确的是A甲、乙均正确B甲，乙均错误C甲正确，乙错误D甲错误，乙正确【解答】解：甲的作法正确，理由：如图1所示，平分，同理可得，又，四边形是平行四边形，又，四边形是菱形；乙的作法正确，理由：如

54、图2所示，由题可得，又，四边形是平行四边形，又，四边形是菱形；故选：2（2022邯郸三模）古希腊数学家欧几里得在几何原本中记载了用尺规作某种六边形的方法，其步骤是：在上任取一点，连接并延长交于点；以点为圆心，为半径作圆弧分别交于，两点；连接，并延长分别交于点，；顺次连接，得到六边形连接，交于点，则下列结论错误的是A的内心与外心都是点BC点是线段的三等分点D【解答】解：在正六边形中，都是等边三角形，四边形，四边形都是菱形，的内心与外心都是点，故正确，故正确，点是线段的三等分点，故正确，故错误，故选：3（2020秋五华区期末）如图，在中，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，

55、大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列说法中正确的个数是是的平分线；点在的垂直平分线上；若，则点到的距离是；A2B3C4D5【解答】解：在中，根据作图过程可知：是的平分线，故正确；，故正确；，点在的垂直平分线上，故正确；，根据角平分线上的点到角的两边距离相等，点到的距离是，故正确；，点到的距离，故错误综上所述：正确的有，共4个故选：4（2021秋兴隆台区校级期末）如图，点在的边上，用尺规作出了以下是排乱的作图过程：则正确的作图顺序是以为圆心，长为半径画，交于点作射线，则以为圆心，长为半径画弧，交于点以为圆心，任意长为半径画，分别交，于点，ABCD【解答】解：根据作一个角等于已

56、知角的过程可知：以为圆心，任意长为半径画，分别交，于点，以为圆心，长为半径画，交于点以为圆心，长为半径画弧，交于点作射线，则故选：5（2021阳新县校级模拟）如图，在中，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线，交于点；分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交于点；连接、则的度数为ABCD【解答】解：和分别垂直平分和，在中，即，则故选：二解答题（共6小题）6（2023小店区校级一模）如图，已知，点为上一点（1）画，垂足为；（2）画的平分线，交于；（3）过点画，交于点（注：不需要写出作法，只需保留作图痕迹）【解答】解：（1）如图，为所作；（2）如图，为所

57、作；（3）如图，为所作7（2022秋灌南县期中）小明同学用圆规和直尺按下面方法作的平分线：作法：如图，以为圆心，以任意长为半径画弧与，交于点，；再以任意长为半径画弧与，交于点，；连接，交于点，连接，则平分老帅说：小明同学这种作角平分线的方法是正确的，并且小明已证出，从而得到了，下面请你帮助小明同学完成后面平分的证明【解答】证明：小明同学这种作角平分线的方法是正确的理由如下：由作法得，在和中，平分8（2022丰泽区校级模拟）如图，矩形中，是边上的一点，点在边上，且满足（1）请用不带刻度的直尺和圆规，在所给的图中作出符合条件的点（不要求写作法，但保留作图痕迹）；（2）若，试确定的长【解答】解：（1

58、）如图，连接，作的垂直平分线，以为直径画圆，交于点和，则点和即为所求；（2）矩形中，设，解得，的长为1或49（2021秋霍邱县期末）如图，以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在点处（注；（1）如图，若直角三角板的一边放在射线上，则20；（2）如图，将直角三角板绕点转动，如果在的内部，且，求的度数；（3）将直角三角板绕点转动，如果在的外部，且，请在备用图中画出三角板的位置，并求出的度数【解答】解：（1）如图，若直角三角板的一边放在射线上，则故答案为；（2）如图，将直角三角板绕点转动，如果在的内部，答：的度数为；（3）将直角三角板绕点转动，如果在的外部，且，如图所示：图3中，

59、图4中，答：的度数为或10（2022治多县模拟）如图，在中，（1）按下列要求完成尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点；连接并延长至，使得；连接、（保留作图痕迹，请标明字母）；（2）判断四边形的形状，并说明理由【解答】解：（1）如图所示：（2）四边形是矩形，理由：中，是边上的中线，四边形是平行四边形，又，四边形是矩形11（2021秋海安市校级月考）作图题，不要求写作法，保留作图痕迹（1）如图，铁路和公路都经过地，曲线是一条河流，现欲在河上建一个货运码头，使其到铁路和公路的距离相等，请用直尺和圆规通过画图找到码头的位置（2）已知如图线段、线段，求作等腰三角形，使底边，底边上的高等于【解答】解：（1

60、）如图所示：作角的平分线交曲线于点，点即为所求；（2）作图如下：就是所求的等腰1（2021秋船山区校级期末）如图，求作一点，使，并且点到两边的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）【解答】解：如图，点即为所求2（2015江阴市校级一模）提出问题：如图，在“儿童节”前夕，小明和小华分别获得一块分布均匀且形状为等腰梯形和直角梯形的蛋糕，在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将自己的这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）背景介绍：这条分割直线既平分了梯形的面积，又平分了梯形的周长，我们称这条线为梯形的“等分积周线”尝试解决：（1）小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出请

61、你帮小明在图1中作出这条“等分积周线”，从而平分蛋糕（2）小华觉得小明的方法很好，所以模仿着在自己的蛋糕（图中画了一条直线分别交、于点、你觉得小华会成功吗？如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由（3）通过上面的实践，你一定有了更深刻的认识若图2中，请你找出梯形的所有“等分积周线”，并简要的说明确定的方法【解答】解：（1）作线段（或的中垂线即可；（2）小华不会成功直线平分梯形面积，则，又，此时小华不可能成功；（3）可求得：，由（2）可知直线分别交、于点、时不可能，只要分以下几种情况：当直线分别交、于、时有，又，不可能同理，当直线分别交、于、时，不可能当直线分别交、于、时设，则由直线平分梯形面积得：求得：，（舍去）当直线分别交、于、时设，可得：此方程无解，不可能当直线分别交、于、时设，可得：，与同，舍去综上所述，符合条件的直线共有一条