专题21 空间点、直线、平面之间的位置关系（学生版）.docx

1、专题21 空间点、直线、平面之间的位置关系（核心考点精讲精练）1. 近几年真题考点分布空间点、直线、平面之间的位置关系近几年考情考题示例考点分析关联考点2023年全国乙（文科），第16题,5分已知三棱锥外接求半径，求线段长2023年全国乙（文科），第19题,12分1、证明线面平行；2、求三棱锥的体积；2023年全国乙（理科），第3题,5分2023年全国乙（文科），第3题,5分通过三视图求几何体的表面积2023年全国乙（理科），第8题,5分圆锥体积相关计算2023年全国乙（理科），第9题,5分证明面面垂直，由二面角求线段长，从而求线面角的正切值2023年全国乙（理科），第19题,12分1、证明线

2、面平行；2、证明面面垂直；3、求二面角2023年全国甲（文科），第10题,5分证明线面垂直，求三棱锥的体积2023年全国甲（文科），第16题,5分正方体的外接球、棱切球问题2023年全国甲（文科），第18题,12分1、证明面面垂直；2、求四棱锥的高2023年全国甲（理科），第11题,5分四棱锥表面积有关计算余弦定理解三角形2023年全国甲（理科），第15题,5分正方体的棱切球问题2023年全国甲（理科），第18题,12分1、已知点面距，证明线面垂直，从而得到线线相等；2、已知平行线间的距离，求线面角的正弦值2. 命题规律及备考策略【命题规律】1.本节内容为高考常考内容，常以选填题形式出现，偶尔

3、会在解答题中考查证明共面问题； 2.考查判断点、线、面的位置关系； 3.考查基本事实的应用以及共面的条件； 【备考策略】1.了解平面的含义,理解空间点、直线、平面的位置关系及符号表示；2.能用基本事实和定理判断或证明位置关系；3.会求异面直线所成的角；【命题预测】1.考查判断点、线、面的位置关系； 2.考查基本事实的应用以及共面的条件； 知识讲解一、平面的基本事实三个基本事实的“图形语言”“文字语言”“符号语言”图形语言文字语言符号语言基本事实1过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面A,B,C不共线A,B,C确定平面基本事实2如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内Al,

4、Bl,A,Bl基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线P,P=l,Pl三个推论:推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.二、空间中线、面之间的位置关系1.空间中两条直线的位置关系共面直线平行直线:在同一平面内没有公共点.相交直线:在同一平面内只有一个公共点.异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点.2.空间中直线与平面的位置关系直线在平面内:直线与平面有 公共点.直线与平面相交:直线与平面 公共点.直线与平面平行:直线与平面 公共点. 3.空间中两个

5、平面的位置关系平行平面:两个平面 公共点.相交平面:两个平面不 .唯一性定理:(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.三、异面直线1.异面直线过平面外一点和平面内一点的直线,与平面内不过该点的直线是异面直线.2.异面直线所成的角过空间任一点分别作异面直线与的平行线与,那么直线与所成的 叫作异面直线与所成的角,其范围是.四、直线与直线平行基本事实4:平行于同一条直线的两条直线 .等角定理:空间中,如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个

6、角 .1.证明线共面或点共面的常用方法(1)直接法:证明直线平行或相交,从而证明线共面.(2)纳入平面法:先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内.(3)辅助平面法:先证明有关的点、线确定平面,再证明其余元素确定平面,最后证明平面,重合.2.证明点共线问题的常用方法(1)基本性质法:一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点,再根据基本性质证明这些点都在这两个平面的交线上.(2)纳入直线法:选择其中两点确定一条直线,然后证明其余点也在该直线上. 一、空间中位置关系的判断空间中点、线、面位置关系的判断,常常需要进行文字语言、图形语言、符号语言的转换和交替使用,特别要注意“构造法”的运用,通过构造

7、长方体等模型,化抽象为直观,快速判断.二、异面直线的判定方法(1)定理:平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.(2)反证法:先假设两条直线不是异面直线,即两条直线平行或相交,由假设出发,经过严格的推理,导出矛盾,从而否定假设,肯定两条直线异面.求异面直线所成角的步骤一作:根据定义作平行线,作出异面直线所成的角.二证:证明所作的角是异面直线所成的角.三求:解三角形,求出所作的角.常用平移法来作异面直线所成的角:利用图中已有的平行线平移;利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;补形平移.由于异面直线所成的角的取值范围是090,故若所作的角为钝角,则其补角为异面直线

8、所成的角.确定截面的主要依据:(1)平面的四个公理及推论;(2)直线和平面平行的判定和性质;(3)两个平面平行的性质;(4)球的截面的性质.考点一、基本事实的应用1如图，在四面体ABCD中，M，N，P，Q，E分别是AB，BC，CD，AD，AC的中点，则下列说法中不正确的是（）AM，N，P，Q四点共面BCD四边形MNPQ为梯形 2如图,已知空间四边形,分别是,的中点,分别是,上的点,且,.求证:(1),四点共面;(2)直线,共点.3如图所示,已知在正方体中,分别是,的中点.求证:(1),四点共面;(2),三线共点.1（2023届吉林省适应性测试数学试题）在长方体中，直线与平面的交点为为线段的中点

9、，则下列结论错误的是（）A三点共线B四点异不共面C四点共面D四点共面2在正方体中，、分别是该点所在棱的中点，则下列图形中、四点共面的是（）A B C D3（2023年湖北省阶段性测试数学试题）如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，分别在BC，CD上，且则下面几个说法中正确的个数是（）E，F，G，H四点共面；若直线EG与直线FH交于点P，则P，A，C三点共线A0B1C2D3考点二、空间位置关系的判断1（2023年河南名校联考模拟数学试题）已知空间三条直线,.若与垂直,与垂直,则（ ）A与异面 B与相交 C与平行 D以上均有可能2如图,两个正方形,不在同一个平面内,点,分

10、别为线段,的中点,则直线与的位置关系是（ ） A相交 B平行 C异面 D不确定3已知平面，直线、，若，则“”是“”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（辽宁卷）已知，表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（ ）A若则B若，则C若，则D若，则1（2023年广东省模拟数学试题）已知a，b为不同的两条直线，为不同的两个平面，则的一个充分条件是（）A， B， C，且 D，2若直线和是异面直线,在平面内,在平面内,是平面与平面的交线,则下列结论正确的是（ ）. A.与,都不相交B.与,都相交C.至多与,中的一

11、条相交D.至少与,中的一条相交3若,是异面直线,是异面直线,则（ ） A B是异面直线C相交 D平行或相交或异面4（2023年内蒙古自治区模拟数学试题）已知直线、，平面、，给出下列命题：若，且，则若，则若，且，则若，且，则其中正确的命題是（ ）ABCD考点三、异面直线所成的角1（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（）ABCD2（2022年全国高考甲卷数学（理）试题）在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则（）ABAB与平面所成的角为CD与平面所成的角为3几何原本是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直

12、角圆锥.如图，若都是直角圆锥底面圆的直径，且，则异面直线与所成角的余弦值为（）ABCD1在正方体中，是正方形的中心，则直线与直线所成角大小为（）A30B45C60D902（2023年浙江省模拟数学试题）在正方体中，E是的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值是（）A0BCD3已知直三棱柱的所有棱长都相等，为的中点，则与所成角的余弦值为（ ）ABCD考点四、空间几何体的截面问题1（2023年贵州模拟数学试题）在正三棱柱中,分别在,上,且,则过,三点的平面截此棱柱所得截面的面积为（ ） A4 B26 C6 D2102已知正方体的棱长为4，E，F分别是棱，BC的中点，则平面截该正方体所得的截面图形

13、周长为（）A6 B10CD3（2023年普通高等学校招生全国统一考试押题卷数学试题）如图，在正方体中，E，F分别为棱BC，的中点，过点A，E，F作一截面，该截面将正方体分成上、下两部分，则分成的上、下两部分几何体的体积比为（）A2BCD1如图，在三棱柱中，过的截面与AC交于点D，与BC交于点E，该截面将三棱柱分成体积相等的两部分，则（）ABCD2在正方体中，棱长为3，E为棱上靠近的三等分点，则平面截正方体的截面面积为（）ABCD3（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I卷）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）ABC

14、D【基础过关】1（2023年贵州省文化水平测试数学试题）下列说法正确的是（）A三个点可以确定一个平面B两条平行直线一定能确定一个平面C两条直线没有公共点则一定平行D若直线不在平面内，则与无交点2下列命题中正确的命题为 .若在平面外，它的三条边所在的直线分别交于，则三点共线；若三条直线互相平行且分别交直线于三点，则这四条直线共面；若直线异面，异面，则异面；若，则.3（2023年湖南省模拟数学试题）下列命题正确的为（）若在平面外，它的三条边所在的直线分别交于P、Q，R，则P，Q，R三点共线；若三条直线a，b、c互相平行且分别交直线于A、B、C三点，则这四条直线共面；已知a，b，c为三条直线，若a，

15、b异面，b，c异面，则a，c异面；已知a，b，c为三条直线，若，则.ABCD4已知是两个不同的平面，直线，且，那么“”是“”的（）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件5（2018年全国普通高等学校招生统一考试文数（全国卷II）在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为（ ）ABCD6（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷）已知直三棱柱中，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）ABCD7（2023年江苏省模拟数学试题）正方体的棱长为1，当，分别是，的中点时，平面截正方体所截面的周长为 .8（2023届云南省教学质量监测数学试题）

16、如下图所示，在正方体中，如果点E是的中点，那么过点、B、E的截面图形为（）A三角形B矩形C正方形D菱形9如图，在正四棱柱中，点为棱的中点，过，三点的平面截正四棱柱所得的截面面积为（）A2BCD10正方体的棱长为2，E是棱的中点，则平面截该正方体所得的截面面积为（）A5BCD11（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面是线段的中点，则（ ）A，且直线是相交直线B，且直线是相交直线C，且直线是异面直线D，且直线是异面直线【能力提升】1（2023年河北省模拟数学试题）一个正四棱锥的平面展开图如图所示，其中E，F，M，N，Q分别为，的中点，关于该正

17、四棱锥，现有下列四个结论：直线与直线是异面直线；直线与直线是异面直线；直线与直线MN共面；直线与直线是异面直线.其中正确结论的个数为（）A4B3C2D12已知、表示两条不同的直线，表示平面，则下面四个命题正确的是（）若，则；若，则；若，则；若，则ABCD3如图正方体，棱长为1，P为中点，Q为线段上的动点，过APQ的平面截该正方体所得的截面记为.若，则下列结论错误的是（）A当时，为四边形B当时，为等腰梯形C当时，为六边形D当时，的面积为4在长方体中，点，分别是棱，的中点，点为对角线，的交点，若平面平面，且，则实数（）ABCD5如图，在边长为的正方体中，、分别为棱、的中点，则平面截该正方体所得截面

18、的面积为 .6（2022年全国高考乙卷数学（理）试题）在正方体中，E，F分别为的中点，则（）A平面平面B平面平面C平面平面D平面平面7如图，正方体的棱长为4，点M是棱AB的中点，点P是底面ABCD内的动点，且P到平面的距离等于线段PM的长度，则线段长度的最小值为 8如图所示，在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，过直线的平面平面，则平面截该正方体所得截面的面积为（）.A B C D9已知长方体中，M为的中点，N为的中点，过的平面与DM，都平行，则平面截长方体所得截面的面积为（）ABCD10为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋

19、转，有下列结论：当直线AB与a成60角时，AB与b成30角；当直线AB与a成60角时，AB与b成60角；直线AB与a所成角的最小值为45；直线AB与a所成角的最大值为60.其中正确的是 .（填写所有正确结论的编号）【真题感知】1（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知为等腰直角三角形，AB为斜边，为等边三角形，若二面角为，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（）ABCD2（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，则该棱锥的体积为（）A1BC2D33（2023年新高考天津数学高考真题）在三棱锥中，线段上的点满足，线段上的点满足，则三棱锥和三棱锥的体积之比为（）ABCD4（2023年北京高考数学真题）坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为（）ABCD