专题3.18 用勾股定理解决折叠问题（分层练习）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）.docx

1、专题3.18 用勾股定理解决折叠问题（分层练习）一、 单选题1如图，ABC中，ACB90，AC4，BC3，将ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则AE的长为（）A B3 C D2如图，将等腰直角三角形（）沿折叠，使点落在边的中点处，那么线段的长度为A5 B4 C4. 25 D 3如图，长方形中，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为则的长为（）A13 B12 C10 D84如图，在长方形纸片ABCD中，AB3，AD5，折叠纸片，使点A落在BC边上的A处，折痕为PQ，当点A在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动，若限定P、Q分别在AB、AD边上移动，则点AB最小值和最大值分别为（）A1

2、和 3 B1 和 4 C2 和 3 D2 和 45如图，在中，将边沿折叠，使点B落在上的点处，再将边沿折叠，使点A落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点N、M，则线段的长为（）A B C D6如图，将一张正方形纸片对折，使与重合，得到折痕后展开，E为上一点，将沿所在的直线折叠，使得点C落在折痕上的点F处，连接若，则的长度为（）A B C D二、 填空题7如图，AD是的中线，ADC=45，把沿AD翻折，使点C落在点的位置，若BC=，则=_8如图，在ABC中，ACB90，AB13，BC12，D为BC边上一点将ABD沿AD折叠，若点B恰好落在线段AC的延长线上点E处，则DE的长为_9如图，在

3、中，点D在BC边上，且，将沿AD折叠，点C落在点处，连接，若，则BC的长为_10如图：在四边形纸片ABCD中，AB12，CD2，ADBC6，AB现将纸片沿EF折叠，使点A的对应点A落在AB边上，连接AC若ABC恰好是以AC为腰的等腰三角形，则AE的长为_11如图的实线部分是由 经过两次折叠得到的，首先将 沿 折叠，使点 落在斜边上的点 处，再沿 折叠，使点 落在 的延长线上的点 处若图中 ，则 的长为_ 12如图1是一张可折叠的钢丝床的示意图，这是展开后支撑起来放在地面上的情况，如果折叠起来，床头部分被折到了床面之下（这里的A、B、C、D各点都是活动的），活动床头是根据三角形的稳定性和四边形的

4、不稳定性设计而成的，其折叠过程可由图2的变换反映出来如果已知四边形中，那么_，_才能实现上述的折叠变化三、 解答题13如图，把长方形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，点落在点处. （1）试说明；（2）设，试猜想，之间的关系，并说明理由. 14如图，将长方形的边沿折痕折叠，使点D落在上的F处，若，求 15如图，在长方形纸片中，点P在边上，将沿折叠，点C落在点E处，分别交于点G，F，若，(1) 试说明(2) 求的长16如图，在中，把进行折叠，使点A与点D重合，折痕为，点E在上，点F在上，求的长 17在中，分别是和上的点，把沿着直线折叠，顶点的对应点是点(1)如图1，如果点恰好与顶点重合，求的长；(2

5、)如图2，如果点恰好落在直角边的中点上，求的长18综合与实践动手操作：用矩形下的折叠会出现等腰三角形，快速求BF的长（1）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=9，将此矩形折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，则等腰三角形是 ；（2）利用勾股定理建立方程，求出BF的长是多少？ （3）拓展：将此矩形折叠，使点B与DC的中点E重合，请你利用添加辅助线的方法，求AM的长；19如图，在中，(1)如图（1），把沿直线折叠，使点A与点B重合，求的长；(2)如图（2），把沿直线折叠，使点C落在边上G点处，请直接写出的长20在数学实验课上，李欢同学剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作：操作一：如图1，将R

6、tABC纸片沿某条直线折叠，使斜边两个端点A与B重合，折痕为DE（1）如果AC5cm，BC7cm，可得ACD的周长为_；（2）如果CAD：BAD1：2，可得B的度数为_；操作二：如图2，李同学拿出另一张RtABC纸片，将直角边AC沿直线CD折叠，使点A与点E重合，若AB10cm，BC8cm，请求出BE的长21如图RtABC中，C90，AC8，BC6，沿AB的垂线DE折叠ABC,（1）如图，若点A落在点B处，求AD的长；（2）如图，若点A落在AB的延长线的点F处，AD折叠后与CB交点G，且CGBG，求AD的长22小王剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作：(1)如图1，将RtABC沿某条直线折

7、叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为DE，若AC=6cm，BC=8cm，求CD的长(2)如图2，小王拿出另一张RtABC纸片，将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，若AC=6cm，BC=8cm，求CD的长23如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=10，E为CD边上一点，将ADE沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处（1）求BF的长；（2）求CE的长 24如图，在ABC中，C90，把ABC沿直线DE折叠，使ADE与BDE重合(1) 若A35，则CBD的度数为_；(2) 若AC8，BC6，求AD的长；(3) 当ABm(m0)，ABC的面积为m1时，求BCD的周长(用含m

8、的代数式表示) 25如图，折叠长方形的一边，使点落在边上的点处，.（1）求的长；（2）求的长. 26如图，将矩形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C处，BC交AD于E，AD=8，AB=4，（1）判断BDE的形状并说明理由；（2）求DEC的面积 27如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH（1）求证：APB=BPH；（2）当点P在边AD上移动时，求证：PDH的周长是定值；（3）当BE+CF的长取最小值时，求AP的长 参考答案1D【分析】先利用折叠的性

9、质得到，设，则，在中，根据勾股定理可得到，求解即可解：沿DE翻折，使点A与点B重合，设，则，在中，解得，故选：D【点拨】本题考查了折叠的性质及勾股定理的应用，理解题意，熟练掌握勾股定理解三角形是解题关键2D【分析】由折叠的性质可求得AE=A1E，可设AE=A1E=x，则BE=6-x，且A1B=3，在RtA1BE中，利用勾股定理可列方程，则可求得答案解：由折叠的性质可得AE=A1E，ABC为等腰直角三角形，BC=6，AB=6，A1为BC的中点，A1B=3，设AE=A1E=x，则BE=6-x，在RtA1BE中，由勾股定理可得32+（6-x）2=x2，解得x=，故选D【点拨】本题考查折叠的性质，利用

10、折叠的性质得到AE=A1E是解题的关键，注意勾股定理的应用3A【分析】设为x，则为，在由勾股定理有，即可求得解：由折叠的性质可知，设为x，则为，四边形为长方形，在中由勾股定理有即化简得解得，故选：A【点拨】本题考查了折叠问题求折痕或其他边长，主要可根据折叠前后两图形的全等条件，把某个直角三角形的三边都用同一未知量表示出来，并根据勾股定理建立方程，进而可以求解4A【分析】根据翻折变换，当点Q与点D重合时，点到达最左边，当点P与点B重合时，点到达最右边，所以点就在这两个点之间移动，分别求出这两个位置时B的长度解：当点D与点Q重合时，根据翻折对称性可得D=AD=5，在RtCD中，D2=C2+CD2，

11、 即52=（5-B）2+32，解得B=1，.当点P与点B重合时，根据翻折对称性可得B=AB=3，则点AB最小值和最大值分别为1和3故选：A【点拨】本题考查的是翻折变换及勾股定理，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键5B【分析】利用勾股定理求出AB=10，利用等积法求出CN，从而得AN，再证明NMCNCM45，进而即可得到答案解：AB=，SABCABCNACBCCN，AN，折叠AMAM，BCNBCN，ACMACM，BCN+BCN+ACM+ACM=90，BCN +ACM45，MCN45，且CNAB，NMCNCM45，MNCN，AMAMANMN-=故选B【点拨】本题考查了翻折变换，勾股定理，等腰

12、直角三角形的性质，熟练运用折叠的性质是本题的关键6A【分析】由正方形可得，再由折叠可得，利用勾股定理可求的长，进而得到，在中，利用勾股定理构造方程，即可求得的长解：四边形是正方形由折叠可得，故选：A【点拨】本题只要考查折叠问题中勾股定理的运用，在这类问题中利用勾股定理构造方程是常用的方法7.解：试题分析：首先证明线段CDBC且平分BC，然后求出线段CC的长即可解决问题试题解析：如图，连接CC由题意得CDC=2 45=90，AD是ABC的中线，BC=2BD=DC=；DC是BC的垂直平分线，BC=CC；CC=，BC=考点：翻折变换（折叠问题）8【分析】先由折叠的性质得到AE=AB=13，BD=ED

13、，再由勾股定理求出AC=5，从而得到CE=8，设DE=x，则DC=BCBD=12x，再利用勾股定理求解即可解：由折叠的性质可知，AE=AB=13，BD=ED，在ABC中，ACB90，AB13，BC12，ECD=90，CE=AEAC=8，设DE=x，则DC=BCBD=12x，在RtECD中，解得，故答案为：【点拨】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握折叠的性质和勾股定理9【分析】根据题意，设，则，由，可得，中勾股定理建立方程解方程求解即可解：，将沿AD折叠，点C落在点处，设，则，由，可得，在中，即解得（负值舍去）故答案为：【点拨】本题考查了折叠的性质，勾股定理，根据题意求得

14、是解题的关键101或.【分析】过点C作CMAB于点M，过点D作DNAB于点N，由“AAS”可证ADNBCM，可得ANBM，DNCM，即可证四边形DCMN是矩形，可得CDMN2，ANBM5，由折叠性质可得AEAE，分ACBC和ACAB两种情况讨论，由等腰三角形的性质和勾股定理可求解解：如图，过点C作CMAB于点M，过点D作DNAB于点N，四边形DCMN是矩形ANBM5将纸片沿EF折叠，使点A的对应点A落在AB边上，AEAE，若ACBC，且CMABBMAM5AAABAB12102AE1若ACAB，过点A作AHBC，CH2BC2BM2AC2AM2，3625AB2（5AB）2，ABAAABAB12AE

15、故答案为1或【点拨】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键11cm/2.4cm【分析】由折叠的性质得出BDC=BDC=CDC，ADE=ADE=ADA，BCD=C=90，求出BDE=BDC+ADE=90，DCAB，由勾股定理得出BE=5cm，由三角形面积即可得出答案解：ABC是直角三角形，C=90，由折叠的性质得：BDC=BDC=CDC，ADE=ADE=ADA，BCD=C=90，BDE=BDC+ADE=180=90，DCAB，BE=5（cm），BDE的面积=BEDC=DEBD，DC=（cm）；故答案为：cm【点拨】本题考查了翻折变换

16、的性质、勾股定理、三角形面积等知识；熟练掌握翻折变换的性质和勾股定理是解题的关键12 30 39【分析】根据已知得出图形得出AC2+CD2=AD2，以及AB+AD=CD+BC，进而组成方程组求出即可解：由图2的第一个图形得：AC2+CD2=AD2，即（6+BC）2+152=AD2，又由图2的第三和第四个图形得：AB+AD=CD+BC，即6+AD=15+BC，联立组成方程组得：，解得：，故BC，AD分别取30和39时，才能实现上述变化，故答案为：30，39【点拨】此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理和二元二次方程组的解法，得出正确的等量关系是解题关键13（1）证明见分析；（2），之间的关系是

17、理由见分析【分析】（1）根据折叠的性质、平行的性质及等角对等边即可说明；（2）根据折叠的性质将AE、AB、BF都转化到直角三角形中，由勾股定理可得，之间的关系解：（1）由折叠的性质 ，得， 在长方形纸片中，（2），之间的关系是理由如下：由（1）知，由折叠的性质，得，在中，所以，所以【点拨】本题主要考查了勾股定理，灵活利用折叠的性质进行线段间的转化是解题的关键14【分析】由折叠可知，在，由勾股定理求得，则，在中，由勾股定理即可求解解：由折叠可知，在中，在中，【点拨】本题考查折叠的性质，熟练掌握折叠的性质、灵活应用勾股定理是解题的关键15(1)见分析；(2)【分析】（1）根据折叠的性质可得出可得出

18、；（2）根据全等三角形的性质可得出，设，则，中，根据勾股定理，可得到x的值（1）解：根据折叠可知：，在和中，；（2）解：，设，则，中，【点拨】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，设要求的线段长为x，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程是解决问题的关键16【分析】连接，在中，根据折叠的性质和勾股定理求出的长，再在中，根据勾股定理即可求出的长解：如图，连接，由折叠得：，在中，【点拨】本题考查了折叠的性质和勾股定理的运用，根据折叠前后两个三角形全等，得到对应边相等进而求出是解题的关键17(1)；(2)【分析】（1）利用勾股定理求出AB的长，再利用翻折得到AE=BE，在

19、中利用勾股定理即可求出的长；（2）点是直角边的中点，可以得到的长度，再利用翻折得到=BE，在中利用勾股定理即可求出的长（1）解：在中，根据折叠的性质，AE=BE设为x，则：AE=BE =8-x在中：解得：x= 即的长为：（2）解：点是直角边的中点= 根据折叠的性质，=BE设为x，则：=BE =8-x在中：解得：x= 即的长为：【点拨】本题考查勾股定理以及图形的变换中的折叠问题在折叠过程中，对应角和对应边相等是解题的关键；在直角三角形中，知道一条边长以及另外两条边的关系时，通常采用方程思想来解题18（1）是等腰三角形；（2）；（3）AM的长为.【分析】（1）证明可知，即是等腰三角形；（2）可设，

20、则，在中，根据勾股定理可求解；（3）连接ME，可设,则，在根据勾股定理分别表示出，等量代换，可得x的值，即AM的长.解：（1）是等腰三角形四边形ABCD是矩形由折叠的性质得： 是等腰三角形（2）设，则在中，根据勾股定理得解得 （3）连接ME，设,则，由折叠性质得E为DC的中点 在中，根据勾股定理得在中，根据勾股定理得 解得 所以AM的长为 【点拨】本题考查了勾股定理的应用，灵活的用同一个未知数表示直角三角形边之间的关系，利用勾股定理求线段长是解题的关键.19(1)；(2)【分析】（1）设x，则，在中用勾股定理求解即可；（2）设x，则，先根据勾股定理求出，再在中，用勾股定理求解即可（1）解：直线

21、是对称轴，设，则在中，解得，（2）解：直线是对称轴，设，则，在中，在中，解得，【点拨】本题考查了折叠与三角形的问题，勾股定理，掌握折叠性质以及勾股定理是解题的关键20操作一（1）12cm（2）36；操作二BE=2.8【分析】操作一：（1）由翻折的性质可知：BD=AD，于是AD+DC=BC，从而可知ACD的周长=BC+AC；（2）设CAD=x，则BAD=2x，由翻折的性质可知CBA=2x，然后根据直角三角形两锐角互余可知：x+2x+2x=90，据此求解即可操作二：先利用勾股定理求得AC的长，然后利用面积法求得DC的长，在RtACD中，利用勾股定理可求得AD的长，由翻折的性质可知：DE=DA，最后

22、根据BE=AB-DE-AD计算即可解：操作一：（1）翻折的性质可知：BD=AD，AD+DC=BC=7ACD的周长=CD+AD+AC=BC+AC=7+5=12cm故答案为：12cm；（2）设CAD=x，则BAD=2x由翻折的性质可知：BAD=CBA=2x，B+BAC=90，x+2x+2x=90解得：x=182x=218=36B=36故答案为：36；操作二：在RtABC中，AC=由翻折的性质可知：ED=AD，DCABSABCACBCABCD，10CD=68CD=4.8在RtADC中，AD= EA=3.62=7.2BE=10-7.2=2.8【点拨】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，利用面积

23、法求得CD的长度是解题的关键21（1）；（2）【分详】（1）由勾股定理求出AB的长度，设ADx，则CD8x，由折叠可知DBADx，在RtDCB中， CD2BC2DB2，列式计算求出x的值即可；（2）过点B作BHBC交DF于点H，由全等三角形的判定得DGCHBG，由全等三角形的性质得DCBH，CBHDCB，由平行线的判定得AC/BH及AHBF，由折叠知AF，得HBFF，HBHF设CDy，则ADDF8y，HFy，在RtDCG中， CD2GC2DG2，列式计算即可求出AD的长解：（1）RtABC中，C90，AC8，BC6，AB10设ADx，则CD8x，由折叠可知DBADx在RtDCB中， CD2BC

24、2DB2，(8x) 262x2， 解得x，AD的长为； （2）过点B作BHBC交DF于点H在DGC与HBG中，DCBHBG，DGCBGH，CGBG，DGCHBGDCBH，DGGH，CBHDCB， AC/BHAHBF由折叠可知AF，HBFFHBHF设CDy，则ADDF8y，HFy，DGDH(8yy) 4y，在RtDCG中， CD2GC2DG2，y232(4y) 2， 解得y， AD=8y，即AD的长为【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，折叠的性质，勾股定理，利用勾股定理列出方程是本题的关键22(1)CD=；(2)CD=3【分析】（1）利用对称找准相等的量：BD=AD，BAD=B，然后利用周

25、长求得答案；（2）利用折叠找着AC=AE，利用勾股定理列式求出AB，设CD=x，表示出BD，AE，在RtBDE中，利用勾股定理可得答案解：（1）由折叠可知，AD=BD，设CD=x，则AD=BD=8-x，C=90，AC=6，x=CD=（2）在RtABC中，AC=6，BC=8，AB=10，由折叠可知，AE=AC=6，CD=ED，AED=C=90，BE=106=4，设CD=x，则DE=x，BD=8x，x= 3，CD= 3【点拨】本题考查了直角三角形中的勾股定理的应用及图形的翻折问题；解决翻折问题时一般要找着相等的量，然后结合有关的知识列出方程进行解答23（1）BF长为6；（2）CE长为3，详细过程见

26、分析【分析】（1）由矩形的性质及翻折可知，B=90，AF=AD=10，且AB=8，在ABF中，可由勾股定理求出BF的长；（2）设CE=x，根据翻折可知，EF=DE=8-x，由（1）可知BF=6，则CF=4，在CEF中，可由勾股定理求出CE的长解：（1）四边形ABCD为矩形，B=90，且AD=BC=10，又AFE是由ADE沿AE翻折得到的，AF=AD=10，又AB=8，在ABF中，由勾股定理得：，故BF的长为6（2）设CE=x ，四边形ABCD为矩形，CD=AB=8，C=90，DE=CD-CE=8-x，又AFE是由ADE沿AE翻折得到的，FE=DE=8-x，由（1）知：BF=6，故CF=BC-B

27、F=10-6=4，在CEF中，由勾股定理得：，解得：x=3，故CE的长为3【点拨】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，利用勾股定理求解是本题的关键24（1）CBD=20；（2）AD=；(3) BCD的周长为m+2【分析】（1）根据折叠可得1=A=35，根据三角形内角和定理可以计算出ABC=55，进而得到CBD=20；（2）根据折叠可得AD=DB，设CD=x，则AD=BD=8-x，再在RtCDB中利用勾股定理可得x2+62=（8-x）2，再解方程可得x的值，进而得到AD的长；（3）根据三角形ACB的面积可得，进而得到ACBC=2m

28、+2，再在RtCAB中，CA2+CB2=BA2，再把左边配成完全平方可得CA+CB的长，进而得到BCD的周长解：（1）把ABC沿直线DE折叠，使ADE与BDE重合，1=A=35，C=90，ABC=180-90-35=55，2=55-35=20，即CBD=20；（2）把ABC沿直线DE折叠，使ADE与BDE重合，AD=DB，设CD=x，则AD=BD=8-x，在RtCDB中，CD2+CB2=BD2， x2+62=（8-x）2，解得：x= ， AD=8-=；（3）ABC 的面积为m+1，ACBC=m+1，ACBC=2m+2，在RtCAB中，CA2+CB2=BA2，CA2+CB2+2ACBC=BA2+

29、2ACBC，（CA+BC）2=m2+4m+4=（m+2）2，CA+CB=m+2，AD=DB，CD+DB+BC=m+2即BCD的周长为m+2【点拨】此题主要考查了图形的翻折变换，以及勾股定理，完全平方公式，关键是掌握勾股定理，以及折叠后哪些是对应角和对应线段25（1）6cm；（2）3cm.【分析】（1）由折叠可知AF的长为10cm，已知AB=8cm，即可利用勾股定理求出BF;(2)根据（1）可求得FC的长，由折叠知EF=DE，所以设EF=xcm可表示出CE=（8-x）cm，就可运用勾股定理求得EC的长.解：（1）由题意可得，在中，（2）由题意可得，设的长为cm则在中，解得则的长为【点拨】此题考查

30、勾股定理的运用，注意折叠前后线段的等量关系.26（1）BDE是等腰三角形，理由见分析；（2）SDEC=6解：整体分析：(1)由折叠得DBC=DBE，由ADBC得ADB=DBC，从而有DBE=ADB；(2)在RtABE中，用勾股定理列方程求出AE，则可得ABE，EBD的面积，即可求解.解：(1)BDE是等腰三角形，理由如下：由折叠可知，CBD=EBD，ADBC，CBD=EDB，EBD=EDB，BE=DE，即BDE是等腰三角形；(2)设DE=x，则BE=x，AE=8x，在RtABE中，由勾股定理得：AB2+AE2=BE2即42+(8x)2=x2，解得：x=5，所以SBDE=DEAB=54=10，所

31、以SDEC=SBCDSBDE=84-10=6所以DEC的面积为6.27（1）证明见分析（2）证明见分析（3）2试题分析：（1）根据翻折变换的性质得出PBC=BPH，进而利用平行线的性质得出APB=PBC即可得出答案；（2）首先证明ABPQBP，进而得出BCHBQH，即可得出PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8；（3）过F作FMAB，垂足为M，则FM=BC=AB，证明EFMBPA，设AP=x，利用折叠的性质和勾股定理的知识用x表示出BE和CF，结合二次函数的性质求出最值（1）解：如图1，PE=BE，EBP=EPB又EPH=EBC=90，EPH-EPB=EBC-EBP即PBC=

32、BPH又ADBC，APB=PBCAPB=BPH（2）证明：如图2，过B作BQPH，垂足为Q由（1）知APB=BPH，又A=BQP=90，BP=BP，在ABP和QBP中，ABPQBP（AAS），AP=QP，AB=BQ，又AB=BC，BC=BQ又C=BQH=90，BH=BH，在BCH和BQH中，BCHBQH（SAS），CH=QHPHD的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8PDH的周长是定值（3）解：如图3，过F作FMAB，垂足为M，则FM=BC=AB又EF为折痕，EFBPEFM+MEF=ABP+BEF=90，EFM=ABP又A=EMF=90，在EFM和BPA中，EFMBPA（AAS） EM=AP设AP=x在RtAPE中，（4-BE）2+x2=BE2解得BE=2+，CF=BE-EM=2+-x，BE+CF=-x+4=（x-2）2+3当x=2时，BE+CF取最小值，AP=2考点：几何变换综合题