专题3.2 函数模型及其应用-2020-2021学年高一数学同步课堂帮帮帮（人教版必修1）.docx

1、第三章 函数的应用3.2 函数模型及其应用一、几类不同增长的函数模型1常见的函数模型（1）一次函数模型：（均为常数，），也称线性函数模型其增长特点是直线上升，增长速度_（2）二次函数模型：当研究的问题呈现先增长后减少的特点时，可以选用二次函数模型（均为常数，）；当研究的问题呈现先减少后增长的特点时，可以选用二次函数模型（均为常数，）（3）指数函数模型：（均为常数，）其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度_，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”（4）对数函数模型：（为常数，）其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度_，即增长速度平缓（5）幂函数模型：（为常数，）其增长速度介于指数

2、增长和对数增长之间2几类函数模型的增长差异一般地，在区间上，尽管函数，和都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上随着的增大，的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度，而的增长速度则会越来越慢因此，总会存在一个，使得当时，就有3指数函数、对数函数和幂函数的增长趋势比较函数性质在（0，）上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度先慢后快，指数爆炸先快后慢，增长平缓介于指数函数与对数函数之间，相对平稳图象的变化随x的增大，图象与轴接近平行随x的增大，图象与轴接近平行随n值变化而各有不同4.常见的数量关系： 面积问题：可通过寻底找高进行求解，例如：平行四边形面积底高 梯形面积（

3、上底下底）高 三角形面积底高 商业问题：总价单价数量 利润营业额成本货物单价数量成本 利息问题：利息本金利率 本息总和本金利息本金利率本金名师提醒选取上述三个增长函数模型时，应注意：（1）当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型（2）当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型二、函数模型的应用用框图表示如下：数学问题实际问题数学问题答案 建模 审题、转化、抽象 问题 解决 解模 运算实际问题结论 还原函数模型的应用，一方面是利用已知函数模型解决问题；另一方面是建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测其中，建立函数模型解决实

4、际问题是常见形式解函数应用题的一般步骤，可分以下四步进行：（1）认真审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；（2）建立模型：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；（3）求解模型：求解数学模型，得出数学结论；（4）还原解答：将利用数学知识和方法得出的结论，还原到实际问题中一、1（1）不变 （3）越来越快 （4）越来越慢帮重点1对几种常见的函数模型的理解，解函数应用题；帮难点1解函数应用题；帮易错1要正确理解增长率公式；2求解数学应用题必须突破三关，（1）理解关：一般数学应用题的文字阅读量比较大，要通过阅读审题，找出关键词、句，理解其意义；（2）建模关：即

5、建立实际问题的数学模型，将其转化为数学问题；（3）数理关：运用恰当的数学方法去解决已建立的数学模型1线性函数、指数函数、对数函数、幂函数的增长速度不同的函数增长模型能刻画现实世界中不同的变化规律：（1）线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律；（2）指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律；（3）对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；（4）幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律因此，需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题例 11）一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时

6、，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？【解析】(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0x0.1)由t0.10.25，得t0.6.故至少需经过0.6小时学生才能回到教室【名师点睛】求解所给函数模型解决实际问题的关键点(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数(3)利用该模型求解实际问题2）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)其中x是仪器的月产

7、量(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；(2)当月产量为何值时，公司所获得利润最大？最大利润为多少元？(总收益总成本利润)【解析】(1)设月产量为x台，则总成本为20 000100x，从而f(x)(2)当0x400时，f(x)(x300)225 000.当x300时，f(x)的最大值为25 000；当x400时，f(x)60 000100x是减函数，f(x)60 00010040020 000400，化为：（n2010）lg1.122lg2lg1.3，解可得：n20109.8；则n2020，故选C2某企业2018年全年投入研发资金150万元，为激励创新，该企业计划今后每年投入的研发资金比上年

8、增长8%，则该企业全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ）（参考数据：lg1.080.033，lg20.301，lg30.477）A2020B2021C2022D2023【答案】C【解析】该企业全年投入的研发资金开始超过200万元的年份，则150（1+8%）n2018200，则n201820182021.8，取n2022故选C3在一定的储存温度范围内，某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：）满足函数关系yekx+b（e2.71828为自然对数的底数，k，b为常数），若该食品在0时的保鲜时间为120小时，在30时的保鲜时间为15小时，则该食品在20时的保鲜时间为（ ）A3

9、0小时B40小时C50小时D80小时【答案】A【解析】由题意可知，e30k，e10k，e20k+b（e10k）2eb12030故选A4某学生家长为缴纳该学生上大学时的教育费，于2003年8月20号从银行贷款a元，为还清这笔贷款，该家长从2004年起每年的8月20号便去银行偿还确定的金额，计划恰好在贷款的m年后还清，若银行按年利息为p的复利计息（复利：即将一年后的贷款利息也纳入本金计算新的利息），则该学生家长每年的偿还金额是（ ）ABCD【答案】D【解析】设每年偿还的金额都是x元，则根据题意有：a（1+p）mx+x（1+p）+x（1+p）2+x（1+p）m1，a（1+p）mx，x故选D5将甲桶中

10、的a升水缓慢注入空桶乙中，t秒后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线yaent，假设过5秒后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m秒甲桶中的水只有升，则m的值为_【答案】5【解析】5秒后甲桶和乙桶的水量相等，函数yf（t）aent满足f（5）ae5ta，即5tln，得nln，当k秒后甲桶中的水只有升，即f（k），即lnkln2ln，即k10，经过了k51055秒，即m5，故答案为：56.某服装厂某年1月份、2月份、3月份分别生产某名牌衣服1万件、1.2万件、1.3万件，为了估计当年每个月的产量，以这三个月的产品数据为依据，用一个函数模型模拟该产品的月产量与月份的关系，模拟函数可选用函数（其中为常数，）或（为

11、常数，）又已知当年4月份该产品的产量为1.36万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由【解析】对于函数，依题意得，解得则故 对于函数，依题意得，解得则故 由以上可知，用函数作为模拟函数较好【名师点睛】本题比较典型，解答思路比较明确，运用待定系数法求解 通过构建函数模型解决实际问题，是衡量学生能力的一个重要标尺，注意掌握7某工厂6年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则可以用来描述该厂前t年这种产品的总产量c与时间t的函数关系的是()【答案】A【解析】注意以下几种情形：图表示不再增长，图表示增速恒定不变，图表示增长速度越来越快，图表示增长速度

12、逐渐变慢.8.某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 m3的，按每立方米m元收费；用水超过10 m3的，超过部分加倍收费某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为()A13 m3 B14 m3 C18 m3 D26 m3【答案】A【解析】设该职工用水x m3时，缴纳的水费为y元，由题意得y则10m(x10)2m16m，解得x13.9.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率与加工时间（单位：分钟）满足的函数关系（、是常数），下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）

13、A.分钟 B.分钟 C.分钟 D.分钟【答案】B【解析】：本小题以实际应用为背景，主要考查二次函数的解析式的求解、二次函数的最值等基础知识，考查同学们分析问题与解决问题的能力.由图形可知，三点都在函数的图象上，所以，解得，所以，因为，所以当时，取最大值，故此时的t=分钟为最佳加工时间，故选B.10.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y应为()Ax15，y12 Bx12，y15Cx14，y10 Dx10，y14【答案】A【解析】由三角形相似得，得x(24y)，所以Sxy(y

14、12)2180，所以当y12时，S有最大值，此时x15.检验符合题意11.某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣；如果顾客购物总金额超过800元，则超过800元部分享受一定的折扣优惠，并按下表折扣分别累计计算：可以享受折扣优惠金额折扣率不超过500元的部分5%超过500元的部分10%若某顾客在此商场获得的折扣金额为50元，则此人购物实际所付金额为（ ）A1500元B1550元C1750元D1800元【答案】A【解析】设此商场购物总金额为x元，可以获得的折扣金额为y元，由题可知：y，y5025，x1300，0.1（x1300）+2550，解得x1550，

15、1550501500，故此人购物实际所付金额为1500元故选A12复利是一种计算利息的方法即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息某同学有压岁钱1000元，存入银行，年利率为2.25%；若放入微信零钱通或者支付宝的余额宝，年利率可达4.01%如果将这1000元选择合适方式存满5年，可以多获利息（ ）元（参考数据：1.022541.093，1，022551.170，1.040151.217）A176B104.5C77D88【答案】B【解析】将1000元钱存入微信零钱通或者支付宝的余额宝，选择复利的计算方法，则存满5年后的本息和为10001.040151217，故而共得利息121

16、71000217元将1000元存入银行，不选择复利的计算方法，则存满5年后的利息为10000.02255112.5，故可以多获利息217112.5104.5故选B13某新能源汽车公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2018年全年投入研发资金5300万元，在此基础上，以后每年投入的研发资金比上一年增长8%，则该公司全年投入的研发资金开始超过7000元的年份是_年（参考数据：1g1.080.03，1g5.30.73，1g70.84）【答案】2022【解析】设第n年开始超过7000万元，则5300（1+8%）n20187000，化为：（n2018）lg1.08lg7lg5.3，n201

17、83.7取n2022因此开始超过7000万元的年份是2022年故答案为：202214燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬研究发现，燕子的飞行速度可以表示为函数v5log2，单位是m/s，其中O表示燕子的耗氧量的单位数记v125 m/s时耗氧量为O1，v25 m/s时耗氧量为O2，则O1是O2的_倍【答案】16【解析】v5log2，当v125 m/s时耗氧量为O1，则255log2，即25，即O11025，v25 m/s时耗氧量为O2，55log2，即2，即O2102，2416，故则O1是O2的16倍，故答案为：1615某民营企业生产A，B两种产品，根据市场调查，对A产品，投资1万元才产生利润，并

18、且利润是投资的一次函数其关系如图（a）所示：B产品的利润是投资的算术平方根的正比例函数，其关系如图（b）所示（利润与投资的单位为：万元）分别写出A、B两种产品的利润与投资的函数关系式【解析】设A产品的利润与投资的函数关系为：ykx+b（x1），则，解得k，b设A产品的利润与投资的函数关系为：yx设B产品的利润与投资的函数关系为：ym，则2m2.5，故m，B产品的利润与投资的函数关系为y16运输一批海鲜，可在汽车、火车、飞机三种运输工具中选择，它们的速度分别为60千米/小时、120千米/小时，500千米/小时，每千米的运费分别为：20元、10元、50元这批海鲜在运输过程中每小时的损耗为m元（m0

19、），运输的路程为s（千米）设用汽车、火车、飞机三种运输工具运输时各自的总费用（包括运费和损耗费）分别为y1（元）、y2（元）、y3（元）（1）请分别写出y1、y2、y3的表达式；（2）试确定使用哪种运输工具总费用最省【解析】（1）y120s，y210s，y350s，（2）m0，s0，故20s10s，y1y2恒成立，故只需比较y2与y3的大小关系即可令f（s）y3y240s（40）s，故当400即m时，f（s）0，即y2y3，此时选择火车运输费用最省；当400即m时，f（s）y3，此时选择飞机运输费用最省；当400即m时，f（s）0，即y2y3，此时选择火车或飞机运输费用最省17某城市自2014

20、年至2019年每年年初统计得到的人口数量如表所示：年份201420152016201720182019人数（单位：万）208221352203227623392385（1）设第n年的人口数量为an（2014年为第1年），根据表中的数据，描述该城市人口数量和2014年至2018年每年该城市人口的增长数量的变化趋势；（2）研究统计人员用函数拟合该城市的人口数量，其中x的单位是年，假设2014年初对应x0，P（x）的单位是万，设P（x）的反函数为T（x），求T（2440）的值（精确到0.1），并解释其实际意义【解析】（1）由表格可知an为关于n的递增函数，人口数量每年都在递增，a2a153，a3a2

21、68，a4a373，a5a463，a6a546，所以第3年到第4年增长数量最大为73万，第5年到第6年增长数量最小为46万；（2）令P（x）2440，得440，故4.4878e0.6544x，x8.1，故T（2440）8.1，表示到2022年人口接近2440万18.由于浓酸泄漏对河流形成了污染，现决定向河中投入固体碱1个单位的固体碱在水中逐步溶化，水中的碱浓度与时间的关系，可近似地表示为只有当河流中碱的浓度不低于1时，才能对污染产生有效的抑制作用（1）判断函数的单调性（不必证明）；（2）如果只投放1个单位的固体碱，则能够维持有效抑制作用的时间为多长？（3）当河中的碱浓度开始下降时，即刻第二次投

22、放1个单位的固体碱，此后，每一时刻河中的碱浓度认为是各次投放的碱在该时刻相应的碱浓度的和，求河中碱浓度可能取得的最大值【解析】（1）函数在0，2上单调递增，在（2，4上单调递减（2）解，得解得综上可得即若1个单位的固体碱只投放一次，则能够维持有效抑制作用的时间为（3）由（1）知，当时，单调递增；当时，单调递减所以当河中的碱浓度开始下降时，即刻第二次投放1个单位的固体碱，即时，记，下面用单调性的定义证明在上单调递减，在上单调递增设任意满足， 则，所以在上单调递减，同理可证，在上单调递增故当且仅当，即时，所以有最大值【名师点睛】本题的分段函数模型求最值时只是求区间上的最值，若是求分段函数模型在定义

23、域上的最值，则应该先求出每一段上的最值，然后比较大小19.国际视力表值(又叫小数视力值，用V表示，范围是0.1，1.5)和我国现行视力表值(又叫对数视力值，由缪天容创立，用L表示，范围是4.0，5.2)的换算关系式为L5.0lgV.(1)请根据此关系式将下面视力对照表补充完整；V1.50.4L5.04.0(2)甲、乙两位同学检查视力，其中甲的对数视力值为4.5，乙的小数视力值是甲的2倍，求乙的对数视力值.(所求值均精确到小数点后面一位数字，参考数据：lg20.301 0，lg30.477 1)【解析】(1)5.0lg1.55.0lg5.0lg5.0lg3lg25.00.477 10.301 0

24、5.2，应填5.2；5.05.0lgV，V1，处应填1.0；5.0lg0.45.0lg5.0lg415.02lg215.020.301 014.6，处应填4.6；4.05.0lgV，lgV1.V0.1.处应填0.1.对照表补充完整如下：V1.51.00.40.1L5.25.04.64.0(2)先将甲的对数视力值换算成小数视力值，则有4.55.0lgV甲，V甲100.5，则V乙2100.5.乙的对数视力值L乙5.0lg(2100.5)5.0lg20.55.00.301 00.54.8.20.【2020年高考全国卷文数】在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货

25、，由于订单量大幅增加，导致订单积压为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ）A10名B18名C24名D32名【答案】B【解析】由题意，第二天新增订单数为，设需要志愿者x名，,故需要志愿者名.故选：B【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.21.【2020年新高考全国卷】基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代

26、间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（ ）(ln20.69)A1.2天B1.8天 C2.5天 D3.5天【答案】B【解析】因为，所以，所以，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，则，所以，所以，所以天.故选：B.【名师点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.22【2019年高考北京文数】李明自主

27、创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付_元；在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为_【答案】130；15【解析】时，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付元.设顾客一次购买水果的促销前总价为元，当元时，李明得到的金额为，符合要求；当元时，有恒成立，即，因为，所以的最大值为.综上，13

28、0；15.23.【2019年高考全国卷理数】2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：（R+r）设由于的值很小，因此在近似计算中33，则r的近似值为（ ）ARBRCRDR【答案】D【解析】由（R+r），得因为，所以，得由，得，即，所以，故选D24【2016年高考四川卷】某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ）(参考数据：lg1.120.05，lg1.30.11，lg20.30) A2018年B2019年C2020年D2021年【答案】B【解析】设从2015年开始第年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由已知得，两边取常用对数得，故从2019年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，故选B