专题34 三角函数-2022-2023学年初中数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练（解析版）.docx

1、专题34 三角函数一、三角函数与相似三角形【典例】如图，在四边形ABCD中，DAB90，ADBC，BC=12AD，AC与BD交于点E，ACBD，则tanBAC的值是 【解答】解：ADBC，DAB90，ABC180DAB90，BAC+EAD90，ACBD，AED90，ADB+EAD90，BACADB，ABCDAB，ABDA=BCAB，BC=12AD，AD2BC，AB2BCADBC2BC2BC2，AB=2BC，在RtABC中，tanBAC=BCAB=22；故答案为：22【巩固】如图，在RtBAD中，延长斜边BD到点C，使DC=12BD，连接AC，若tanB=53，求tanCAD的值【解答】解：如图

2、，作CEAD，CED90又BAD90，ADBCDECDEBDA，DC=12BDCEAB=DEAD=CDBD=12，tan B=53，设AD5x，则AB3x，CE=32x，DE=52x，tanCAD=ECAE=15二、三角函数在四边形中的应用【典例】如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上一点，且FC2BF，连接AE，EF若AB2，AD3，则cosAEF的值是（）A12B1C22D32【解答】解：连接AF，如图所示：四边形ABCD是矩形，BC90，CDAB2，BCAD3，FC2BF，BF1，FC2，ABFC，E是CD的中点，CE=12CD1，BFCE，在ABF和FCE中，AB=FC

3、B=CBF=CE，ABFFCE（SAS），BAFCFE，AFFE，BAF+AFB90，CFE+AFB90，AFE1809090，AEF是等腰直角三角形，AEF45，cosAEF=22；故选：C【巩固】如图，正方形ABCD的边长为32，过点A作AEAC，AE1，连接BE，则tanE【解答】解：延长CA使AFAE，连接BF，过B点作BGAC，垂足为G，四边形ABCD是正方形，CAB45，BAF135，AEAC，BAE135，BAFBAE，在BAF和BAE中，BA=BABAF=BAEAE=AF，BAFBAE（SAS），EF，正方形ABCD的边长为32，AC=2AB6，四边形ABCD是正方形，BGAC

4、，G是AC的中点，BGAG3，FGAG+AF3+14在RtBGF中，tanF=BGFG=34，即tanE=34故答案为34三、圆中的三角形相似【典例】如图，ABC内接于O，ABAC，CO的延长线交AB于点D（1）求证：AO平分BAC；（2）若BC6，sinBAC=35，求AC和CD的长【解答】（1）证明：延长AO交BC于H，连接BO，如图1所示：ABAC，OBOC，A、O在线段BC的垂直平分线上，AOBC，又ABAC，AO平分BAC；（2）解：延长CD交O于E，连接BE，如图2所示：则CE是O的直径，EBC90，BCBE，EBAC，sinEsinBAC，BCCE=35，CE=53BC10，BE

5、=CE2-BC2=8，OAOE=12CE5，AHBC，BEOA，OABE=ODDE，即58=OD5-OD，解得：OD=2513，CD5+2513=9013，BEOA，即BEOH，OCOE，OH是CEB的中位线，OH=12BE4，CH=12BC3，AH5+49，在RtACH中，AC=AH2+CH2=92+32=310【巩固】如图所示，ABC内接于O，AB是O的直径，点D在O上，过点C的切线交AD的延长线于点E，且AECE，连接CD（1）求证：DCBC；（2）若AB10，AC8，求tanDCE的值【解答】（1）证明：连接OCOAOC，OACOCACE是O的切线，OCE90AECE，AECOCE90

6、OCAEOCACADCADBACDC=BCDCBC（2）解：AB是O的直径，ACB90BC=AB2-AC2=6CAEBAC，AECACB90，ACEABCECBC=ACABEC6=810，EC=245，DCBC6，ED=DC2-CE2=62-(245)2=185，tanDCE=EDEC=185245=34巩固练习1如图，在网格中小正方形的边长均为1，点A，B，O都在格点上，则AOB的正弦值是（）A31010B22C55D1010【解答】解：过A作BO的垂线，交OB的延长线于点C，由网格中的等腰直角三角形可知ACO90则AC=12+12=2，AO=22+42=25，在RtAOC中，sinAOB=

7、ACAO=225=1010故选：D2下列计算错误的个数是（）sin60sin30sin30；sin245+cos2451；(tan60)2=13；tan30=cos30sin30A1B2C3D4【解答】解：sin60sin30=32-12=3-12，而sin30=12，因此是错误的；sin245+cos245（22）2+（22）21，因此是正确的；（tan60）2（3）23，因此是错误的；tan30=33，cos30sin30=3212=3，因此是错误的；综上所述，错误的有，共3个，故选：C3在ABC中，sinAcos（90C）=22，则ABC的形状是（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D

8、不确定【解答】解：sinAcos（90C）=22，A45，90C45，即A45，C45，B90，即ABC为直角三角形，故选：B4如图，半径为1的O中，BC，AC为弦，D，N为BC三等分点，M为AD的中点，则sinACB的值可表示为（）ADNBDMCBDDMN【解答】解：连接AB，连接AO并延长交O于E点，连接BE，AE为直径，ABE90，AEBACBsinACBsinAEB=ABAE=2MN2=MN故选：D5如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C，D，E均在格点上，连接AB，BC，CD，AE，线段AE的延长线交BC于点F，则tanAFB的值（）A12B33C49D14【解答】解：如图，取

9、格点M，N，连接MC和BM，AMEC，AMEC1，四边形AMCE为平行四边形，AFMC，AFBMCB，tanABM=AMAB=14，tanCMN=CNMN=28=14，ABMCMN，ABM+AMB90，CMN+AMB90，BMC90，tanAFBtanBCM=BMCM=42+1282+22=12故选：A6已知sin+cos=75，045，则tan（）A34B43C34或43D35【解答】解：设直角三角形中，锐角所对的边为a，邻边为b，斜边为c，则sin=ac，cos=bc，tan=ab，因为sin+cos=75，即ac+bc=75，所以a+bc=75，设c5k，则a+b7k，由勾股定理可得，a

10、3k，b4k或a4k，b3k，因为045，所以tan=ab=34，故选：A7如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则tanAPD的值为（）A2B5C3D6【解答】解：如图：连接BE，四边形BCED是正方形，DFCF=12CD，BF=12BE，CDBE，BECD，BFCF，根据题意得：ACBD，ACPBDP，DP：CPBD：AC1：3，DP：DF1：2，DPPF=12CF=12BF，在RtPBF中，tanBPF=BFPF=2，APDBPF，tanAPD2故选：A8规定：sin（x）sinx，cos（x）cosx，sin（x+y）sinx

11、cosy+cosxsiny据此判断下列等式成立的是 （填序号）cos（60）cos60=-12sin75sin（30+45）sin30cos45+cos30sin45=6+24sin2xsin（x+x）sinxcosx+cosxsinx2sinxcosx；sin（xy）sinxcosycosxsiny【解答】解：cos（x）cosx，cos（60）cos60=12，故错误，sin（x+y）sinxcosy+cosxsiny，sin75sin（30+45）sin30cos45+cos30sin45=6+24，故正确，sin（x+y）sinxcosy+cosxsiny，sin2xsin（x+x）s

12、inxcosx+cosxsinx2sinxcosx，故正确，sin（x）sinx，cos（x）cosx，sin（x+y）sinxcosy+cosxsiny，sin（xy）sinx+（y）sinxcos（y）+cosxsin（y）sinxcosycosxsiny，故正确，故答案为：9已知：实常数a、b、c、d同时满足下列两个等式：asin+bcosc0；acosbsin+d0（其中为任意锐角），则a、b、c、d之间的关系式是： 【解答】解：由得 asin+bcosc，两边平方，a2sin2+b2cos2+2absincosc2由得 acosbsind，两边平方，a2cos2+b2sin22abs

13、incosd2+得a2（sin2+cos2）+b2（sin2+cos2）c2+d2a2+b2c2+d2故答案为：a2+b2c2+d210如图，AB为O直径，且弦CDAB于E，过点B的切线与AD的延长线交于点F（1）若M是AD的中点，连接ME并延长ME交BC于N求证：MNBC（2）若cosC=45，DF3，求O的半径（3）在（1）的条件下，猜测线段AE、BE、CN、CB之间有怎样的数量关系？证明你的猜想【解答】（1）证明：弦CDAB，M是AD的中点，MAME，AAEM，而AEMBEN，ADEEBN，BEN+EBNA+ADE90，ENB90，MNBC；（2）解：连BD，如图，AB为直径，ADB90

14、，又FB为O的切线，ABBF，ABF90，RtFBDRtFAB，FB：AFDF：BF，即FB2FDFA，AC，cosC=45，cosA=45，在RtABF中，cosA=ABAF=45，不妨设AB4x，则AF5x，BF=(5x)2-(4x)2=3x，（3x）235x，解得x1=53，x20x=53，AB4x=203，O的半径为103；（3）解：线段AE、BE、CN、CB之间的数量关系为AEBECNCB理由如下：ABCD，CEDE，AED90，而ADB90，AEDB，RtAEDRtDEB，AE：DEDE：BE，即DE2AEBE，又CEBCNE90，RtCEBRtCNE，CE：CNCB：CE，即CE

15、2CNCB，由得AEBECNCB11如图，已知在ABC中，D是AB中点，DCAC，cosDCB=45，求sinA【解答】解：如图过点D作DEAC交BC于E，由cosDCB=CDCE=45，设CD4x，则CE5x，DE3x，点D是AB中点，DEAC，AC2DE6x，在RTACD中，AD=AC2+CD2=213x，故可得sinA=CDAD=2131312已知，如图：ABC是等腰直角三角形，ABC90，AB10，D为ABC外一点，连接AD、BD，过D作DHAB，垂足为H，交AC于E（1）若ABD是等边三角形，求DE的长；（2）若BDAB，且tanHDB=34，求DE的长【解答】解：（1）ABD是等边

16、三角形，AB10，ADB60，ADAB10，DHAB，AH=12AB5，DH=AD2-AH2=102-52=53，ABC是等腰直角三角形，CAB45，即AEH45，AEH是等腰直角三角形，EHAH5，DEDHEH=53-5；（2）DHAB，且tanHDB=34，可设BH3k，则DH4k，根据勾股定理得：DB5k，BDAB10，5k10解得：k2，DH8，BH6，AH4，又EHAH4，DEDHEH413如图，在梯形ABCD中，ABCD，BCD90，且AB1，BC2，tanADC2（1）求证：DCBC；（2）E是梯形内一点，F是梯形外一点，且EDCFBC，DEBF，试判断ECF的形状，并证明你的结

17、论；（3）在（2）的条件下，当BE：CE1：2，BEC135时，求sinBFE的值【解答】（1）证明：过A作DC的垂线AM交DC于M，则AMBC2又tanADC2，DM=22=1，即DCBC；（2）解：等腰直角三角形证明：因为DEBF，EDCFBC，DCBC，DECBFC，CECF，ECDFCB，ECFFCB+BCEECD+BCEBCD90，即ECF是等腰直角三角形；（3）解：设BEk，则CECF2k，EF22k，BEC135，又CEF45，BEF90，所以BF=k2+(22k)2=3k，所以sinBFE=k3k=1314如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，C90，BC16，DC12，AD2

18、1动点P从点D出发，沿射线DA的方向，在射线DA上以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动设运动的时间为t（秒）（1）设BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；（2）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形；（3）当线段PQ与线段AB相交于点O，且2AOOB时，求BQP的正切值；（4）是否存在时刻t，使得PQBD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）如图，过点P作PMBC，垂足为M，则四边形PDCM为矩形PMDC12QB16t，S=

19、1212（16t）966t（0t16）；（2）由图可知：CMPD2t，CQt以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：若PQBQ在RtPMQ中，PQ2t2+122，由PQ2BQ2得t2+122（16t）2，解得t=72；若BPBQ在RtPMB中，BP2（162t）2+122由BP2BQ2得：（162t）2+122（16t）2即3t232t+1440由于7040，3t232t+1440无解，PBBQ若PBPQ由PB2PQ2，得t2+122（162t）2+122整理，得3t264t+2560解得t1=163，t216（舍去）综合上面的讨论可知：当t=72秒或t=163秒时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形（3）如图，由OAPOBQ，得APBQ=AOOB=12AP2t21，BQ16t，2（2t21）16tt=585过点Q作QEAD，垂足为EPD2t，EDQCt，PEt在RtPEQ中，tanQPE=QEPE=12t=3029又ADBC，BQPQPE，tanBQP=3029；（4）设存在时刻t，使得PQBD如图，过点Q作QEAD于E，垂足为EADBCBQFEPQ，又在BFQ和BCD中BFQC90，BQFBDC，BDCEPQ，又CPEQ90，RtBDCRtQPE，DCBC=PEEQ，即1216=t12解得t9所以，当t9秒时，PQBD