专题28 最值模型之阿氏圆模型（原卷版）.docx

1、专题28 最值模型之阿氏圆模型 最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的阿氏圆问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。【模型背景】已知平面上两点A、B，则所有满足 PA=kPB（k1）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。【模型解读】如图 1 所示，O的半径为 r，点 A、B都在O 外，P为O上一动点，已知r=kOB， 连接PA、PB，则当“PA+kPB”的值最小时，P点的位置如何确定？如图2，在线段OB上截取OC使OC=

2、kr，则可说明BPO与PCO相似，即kPB=PC。故本题求“PA+kPB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小。如图3所示：注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短解题。例1（2023山东九年级专题练习）如图，在中，圆C半径为2，P为圆上一动点，连接最小值_最小值_例2（2023春江苏九年级校考阶段练习）如图，正方形的边长为4，的半径为2，为上的动

3、点，则的最大值是 例3（2023广东九年级专题练习）如图，菱形的边长为2，锐角大小为，与相切于点E，在上任取一点P，则的最小值为_例4（2023湖北武汉九年级校考阶段练习）如图，在边长为6的正方形中，M为上一点，且，N为边上一动点连接，将沿翻折得到，点P与点B对应，连接，则的最小值为 例5（2023浙江一模）问题提出：如图1，在等边ABC中，AB9，C半径为3，P为圆上一动点，连结AP，BP，求AP+BP的最小值(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路，通过构造一对相似三角形，将BP转化为某一条线段长，具体方法如下：(请把下面的过程填写完整)如图2，连结CP，在CB上取点D，使C

4、D1，则有又PCD PDBPAP+BPAP+PD当A，P，D三点共线时，AP+PD取到最小值请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为 (2)自主探索：如图3，矩形ABCD中，BC6，AB8，P为矩形内部一点，且PB4，则AP+PC的最小值为 (请在图3中添加相应的辅助线)(3)拓展延伸：如图4，在扇形COD中，O为圆心，COD120，OC4OA2，OB3，点P是上一点，求2PA+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程例6（2022湖北九年级专题练习）（1）如图1，已知正方形的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最小值，的最小值，的最大值（2）如图2，已知正方形

5、的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，求的最小值，的最大值，的最小值（3）如图3，已知菱形的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最小值和的最大值的最小值 例7（2022湖北武汉模拟预测）【新知探究】新定义：平面内两定点 A, B ，所有满足 = k ( k 为定值)的 P 点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”，【问题解决】如图，在ABC 中，CB = 4 ， AB= 2AC ，则ABC 面积的最大值为_例8（2023山东烟台统考中考真题）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，与轴交于点(1)求直线及抛物线的表达式；(2

6、)在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)以点为圆心，画半径为2的圆，点为上一个动点，请求出的最小值课后专项训练1（2023春浙江九年级课时练习）如图，在RtABC中，ACB90，CB7，AC9，以C为圆心、3为半径作C，P为C上一动点，连接AP、BP，则APBP的最小值为（）A7B5CD2（2023湖北武汉校考模拟预测）如图，正方形ABCD的边长AB=8，E为平面内一动点，且AE=4，F为CD上一点，CF=2，连接EF，ED，则EFED的最小值为()A6B4C4D63（2022湖北九年级专题练习）如图，已知正方形ABCD的边长

7、为4，B的半径为2，点P是B上的一个动点，则PDPC的最大值为_4（2023浙江九年级专题练习）如图所示，半径为2的圆内切于为圆上一动点，过点作、分别垂直于的两边，垂足为、，则的取值范围为 5（2023湖南九年级专题练习）如图，边长为4的正方形，内切圆记为O，P是O上一动点，则PAPB的最小值为 6（2023上四川成都九年级校考期中）如图，已知，若点、在射线上，且满足，是射线上的动点，同时在右侧作，且满足，则的面积为 若点运动轨迹与射线交于点，当的最小值时，此时的值为 7（2023广西南宁市一模）如图，在平面直角坐标系中，A(2，0)、B(0，2)、C(4，0)、D(3，2)，P是AOB外部的

8、第一象限内一动点，且BPA135，则2PD+PC的最小值是_8（2023江苏苏州苏州市二模）如图，在中，点A、点在上，点在上，且，点是的中点，点是劣弧上的动点，则的最小值为 9（2023秋浙江温州九年级校考期末）如图，在边长为4的正方形ABCD内有一动点P，且BP连接CP，将线段PC绕点P逆时针旋转90得到线段PQ连接CQ、DQ，则DQ+CQ的最小值为 10（2020广西中考真题）如图，在Rt中，ABAC4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的上任意一点，连接BP，CP，则BP+CP的最小值是 11（2022江苏苏州九年级阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AD上一

9、个动点，点F在边CD上，且线段EF4，点G为线段EF的中点，连接BG、CG，则BG+CG的最小值为 _12（2023四川成都九年级专题练习）在中，AB=9，BC=8，ABC=60，A的半径为6，P是上一动点，连接PB，PC，则的最小值_的最小值_13（2023广西九年级专题练习）如图，已知菱形的边长为4，的半径为2，P为上一动点，则的最小值 的最小值 14（2023黑龙江哈尔滨模拟预测）已知：（1）初步思考：如图1， 在中，已知，BC=4，N为BC上一点且，试说明：（2）问题提出：如图2，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最小值（3）推广运用：如图3，已

10、知菱形ABCD的边长为4，B60，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最大值 图1 图2 图315（2023江苏连云港统考一模）如图1，平面内有一点到的三个顶点的距离分别为、，若有，则称点为关于点的勾股点(1)如图2，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B、C、D、E均在小正方形的格点上，则点是关于点_的勾股点；若点在格点上，且点是关于点的勾股点，请在方格纸中画出；(2)如图3，菱形中，与交于点，点是平面内一点，且点是关于点的勾股点求证：；若，则的最大值为_（直接写出结果）；若，且是以为底的等腰三角形，求的长(3)如图4，矩形中，是矩形内一点，且点是关于点的勾股点，那么的最小值

11、为_（直接写出结果）16（2023广东广州统考一模）如图，已知是等边三角形，点D为的中点，点E，F分别为边，上的动点（点E不与B，C重合），且(1)求的取值范围；(2)若，求的长；(3)求的最小值17（2023重庆大渡口九年级统考阶段练习）如图1，在矩形中，分别以所在的直线为轴、轴，建立如图所示的平面直角坐标系，连接,反比例函数的图象经过线段的中点，并与矩形的两边交于点和点，直线经过点和点. （1）连接、，求的面积；（2）如图2，将线段绕点顺时针旋转定角度，使得点的对应点好落在轴的正半轴上，连接，作，点为线段上的一个动点，求的最小值. 17（2023深圳模拟预测）【模型由来】“阿氏圆”又称“阿

12、波罗尼斯圆”，已知平面上两点A、B，则所有满足（且）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”【模型建立】如图1所示，圆O的半径为r，点A、B都在圆O外，P为圆O上一动点，已知，连接PA、PB，则当“”的值最小时，P点的位置如何确定？ 第1步：一般将含有k的线段PB两端点分别与圆心O相连，即连接OB、OP；第2步：在OB上取点C，使得，即，构造母子型相似（图2）；第3步：连接AC，与圆O的交点即为点P（图3）【问题解决】如图，与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，半径为3，点，点，点P在弧MN上移动，连接PA，PB(1)的最小值是多少？(2)请求出（1）条

13、件下，点P的坐标18（2023江苏扬州校联考二模）请认真阅读下列材料：如图，给定一个以点O为圆心，r为半径的圆，设点A是不同于点O的任意一点，则点A的反演点定义为射线上一点，满足显然点A也是点的反演点即点A与点互为反演点，点O为反演中心，r称为反演半径这种从点A到点的变换或从点到点A的变换称为反演变换例如：如图，在平面直角坐标系中，点，以点O为圆心，为半径的圆，交y轴的正半轴于点B；C为线段的中点，P是上任意一点，点D的坐标为；若C关于的反演点分别为（1）求点的坐标；（2）连接、，求的最小值解：（1）由反演变换的定义知：，其中，故点的坐标为；（2）如图，连接、，由反演变换知，即，而，即故的最小值为13.请根据上面的阅读材料，解决下列问题：如图，在平面直角坐标系中，点，以点O为圆心，为半径画圆，交y轴的正半轴于点B，C为线段的中点，P是上任意一点，点D的坐标为（1）点D关于的反演点的坐标为_；（2）连接、，求的最小值；（3）如图，以为直径作，那么上所有的点（点O除外）关于的反演点组成的图形具有的特征是_