专题24 锐角三角函数与几何图形的综合（解析版 ）.docx

1、专题24 锐角三角函数与几何图形的综合（解析版）类型一 锐角三角函数与矩形的综合1（2022秋通川区期末）如图，在矩形纸片ABCD中，AB5，BC3，将BCD沿BD折叠到BED位置，DE交AB于点F，则cosADF的值为（）A817B517C1517D815思路引领：利用矩形和折叠的性质可得BFDF，设BFx，则DFx，AF5x，在RtADF中利用勾股定理列方程，即可求出x的值，进而可得cosADF解：四边形ABCD是矩形，A90，ABCD，ADBC3，ABCD5，BDCDBF，由折叠的性质可得BDCBDF，BDFDBF，BFDF，设BFx，则DFx，AF5x，在RtADF中，32+（5x）2

2、x2，x=175，cosADF=3175=1517，故选：C总结提升：本题主要考查矩形的性质、解直角三角形、折叠的性质、勾股定理等，解题关键是利用矩形和折叠的性质得到DFBF2（2022通辽）如图，在矩形ABCD中，E为AD上的点，AEAB，BEDE，则tanBDE 思路引领：用含有AB的代数式表示AD，再根据锐角三角函数的定义进行计算即可解：四边形ABCD是矩形，A90，ABAE，设ABa，则AEa，BE=a2+a2=2aED，ADAE+DE（2+1）a，在RtABD中，tanBDE=ABAD=a(2+1)a=21，故答案为：21总结提升：本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质以及勾股定理，

3、掌握直角三角形的边角关系和等腰三角形的性质是正确解答的前提3（2021宁波模拟）把矩形纸片ABCD，先沿AE折叠使点B落在AD边上的B，再沿AC折叠，恰好点E也落到AD上，记为E求：（1）BEE的度数；（2）DAC的正切值思路引领：（1）由折叠的性质可证明四边形ABEB为正方形AEE为等腰三角形故AEAE，由BAEAEB45，可推出AEEAEE67.5，进而BEEAEEAEB22.5；（2）设正方形ABEB的边长为a，由勾股定理得AE=2a=AE，BEAEAB=2aa，由同角的余角相等可推出DACBEE，由此tanDACtanBEE=BEBE，即可求得答案解：（1）由折叠性质可知，ABEABE

4、90，ABAB，又BAB90，四边形ABEB为矩形，又ABAB，四边形ABEB为正方形BAEAEB45又沿AC折叠，点E也落到AD上，故AEAE，AEEAEE=180452=67.5，BEEAEEAEB67.54522.5（2）设正方形ABEB的边长为a，如图所示则ABBEEBBAa，AE=2a=AE，BEAEAB=2aa，由折叠可知，AC垂直平分EE，DAC+AEF90，又BEE+AEE90，DACBEE，tanDACtanBEE=BEBE=2aaa=21总结提升：本题考查了解直角三角形、正方形性质、折叠变换性质、等腰三角形性质等知识，解题关键在于要熟悉折叠的性质，三角函数的定义类型一 锐角

5、三角函数与菱形的综合3（2022泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B的坐标为（10，4），四边形ABEF是菱形，且tanABE=43若直线l把矩形OABC和菱形ABEF组成的图形的面积分成相等的两部分，则直线l的解析式为（）Ay3xBy=34x+152Cy2x+11Dy2x+12思路引领：分别求出矩形OABC和菱形ABEF的中心的坐标，利用待定系数法求经过两中心的直线即可得出结论解：连接OB，AC，它们交于点M，连接AE，BF，它们交于点N，则直线MN为符合条件的直线l，如图，四边形OABC是矩形，OMBMB的坐标为（10，4），M（5，2），AB10，BC4四边形ABE

6、F为菱形，BEAB10过点E作EGAB于点G，在RtBEG中，tanABE=43，EGBG=43，设EG4k，则BG3k，BE=EG2+BG2=5k，5k10，k2，EG8，BG6，AG4E（4，12）B的坐标为（10，4），ABx轴，A（0，4）点N为AE的中点，N（2，8）设直线l的解析式为yax+b，5a+b=22a+b=8，解得：a=2b=12，直线l的解析式为y2x+12，故选：D总结提升：本题主要考查了矩形和菱形的性质，中点坐标的特征，直角三角形的边角关系定理，利用待定系数法确定函数的解析式是解题的关键4（2022长春）如图，在RtABC中，ABC90，ABBC点D是AC的中点，过

7、点D作DEAC交BC于点E延长ED至点F，使得DFDE，连结AE、AF、CF（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若BEEC=14，则tanBCF的值为 思路引领：（1）先证四边形AECF是平行四边形，再由DEAC，即可得出结论；（2）设BEa，则CE4a，由菱形的性质得AECE4a，AECF，则BEABCF，再由勾股定理得AB=15a，然后由锐角三角函数定义即可得出结论（1）证明：点D是AC的中点，ADCD，DFDE，四边形AECF是平行四边形，又DEAC，平行四边形AECF是菱形；（2）解：BEEC=14，CE4BE，设BEa，则CE4a，由（1）可知，四边形AECF是菱形，AECE4a

8、，AECF，BEABCF，ABC90，AB=AE2BE2=(4a)2a2=15a，tanBCFtanBEA=ABBE=15aa=15，故答案为：15总结提升：本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理以及锐角三角函数定义等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键5（2016岳麓区校级自主招生）如图，ABC中，BCA90，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA，BC的平行线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）若AB10，tanBAC=12，求菱形ADCE的面积思路引领：（1）根据DEBC，ECAB，得出ECDB且ECDB，在RtA

9、BC中，根据CD是边AB上的中线，得出四边形ADCE是平行四边形，求出AODACB90，从而得出四边形ADCE是菱形；（2）在RtABC中，根据tanBAC=BCAC=12，设BCx，得出AC2BC2x，再根据勾股定理求出x的值，因为四边形DBCE是平行四边形，求出DEBC25，最后根据SADCE=12ACDE，代值计算即可解：（1）DEBC，ECAB，四边形DBCE是平行四边形，ECDB，且ECDB，在RtABC中，CD是边AB上的中线，ADDBCD，ECAD，四边形ADCE是平行四边形，EDBC，AODACB，ACB90，AODACB90，四边形ADCE是菱形；（2）在RtABC中，tan

10、BAC=BCAC=12，设BCx，AC2BC2x，由勾股定理得：x2+（2x）2102，解得：x25，四边形DBCE是平行四边形，DEBC25，SADCE=12ACDE=124525=20总结提升：此题主要考查了菱形的性质和判定以及面积的计算，使学生能够灵活运用菱形知识解决有关问题类型三 锐角三角函数与正方形的综合6（2022南通）如图，点O是正方形ABCD的中心，AB32RtBEF中，BEF90，EF过点D，BE，BF分别交AD，CD于点G，M，连接OE，OM，EM若BGDF，tanABG=13，则OEM的周长为 思路引领：如图，连接BD，过点F作FHCD于点H解直角三角形求出AG，BG，利

11、用相似三角形的性质求出EG，DE，再证明FHBC，推出BMMF，求出MF，BD可得结论解：如图，连接BD，过点F作FHCD于点H四边形ABCD是正方形，ABAD32，AADC90，tanABG=AGAB=13，AG=2，DG22，BG=AB2+AG2=(32)2+(2)2=25，BAGDEG90，AGBDGE，BAGDEG，BADE=AGEG=BGDG，ABGEDG，32DE=2EG=2522，DE=655，EG=255，BEBG+EG25+255=1255，ADHFHD90，ADFH，EDGDFH，ABGDFH，BGDF25，AFHD90，BAGFHD（AAS），ABFH，ABBC，FHBC

12、，CFHM90，FHCB，FMBM=FHCB=1，FMBM，EFDE+DF=655+25=1655，BF=BE2+EF2=45，BEF90，BMMF，EM=12BF25，BOOD，BMMF，OM=12DF=5，OE=12BD=1263，OEM的周长3+5+25=3+35，解法二：辅助线相同证明BAGFHD，推出ABHF32，再证明FHMBCM，推出CMHM=2，求出BD，DF，BF，利用直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线定理，可得结论故答案为：3+35总结提升：本题考查正方形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质等知

13、识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题7（2021浦东新区校级自主招生）如图，小正方形面积为20，大正方形面积为100，求sincos思路引领：根据正方形的面积公式可得大正方形的边长为10，小正方形的边长为25，再根据直角三角形的边角关系列式即可求解解：小正方形面积为20，大正方形面积为100，小正方形的边长是25，大正方形的边长是10，即AB10，CD25，AC10cos，BC10sin，CDACADACBC25，10cos10sin25，cossin=55，（sincos）2=15，sinsin22sincos+cos2=15，12sincos=

14、15，sincos=25总结提升：本题考查了解直角三角形，锐角三角形函数的定义，利用三角函数的定义表示直角三角形的边解题的关键8（2019朝阳区二模）【问题背景】如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点A、B和C、D，AB和CD相交于点P，求tanCPB的值小马同学是这样解决的：连接格点B、E可得BECD，则ABECPB，连接AE，那么CPB就变换到RtABE中则tanCPB的值为 【探索延伸】如图2，在边长为1的正方形网格中，AB和CD相交于点P，求sinAPD的值思路引领：【问题背景】在RtABE中，利用正切函数的定义求出tanABE即可【探索延伸】如图2，连接CE，DE，作DMCE于M

15、先证明四边形ABCE是平行四边形，得出CEAB，那么APDECD利用割补法求出ECD的面积=112，由勾股定理求出CE=17，那么根据三角形的面积公式得出DM=111717，然后利用正弦函数定义求出sinECD即可解：【问题背景】如图1，BECD，ABECPB，tanABEtanCPB，AEB90，tanCPBtanABE=AEBE=322=3，故答案为3【探索延伸】如图2，连接CE，DE，作DMCE于MBCAE，BCAE，四边形ABCE是平行四边形，CEAB，APDECDECD的面积34121412231213=112，12CEDM=112，CE=17，DM=111717，sinAPDsin

16、ECD=DMCD=11171710=11170170总结提升：本题考查了解直角三角形，平行四边形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，学会用转化的思想思考问题，有一定难度9（2019春江岸区校级月考）如图，每个小正方形的边长为1，四边形ABCD的每个顶点都在格点（小正方形的顶点）上，且AD=37，CD25（1）在图中补齐四边形ABCD；（2）直接写出四边形ABCD的面积为 ；（3）连AC，求tanACB思路引领：（1）由AD=37，CD25，利用勾股定理以及网格特点即可确定D点位置，即可求解；（2）所求四边形的面积等于长方形的面积

17、减去四周三个直角三角形的面积以及梯形的面积；（3）利用勾股定理求出AB2，BC2，AC2，根据勾股定理的逆定理得出ABC90，再根据正切函数的定义求解解：（1）如图所示：（2）S四边形ABCD6512611242122112（1+5）230341616故答案为16（3）如图AB242+2220，BC212+225，AC242+3225，AB2+BC2AC2，ABC90，tanACB=ABBC=255=2总结提升：本题考查了解直角三角形，勾股定理及其逆定理，四边形的面积，锐角三角函数定义，难度适中确定出D点的位置是解题的关键10（2020余杭区一模）已知：PA=2，PB4，以AB为一边作正方形A

18、BCD，使P、D两点落在直线AB的两侧（1）如图，当APB45时，求AB及PD的长；（2）当APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值，及相应APB的大小思路引领：（1）作辅助线，过点A作AEPB于点E，在RtPAE中，已知APE，AP的值，根据三角函数可将AE，PE的值求出，由PB的值，可求BE的值，在RtABE中，根据勾股定理可将AB的值求出；求PD的值有两种解法，解法一：可将PAD绕点A顺时针旋转90得到PAB，可得PADPAB，求PD长即为求PB的长，在RtAPP中，可将PP的值求出，在RtPPB中，根据勾股定理可将PB的值求出；解法二：过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，交

19、PB于G，在RtAEG中，可求出AG，EG的长，进而可知PG的值，在RtPFG中，可求出PF，在RtPDF中，根据勾股定理可将PD的值求出；（2）将PAD绕点A顺时针旋转90，得到PAB，PD的最大值即为PB的最大值，故当P、P、B三点共线时，PB取得最大值，根据PBPP+PB可求PB的最大值，此时APB180APP135解：（1）如图，作AEPB于点E，APE中，APE45，PA=2，AEPE=222=1，PB4，BEPBPE3，在RtABE中，AEB90，AB=AE2+BE2=10解法一：如图，因为四边形ABCD为正方形，可将PAD绕点A顺时针旋转90得到PAB，可得PADPAB，PDPB

20、，PAPAPAP90，APP45，PPB90PP=2PA2，PDPB=PP2+PB2=22+42=25；解法二：如图，过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，与DA的延长线交PB于G在RtAEG中，可得AG=AEcosEAG=AEcosABE=103，EG=13，PGPEEG=23在RtPFG中，可得PFPGcosFPGPGcosABE=105，FG=1015在RtPDF中，可得，PD=PF2+(AD+AG+FG)2=(105)2+(10+1015+103)2=25（2）如图所示，将PAD绕点A顺时针旋转90得到PAB，PD的最大值即为PB的最大值，PPB中，PBPP+PB，PP=2PA2

21、，PB4，且P、D两点落在直线AB的两侧，当P、P、B三点共线时，PB取得最大值（如图）此时PBPP+PB6，即PB的最大值为6此时APB180APP135度总结提升：考查综合应用解直角三角形、直角三角形性质，进行逻辑推理能力和运算能力，在解题过程中要求学生充分发挥想象空间，确定PB取得最大值时点P的位置类型四 锐角三角函数与圆的综合11（2022秋鄞州区期末）如图，O是ABC的外接圆，点D在BC延长线上，且满足CADB（1）求证：AD是O的切线；（2）若AC是BAD的平分线，sinB=35，BC4，求O的半径思路引领：（1）连接OA，OC与AB相交于点E，如图，由OAOC，可得OACOCA，

22、根据圆周角定理可得B=12AOC，由已知CADB，可得AOC2CAD，根据三角形内角和定理可得OCA+CAO+AOC180，等量代换可得CAO+CAD90，即可得出答案；（2）根据角平分线的定义可得BACDAC，由已知可得BACB，根据垂径定理可得，OCAB，BEAE，在RtBEC中，根据正弦定理可得sinB=CEBC=CE4=35，即可算出CE的长度，根据勾股定理可算出BE=BC2CE2的长度，设O的半径为r，则CEOCCEr125，在RtAOE中，OA2OE2+AE2，代入计算即可得出答案证明：（1）连接OA，OC与AB相交于点E，如图，OAOC，OACOCA，AC=AC，B=12AOC，

23、CADB，AOC2CAD，OCA+CAO+AOC180，2CAO+2CAD180，CAO+CAD90，OAD90，OA是O的半径，AD是O的切线；解：（2）AC是BAD的平分线，BACDAC，CADB，BACB，OCAB，BEAE，在RtBEC中，BC4，sinB=CEBC=CE4=35，CE=125，BE=BC2CE2=42(125)2=165，设O的半径为r，则CEOCCEr125，在RtAOE中，OA2OE2+AE2，r2（r125）2+(165)2，解得：r=103总结提升：本题主要考查了切线的性质与判定，垂径定理及解直角三角形，熟练掌握切线的性质与判定，垂径定理及解直角三角形的方法进

24、行求解是解决本题的关键12（2022扬州）如图，AB为O的弦，OCOA交AB于点P，交过点B的直线于点C，且CBCP（1）试判断直线BC与O的位置关系，并说明理由；（2）若sinA=55，OA8，求CB的长思路引领：（1）连接OB，由等腰三角形的性质得出AOBA，CPBCBP，结合对顶角的性质得出APOCBP，由垂直的性质得出A+APO90，进而得出OBA+CBP90，即可得出直线BC与O相切；（2）由sinA=55，设OP=5x，则AP5x，由勾股定理得出方程(5x)2+82=(5x)2，解方程求出x的值，进而得出OP=5455=4，再利用勾股定理得出BC2+82（BC+4）2，即可求出CB

25、的长解：（1）直线BC与O相切，理由：如图，连接OB，OAOB，AOBA，CPCB，CPBCBP，APOCPB，APOCBP，OCOA，A+APO90，OBA+CBP90，OBC90，OB为半径，直线BC与O相切；（2）在RtAOP中，sinA=OPAP，sinA=55，设OP=5x，则AP5x，OP2+OA2AP2，(5x)2+82=(5x)2，解得：x=455或455（不符合题意，舍去），OP=5455=4，OBC90，BC2+OB2OC2，CPCB，OBOA8，BC2+82（BC+4）2，解得：BC6，CB的长为6总结提升：本题考查了切线的判定，勾股定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握等腰

26、三角形的性质，切线的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，一元二次方程的解法是解决问题的关键13（2022通辽）如图，在RtAOB中，AOB90，以O为圆心，OB的长为半径的圆交边AB于点D，点C在边OA上且CDAC，延长CD交OB的延长线于点E（1）求证：CD是圆的切线；（2）已知sinOCD=45，AB45，求AC长度及阴影部分面积思路引领：（1）根据等腰三角形的性质，直角三角形的两锐角互余以及等量代换得出ODB+BDE90，即ODEC，进而得出EC是切线；（2）根据直角三角形的边角关系可求出OD、CD、AC、OC，再根据相似三角形的性质可求出EC，根据S阴影部分SCOES扇形进行计算

27、即可（1）证明：如图，连接OD，ACCD，AADCBDE，AOB90，A+ABO90，又OBOD，OBDODB，ODB+BDE90，即ODEC，OD是半径，EC是O的切线；（2）解：在RtCOD中，由于sinOCD=45，设OD4x，则OC5x，CD=OC2OD2=3xAC，在RtAOB中，OBOD4x，OAOC+AC8x，AB45，由勾股定理得，OB2+OA2AB2，即：（4x）2+（8x）2（45）2，解得x1或x1（舍去），AC3x3，OC5x5，OBOD4x4，ODCEOC90，OCDECO，CODCEO，OCEC=CDOC，即5EC=35，EC=253，S阴影部分SCOES扇形=12

28、25349042360 =5034=50123，答：AC3，阴影部分的面积为50123总结提升：本题考查切线的判定，扇形面积的计算以及直角三角形的边角关系，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及扇形、三角形面积的计算方法是正确解答的前提14（2022石家庄模拟）古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”，它的完美来自对称其中切弦（chordofcontact）亦称切点弦，是一条特殊弦，从圆外一点向圆引两条切线，连接这两个切点的弦称为切弦此时，圆心与已知点的连线垂直平分切弦（1）为了说明切弦性质的正确性，需要对其进行证明如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出

29、“证明”过程已知：如图1，P是O外一点， 求证： （2）如图2，在（1）的条件下，CD是O的直径，连接AD，BC，若ADC50，BCD70，OC2，求OP的长思路引领：（1）根据命题的条件和结论即可写成已知和求证，连接OA、OB，根据切线的性质可得OAPOBP90，然后证明RtOAPRtOBP，从而可得AOPBOP，最后利用等腰三角形的三线合一性质即可解答；（2）连接OA、OB，根据等腰三角形的性质求出AOD和BOC，从而求出AOB，然后在RtOBP中利用锐角三角函数进行计算即可解答解：（1）已知：如图1，P是O外一点，PA、PB与O分别相切于点A、B，连接AB，OP，求证：OP垂直平分AB，

30、证明：连接OA、OB，PA、PB与O分别相切于点A、B，OAPOBP90，OAOB，OPOP，RtOAPRtOBP（HL），AOPBOP，OAOB，OP垂直平分AB，故答案为：PA、PB与O分别相切于点A、B，连接AB，OP；OP垂直平分AB；（2）连接OA、OB，OAOD，ADCDAO50，AOD180ADCDAO80，OBOC，DCBOBC70，BOC180DCBOBC40，AOB180AODBOC60，由（1）得：BOPAOP=12AOB30，OBP90，OBOC2，OP=OBcos30=232=433，OP的长为433总结提升：本题考查了解直角三角形，切线的性质，圆周角定理，垂径定理，

31、全等三角形的判定与性质，根题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键类型五 锐角三角函数与圆及四边形的综合15（2021镇江）如图1，正方形ABCD的边长为4，点P在边BC上，O经过A，B，P三点（1）若BP3，判断边CD所在直线与O的位置关系，并说明理由；（2）如图2，E是CD的中点，O交射线AE于点Q，当AP平分EAB时，求tanEAP的值思路引领：（1）如图1中，连接AP，过点O作OHAB于H，交CD于E求出OE的长，与半径比较，可得结论（2）如图2中，延长AE交BC的延长线于T，连接PQ利用面积法求出BP，可得结论解：（1）如图11中，连接AP，过点O作OHAB于H，交CD于

32、E四边形ABCD是正方形，ABAD4，ABP90，AP是直径，AP=AB2+BP2=42+32=5，OHAB，AHBH，OAOP，AHHB，OH=12PB=32，DDAHAHE90，四边形AHED是矩形，OECE，EHAD4，OEEHOH432=52，OEOP，直线CD与O相切（2）如图2中，延长AE交BC的延长线于T，连接PQDECT90，DEEC，AEDTEC，ADETCE（ASA），ADCT4，BTBC+CT4+48，ABT90，AT=AB2+BT2=42+82=45，AP是直径，AQP90，PA平分EAB，PQAQ，PBAB，PBPQ，设PBPQx，SABTSABP+SAPT，1248=1245x+124x，x252，tanEAPtanPAB=PBAB=512备注：本题也可以用面积法，连接PQ，PE，设BPx，在RtPEQ中，PE2x2+（254）2，在RtPEC中，PE2（4x）2+22，则x2+（254）2（4x）2+22，解得xPB252，tanEAPtanPAB=PBAB=512总结提升：本题考查直线与圆的位置关系，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型