专题3.2.1 函数的单调性与最大（小）值（能力提升）-2022-2023学年高一数学《同步考点解读•专题训练》（人教A版2019必修第一册）.docx

1、专题3.2.1 函数的单调性与最大（小）值（能力提升）一、选择题。1（2021秋惠阳区校级期中）集合x|x0或x1用区间表示为（）A（，0）（1，+）B（，0）1，+）C（，0）1，+）D（0，12（2021秋长安区校级期末）函数f（x）x3，若，bf（log32），则（）AabcBbacCacbDcba3（2022北京学业考试）已知函数f（x）2x，x0，+），则f（x）（）A有最大值，有最小值B有最大值，无最小值C无最大值，有最小值D无最大值，无最小值4（2022秋武功县校级月考）函数的单调增区间为（）ABC和（4，+）D5（2022吉林模拟）下列函数在其定义域上单调递增的是（）Ay2x2

2、xByx3CytanxD6（2022秋兴庆区校级月考）已知函数f（x）和g（x）分别由表给出，则满足f（g（x）g（f（x）的x的取值范围是（）x123f（x）132x123g（x）213A1，2，3B1，2C1，3D17（2022秋如皋市校级月考）函数y|x+1|2x|的最大值是（）A3B3C5D28（2022衡山县校级开学）已知点A（m3，2m）在第三象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（）ABCD9（2022徐汇区校级开学）设a、b、c是两个两两不相等的正整数若a+b，b+c，c+an2，（n+1）2，（n+2）2（nN+），则a2+b2+c2的最小值是（）A2007B1949C12

3、97D100010（2022秋浦东新区校级月考）已知函数f（x）|x2+（3m+5）|x|+1|的定义域为R，且该函数在定义域上有且仅有8个单调区间，则实数m的取值范围是（）A（，）B（，）（1，+）C（，）D（，）（1，+）二、填空题。11（2021秋儋州月考）用区间表示数集：x|x1且x2 12（2022秋思明区校级月考）已知函数f（x）x|x|+2x，则f（x）的单调增区间为 13（2022秋武功县校级月考）已知函数f（x）|3x+a|的增区间是2，+），则实数a的值为 14（2022秋杨浦区校级月考）若函数yf（x）在区间上是严格增函数，而函数y在区间I上是严格减函数，那么称函数yf（

4、x）是区间I上的“缓增函数”，区间叫做“缓增区间”已知函数f（x）x2x+是区间I上的“缓增函数”，若定义ba为a，b的区间长度，那么满足条件的“缓增区间”的区间长度最大值为 15（2022秋贵州月考）设minp，q表示p，q两者中较小的一个，maxp，q表示p，q两者中较大的一个若函数f（x）maxminx+6，x2+8，2x在（2，m）上有最大值，则m的取值范围为 16（2022秋武功县校级月考）已知aR，函数，若f（x）存在最小值，则a的取值范围 三、解答题。17（2022春济宁期末）已知函数（1）如果函数f（x）为幂函数，试求实数a、b、c的值；（2）如果a0、b0，且函数f（x）在区

5、间上单调递减，试求ab的最大值18（2021秋呼和浩特期末）已知函数（）用函数单调性的定义证明f（x）在区间（0，+）上是增函数；（）解不等式f（2x+1）f（4x）19（2022锦江区校级开学）请在答题卡所给的坐标纸上画出以下函数的图像，并写出对应函数的单调递增区间和单调递减区间（1）f（x）x23|x|+6单调递增区间：_单调递减区间：_（2）f（x）x23x+单调递增区间：_单调递减区间：_20（2022句容市校级开学）函数是定义在（3，3）上的奇函数，且（1）确定f（x）的解析式；（2）证明f（x）在（3，3）上的单调性；（3）解关于t的不等式f（t1）+f（t）021（2022海安市

6、校级开学）对于问题“求函数y的最小值”，甲、乙两位同学分别提出了自己的思路甲同学将此函数变形为yx2（y+2）x+y0，接下来只需考虑变形后的这个关于x的方程有解；乙同学将此函数变形为y，然后考虑x+的取值范围请你选择并完善其中一种思路，写出过程解决问题22（2022鼓楼区校级开学）（1）已知（x1）2+（y2）24，求x+y的范围：（2）已知+1，求x+y的范围；（3）已知x23x+y20，求y2x的范围23（2021秋天宁区校级期末）已知函数f（x）（xR）（1）求证：函数f（x）是R上的减函数；（2）已知函数f（x）的图像存在对称中心（a，b）的充要条件是g（x）f（x+a）b的图像关于

7、原点中心对称，判断函数f（x）的图像是否存在对称中心，若存在，求出该对称中心的坐标，若不存在，说明理由24（2021秋徐汇区校级期末）已知函数（常数aR）（1）当a2时，用定义证明yh（x）在区间1，2上是严格增函数；（2）根据a的不同取值，判断函数yh（x）的奇偶性，并说明理由；（3）令，设f（x）在区间1，2上的最小值为g（a），求g（a）的表达式25（2022黄浦区模拟）已知函数f（x）（1）写出函数f（x）的单调递增区间；（2）求证：函数f（x）的图象关于直线yx对称；（3）某同学经研究发现，函数f（x）的图象为双曲线，x0和y为其两条渐近线，试求出其顶点，焦点的坐标，并利用双曲线的定

8、义加以验证专题3.2.1 函数的单调性与最大（小）值（能力提升）一、选择题。1（2021秋惠阳区校级期中）集合x|x0或x1用区间表示为（）A（，0）（1，+）B（，0）1，+）C（，0）1，+）D（0，1【答案】B。【解答】将不等式转化为区间，原不等式中带“”的数字，转化后就是“”，没有带“”的，转化后就是“（”故选：B2（2021秋长安区校级期末）函数f（x）x3，若，bf（log32），则（）AabcBbacCacbDcba【答案】A。【解答】解：因为函数f（x）x3在R上单调递减，又因为2201，log31log32log33，即log32（0，1），log2log210，所以可得cb

9、a，故选：A3（2022北京学业考试）已知函数f（x）2x，x0，+），则f（x）（）A有最大值，有最小值B有最大值，无最小值C无最大值，有最小值D无最大值，无最小值【答案】C。【解答】解：由指数函数的性质可知f（x）2x在x0，+）上是增函数，所以最小值为f（0）201，没有最大值故选：C4（2022秋武功县校级月考）函数的单调增区间为（）ABC和（4，+）D【答案】C。【解答】解：设tx2+3x+4，则有x1且x4；t（，0）（0，所以函数的定义域为：x|x1且x4，由二次函数的性质可知t的单调递增区间为（，1），（1，；单调递减区间为：，4），（4，+）；又因为y在t（，0）和（0，上单

10、调递减，由复合函数的单调性可知：函数的单调增区间为：，4）和（4，+）故选：C5（2022吉林模拟）下列函数在其定义域上单调递增的是（）Ay2x2xByx3CytanxD【答案】A。【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y2x2x，其定义域为R，导数y（2x+2x）ln2，则有y（2x+2x）ln20，则该函数在其定义域为增函数，符合题意，对于B，yx3，为幂函数，在其定义域上不是单调函数，不符合题意，对于C，ytanx，是正切函数，在其定义域上不是单调函数，不符合题意，对于D，yx，是对数函数，在其定义域上为减函数，不符合题意，故选：A6（2022秋兴庆区校级月考）已知函数f（x）和g

11、（x）分别由表给出，则满足f（g（x）g（f（x）的x的取值范围是（）x123f（x）132x123g（x）213A1，2，3B1，2C1，3D1【答案】C。【解答】解：根据题意，函数的定义域为1，2，3，当x1时，f（g（1）f（2）3，g（f（1）g（1）2，f（g（x）g（f（x）成立；当x2时，f（g（2）f（1）1，g（f（2）g（3）3，f（g（x）g（f（x）不成立；当x3时，f（g（3）f（3）2，g（f（3）g（2）1，f（g（x）g（f（x）成立；故满足f（g（x）g（f（x）的x的取值范围是1，3；故选：C7（2022秋如皋市校级月考）函数y|x+1|2x|的最大值是（）

12、A3B3C5D2【答案】A。【解答】解：由题意可知y|x+1|2x|，当1x2时，f（x）递增，可得f（x）3，3，则f（x）的值域为3，3则f（x）的最大值3故选：A8（2022衡山县校级开学）已知点A（m3，2m）在第三象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（）ABCD【答案】B。【解答】解：点A（m3，2m）在第三象限，m30，2m0，求得2m3，即m的取值范围为（2，3），故选：B9（2022徐汇区校级开学）设a、b、c是两个两两不相等的正整数若a+b，b+c，c+an2，（n+1）2，（n+2）2（nN+），则a2+b2+c2的最小值是（）A2007B1949C1297D1000【

13、答案】C。【解答】解：不妨设abc，则a+ba+cb+c因为（a+b）+（b+c）+（a+c）2（a+b+c）为偶数，所以n2，（n+1）2，（n+2）2必为两奇一偶，从而可得n为奇数又因为b+c1，所以n为不小于3的奇数若n3则a+b，b+c，c+a32，42，52故a+b+c（32+42+52）52，且a+b52所以c0，不符合要求若n5，则a+b，b+c，c+a52，62，72故，解得，此时，a2+b2+c2302+192+621297故选：C10（2022秋浦东新区校级月考）已知函数f（x）|x2+（3m+5）|x|+1|的定义域为R，且该函数在定义域上有且仅有8个单调区间，则实数m的

14、取值范围是（）A（，）B（，）（1，+）C（，）D（，）（1，+）【答案】C。【解答】解：因为函数f（x）|x2+（3m+5）|x|+1|，令g（x）x2+（3m+5）|x|+1，g（x）（x）2+（3m+5）|x|+1x2+（3m+5）|x|+1g（x），所以g（x）为偶函数，因为f（x）|x2+（3m+5）|x|+1|有八个单调区间，所以g（x）的图象在y轴右侧与x轴有两个不同的交点，所以即，解得m故选：C二、填空题。11（2021秋儋州月考）用区间表示数集：x|x1且x2（1，2）（2，+）【答案】（1，2）（2，+）。【解答】解：x|x1且x2（1，2）（2，+）故答案为：（1，2）（

15、2，+）12（2022秋思明区校级月考）已知函数f（x）x|x|+2x，则f（x）的单调增区间为 （1，1）【答案】（1，1）。【解答】解：因为函数，作出函数f（x）的图象，如图所示：由图可知，递增区间是（1，1）故答案为：（1，1）13（2022秋武功县校级月考）已知函数f（x）|3x+a|的增区间是2，+），则实数a的值为 6【答案】6。【解答】解：因为函数f（x）|3x+a|，故当x时，f（x）单调递减，当x时，f（x）单调递增因为函数f（x）|3x+a|的增区间是2，+），所以2，所以a6故答案为：614（2022秋杨浦区校级月考）若函数yf（x）在区间上是严格增函数，而函数y在区间I

16、上是严格减函数，那么称函数yf（x）是区间I上的“缓增函数”，区间叫做“缓增区间”已知函数f（x）x2x+是区间I上的“缓增函数”，若定义ba为a，b的区间长度，那么满足条件的“缓增区间”的区间长度最大值为 1【答案】1。【解答】解：f（x）x2x+是开口向上，对称轴为x1的二次函数，所以f（x）在区间1，+）上是严格增函数，设集合A1，+），又函数f（x）x2x+是区间I上的“缓增函数”，所以yx1+x+1在区间I上是严格减函数，由对勾函数的性质知，y在，0）和（0，上是严格减函数，设集合B，0）（0，所以区间IAB1，所以“缓增区间”的区间长度最大值为1故答案为：115（2022秋贵州月考

17、）设minp，q表示p，q两者中较小的一个，maxp，q表示p，q两者中较大的一个若函数f（x）maxminx+6，x2+8，2x在（2，m）上有最大值，则m的取值范围为 （1，log27【答案】（1，log27。【解答】解：minx+6，x2+8，作出yminx+6，x2+8的图象（粉红实线）和y2x的图象，则yf（x）的图象为B点右边y2x的一部分和A、B上方的粉红实线、A点上方y2x的一部分组成若f（x）在（2，m）上有最大值，即为7，令2x7，解得xlog27，所以要使得f（x）在（2，m）上有最大值，则m的取值范围是（1，log27故答案为：（1，log2716（2022秋武功县校级

18、月考）已知aR，函数，若f（x）存在最小值，则a的取值范围 1，【答案】1，。【解答】解：当1a0，即a1时，f（x）在（，a）上单调递增，故f（x）无最小值，不符合题意；当1a2时，f（x）在（，a）上单调递减，所以f（a）（1a）a+1，又f（x）在a，+）上的最小值为f（2）0，要使f（x）存在最小值，还需（1a）a+10，解得a，故，解得1a；当a2时，要使f（x）存在最小值，还需：（1a）a+1a+4，因为：（1a）a+10，a+40，所以无解综上a的取值范围为1，故答案为：1，三、解答题。17（2022春济宁期末）已知函数（1）如果函数f（x）为幂函数，试求实数a、b、c的值；（2

19、）如果a0、b0，且函数f（x）在区间上单调递减，试求ab的最大值【解答】解：（1）由f（x）为幂函数知：或解得：a5，b8，c1，或a2，b9，c1（2）当a2时，f（x）（b8）x+c1（xR）由题意知，0b8，所以ab16当a2时，函数f（x）图象的对称轴为，以题意得：，即2a+b12所以，ab18当且仅当a3，b6时取等号当0a2时，以题意得：，即a+3b26，即又因为0a2，所以综上可得，ab的最大值为1818（2021秋呼和浩特期末）已知函数（）用函数单调性的定义证明f（x）在区间（0，+）上是增函数；（）解不等式f（2x+1）f（4x）【解答】解：（）证明：任取x1，x2（0，+

20、），且x1x2，则，x1，x2（0，+），且x1x2，f（x1）f（x2）0即f（x1）f（x2），函数f（x）在区间（0，+）上单调递增；（）根据题意，对于f（2x+1）f（4x），有2x+10，4x0，而函数f（x）在区间（0，+）上单调递增，则有2x+14x，即2x11，解可得x1不等式的解集为（，1）19（2022锦江区校级开学）请在答题卡所给的坐标纸上画出以下函数的图像，并写出对应函数的单调递增区间和单调递减区间（1）f（x）x23|x|+6单调递增区间：_单调递减区间：_（2）f（x）x23x+单调递增区间：_单调递减区间：_【解答】解：（1）f（x）x23|x|+6的图象如右图：

21、单调递增区间：（，0），（，+）；单调递减区间：（，），（0，）；（2）f（x）x23x+的图象如图：令tx23x，则yt+，又|2，当且仅当取得等号，又x（0，3）时，tx23x（，0）（，0），x（，0）（3，+）时，tx23x0，令，解得x，结合一元二次函数与对钩函数图像，根据复合函数的单调性原理可得：f（x）的单调性如下：单调增区间：（，0），（0，），（，+），单调递减区间：（，），（，3），（3，）20（2022句容市校级开学）函数是定义在（3，3）上的奇函数，且（1）确定f（x）的解析式；（2）证明f（x）在（3，3）上的单调性；（3）解关于t的不等式f（t1）+f（t）0【解答

22、】解：（1）函数是定义在（3，3）上的奇函数，则，解可得b0又由f（1），则有，解可得a2，故（2）由（1）的结论，设3x1x23，则 ，再根据3x1x23，可得9+x1x20，x1x20，故有f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（x2），可得函数f（x）在（3，3）上为增函数（3）由（1）（2）知f（x）为奇函数且在（3，3）上为增函数，关于t的不等式f（t1）+f（t）0，即式f（t1）f（t）f（t），可得，解可得：，即不等式的解集为21（2022海安市校级开学）对于问题“求函数y的最小值”，甲、乙两位同学分别提出了自己的思路甲同学将此函数变形为yx2（y+2）x+y0，接下来只需考虑

23、变形后的这个关于x的方程有解；乙同学将此函数变形为y，然后考虑x+的取值范围请你选择并完善其中一种思路，写出过程解决问题【解答】解法一、y转化为yx2（y+2）x+y0（*）若y0，则x0；若y0，则方程（*）有实数解0，即有（y+2）24y20，解得y2，且y0综上可得，函数的值域为，2，则函数的最小值为解法二、当x0时，y0；当x0时，y，当x0时，x+2，当且仅当x1时，取得等号，则y（0，2；当x0时，x+2，当且仅当x1时，取得等号，则y，0）综上可得，函数的值域为，2，则函数的最小值为22（2022鼓楼区校级开学）（1）已知（x1）2+（y2）24，求x+y的范围：（2）已知+1，

24、求x+y的范围；（3）已知x23x+y20，求y2x的范围【解答】解：（1）可设x+yb，化简为x+yb0，由已知直线x+yb0与圆（x1）2+（y2）24有交点，圆（x1）2+（y2）24的圆心为（1，2），圆心（1，2）到直线x+yb0的距离d，所以2，解得32b3+2，所以x+y的范围为32，3+2；（2）因为+1，所以可设x4cos，y3sin，则x+y4cos+3sin5sin（+），sin，cos，又由15sin（+）1，则有5x+y5，当且仅当2k+，kZ时取等号，则x+y的范围为：5，5；（3）因为x23x+y20，所以y2xx2+3xxx2+2x（x1）2+1，由x23x+y

25、20，可得y2x2+3x0，所以x0，3，所以（x1）2+13，1，即y2x的范围为3，123（2021秋天宁区校级期末）已知函数f（x）（xR）（1）求证：函数f（x）是R上的减函数；（2）已知函数f（x）的图像存在对称中心（a，b）的充要条件是g（x）f（x+a）b的图像关于原点中心对称，判断函数f（x）的图像是否存在对称中心，若存在，求出该对称中心的坐标，若不存在，说明理由【解答】解：（1）证明：设x1x2，则f（x1）f（x2），由x1x2，可得02x12x2，则f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（x2），所以函数f（x）是R上的减函数；（2）若函数f（x）的图像存在对称中心（a，

26、b），可得f（ax）+f（a+x）2b，所以+2b，化简可得b（1+22a）2+（b1）（2ax+2a+x）0，则b（1+22a）2b10，解得a0，b1，所以函数f（x）的图像存在对称中心（0，1）24（2021秋徐汇区校级期末）已知函数（常数aR）（1）当a2时，用定义证明yh（x）在区间1，2上是严格增函数；（2）根据a的不同取值，判断函数yh（x）的奇偶性，并说明理由；（3）令，设f（x）在区间1，2上的最小值为g（a），求g（a）的表达式【解答】解：（1）当a2时，h（x）2x2+，x1，2，证明：任取x1，x21，2，且x1x2，则h（x1）h（x2）2x12+（2x22+）（x1

27、x2）2（x1+x2），x1，x21，2，且x1x2，x1x20，2（x1+x2）4，1，2（x1+x2）0，h（x1）h（x2）0，即h（x1）h（x2），yh（x）在区间1，2上是严格增函数；（2），定义域为x|x0，关于原点对称，当a0时，h（x），则h（x）h（x），当a0时，h（x）是奇函数；当a0时，h（x）a（x）2，当a0时，h（x）为非奇非偶函数；（3）函数，x1，2，f（x）ax2x+2a，x1，2，1当a0时，f（x）x，f（x）在1，2上单调递减，f（x）minf（2）g（a）2；2当a0时，二次函数f（x）图象开口向上，且对称轴为直线x0，当2，即0a，f（x）在1，

28、2上单调递减，f（x）minf（2）g（a）6a2；当12，即a，f（x）minf（）g（a）a（）2+2a+2a；当01，即a，f（x）在1，2上单调递增，f（x）minf（1）g（a）3a1；3当a0，二次函数f（x）图象开口向下，且对称轴为直线x0，f（x）在1，2上单调递减，f（x）minf（2）g（a）6a2；综上所述，g（a）25（2022黄浦区模拟）已知函数f（x）（1）写出函数f（x）的单调递增区间；（2）求证：函数f（x）的图象关于直线yx对称；（3）某同学经研究发现，函数f（x）的图象为双曲线，x0和y为其两条渐近线，试求出其顶点，焦点的坐标，并利用双曲线的定义加以验证【解

29、答】（1）解：由题意，函数，可得，令f（x）0，即，解得或，所以函数f（x）的单调递增区间为（2）证明：设P（x0，y0）为函数f（x）的图像上一点，点P关于直线对称的点Q的坐标为（x1，y1），由直线垂直且平分线段PQ，可得，因为，所以，将代入，可得，即点Q也在函数f（x）的图像上，所以函数f（x）的图像关于直线对称（3）解：由（2）得直线为函数f（x）图像的一条对称轴，于是，解得，因为的图像是双曲线（以下记作），那么双曲线的两个顶点一定只能是，于是半实轴a的值一定只能是，双曲线的实轴所在直线与它的一条渐近线的夹角为，以双曲线的一个顶点为直角的顶点，以为一个锐角，以半实轴a的长为一条直角边的直角三角形的另一条直角边的长应当等于的半虚轴b之长，其斜边则等于的半焦距c之长因此b2，c4因为双曲线的两个焦点在双曲线的实轴所在的一条对称轴上，所以的两个焦点F1（x1，y1），F2（x2，y2），应在直线上，由|OF2|4，得，利用对称性另一个焦点应为，以下验证图像上的任意一点到F1，F2两点的距离之差的绝对值为定值，设P（x，y）为函数图像上的任意一点，则，由，得，故有2x2+2y2+322|x2+y28|，因为，故得，即为定值，且恰等于前面所得的2a的值，由此验证函数的图像为双曲线