专题29二次函数与相似压轴问题-【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（解析版）.docx

1、【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题29二次函数与相似压轴问题经典例题【例1】（2022广西桂林统考中考真题）如图，抛物线yx2+3x+4与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段PQ（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动(1)直接写出A，B，C三点的坐标；(2)求CP+PQ+QB的最小值；(3)过点P作PMy轴于点M，当CPM和QBN相似时，求点Q的坐标【答案】(1)A(1，0)，B(4，0)，C(0，4)(2)6(3)(32，152)或(32，158)或(32，3+262)【分析】（1）由yx

2、2+3x+4可得A（1，0），B（4，0），C（0，4）；（2）将C（0，4）向下平移至C，使CCPQ，连接BC交抛物线的对称轴l于Q，可知四边形CCQP是平行四边形，及得CP+PQ+BQCQ+PQ+BQBC+PQ，而B，Q，C共线，故此时CP+PQ+BQ最小，最小值为BC+PQ的值，由勾股定理可得BC5，即得CP+PQ+BQ最小值为6；（3）由在yx2+3x+4得抛物线对称轴为直线x3232，设Q（32，t），则Q（32，t+1），M（0，t+1），N（32，0），知BN52，QNt，PM32，CM|t3|，当CMQNPMBN时，|t3|t3252，可解得Q（32，152）或（32，158）

3、；当CMBNPMQN时，|t3|5232t，得Q（32，3+262）（1）解：在yx2+3x+4中，令x0得y4，令y0得x1或x4，A（1，0），B（4，0），C（0，4）（2）将C（0，4）向下平移至C，使CCPQ，连接BC交抛物线的对称轴l于Q，如图所示：CCPQ，CCPQ，四边形CCQP是平行四边形，CPCQ，CP+PQ+BQCQ+PQ+BQBC+PQ，B，Q，C共线，此时CP+PQ+BQ最小，最小值为BC+PQ的值，C（0，4），CCPQ1，C（0，3），B（4，0），BC32+425，BC+PQ5+16，CP+PQ+BQ最小值为6（3）如图：由yx2+3x+4得，抛物线对称轴为直线

4、x=32=32，设Q（32，t），则P（32，t+1），M（0，t+1），N（32，0），B（4，0），C（0，4）；BN52，QNt，PM32，CM|t3|，CMPQNB90，CPM和QBN相似，只需CMQNPMBN或CMBNPMQN，当CMQNPMBN时，|t3|t3252，解得t152或t158，Q（32，152）或（32，158）；当CMBNPMQN时，|t3|5232t，解得t3+262或t3262（舍去），Q（32，3+262），综上所述，Q的坐标是(32，152)或(32，158)或(32，3+262)【点睛】本题主要考查二次函数综合应用，涉及二次函数图象上点坐标的特征，线段和的

5、最小值，相似三角形的性质及应用等，解题的关键是分类讨论思想的应用【例2】（2022四川绵阳统考中考真题）如图，抛物线yax2bxc交x轴于A(-1，0)，B两点，交y轴于点C(0，3)，顶点D的横坐标为1(1)求抛物线的解析式；(2)在y轴的负半轴上是否存在点P使APBACB180若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；(3)过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MFl，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ADE相似？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由【答案】(1)y=-x2+2x+3；

6、(2)存在，P（0，-1）使APBACB180，理由见解析；(3)存在点M，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ADE相似，此时点M的坐标为（3，0）或（-3，-12）或13,209【分析】（1）由抛物线的对称轴可得点B的坐标，由此设出交点式，代入点C的坐标，即可得出抛物线的解析式；（2）由题意可知，点A，C，B，P四点共圆，画出图形，即可得出点P的坐标；（3）由抛物线的对称性可得出点E的坐标，点D的坐标，根据两点间的距离公式可得出AD，DE，AE的长，可得出ADE是直角三角形，且DEAE=1：3，再根据相似三角形的性质可得出EF和FM的比例，由此可得出点M的坐标【详解】（1）解：顶点D的横坐标

7、为1，抛物线的对称轴为直线x=1，A（-1，0），B（3，0），设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-3），把C（0，3）代入抛物线的解析式得：-3a=3，解得a=-1，抛物线的解析式为：y=-（x+1）（x-3）=-x2+2x+3；（2）存在，P（0，-1），理由如下：APB+ACB=180，CAP+CBP=180，点A，C，B，P四点共圆，如图所示，点A（0，-1），B（3，0），C（0，3），OB=OC=3，OCB=OBC=45，APC=ABC=45，AOP是等腰直角三角形，OP=OA=1，P（0，-1）；（3）解：存在，理由如下：y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，D（1，4

8、），由抛物线的对称性得：E（2，3），A（-1，0），AD=25,DE=2,AE=32，AD2=DE2+AE2，ADE是直角三角形，且AED=90，DEAE=13，点M在直线l下方的抛物线上，设M(t,t2+2t+3)，则t2或t0，MFl，点F（t，3），EF=|t2|，MF=3t2+2t+3=t22t，以M，F，E三点为顶点的三角形与ADE相似，EF:MF=DE:AE=1:3或MF:EF=DE:AE=1:3，|t2|:(t22t)=1:3或(t22t):|t2|=1:3，解得t=2（舍去） 或t=3或t=-3或t=13（舍去）或t=13，点M的坐标为（3，0）或（-3，-12）或13,20

9、9，综上所述，存在点M，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ADE相似，此时点M的坐标为（3，0）或（-3，-12）或13,209【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，圆内四边形的性质，相似三角形的性质与判定，分类讨论思想等，第（2）问得出四点共固是解题关键；第（3）问得出ADE是直角三角形并得出ADAE的值是解题关键【例3】（2022辽宁统考中考真题）抛物线yax22x+c经过点A(3，0)，点C(0，3)，直线yx+b经过点A，交抛物线于点E抛物线的对称轴交AE于点B，交x轴于点D，交直线AC于点F(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点P为直线AC下方抛物线上的点，

10、连接PA，PC，BAF的面积记为S1，PAC的面积记为S2，当S238S1时求点P的横坐标；(3)如图，连接CD，点Q为平面内直线AE下方的点，以点Q，A，E为顶点的三角形与CDF相似时（AE与CD不是对应边），请直接写出符合条件的点Q的坐标【答案】(1)yx22x3(2)P点的横坐标为3+52或352(3)Q点坐标为(7，5)或(12，5)或(3，10)或(3，5)【分析】（1）用待定系数法即可求出二次函数的解析式；（2）先分别求出直线AE、AC的解析式，进而求出点B（1，2），D（1，0），F（1，2），过点P作x轴垂线交AC于点M，交x轴于点N，设P（m，m22m3），则M（m，m3），

11、由面积关系求出P点的横坐标；（3）分类讨论当CDFQAE时， CDAQ=DFAE=CFEQ；当CDFAQE时，CDAQ=DFQE=CFAE；当CDFEQA时， CDEQ=DFAQ=CFAE；当CDFQEA时， CDEQ=DFAE=CFAQ分别求出点Q的坐标（1）解：将A（3，0），点C（0，3）代入yax22x+c，9a6+c=0c=3，解得a=1c=3，yx22x3；（2）将A（3，0）代入yx+b中，b3，yx+3，设直线AC的解析式为ykx+b，3k+b=0b=3，解得k=1b=3，yx3，yx22x3（x1）24，B（1，2），D（1，0），F（1，2），过点P作x轴垂线交AC于点M，

12、交x轴于点N，设P（m，m22m3），则M（m，m3），PMm2+3m，S212OAPM32m2+92m，S112BFAD4，S238S1，32m2+92m32，解得m3+52或m352，P点的横坐标为3+52或352；（3）C（0，3），D（1，0），F（1，2），CD10，CF2，DF2，E（2，5），A（3，0），AE52，设Q（x，y），当CDFQAE时， CDAQ=DFAE=CFEQ10AQ2522EQ，AQ55，EQ5，(x3)2+y2=125(x+2)2+(y5)2=25，解得x=7y=5或x=2y=10（舍），Q（7，5）；当CDFAQE时，CDAQ=DFQE=CFAE，10A

13、Q2EQ252，AQ510，QE10，(x+2)2+(y5)2=100(x3)2+y2=250，解得x=2y=15（舍）或x=12y=5，Q（12，5）；当CDFEQA时， CDEQ=DFAQ=CFAE，10EQ2AQ252，EQ510，AQ10，(x3)2+y2=100(x+2)2+(y5)2=250，解得x=3y=10或x=13y=0（舍），Q（3，10）；当CDFQEA时， CDEQ=DFAE=CFAQ，10EQ2522AQ，EQ55，AQ5，(x+2)2+(y5)2=125(x3)2+y2=25，解得x=3y=5或x=8y=0（舍），Q（3，5）；综上所述：Q点坐标为（7，5）或（12

14、，5）或（3，10）或（3，5）【点睛】本题主要是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，三角形面积，相似三角形的判定和性质，利用数形结合和分类讨论思想解答是解题的关键【例4】（2022湖南统考中考真题）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3(a0)的图像与x轴交于A(1,0)，B(4,0)两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点(1)求抛物线的函数表达式及点D的坐标；(2)若四边形BCEF为矩形，CE=3点M以每秒1个单位的速度从点C沿CE向点E运动，同时点N以每秒2个单位的速度从点E沿EF向点F运动，一点到达终点，另一点随之停止当以M、E、N为顶点的三角形与BOC

15、相似时，求运动时间t的值；(3)抛物线的对称轴与x轴交于点P，点G是点P关于点D的对称点，点Q是x轴下方抛物线图像上的动点若过点Q的直线l:y=kx+m(|k|94)与抛物线只有一个公共点，且分别与线段GA、GB相交于点H、K，求证：GH+GK为定值【答案】(1)y=34x2154x+3；顶点为D(52,2716)(2)t=911或t=65(3)见解析【分析】（1）设二次函数表达式为：y=ax2+bx+3，将A(1,0)、B(4,0)代入y=ax2+bx+3，进行计算即可得y=34x2154x+3，根据二次函数的性质即可得；（2）依题意，t秒后点M的运动距离为CM=t，则ME=3t，点N的运动

16、距离为EN=2t，分情况讨论：当EMNOBC时，当EMNOCB时，进行解答即可得；（3）根据对称的性质得G(52,278)，根据直线l:y=kx+m(k94)与抛物线图像只有一个公共点，即可得m=144(4k+15)248，利用待定系数法可得直线GA的解析式为：y=94x+94，直线GB的解析式为：y=94x9，联立y=kx+144(4k+15)248y=94x+94，结合已知k94，解得：xH=4k+2112，同理可得：xK=4k+3912，运用三角函数求出GH，GK即可得【详解】（1）解：设二次函数表达式为：y=ax2+bx+3，将A(1,0)、B(4,0)代入y=ax2+bx+3得：a+

17、b+3=016a+4b+3=0，解得，a=34b=154，抛物线的函数表达式为：y=34x2154x+3，又 b2a=154234=52，4acb24a=4343(154)2434=2716，顶点为D(52,2716)；（2）解：依题意，t秒后点M的运动距离为CM=t，则ME=3t，点N的运动距离为EN=2t当EMNOBC时， 3t4=2t3，解得t=911；当EMNOCB时， 3t3=2t4，解得t=65；综上得，当t=911或t=65时，以M、E、N为顶点的三角形与BOC相似；（3）解：点P(52,0)关于点D(52,2716)的对称点为点G， G(52,278)，直线l:y=kx+m(k

18、94)与抛物线图像只有一个公共点， 34x2154x+3=kx+m只有一个实数解，=0，即：(154+k)2434(3m)=0，解得：m=144(4k+15)248，利用待定系数法可得直线GA的解析式为：y=94x+94，直线GB的解析式为：y=94x9，联立y=kx+144(4k+15)248y=94x+94，结合已知k94，解得：xH=4k+2112，同理可得：xK=4k+3912，则：GH=(52xH)sinAGP=(524k+2112)974，GK=(xk52)sinBGP=(4k+391252)974，GH+GK=(524k+2112)974+(4k+391252)974=3978，

19、GH+GK的值为3978【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，函数与方程的关系，一元二次方程根的判别式等知识，联立两函数关系求出点H和K的横坐标是解题的关键培优训练一、解答题1（2022广西玉林统考中考真题）如图，已知抛物线：y=2x2+bx+c与x轴交于点A，B(2,0)（A在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线x=12，P是第一象限内抛物线上的任一点(1)求抛物线的解析式；(2)若点D为线段OC的中点，则POD能否是等边三角形？请说明理由；(3)过点P作x轴的垂线与线段BC交于点M，垂足为点H，若以P，M，C为顶点的三角形与BMH相似，

20、求点P的坐标【答案】(1)y=2x2+2x+4(2)不能，理由过程见详解(3)(1,4)或者(34,358)【分析】（1）根据抛物线对称轴即可求出b，再根据抛物线过B点即可求出C，则问题得解；（2）假设POD是等边三角形，过P点作PNOD于N点，根据等边三角形的性质即可求出P点坐标，再验证P点是否在抛物线上即可求证；（3）先根据PHBO，求得MHB=90，根据（2）中的结果求得OC=4，根据B点(2,0)，可得OB=2，则有tanCBO=2，分类讨论：第一种情况：BMHCMP，即可得PCOB，即P点纵坐标等于C点纵坐标则可求出此时P点坐标为(1,4)；第二种情况：BMHPMC，过P点作PGy轴

21、于点G，先证明GCP=OBC，即有tanGCP=2，即有2GC=GP，设GP=a，则GC=12a，即可得PH=OG=12a+4，则有P点坐标为(a,12a+4)，代入到抛物线即可求出a值，则此时P点坐标可求【详解】（1）y=2x2+bx+c的对称轴为x=12，b2(2)=12，即b=2，y=2x2+bx+c过B点(2,0)，222+b2+c=0，结合b=2可得c=4，即抛物线解析式为：y=2x2+2x+4；（2）POD不可能是等边三角形，理由如下：假设POD是等边三角形，过P点作PNOD于N点，如图，当x=0时，y=2x2+2x+4=4，C点坐标为(0,4)，OC=4，D点是OC的中点，DO=

22、2，在等边POD中，PNOD，DN=NO=12DO=1，在等边POD中，NOP=60，在RtNOP中，NP=NOtanNOP=1tan60=3，P点坐标为(3,1)，经验证P点不在抛物线上，故假设不成立，即POD不可能是等边三角形；（3）PHBO，MHB=90，根据（2）中的结果可知C点坐标为(0,4)，即OC=4，B点(2,0)，OB=2，tanCBO=2，分类讨论第一种情况：BMHCMP，MHB=MPC=90，PCOB，即P点纵坐标等于C点纵坐标，也为4，当y=4时，2x2+2x+4=4，解得：x=1或者0，P点在第一象限，此时P点坐标为(1,4)，第二种情况：BMHPMC，过P点作PGy

23、轴于点G，如图，BMHPMC，MHB=MCP=90，GCP+OCB=90，OCB+OBC=90，GCP=OBC，tanGCP=tanOBC=2，PGOG，在RtPGC中，2GC=GP，设GP=a，GC=12a，GO=12a+OC=12a+4，PGOG，PHOH，可知四边形PGOH是矩形，PH=OG=12a+4，P点坐标为(a,12a+4)，12a+4=2a2+2a+4，解得：a=34或者0，P点在第一象限，a=34，12a+4=358，此时P点坐标为(34,358)；BMH与PCM中，有BMH=PMC恒相等，PCM中，当CPM为直角时，若PCM=BMH，则可证PCM是等腰直角三角形，通过相似可

24、知BMH也是等腰直角三角形，这与tanCBO=2相矛盾，故不存在当CPM为直角时，PCM=BMH相等的情况；同理不存在当PCM为直角时，CPM=BMH相等的情况，综上所述：P点坐标为：(1,4)或者(34,358)【点睛】本题考查了求解抛物线解析式、二次函数的图像与性质、等边三角形的判定、相似三角形的性质、解直角三角形等知识，掌握二次函数的图像与性质是解答本题的关键2（2022湖南衡阳统考中考真题）如图，已知抛物线y=x2x2交x轴于A、B两点，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”，图象W交y轴于点C(1)写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系

25、式；(2)若直线y=x+b与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出b的值；(3)P为x轴正半轴上一动点，过点P作PMy轴交直线BC于点M，交图象W于点N，是否存在这样的点P，使CMN与OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)y=x2+x+21x2(2)b=2或b=3(3)存在，1,0或1+172,0或1+5,0【分析】（1）先求出点A、B、C坐标，再利用待定系数法求解函数关系式即可；（2）联立方程组，由判别式=0求得b值，结合图象即可求解；（3）根据相似三角形的性质分CNM=90和NCM=90讨论求解即可【详解】（1）解：由翻折可知：C0,2.令x2

26、x2=0，解得：x1=1，x2=2，A1,0，B2,0，设图象W的解析式为y=ax+1x2，代入C0,2，解得a=1，对应函数关系式为y=x+1x2=x2+x+2 1x2（2）解：联立方程组y=x+by=x2+x+2，整理，得：x22x+b2=0，由=4-4（b-2）=0得：b=3，此时方程有两个相等的实数根，由图象可知，当b=2或b=3时，直线y=x+b与图象W有三个交点；（3）解：存在如图1，当CNOB时，OBCNMC，此时，N与C关于直线x= 12 对称，点N的横坐标为1，P1,0；如图2，当CNOB时，OBCNMC，此时，N点纵坐标为2，由x2x2=2，解得x1=1+172，x2=11

27、72（舍），N的横坐标为1+172，所以P1+172,0；如图3，当NCM=90时，OBCCMN，此时，直线CN的解析式为y=x+2，联立方程组：y=x+2y=x2x2，解得x1=1+5，x2=15（舍），N的横坐标为1+5，所以P1+5,0，因此，综上所述：P点坐标为1,0或1+172,0或1+5,0【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及翻折性质、待定系数法求二次函数解析式、二次函数与一次函数的图象交点问题、相似三角形的性质、解一元二次方程等知识，综合体现数形结合思想和分类讨论思想的运用，属于综合题型，有点难度3（2021黑龙江统考中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+3(a0)与x轴交于点

28、A1,0和点B3,0，与y轴交于点C，连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，顶点为点D（1）求抛物线的解析式；（2）点P是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点Q在射线ED上，若以点P、Q、E为顶点的三角形与BOC相似，请直接写出点P的坐标【答案】（1）y=x22x+3；（2）P1(12,2),P2(2,3)【分析】（1）根据抛物线yax2+bx+3（a0）与x轴交于点A（1，0）和点B（3，0），即可得到关于a、b的方程，从而可以求得a、b的值，然后即可写出抛物线的解析式；（2）根据（1）中抛物线的解析式，设点P的坐标，然后再根据BOC是等腰直角三角形，得出PQE是等腰直角三角形，再分类讨论，列出方

29、程，即可求解【详解】解：（1）抛物线yax2+bx+3（a0）与x轴交于点A（1，0）和点B（3，0），a+b+3=09a3b+3=0解得a=1b=2此抛物线的解析式为：y=x22x+3（2）当x=0时，y=3，所以，OB=OC=3，BOC是等腰直角三角形，以点P、Q、E为顶点的三角形与BOC相似，PQE是等腰直角三角形，设点P的坐标为(m，m22m+3)，抛物线的对称轴为直线x=b2a=221=1，设BC的解析式为y=kx+n，将B（3，0），C（0，3）代入得，3k+n=0n=3，解得，k=1n=3，故BC的解析式为y=x+3，把x=1代入得，y=2，则E点坐标为(1，2)，如图，当E为直

30、角顶点时，m22m+3=2，解得，m1=12，m2=1+2（舍去），把m1=12代入得，m22m+3=2，则P点坐标为(12,2)，当Q为直角顶点时，PQ=QE，即m22m+32=1m，解得m1=2，m2=0（舍去），把m1=2代入得，m22m+3=3，则P点坐标为(2,3)；当P为直角顶点时，作PMEQ于M，PM=ME，即m22m+32=1m，解得m1=2，m2=0（舍去），则P点坐标为(2,3)；综上，P点坐标为(12,2)或(2,3)【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式和相似三角形与等腰直角三角形的性质，解题关键是熟练运用待定系数法和设出点的坐标，根据题意列出方程4（2022四川

31、绵阳东辰国际学校校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线y=43x+4与x轴，y轴分别交于B、C两点，抛物线y=ax2+bx+c经过B、C两点，与x轴负半轴交于点A，连接AC，且cosCAB=1717(1)求抛物线解析式(2)点P是抛物线上的一点当点P在第一象限时，过点P作PDy轴交BC于点D，过点D作DEy轴交于点E，连接EP，当PDE和BOC相似时，求点P的坐标当ABP=12ABC时，求点P的坐标【答案】(1)y=43x2+83x+4(2)2,4或3916,16564；58,2916或118,3516【分析】（1）先根据直线BC的解析式求出点B和C的坐标，再利用待定系数法求抛物线的解析

32、式；（2）设出P点的横坐标为m，用m的代数式表示PD和DE，然后根据相似三角形的两种情况，由两组对应角相等，利用相等的三角函数值列出关于m的方程即可；过点B作BP平分ABC，交拋物线于点P1，过点C作CGx轴，交BG于点G，可得到CBG=G，利用勾股定理和等腰三角形的性质得到GC=BC=5，可确定点G的坐标，进而求出直线BG与抛物线的交点坐标，便可得出其中一个满足条件的P点坐标；利用翻折，设BG与y轴的交点为点M，M关于x轴的对称点为N，进而求得直线BN与抛物线的交点坐标，便可得出另一个满足条件的P点坐标【详解】（1）解：直线y=43x+4与x轴，y轴分别交于B、C两点，当x=0时，y=430

33、+4=4，C0,4，OC=4，当y=0时，得43x+4=0，解得：x=3，B3,0，OB=3，cosCAB=OAAC=1717，设OA=17k，AC=17k，AC2=OA2+OC2，17k2=17k2+42，解得：k1=1717，k2=1717（舍去），OA=17k=1，A1,0，抛物线y=ax2+bx+c经过B、C两点，与x轴负半轴交于点A，ab+c=09a+3b+c=0c=4，解得：a=43b=83c=4拋物线的解析式为y=43x2+83x+4（2）设Pm,43m2+83m+4，PDy轴交BC于点D，DEy轴交于点E，Dm,43m+4，PD=43m2+83m+443m+4 =43m2+4m

34、，DE=m，tanPED=PDDE=43m+4，PDE=BOC=90，PDE和BOC相似分以下两种情况：当PED=CBO时，tanPED=tanCBO=COBO，43m+4=43，解得m=2，43m2+83m+4=4322+832+4=4，P2,4；当PED=BCO时，tanPED=tanBCO=BOCO，43m+4=34，解得：m=3916，43m2+83m+4=4339162+833916+4=16564，P3916,16564综上所述，当PDE和BOC相似时，点P的坐标为2,4或3916,16564如图，过点B作BG平分ABC，交拋物线于点P1，ABP1=12ABC，ABG=CBG，过点

35、C作CGx轴，交BG于点G，ABG=G，CBG=G，OB=3，OC=4，BC=OB2+OC2=32+42=5，GC=BC=5，点G的坐标为5,4，又B3,0，设直线BG的解析式为y=k1x+b1，5k1+b1=43k1+b1=0，直线BG的解析式为y=12x+32，由y=43x2+83x+4y=12x+32，解得：x1=3y1=0，x2=58y2=2916，P158,2916；将直线BG沿x轴翻折，交拋物线于点P2，ABP2=ABP1=12ABC，设BG与y轴的交点为点M，M关于x轴的对称点为N，直线BG的解析式为y=12x+32，当x=0时，y=120+32=32，M0,32，N0,32，设

36、直线BN的解析式为y=k2x+b2，3k2+b2=0b2=32y=12x32，由y=43x2+83x+4y=12x32，解得：x1=3y1=0，x2=118y2=3516，P2118,3516综上所述，当ABP=12ABC时，点P坐标为58,2916或118,3516【点睛】本题考查二次函数的综合应用，运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，三角函数的应用，角平分线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，根据解析式表示点的坐标，再由点的坐标表示线段的长，利用等量关系列方程或方程组求解，利用方程组确定两个函数图像的交点分类讨论的应用是解题的关键5（2022内蒙古包头模拟预

37、测）如图，已知正方形OABC的边OC，OA分别在x轴和y轴的正半轴上，点B的坐标为4，4二次函数y=16x2+bx+c的图象经过点A，B，且x轴的交点为E，F点P在线段EF上运动，过点O作OHAP于点H直线OH交直线BC于点D，连接AD(1)求b，c的值及点E和点F的坐标；(2)在点P运动的过程中，当AOP与以A，B，D为顶点的三角形相似时，求点P的坐标；(3)当点P运动到OC的中点时，能否将AOP绕平面内某点旋转90后使得AOP的两个顶点落在x轴上方的抛物线上？若能，请直接写出旋转中心M的坐标；若不能，请说明理由【答案】(1)b=23，c=4，E227，0，F2+27，0；(2)当AOP与以

38、A，B，D为顶点的三角形相似时，点P的坐标为2，0或2+25，0或225，0；(3)旋转中心M的坐标为2，2或0，4或2516，4916或116，4116【分析】（1）先由点B的坐标和正方形OABC的性质得到点A的坐标，然后将点A和点B的坐标代入函数解析式，求得b和c的值，得到二次函数的解析式，再令y=0求得点E和点F的坐标；（2）分三种情况讨论，当点P在线段OC上，由OA=AB结合三角形相似得到AOP与ABD全等，求得OP=BD，即可得到点P的坐标；点P在线段CF上，通过AOP与ABD相似，以及AOP和OCD全等即可求得点P的坐标；点P在线段OE上通过AOP与DBA相似，以及AOP与OCD全

39、等得到点P的坐标；（3）分四种情况讨论，设AOP绕点M顺时针旋转90得到AOP，且点P、A两点在抛物线上，设Ox，y，则Px，y2，Ax+4，y，然后将P、A代入抛物线的解析式，求得x、y的值，最后通过OMGMOHAAS即可求得点M的坐标同法可求得其他情况下点M的坐标【详解】（1）解：正方形OABC的边OC，OA分别在x轴和y轴的正半轴上，点B的坐标为4，4，A0，4，C4，0，将点A0，4，B4，4分别代入y=16x2+bx+c，得c=41616+4b+c=4，解得：b=23c=4，二次函数的解析式为y=16x2+23x+4，令y=0，则16x2+23x+4=0，解得：x=2+27或227，

40、点E227，0，F2+27，0；（2）解：四边形OABC是正方形，OA=OC，AOP=OCD=90，OAP+APO=90，OHAP，COD+APO=90，OAP=COD，AOPOCDASA，OP=CD，设Pt，0，当点P在线段OC上时，如图所示，则OAP45，BADODC，ODC=APO，ADBAPO，AOP与ABD相似，AOPDBA，AODB=OPAB，OP=CD，DB=PC=t4，4t4=t4，解得：t=225（舍）或t=2+25，点P的坐标为2+25，0；点P在线段OE上时，如图所示，COD+ODC=90，HOP+APO=90，COD=HOP，ODC=APO，ODCADB，APOADB，

41、AOPABD，AODB=OPAB，OP=CD，DB=PC=4t，44t=t4，解得：t=225或t=2+25（舍），点P的坐标为225，0；综上所述，当AOP与以A，B，D为顶点的三角形相似时，点P的坐标为2，0或2+25，0或225，0；（3）解：AOP绕点M2，2顺时针旋转90时，点A与点B重合，点O与点A重合，点A和点B在x轴上方的抛物线上，旋转中心M的坐标为2，2；AOP绕点M0，4逆时针旋转90时，点O与点B重合，点A和点B在x轴上方的抛物线上，旋转中心M的坐标为0，4；如图3所示，设AOP绕点M顺时针旋转90得到AOP，且点P、A两点在抛物线上，设Ox，y，则Px，y2，Ax+4，

42、y，16x2+23x+4=y216x+42+23x+4+4=y，解得：x=32y=378，O32，378，过点M作GHy轴，交OC于点H，交OA于点G，连接OM、OM，则OGM=OHM=OMO=90，OM=OM，OMG+MOG=90，OMG+OMH=90，MOG=OMH，OMGMOHAAS，设Ma，b，则OG=MH=b，MG=OH=a，ba=32a+b=378，解得：a=2516b=4916，点M的坐标为2516，4916；如图4所示，设AOP绕点M逆时针旋转90得到AOP，且P、A两点在抛物线上，设Ox，y，则Px，y4，Ax+2，y，同理可证，M的坐标为116，4116；综上所述，旋转中心

43、M的坐标为2，2或0，4或2516，4916或116，4116【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、正方形的性质、相似三角形的性质、全等三角形的判定与性质，会用待定系数法求得二次函数的解析式是解题的关键6（2022江苏无锡无锡市天一实验学校校考模拟预测）如图，抛物线y=14x2+bx+c与x轴的一个交点为A2，0，与y轴的交点为B0，4，对称轴与x轴交于点P(1)求抛物线的解析式；(2)点M为y轴正半轴上的一个动点，连接AM，过点M作AM的垂线，与抛物线的对称轴交于点N，连接AN若AMN与AOB相似，求点M的坐标；若点M在y轴正半轴上运动到某一位置时，AMN有

44、一边与线段AP相等，并且此时有一边与线段AP具有对称性，我们把这样的点M称为“对称点”，请直接写出“对称点”M的坐标【答案】(1)y=14x2+32x+4(2)M点的坐标为0，6或0，32 ；M点的坐标为0，21或0，6或0，32【分析】（1）利用待定系数法去求抛物线解析式；（2）先求出抛物线的对称轴为x=3，作MD直线x=3于点D，作AEMD于E，根据相似三角形的判定和性质进行如下的分类讨论即可：（1）当AMOB=MNOA时，（2）当AMOA=MNOB时进行求解即可；先确定AP=5进行如下的分类讨论即可：（1）当AM=AP=5时，（2）当AN=AP=5时，（3）当MN=5时进行求解即可【详解

45、】（1）将点A2，0，B0，4分别代入y=14x2+bx+c得12b+c=0c=4，解得b=32c=4，抛物线的解析式为y=14x2+32x+4；（2）抛物线的对称轴为直线x=32214=3，作MD直线x=3于点D，作AEMD于E，AMN=AOB，当AMOB=MNOA，即AMMN=OBOA=42=2，AMNBOA，如图1，EAM+EMA=90，DMN+EMA=90，EAM=DMN，AEM=MDN=90，AEMMDN，AEMD=AMMN=2，而MD=3，AE=6，此时M点的坐标为0，6，当AMOA=MNOB，即AMMN=OAOB=24=12，AMNAOB，如图2，同理可得AEMMDN，AEMD=

46、AMMN=12，而MD=3，AE=32，此时M点的坐标为0，32，综上所述，M点的坐标为0，6或0，32；A2，0，P3，0，AP=5，当AM=AP=5时，OM=5222=21，此时点M的坐标为0，21；当AN=AP=5时，点N与点P重合，则OM2=OAOP，OM=23=6，此时M点的坐标为0，6；当MN=5时，在RtMND中，DN=5232=4，AEMMDN，AEMD=EMDN，即AE3=24，解得AE=32，此时点M的坐标为0，32，综上所述，M点的坐标为0，21或0，6或0，32【点睛】本题考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数

47、解析式；会灵活应用相似三角形的判定和性质进行几何计算；理解坐标与图形的性质；会利用分类讨论的思想解决数学问题7（2022山东济南模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线l与抛物线y=mx2+nx相交于A1，3，B4，0两点(1)求出抛物线的解析式；(2)在坐标轴上是否存在点D，使得ABD是以线段AB为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；(3)点P是线段AB上一动点，（点P不与点A、B重合），过点P作PMOA，交第一象限内的抛物线于点M，过点M作MCx轴于点C，交AB于点N，若BCN，PMN的面积SBCN，SPMN满足SBCN=2SPMN，求出MNNC的

48、值，并求出此时点M的坐标【答案】(1)y=x2+4x(2)存在，D点坐标为1，0或0，4或0，1(3)MNNC=2，M点坐标为2+1，3+22【分析】（1）利用待定系数法来求解；（2）分两种情况来求解：点D在x轴上和点D在y轴上当点D在x轴上时，过点A作ADx轴于点D，易求D点的坐标；当点D在y轴上时，设D0，d，在RtABD中利用勾股定理可求得d的值，可的答案；（3）过P作PFCM于点F，易证RtADORtMFP，从而得到MF=3PF，在RtABD中和在RtPFN中利用三角函数得出MN=4PF，设BC=a，则CN=a，利用BCN和PMN之间的面积关系，进而表示出M的坐标，再根据M点在抛物线上

49、求出a的值，进而得到答案【详解】（1）解：A1，3，B4，0两点在抛物线y=mx2+nx的图像上，m+n=316m+4n=0 ，解得 m=1n=4 ，抛物线解析式为y=x2+4x；（2）解：存在三个点满足题意，理由如下：当点D在x轴上时，如图1，过点A作ADx轴于点D，A1，3，D坐标为1，0；当点D在y轴上时，设D0，d，则AD21+3d2，BD2=42+d2，且AB2=412+32=18，ABD是以AB为斜边的直角三角形，AD2=BD2+AB2，即1+3d2+42+d2=18，解得d=4，或d=1D点坐标为0，4或0，1；综上可知存在满足条件的D点，其坐标为1，0或0，4或0，1；（3）解

50、：如图2，过P作PFCM于点F，PMOA，RtADORtMFP，MFPF=ADOD=3，MF=3PF，在RtABD中，BD=3，AD=3，tanABD=1，ABD=45，设BC=a，则CN=a，在RtPFN中，PFN=BNC=45，tanPNF=PFFN=1，FN=PF，MN=MF+FN=4PF，SBCN=2SPMN，12a2=2124PF2，a=22PF，NC=a=22PF，MNNC=4PF22PF=2，MN=2NC=2a，MC=MN+NC=2+1a，M点坐标为4a，2+1a，又M点在抛物线上，代入可得4a2+44a=2+1a，解得a=32或a=0（舍去），OC=4a=2+1，MC=3+22

51、，点M的坐标为2+1，3+22【点睛】本题主要考查二次函数图像综合问题，涉及三角函数的计算及相似三角形的判定及性质的运用，能够熟练运用数形结合思想是解题关键8（2022山东济南统考一模）如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知A，B两点坐标分别是A(1,0)，B(4,0)，连接AC,BC(1)求抛物线的表达式；(2)将ABC沿BC所在直线折叠，得到DBC，点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上？若点D在对称轴上，请求出点D的坐标；若点D不在对称轴上，请说明理由；(3)若点P是抛物线位于第二象限图象上的一动点，连接AP交BC于点Q，连接BP，BPQ的面积记为S1，

52、ABQ的面积记为S2，求S1S2的值最大时点P的坐标【答案】(1)y=12x232x+2(2)点D不在抛物线的对称轴上，理由见解析(3)(2,3)【分析】（1）利用待定系数法可求得函数的表达式；（2）抛物线的表达式为y=12x232x+2，可证明AOCCOB，继而可证ACBC，则将ABC沿BC所在直线折叠，点D一定落在直线AC上，延长AC至D，使DC=AC，过点D作DEy轴交y轴于点E，可证ACODCE，可得点D横坐标则可判断D点是否在抛物线对称轴上；（3）先求出过点B、C的直线解析式，分别过A、P作x轴的垂线，利用解析式，用同一个字母m表示出P，N的坐标，再证明AQMPQN，进而用m表示出S

53、1S2的值，根据二次函数的性质可以确定出S1S2的最大值，进而可确定出此时的P点坐标【详解】（1）解：抛物线y=ax2+bx+2过点A(1,0)，B(4,0)，a+b+2=016a4b+2=0， 解得：a=12b=32， 抛物线的表达式为y=12x232x+2（2）解：点D不在抛物线的对称轴上，理由是：抛物线的表达式为y=12x232x+2，点C坐标为(0,2) OA=1，OC=2，OAOC=OCOB又AOC=COB=90，AOCCOB，ACO=CBO，ACO+BCO=OBC+BCO=90，ACBC将ABC沿BC所在直线折叠，点D一定落在直线AC上，延长AC至D，使DC=AC，过点D作DEy轴

54、交y轴于点E又ACO=DCE，ACODCE(AAS)，DE=AO=1，则点D横坐标为1， 抛物线的对称轴为直线x=32，点D不在抛物线的对称轴上（3）解：设过点B、C的直线表达式为y=px+q，C(0,2)，B(4,0)，2=q0=4p+q，解得：p=12q=2，过点B、C的直线解析式为y=12x+2过点A作x轴的垂线交BC的延长线于点M，当x=1时，y=12+2=52，点M坐标为(1,52)，AM=52过点P作x轴的垂线交BC于点N，设点P坐标为(m,12m232m+2)，则点N坐标为(m,12m+2)，PN=12m232m+2(12m+2)=12m22m， PNAM，AQMPQN，PQAQ

55、=PNAM若分别以PQ、AQ为底计算BPQ和BAQ的面积（同高不等底），则BPQ与BAQ的面积比为PQAQ，即S1S2=PQAQ，S1S2=PNAM=12m22m52=m254m5=15(m+2)2+45 150，当m=2时，S1S2的最大值为45，此时点P坐标为(2,3)【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积的计算，二次函数中常见辅助线的作法，利用点的坐标表示线段的长度，确定函数最值，关键在于作出垂线段利于用点的坐标表示相关线段的长度9（2022山东济南统考模拟预测）如图，直线y=23x+c与x轴交于点A3,0，与y轴交于点B，抛物线

56、y=43x2+bx+c经过点A，B (1)求点B的坐标和抛物线的解析式；(2)M为线段OA上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N若以B，P，N为顶点的三角形与APM相似，求点M的坐标；(3)将抛物线在0x3之间的部分记为图象L，将图象L在直线y=t上方部分沿直线y=t翻折，其余部分保持不动，得到一个新的函数图象，记这个函数的最大值为a，最小值为b，若ab2，请直接写出t的取值范围【答案】(1)0,2；y=43x2+103x+2(2)52,0或118,0(3)1312t3【详解】（1）解：将3,0代入y=23x+c得0=2+c，解得c=2，直线AB的解析式为y=23

57、x+2，将x=0代入y=23x+2得y=2，点B坐标为0,2将3,0,0,2代入y=43x2+bx+c得：0=439+3b+c2=c，解得b=103c=2，抛物线的解析式为y=43x2+103x+2（2）解：BPN=APM， 当PBNPAM时， BNP=AMP，此时BNAM；当PBNPMA时， PBN=PMA=90，如图，当PBNPAM时，BNAM，点B，N关于抛物线对称轴对称，y=43x2+103x+2，抛物线对称轴为直线x=10383=54，点B坐标为0,2，点N坐标为52,2，点M坐标为52,0；如图，当PBNPMA时， PBN=PMA=90，作NCy轴于点C，设Nm,43m2+103m

58、+2，则CB=43m2+103m+22=43m2+103m，NBC+ABO=ABO+BAO=90，NBC=BAO，NBCBAO，NCOB=CBOA，即m2=43m2+103m3，解得m=118或0（舍去）， 点M坐标为118,0；综上所述，点M坐标为52,0或118,0；（3）解：y=43x2+103x+2=43x542+4912，抛物线顶点坐标为54,4912，翻折后顶点坐标为54,2t4912，当点A为最低点时，t03，解得t3，令t2t4912=3，解得t=1312，1312t3【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握相似三角形的性质，通过分类讨论求

59、解10（2022辽宁丹东校考一模）已知抛物线y=12x2+bx+c经过点A(2,0)，B(0,4)，与x轴交于另一点C，连接BC(1)求抛物线的解析式；(2)如图，P是第一象限内抛物线上一点，且SPBO=SPBC，求直线AP的表达式；(3)在抛物线上是否存在点D，直线BD交x轴于点E，使ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)y=12x2x4(2)y=x+2(3)(8,20)或(43,409)【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；（2）令y=0求抛物线与x轴的交点C的坐标，作POB和PBC的高线，根据

60、面积相等可得OE=CF，证明OEGCFG，则OG=CG=2，根据三角函数列式可得P的坐标，利用待定系数法求一次函数AP的解析式；（3）先利用概率的知识分析A，B，C，E中的三点为顶点的三角形，有两个三角形与ABE有可能相似，即ABC和BCE，当ABE与以A，B，C中的三点为顶点的三角形相似，如图2，根据存在公共角BAE=BAC，可得ABEACB，列比例式可得E的坐标，利用待定系数法求直线BE的解析式，与抛物线列方程组可得交点D的坐标；当ABE与以B，C、E中的三点为顶点的三角形相似，如图3，同理可得结论【详解】（1）解：把点A(2,0),B(0,4)代入y=12x2+bx+c，得22b+c=0

61、c=4，解得：b=1c=4，抛物线的解析式为：y=12x2x4；（2）解：当y=0时，12x2x4=0，解得：x=2或4，C(4,0)，如图1，过O作OEBP于E，过C作CFBP于F，设PB交x轴于G，SPBO=SPBC.，12PBOE=12PBCF，OE=CF，OEG=CFG,OGE=CGF，OEGCFGAAS，OG=CG=2，设P(x,12x2x4)，过P作PMy轴于M，tanPBM=PMBM=OGOB=24=12，BM=2PM，.4+12x2x4=2x，x26x=0，x1=0（舍），x2=6，y=123664=8，P(6,8)，设直线AP的解析式为y=kx+b，2k+b=06k+b=8，

62、k=1b=2y=x+2；（3）解：以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形有ABC,ABE,ACE,BCE共4个，其中ABE重合，不符合条件，ACE不能构成三角形，当ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似，存在两个三角形：ABC和BCE，当ABE与以A，B，C中的三点为顶点的三角形相似，如图2，BAE=BAC,ABEABC，ABE=ACB=45，ABEACB，ABAC=AEAB，256=AE25，AE=103,OE=1032=43E(43,0)，B(0,4)，由待定系数法可求BE的解析式为：y=3x4，则12x2x4=3x4，x1=0（舍），x2=8.，D(8,20)；当ABE与以B

63、，C、E中的三点为顶点的三角形相似，如图3，此时E在C的左边，BEA=BEC，当ABE=BCE时，ABEBCE，ABBC=BECE=2542，设BE=25m,CE=42m，RtBOE中，由勾股定理得：BE2=OE2+OB2，42+(42m4)2=(25m)2，3m282m+8=0，m1=22,m2=223，OE=42m4=12或43，OE=432，AEB或BEC是钝角，此时ABE与以B，C、E中的三点为顶点的三角形不相似，如图4，E(12,0)；由待定系数法可求BE的解析式为：y=13x4，13x4=12x2x4，x=43或0（舍）.D(43,409)；同理可得E在C的右边时，ABEBCE，A

64、BBC=AEBE=2542，设AE=25m,BE=42m,，RtBOE中，由勾股定理得：BE2=OE2+OB2，(25m2)2+42=(42m)2，3m2+25m5=0，m1=5,m2=53，OE=12（舍）或43，OE=434，BEC是钝角，此时ABE与以B，C、E中的三点为顶点的三角形不相似，综上，点D的坐标为(8,20)或(43,409)【点睛】本题考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式，相似三角形的性质和判定，一元二次方程的解法，三角形面积以及勾股定理，分类讨论是解（3）的关键11（2022宁夏银川校考三模）如图，平面直角坐标系中，

65、四边形OABC为矩形，点A、B的坐标为6,0、6,8，动点M、N分别从O、B同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，其中点M 沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动，过点N作NPBC，交AC于点P，连接MP，已知动点运动了x秒(1)用含x的代数式表示P的坐标(2)设四边形OMPC的面积是y，求y的最小值，求出此时x的值(3)是否存在x的值，使以 P 、A 、M 为顶点的三角形与AOC相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由【答案】(1)P6x,43x(2)当x=3时，y的最小值为18(3)存在，见解析【分析】（1）根据矩形的性质求出C点坐标，利用待定系数法求出AC的解析式，求出CN的

66、长度表达式即为P点横坐标，代入解析式即可求出P点的纵坐标，从而得到P点坐标表达式；（2）求出AM的长度表达式，根据三角形的面积公式求出AMP的面积表达式，用ACO的面积减去AMP的面积的表达式即为四边形OMPC的面积表达式，再根据二次函数的最值求法解答；（3）先假设以P、A、M为顶点的三角形与AOC相似，再根据相似三角形的性质进行计算，若能求出x，则存在；否则不存在【详解】（1）四边形OABC是矩形，点A、B的坐标为6,0、6,8，C的坐标为0,8设AC的解析式为y=kx+b将点A6,0、C0,8代入y=kx+b得：6k+b=0b=8，解得：k=43b=8则AC的解析式为y=43x+8CN=6

67、xyP=436x+8=43x则点P的坐标是6x,43x（2）AM=OAOM=6x，SAMP=126x43x=23x2+4x，S四边形OMPC=SAOCSAMP=126823x2+4x=23x24x+24=23x32+18当x=3时，y的最小值为18（3）存在，理由如下：在ABC中，ABPN则BNBC=APAC，即x6=AP10解得AP=53x，且AM=6x若AMPAOC时，AMAO=APAC，即6x6=53x10解得x=3若APMAOC时，AMAC=APAO，即53x6=6x10解得x=2717综上所述，当x=3秒或x=2717秒时以P 、A 、M 为顶点的三角形与AOC相似【点睛】本题考查了

68、动点问题与相似三角形的性质，根据题意，逐步解答，充分利用前一问题的结论是解题的关键，同时要注意分类讨论12（2022河南郑州统考一模）已知，二次函数y=ax2+bx3的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于C点，点A的坐标为1,0，且OB=OC(1)求二次函数的解析式；(2)当0x4时，求二次函数的最大值和最小值分别为多少？(3)设点C与点C关于该抛物线的对称轴对称在y轴上是否存在点P，使PCC与POB相似，且PC与PO是对应边？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)y=x22x3(2)函数的最大值为5，最小值为4(3)存在，P(0,9)或P(0,95)【

69、分析】（1）先求出点C的坐标，得到点B的坐标，再将点A、B的坐标代入解析式计算即可；（2）将函数解析式化为顶点式，根据函数的性质解答即可；（3）存在点P，设P0,m，根据相似三角形对应边成比例列得PCPO=CCOB，代入数值求出m即可【详解】（1）二次函数y=ax2+bx3的图象与y轴交于C点，C0,3OB=OC，点A在点B的左边，B3,0又点A的坐标为1,0，由题意可得：0=9a+3b30=ab3，解得：a=1b=2二次函数的解析式为y=x22x3（2） y=x22x3=x124，二次函数顶点坐标为1,4，当x=1时，y最小值=4，当0x1时，y随着x的增大而减小，当x=0时，y最大值=3，

70、当1x4时，y随着x的增大而增大，当x=4时，y最大值=5当0x4时，函数的最大值为5，最小值为4（3）存在点P，如图，设P0,m，CCOB，且PC与PO是相似三角形的对应边，PCPO=CCOB，即：m3m=23，解得：m=9或m=95，P0,9或P0,95【点睛】此题考查了二次函数与图形问题，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的对称性，相似三角形的性质，二次函数的最值，正确掌握二次函数的综合知识是解题的关键13（2022四川成都成都市树德实验中学校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=14x2+32x+4与两坐标轴分别相交于A，B，C三点(1)求证：ACB=90；(2)点

71、D是第一象限内抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线交BC于点E，交x轴于点F求DE+255BE的最大值；点G是AC的中点，若以点C，D，E为顶点的三角形与AOG相似，求点D的坐标【答案】(1)见解析(2)9；D(4,6)或D(3,254)【分析】（1）分别计算A，B，C三点的坐标，再利用勾股定理求得AB、BC、AC的长，最后利用勾股定理逆定理解题；（2）先解出直线BC的解析式，设D(x,14x2+32x+4)，得出BF=8x，DE=14x2+2x，由OCDF，得出255BE=BF利用二次函数的配方法求最值；根据直角三角形斜边的中线性质，解得AG的长，再证明CAO=DEC，再分两种情况讨论以点C，

72、D，E为顶点的三角形与AOG相似，结合相似三角形对应边成比例性质解题即可【详解】（1）解：令x=0，得y=4，C(0,4)，令y=0得14x2+32x+4=0，x26x16=0，(x8)(x+2)=0，A(2,0)，B(8,0)，AB=10,AC=(0+2)2+(40)2=25,BC=(80)2+(04)2=45，102=(25)2+(45)2，AB2=AC2+BC2，ACB=90，（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b(k0)，代入B(8,0)，C(0,4)得8k+b=0b=4，k=12b=4，y=12x+4，设D(x,14x2+32x+4)，BF=8x，DE=14x2+32x+4(12x

73、+4)=14x2+2x，OCDF，BEBF=BCOB=458=52，255BE=BF，DE+255BE=DE+BF=14x2+2x+8x，=14x2+x+8=14(x24x)+8=14(x2)2+9，140PE=n-1当EFBPEH时EFPE=BFEH1n1=222解得：n=2+1 此时P点坐标为：(4,2+1) 当EFBHEP时EFEH=BFPE122=2n1解得：n=42+1 此时P点坐标为：(4,42+1) 综上所述，存在P(4,2+1)或(4,42+1)，使以E，H，P为顶点的三角形与EFB相似【点睛】本题考查了二次函数的性质、相似三角形的判定和性质、待定系数法求二次函数的解析式、垂直

74、平分线的性质，解题的关键是分类作出对应的图形利用相似三角形的性质求出点P24（2022山东泰安统考二模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=12x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=12x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B(1)求抛物线的函数表达式；(2)点D为直线AC上方抛物线上一动点，连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，求DEEB的最大值；过点D作DFAC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得CDF中的DCF2BAC，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)y=12x232x+2(2)45；存在，D（-2，3）【分析】（1）根据题意得到

75、A（-4，0），C（0，2）代入y=-12x2+bx+c，于是得到结论；（2）如图1，令y=0，解方程得到x1=-4，x2=1，求得B（1，0），过D作DMx轴于M，过B作BNx轴交于AC于N，根据相似三角形的性质即可得到结论；根据勾股定理的逆定理得到ABC是以ACB为直角的直角三角形，取AB的中点P，求得P（-32，0），得到PA=PC=PB=52，过D作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延线于G，解直角三角形即可得到结论(1)解：对于函数：y=12x+2，令x=0，则y=2，令y=0，则x=-4，A（-4，0），C（0，2），抛物线y=-12x2+bx+c经过AC两点，0=12164b+c2

76、=c，b=-32，c=2，y=-12x2-32x+2；(2)解：如图，令y0，12x232x+2=0，x1=4，x2=1，B（1，0），过D作DMx轴交AC于点M，过B作BNx轴交于AC于N，DMBN，DMEBNE，DEBE=DMBN，设Da,12a232a+2，Ma,12a+2，B（1，0），N1,52，DEBE=DMBN=12a22a52=15a+22+45，-150，当a-2时，DEBE的最大值是45；A（-4，0），B（1，0），C（0，2），AC=25，BC=5，AB5，AC2+BC2=AB2，ABC是以ACB为直角的直角三角形，取AB的中点P，P32,0，PA=PC=PB=52，CPO2BAC，tanCPO=tan2BAC=43，过D作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延长线于G，如图，DCF2BACDGC+CDG，CDGBAC，tanCDG=tanBAC=12，即RCDR=12，令Da,12a232a+2，DR-a，RC=12a232a，12a232aa=12，a1=0（舍去），a2=2，xD=2，yD=3D（-2，3）【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，直角三角形的性质等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键