专题21.5 实际问题与二次函数【十大题型】（举一反三）（沪科版）（解析版）.docx

1、专题 21.5 实际问题与二次函数【十大题型】【沪科版】【题型 1 利用二次函数求最大利润】.1【题型 2 利用二次函数求最优方案】.5【题型 3 利用二次函数求最大面积】.8【题型 4 利用二次函数求最小周长】.13【题型 5 利用二次函数解决拱桥问题】.18【题型 6 利用二次函数解决隧道问题】.错误!未定义书签。【题型 7利用二次函数解决图形运动问题】.错误!未定义书签。【题型 8 利用二次函数解决运动员空中跳跃轨迹问题】.错误!未定义书签。【题型 9 利用二次函数解决球类运行的轨迹问题】.错误!未定义书签。【题型 10 利用二次函数解决喷头喷出的球的轨迹问题】.错误!未定义书签。【题型

2、 1 利用二次函数求最大利润】【例 1】（2023 春广东茂名九年级校考开学考试）某工厂生产并销售，两种型号车床共14台，生产并销售1台型车床可以获利10万元；如果生产并销售不超过4台型车床，则每台型车床可以获利17万元，如果超出4台型车床，则每超出1台，每台型车床获利将均减少1万元设生产并销售型车床台(1)当 4时，若生产并销售型车床比生产并销售型车床获得的利润多70万元，问：生产并销售型车床多少台？(2)当0 14时，设生产并销售，两种型号车床获得的总利润为万元，如何分配生产并销售，两种车床的数量，使获得的总利润最大？并求出最大利润【答案】(1)生产并销售型车床10台(2)当生产并销售，两

3、种车床各为9台、5台或8台、6台时，使获得的总利润最大；最大利润为170万元【分析】（1）根据题意，列出一元二次方程，解方程即可求解；（2）当0 4时，总利润=10(14 )+17 (4)，根据二次函数的性质，即可求解【详解】（1）解：由题意得方程10(14 )+70=17 (4)，解得1=10，2=21(舍去)，答：生产并销售型车床10台；（2）当0 0，当=4时总利润最大为7 4+140=168(万元)；当 4时，总利润=10(14 )+17 (4)，整理得=2+11+140，1 0，当=112=5.5时总利润最大，又由题意只能取整数，当=5或=6时，当=5时，总利润最大为52+11 5+

4、140=170(万元)又 168 170，当=5或=6时，总利润最大为170万元，而14 5=9，14 6=8，答：当生产并销售，两种车床各为9台、5台或8台、6台时，使获得的总利润最大；最大利润为170万元【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，根据题意列出一元二次方程和二次函数解析式是解题的关键【变式 1-1】（2023 春辽宁葫芦岛九年级统考期末）2022 年卡塔尔世界杯足球赛开战，很多商家都紧紧把握这一商机，赛场内外随处可见“中国制造”的身影，某商家销售一批“中国制造”的吉祥物“拉伊卜”毛绒玩具，已知每个毛绒玩具“拉伊卜”的成本为 40 元，销售单价不低于成本价，且不高于

5、成本价的1.8倍，在销售过程中发现，毛绒玩具“拉伊卜”每天的销售量（个）与销售单价（元）满足如图所示的一次函数关系(1)求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；(2)每个毛绒玩具“拉伊卜”的售价为多少元时，该商家每天的销售利润为 2400 元？(3)当毛绒玩具“拉伊卜”的销售单价为多少元时，该商家每天获得的利润最大？最大利润是多少元？【答案】(1)=2+220，40 72(2)70 元(3)当吉祥物“拉伊卜”的销售单价为 72 元时，该商家每天获得的利润最大，最大利润为 2432 元【分析】(1)设=+(0)，利用待定系数法即可求得一次函数的解析式，再根据销售单价不低于成本价，且不高于成

6、本价的1.8倍，即可求得 x 的取值范围；(2)根据题意即可列出一元二次方程，解方程即可求解；(3)设每天获得的利润为元，根据题意即可求得二次函数，再根据二次函数的性质，即可求解【详解】（1）解：设=+(0)，把点(50,120)，(60,100)分别代入解析式，得50+=12060+=100，解得：=2=220 =2+220，销售单价不低于成本价，且不高于成本价的1.8倍，自变量的取值范围是：40 72；（2）解：根据题意得：(2+220)(40)=2400，整理得：2 150+5600=0，解得：1=70，2=80，40 72，2=80不合题意，舍去，答：每个吉祥物“拉伊卜”的售价为 70

7、 元时，该商家每天的销售利润为 2400 元；（3）解：设每天获得的利润为元，根据题意得：=(2+220)(40)=22+300 8800=2(75)2+24502 0，抛物线开口向下，抛物线对称轴为=75，销售单价不得高于 72 元，当40 72时，随的增大而增大，当=72时，有最大值，最大值=2 (72 75)2+2450=2432，答：当吉祥物“拉伊卜”的销售单价为 72 元时，该商家每天获得的利润最大，最大利润为 2432 元【点睛】本题考查了一次函数及二次函数的应用，一元二次方程的应用，理解题意，正确求得函数解析式及方程是解决本题的关键【变式 1-2】（2023 春广东汕头九年级校考

8、期中）某批发商以 24 元/箱的进价购进某种蔬菜，销往零售超市，已知这种蔬菜的标价为 45 元/箱，实际售价不低于标价的八折批发商通过分析销售情况，发现这种蔬菜的销售量 y（箱）与当天的售价 x（元/箱）满足一次函数关系，下表是其中的两组对应值售价（元/箱）3538销售量（箱）130124(1)若某天这种蔬菜的售价为 42 元/箱，则当天这种蔬菜的销售最为_箱；(2)该批发商销售这种蔬菜能否在某天获利 1320 元？若能，请求出当天的销售价；若不能，请说明理由(3)批发商搞优惠活动，购买一箱这种蔬菜，赠送成本为 6 元的土豆，这种蔬菜的售价定为多少时，可获得日销售利润最大，最大日销售利润是多少

9、元？【答案】(1)116(2)不能，理由见详解(3)这种蔬菜的售价为 45 元，可获得最大日利润为 1650 元【分析】（1）设与之间的函数关系为=+，用待定系数法求函数解析式即可；（2）根据题意列出关于的一元二次方程，解方程求出的值，然后根据这种蔬菜的标价为 45 元/箱，实际售价不低于标价的八折得出的取值范围为36 45，从而确定方程的解；（3）根据每天的利润=单箱的利润销量列出函数解析式，再根据函数的性质求函数的最值【详解】（1）解：设与之间的函数关系为=+，根据题意得：35+=13038+=124，解得：=2=200，=2+200，当=42时，=2 42+200=116，当天这种蔬菜的

10、销售量为 116 箱；故答案为 116；（2）解：根据题意得：(2+200)(24)=1320，解得1=34，2=90，这种蔬菜售价不低于45 0.8=36，且不高于 45，36 45，34，90 都不满足题意，所以该批发商销售这种蔬菜不能在某天获利 1320 元；（3）解：设日获得利润为元，则=(2+200)(24 6)=2(65)2+2450，=2 0，抛物线开口向下，当 0)，当70 80时该企业获得的最大利润为2450元，求的值【答案】(1)当产品产量为80时，获得的利润最大，最大利润为3200元(2)10【分析】（1）设当该产品产量为时，获得的利润为元，根据利润等于售价减去进价乘以销

11、售量，列出函数关系式，进而根据二次函数的性质即可求解；（2）设当产品产量为千克时，获得的利润为元，得出=12 2+(80 )，该函数图像的对称轴为直线=80 ，由70 80，分类讨论即可求解【详解】（1）解：设当该产品产量为时，获得的利润为元根据题意，得=(12 +120 40)=12 2+80=12(80)2+3200=12 10，则当=70时，有最大值，即=3150 70 2450（不合题意，舍去）若0 10，则当=80 时，有最大值，将=80 代入，得=12(80 )2当=2450时，2450=12(80 )2解得1=10，2=150（不合题意，舍去）综上所述，的值为10【点睛】本题考查

12、了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键【题型 2 利用二次函数求最优方案】【例 2】（2023 春湖南郴州九年级统考期末）2022 年秋天，某地发生旱情，为抗旱保丰收，当地政府制定农户投资购买抗旱设备的补贴方法：购买 A 型设备，政府补贴金额（1：万元）与投资的金额（x：万元）的函数对应关系为：1=(0)，当=5时1=4；购买型设备，政府补贴金额（2：万元）与投资的金额（x：万元）的函数对应关系为2=2+(0)，当=2时，2=2.6，=4时2=3.2(1)分别求出1,2的函数表达式；(2)有一农户投资 10 万元同时购买 A 型和型两种设备，获得的政府补贴为万元请你设计一个能获得

13、最大补贴的方案，并求出按此方案能获得的最大补贴【答案】(1)1=0.8，2=0.252+1.8(2)当购买 A 型设备的金额为 8 万元、型设备的金额为 2 万元时能获得最大补贴金额，最大补贴金额为 9 万元【分析】（1）由题意可将(5,4)代入1=进行求解，然后将(2,2.6),(4,3.2)代入2=2+进行求解即可；（2）设投资购买型设备的金额为万元，则 A 型设备的金额为(10 )万元，获得的政府补贴为万元，由题意可得=0.252+8，然后根据二次函数的性质可进行求解【详解】（1）解：将(5,4)代入1=得：4=5，解得：=0.8故：1=0.8，将(2,2.6),(4,3.2)代入2=2

14、+得：2.6=4+23.2=16+4，解得=0.25,=1.8，2=0.252+1.8；（2）解：设投资购买型设备的金额为万元，则 A 型设备的金额为(10 )万元，获得的政府补贴为万元，依题意得：=1+2=0.8(10 )0.252+1.8=0.252+8，=0.25 0，当=2=7时，y 有最大值为424=5.8万元，此时 10-x=3，当购买型用 7 万元、型为 3 万元时能获得的最大补贴金额，最大补贴金额为 5.8 万元【点睛】此题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式以及二次函数的最值问题，利用函数解决实际问题是考试的中热点问题，同学们应重点掌握【变式 2-3】（2023 春

15、江苏淮安九年级统考期末）某公司经销甲、乙两种产品，经调研发现如下规律：销售甲产品所获利润 y（万元）与销售 x（万件）的关系为=0.6；销售乙产品所获利润 y（万元）与销售 x（万件）的关系为=2+；当 x1 时 y1.3；当 x2 时，y2.4.（1）求销售乙产品所获利润 y（万元）与销售 x（万件）的函数关系式；（2）该公司计划购进甲、乙两种产品共 20 万件，要想使销售总利润最大，应如何安排经销方案？总利润最大为多少？【答案】（1）=0.12+1.4；（2）购进甲 16 万件，购进乙 4 万件，利润最大为 13.6 万元【分析】（1）将当 x1 时 y1.3；当 x2 时，y2.4 代入

16、=2+，解二元一次方程组即可；（2）设购进甲的数量为 m(0 20)万件，总利润为万元，则购进乙的数量为(20 )万件，将甲乙的数量代入各自的利润表达式得，=0.12+3.2 12，根据二次函数的最值问题解答即可【详解】（1）将当 x1 时 y1.3；当 x2 时，y2.4 代入=2+得，+=1.34+2=2.4，解得：=0.1=1.4，=0.12+1.4；（2）设购进甲的数量为 m(0 0，求解可知15 0，解不等式组，可得15 21，储料场的面积为=12(+)=12(42 2+42 )=32 2+42=32(14)2+294，该二次函数的图像开口向下，对称轴为=14，又15 0，则+4 （

17、当且仅当=时取“=”)；（2）运用上述结论证明小明对问题 2 的猜测；（3）当 1时，求=2+3+1 的最小值【答案】（1）4，2；（2）见解析；（3）2【分析】（1）根据题意，由+2，当且仅当=时，等号成立；即可解决问题；（2）设矩形的长、宽分别为 x、y，由题意得 xy=9，再根据公式证明当 x=y 时，x+y 有最小值，进而得结论；（3）把=2+3+1 转化为=+1+4+1 2的形式，再根据公式进行解答便可【详解】解：（1）0，4 0，当=4时，即=2时，+4 2 4，即+4 4；故答案为 4；2（2）设矩形的长、宽分别为m、m，由题意得=9，则+2，即+6，当=3时，+取最小值为 6，

18、此时矩形的周长最小为：2(+)=12；=时，矩形变为正方形，铁丝围一个面积为92且周长最小的矩形，所围成正方形时周长最小；（3）=2+3+1=(+11)2+3+1=(+1)22(+1)+4+1=+1+4+1 2，1，+1 0，4+1 0，2(+1)4+1 2，即 2，当+1=4+1时，即=1时，取最小值为：2【点睛】本题是一个阅读材料题，主要考查了完全平方公式的应用，不等式的性质，二次函数的应用，关键是读懂题意，弄清解答的理论依据，学会对新知识进行拓展应用，难度较大，第（3）题关键是把求出函数表达式转化为两个恰当的正实数的和形式，才能应用公式【变式 4-3】（2023江苏无锡江苏省锡山高级中学

19、实验学校校考一模）如图，二次函数 y=x24x 的图象与 x轴、直线 y=x 的一个交点分别为点 A、B，CD 是线段 OB 上的一动线段，且 CD=2，过点 C、D 的两直线都平行于 y 轴，与抛物线相交于点 F、E，连接 EF（1）点 A 的坐标为 ，线段 OB 的长=；（2）设点 C 的横坐标为 m当四边形 CDEF 是平行四边形时，求 m 的值；连接 AC、AD，求 m 为何值时，ACD 的周长最小，并求出这个最小值【答案】（1）A（4，0），52；（2）=522；当 m=2 22 时，ACD 的周长最小，这个最小值为 8【分析】（1）根据 y=x24x 中，令 y=0，则 0=x24

20、x，可求得 A（4，0），解方程组=2 4，可得 B（5，5），进而得出 OB 的长；（2）根据 C（m，m），F（m，m24m），可得 CF=m（m24m），根据 D（m+2，m+2），E（m+2，（m+2）24（m+2），可得 DE=m+2（m+2）24（m+2），最后根据当四边形 CDEF 是平行四边形时，CF=DE，求得 m 的值即可；先过点 A 作 CD 的平行线，过点 D 作 AC 的平行线，交于点 G，则四边形 ACDG 是平行四边形，得出 AC=DG，再作点 A 关于直线 OB 的对称点 A，连接 AD，则 AD=AD，根据当 A，D，G 三点共线时，AD+DG=AG 最短，可

21、得此时 AC+AD 最短，然后求得直线 AG 的解析式为 y=9427x+4，解方程组可得 D、C 的坐标，最后根据两点间距离公式，求得 ACD 的周长的最小值【详解】（1）y=x24x 中，令 y=0，则 0=x24x，解得：x1=0，x2=4，A（4，0），解方程组=2 4，可得：=0=0 或=5=5，B（5，5），OB=52+52=52故答案为（4，0），52；（2）点 C 的横坐标为 m，且 CFDEy 轴，C（m，m），F（m，m24m）又CD=2，且 CD 是线段 OB 上的一动线段，D（m+2，m+2），E（m+2，（m+2）24（m+2），CF=m（m24m），DE=m+2（m

22、+2）24（m+2）当四边形 CDEF 是平行四边形时，CF=DE，m（m24m）=m+2（m+2）24（m+2），解得：=522；如图所示，过点 A 作 CD 的平行线，过点 D 作 AC 的平行线，交于点 G，则四边形 ACDG 是平行四边形，AC=DG，作点 A 关于直线 OB 的对称点 A，连接 AD，则 AD=AD，当 A，D，G 三点共线时，AD+DG=AG 最短，此时 AC+AD 最短A（4，0），AG=CD=2，A（0，4），G（4+2，2），设直线 AG 的解析式为 y=kx+b，则4=2=（4+2）+，解得：=9427=4，直线 AG 的解析式为 y=9427x+4，解方程

23、组=9427+4，可得：=2+22=2+22，D（2+22，2+22）CD=2，且 CD 是线段 OB 上的一动线段，C（2 22，2 22），点 C 的横坐标 m=2 22 AD=AD，AC=DG，CD=AG=2，ACD 的最小值为 AG+AG=(4+2)2+(4 2)2+2=6+2=8，故当 m=2 22 时，ACD 的周长最小，这个最小值为 8【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了函数图象的交点坐标的计算，两点间的距离公式，待定系数法求函数解析式以及平行四边形的性质的综合应用，解决问题的关键是根据平行四边形的对边相等以及两点之间线段最短进行计算求解解题时注意方程思想和数形结合思想的运

24、用【题型 5 利用二次函数解决拱桥问题】【例 5】（2023 春吉林长春九年级统考期末）某抛物线形拱桥的截面图如图所示某数学小组对这座拱桥很感兴趣，他们利用测量工具测出水面的宽为 8 米上的点 E 到点 A 的距离=1米，点 E 到拱桥顶面的垂直距离=74米他们以点 A 为坐标原点，以所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系(1)求该抛物线所对应的函数表达式(2)求拱桥顶面离水面的最大高度(3)现有一游船（截面为矩形）宽度为 4 米，船顶到水面的高度为 2 米要求游船从拱桥下面正中间通过时，船顶到拱桥顶面的距离应大于0.5米请通过计算说明该游船是否能安全通过【答案】(1)该抛物线所对应的函数表达

25、式为=14 2+2(2)拱桥顶面离水面的最大高度为 4 米(3)该游船能安全通过，理由见解析【分析】(1)设抛物线解析式为=2+(0)，将(8,0)，(1,74)代入上式，确定 a、b 的值即可(2)把抛物线的解析式化为顶点式，求出抛物线的最大值即可(3)根据对称性，确定船左侧的坐标，根据解析式，计算函数值，比较与安全距离2+0.5=2.5米的大小，大于则安全通过，小于或等于，都不安全【详解】（1）设=2+(0)，将(8,0)，(1,74)代入上式，得64+8=0+=74，解得=14=2，该抛物线所对应的函数表达式为=14 2+2（2）=14 2+2=14(4)2+4，当=4时，=4拱桥顶面离水面的最大高度为 4 米（3）游船（截面为矩形）宽度为 4 米，船顶到水面的高度为 2 米，游船从拱桥下面正中间通过，船离点 A 的距离为4 4 2=2米把=2代入=14 2+2中，=14 22+2 2=32+0.5=2.5 3，