专题3二次函数与等腰直角三角形问题-挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（解析版）.docx

1、挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘 专题3二次函数与等腰直角三角形问题 二次函数与等腰直角三角形的相结合的综合问题，是中考数学压轴题中比较常见的一种，涉及到的知识点有：等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质、斜边的中线、全等三角形与相似三角形、角平分线、方程与函数模型、函数的基本性质等。等腰直角三角形与二次函数综合问题常见的有三种类型：两定一动探索直角三角形问题；一定两动探索等腰直角三角形问题；三动探索等腰直角三角形问题；常见的思路中，不管是哪种类型的等腰直角三角形三角形问题，分类讨论的依据都是三个角分别为直角，解决的思路是通过构造K型全等或相似图来列方程解决。【例1】（2022枣庄

2、）如图，已知抛物线L：yx2+bx+c经过点A（0，3），B（1，0），过点A作ACx轴交抛物线于点C，AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点（1）求抛物线的关系式；（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当OPE面积最大时，求出P点坐标；（3）将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在OAE内（包括OAE的边界），求h的取值范围；（4）如图，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）利用待定系数法可得抛物线的

3、解析式；（2）过P作PGy轴，交OE于点G，设P（m，m24m+3），根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积和可得OPE的面积，利用二次函数的最值可得其最大值；（3）求出原抛物线的对称轴和顶点坐标以及对称轴与OE的交点坐标、与AE的交点坐标，用含h的代数式表示平移后的抛物线的顶点坐标，列出不等式组求出h的取值范围；（4）存在四种情况：作辅助线，构建全等三角形，证明OMPPNF，根据|OM|PN|，列方程可得点P的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标【解析】（1）抛物线L：yx2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），解得，抛物线的解析式为：yx24x+3；（2）如图，过

4、P作PGy轴，交OE于点G，设P（m，m24m+3），OE平分AOB，AOB90，AOE45，AOE是等腰直角三角形，AEOA3，E（3，3），直线OE的解析式为：yx，G（m，m），PGm（m24m+3）m2+5m3，SOPESOPG+SEPGPGAE3（m2+5m3）（m25m+3）（m）2+，0，当m时，OPE面积最大，此时，P点坐标为（，）；（3）由yx24x+3（x2）21，得抛物线l的对称轴为直线x2，顶点为（2，1），抛物线L向上平移h个单位长度后顶点为F（2，1+h）设直线x2交OE于点DM，交AE于点N，则E（2，3），直线OE的解析式为：yx，M（2，2），点F在OAE内（

5、包括OAE的边界），21+h3，解得3h4；（4）设P（m，m24m+3），分四种情况：当P在对称轴的左边，且在x轴下方时，如图，过P作MNy轴，交y轴于M，交l于N，OMPPNF90，OPF是等腰直角三角形，OPPF，OPF90，OPM+NPFPFN+NPF90，OPMPFN，OMPPNF（AAS），OMPN，P（m，m24m+3），则m2+4m32m，解得：m（舍）或，P的坐标为（，）；当P在对称轴的左边，且在x轴上方时，同理得：2mm24m+3，解得：m1（舍）或m2，P的坐标为（，）；当P在对称轴的右边，且在x轴下方时，如图，过P作MNx轴于N，过F作FMMN于M，同理得ONPPMF，

6、PNFM，则m2+4m3m2，解得：m1或m2（舍）；P的坐标为（，）；当P在对称轴的右边，且在x轴上方时，如图，同理得m24m+3m2，解得：m或（舍），P的坐标为：（，）；综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）方法二：作直线DE：yx2，E（1，1）是D点（1，0）绕O点顺时针旋转45并且OD缩小2倍得到，易知直线DE即为对称轴上的点绕O点顺时针旋转45，且到O点距离缩小倍的轨迹，联立直线DE和抛物线解析式得x24x+3x2，解得x1，x2，同理可得x3或x4；综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）【例2】（2022东营）如图，抛物线yax2+bx3（a0）

7、与x轴交于点A（1，0），点B（3，0），与y轴交于点C（1）求抛物线的表达式；（2）在对称轴上找一点Q，使ACQ的周长最小，求点Q的坐标；（3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）连接CB交对称轴于点Q，当C、B、Q三点共线时，ACQ的周长最小，求出直线BC的解析式，再求Q点坐标即可；（3）分两种情况讨论：当BPM90时，PMPB，M点与A点重合，则M（1，0）；当PBM90时，PBBM，过点B作x轴的垂线GH，过点P作PHGH交于H，过点M作MGHG交

8、于G，可证明BPHMBG（AAS），设P（1，t），则M（3t，2），求出M点坐标为（1，2）【解析】（1）将点A（1，0），点B（3，0）代入yax2+bx3，解得，yx22x3；（2）连接CB交对称轴于点Q，yx22x3（x1）24，抛物线的对称轴为直线x1，A、B关于对称轴x1对称，AQBQ，AC+AQ+CQAC+CQ+BQAC+BC，当C、B、Q三点共线时，ACQ的周长最小，C（0，3），B（3，0），设直线BC的解析式为ykx+b，解得，yx3，Q（1，2）；（3）当BPM90时，PMPB，M点与A点重合，M（1，0）； 当PBM90时，PBBM，过点B作x轴的垂线GH，过点P作PH

9、GH交于H，过点M作MGHG交于G，PBM90，PBH+MBG90，PBH+BPH90，MBGBPH，BPBM，BPHMBG（AAS），BHMG，PHBG2，设P（1，t），则M（3t，2），2（3t）22（3t）3，解得t2+或t2，M（1，2）或（5+，2），M点在对称轴的左侧，M点坐标为（1，2）；综上所述：M点的坐标为（1，2）或（1，0）【例3】（2022吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c（b，c是常数）经过点A（1，0），点B（0，3）点P在此抛物线上，其横坐标为m（1）求此抛物线的解析式（2）当点P在x轴上方时，结合图象，直接写出m的取值范围（3）若此抛物线在

10、点P左侧部分（包括点P）的最低点的纵坐标为2m求m的值以PA为边作等腰直角三角形PAQ，当点Q在此抛物线的对称轴上时，直接写出点Q的坐标【分析】（1）通过待定系数法求解（2）令y0，求出抛物线与x轴交点坐标，结合图象求解（3）分类讨论点P在抛物线对称轴右侧及左侧两种情况，分别求出顶点为最低点和点P为最低点时m的值根据m的值，作出等腰直角三角形求解【解析】（1）将（1，0），（0，3）代入yx2+bx+c得，解得，yx24x+3（2）令x24x+30，解得x11，x23，抛物线与x轴交点坐标为（1，0），（3，0），抛物线开口向上，m1或m3时，点P在x轴上方（3）yx24x+3（x2）21，抛

11、物线顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x2，当m2时，抛物线顶点为最低点，12m，解得m3，当m2时，点P为最低点，将xm代入yx24x+3得ym24m+3，m24m+32m，解得m1（舍），m2m3或m当m3时，点P在x轴上，AP2，抛物线顶点坐标为（2，1），点Q坐标为（2，1）或（2，1）符合题意当m时，如图，QPA90过点P作y轴平行线，交x轴于点F，作QEPF于点E，QPE+APFAPF+PAF90，QPEPAF，又QEPPFA90，QPPA，QEPPFA（AAS），QEPF，即2mm24m+3，解得m1（舍），m2PF2，AFPE1，EFPF+PE2+1，点Q坐标为（2，）综上所述

12、，点Q坐标为（2，1）或（2，1）或（2，）1（2022石狮市模拟）已知抛物线yax22ax+a+2与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴正半轴交于点C，点P为该抛物线在第一象限内的点当点P为该抛物线顶点时，ABP为等腰直角三角形（1）求该抛物线的解析式；（2）过点P作PDx轴于点E，交ABP的外接圆于点D，求点D的纵坐标；（3）直线AP，BP分别与y轴交于M，N两点，求的值【分析】（1）运用配方法将抛物线解析式化为顶点式，可得到顶点坐标，根据等腰直角三角形的性质可得A，B两点的坐标，利用待定系数法即可求解；（2）根据等腰直角三角形ABP的外接圆可得AB为直径，点E为圆心，即可得点D的纵

13、坐标；（3）利用待定系数法可得直线AP，BP的解析式，分别求出M，N两点的坐标，由yx2+x+得C（0，），求出CN、CM的值，即可求解【解析】（1）yax22ax+a+2a（x22x）+a+2a（x1）2+2，抛物线的顶点P的坐标为（1，2），如图：过点P作PEx轴于点E，则E（1，0），PE2，ABP为等腰直角三角形，AEBEPEAB2，A（1，0），B（3，0），将B（3，0）代入ya（x1）2+2得，a（31）2+20，解得a，该抛物线的解析式为y（x1）2+2x2+x+；（2）如图：ABP为等腰直角三角形，PDx轴于点E，AB为直径，点E为圆心，点P的坐标为（1，2），PE2，DE2

14、，D（1，2），点D的纵坐标为2；（3）设直线AP的解析式为ykx+b，点（1，2），A（1，0），解得，直线AP的解析式为yx+1，令x0，则y1，M（0，1），同理得直线BP的解析式为yx+3，令x0，则y3，N（0，3），yx2+x+与y轴正半轴交于点C，C（0，），CM1，CN3，32（2022福建模拟）如图，已知抛物线yax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，点C（2，4）在抛物线上，且ABC是等腰直角三角形（1）求抛物线的解析式；（2）过点D（2，0）的直线与抛物线交于点M，N，试问：以线段MN为直径的圆是否过定点？证明你的结论【分析】（1）等腰直角三角形斜边中线等于斜边一半，点的

15、坐标，不难求出A、B两点坐标，把点A、B、C代入二次函数解析式，解三元一次方程组就可得到函数解析式（2）通过设过点D（2，0）的直线MN解析式为yk（x2）kx2k，得到关于x、关于y的方程，利用跟与系数的关系，再得到圆的解析式，待定系数法确定定点的x、y的值，确定定点的坐标【解析】连接AC、BC，过点C作CP垂直于x轴于点P在RtCAB中，ACBC，CPAB，点C（2，4），CPAPPB4，OP2，OAAPOP422，OBOP+PB4+26，点A（2，0），点B（6，0），把点A（2，0），点B（6，0），点C（2，4）代入函数解析式得，解得，抛物线的解析式为：yx2x3故答案为：yx2x3

16、（2）设过点D（2，0）的直线MN解析式为yk（x2）kx2k，联立直线与抛物线解析式得关于x的等式：kx2kx2x3，化简得0，xN+xM4（k+1），xNxM8k12.，联立直线与抛物线解析式得关于y的等式：y（+2）2（+2）3，化简得y2+（1）y40，yM+yN4k2，yMyN16k2.，线段MN的中点就是圆的圆心，xO（xN+xM）2（K+1），代入直线方程得yO2k2，圆心坐标为（2k+2，2k2），直径MN，把、代入上式化简整理得直径MN，设圆上某一点（x，y）到圆心的距离等于半径，化简整理得16k2+128kx24kx4x+y24k2y4yk24kx+x24x+y2，圆过定点

17、，所以与k值无关，看作是关于k的二次等式，k2、k的系数，常量对应相等，得84x，x2，164y，y4，由以上分析，所以以MN为直径的圆过定点（2，4）故答案为：以线段MN为直径的圆过定点（2，4）3（2022碑林区校级四模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx2+mx+n与x轴交于点A，B（A在B的左侧）（1）若抛物线的对称轴为直线x3，AB4求抛物线的表达式；（2）平移（1）中的抛物线，使平移后的抛物线经过点O，且与x轴正半轴交于点C，记平移后的抛物线顶点为P，若OCP是等腰直角三角形，求点P的坐标【分析】（1）先根据抛物线的对称性求出点A、点B的坐标，再将点A、点B的坐标代入yx2+mx

18、+n，列方程组求出m、n的值即可；（2）设平移后的抛物线的表达式为yx2+bx，将点P的坐标用含b的式子表示，过该抛物线的顶点P作PDx轴于点D，根据等腰直角三角形的性质，可列方程求出b的值及点P的坐标【解析】（1）抛物线yx2+mx+n与x轴交于A、B两点，且抛物线的对称轴为直线x3，点A与点B关于直线x3对称，点A在点B的左侧，且AB4，A（5，0），B（1，0），把A（5，0）、B（1，0）代入yx2+mx+n，得，解得，抛物线的表达式为yx26x5（2）根据题意，平移后的抛物线经过原点，设平移后的抛物线的表达式为yx2+bx，当y0时，由x2+bx0得x10，x2b，C（b，0），该抛

19、物线的对称轴为直线xb，当xb时，y（b）2+b2b2，P（b，b2）；如图，作PDx轴于点D，则ODCD，OCP是等腰直角三角形，OPC90，PDOCOD，b2b，解得b12，b20（不符合题意，舍去），P（1，1）4（2021秋福清市期末）已知抛物线yax2+bx2经过（2，2），且顶点在y轴上（1）求抛物线解析式；（2）直线ykx+c与抛物线交于A，B两点点P在抛物线上，当k0，且ABP为等腰直角三角形时，求c的值；设直线ykx+c交x轴于点M（m，0），线段AB的垂直平分线交y轴于点N，当c1，m6时，求点N纵坐标n的取值范围【分析】（1）由题意可知b0，再将（2，2）代入yax2+b

20、x2即可求解析式；（2）求出A（，0），B（，0），再由2c+2+（c+2）24（c+2），即可求c；由题意可得m，k0，再由m6，可得k0，联立，得到AB的中点为（，+1），设AB的线段垂直平分线所在直线解析式为ykx+b，与x轴的交点P（，0），与y轴的交点为N（0，b），由PNOAMO，可得km，则有线段AB的垂直平分线为yx+，所以N点纵坐标为n+，即可求n【解析】（1）顶点在y轴上，b0，抛物线yax2+bx2经过（2，2），4a22，a1，yx22；（2）当k0时，yc，联立，A（，c），B（，c），ABP为等腰直角三角形，P点在AB的垂直平分线上，P点在抛物线的顶点（0，2）处，

21、AB2，APBP，2c+2+（c+2）24（c+2），c0；c1，ykx+1，m，由题意可知，k0，m6，k0，联立，x2kx20，xA+xBk，AB的中点为（，+1），设AB的线段垂直平分线所在直线解析式为ykx+b，与x轴的交点P（，0），与y轴的交点为N（0，b），PNAB，PNOAMO，km，yx+b，线段AB的垂直平分线为yx+，N点纵坐标为n+，n5（2022集美区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线T：ya（x+4）（xm）与x轴交于A，B两点，m3，点B在点A的右侧，抛物线T的顶点为记为P（1）求点A和点B的坐标；（用含m的代数式表示）（2）若am+3，且ABP为等腰直角三角

22、形，求抛物线T的解析式；（3）将抛物线T进行平移得到抛物线T，抛物线T与x轴交于点B，C（4，0），抛物线T的顶点记为Q若0a，且点C在点B的右侧，是否存在直线AP与CQ垂直的情形？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由【分析】（1）解方程（x+4）（xm）0可求A、B点坐标；（2）求出顶点P（m2，（m3）（）2），利用等腰直角三角形斜边的中线等腰斜边的一半，求出m即可求解；（3）分别求出直线AP与直线CQ的解析式，通过联立方程组求出这两条直线的交点M，过点M作NMx轴交于N，可得AMNMCN，则（am28a）2（m+4）（4+m），得到a2，再由a的取值范围确定m的范围即可【解析】（

23、1）令y0，则（x+4）（xm）0，解得x4或xm，A（4，0），B（m，0）；（2）am+3，y（m+3）（x+4）（xm）（m+3）（x2+4xmx4m），P（m2，（m3）（）2），ABP为等腰直角三角形，ABm+4，AB（m+4）（m+3）（）2，解得m2或m5，m3，m2，yx2+6x+8；（3）存在直线AP与CQ垂直的情形，理由如下：ya（x+4）（xm），P（m2，），由题意可知抛物线T的解析式为ya（xm）（x4），Q（，），设直线AP的解析式为ykx+b，解得，y（m+4）x2a（m+4），同理可求直线CQ的解析式为y（m4）x+2a（m4），联立方程组，解得，设直线AP与直

24、线CQ的交点为M，M（m，am28a），过点M作NMx轴交于N，AMCQ，AMQ90，AMN+NMC90，AMN+NAM90，NMCNAM，AMNMCN，（am28a）2（m+4）（4+m），a2，0a，0，解得3m46（2022城厢区模拟）抛物线yx2（m+3）x+3m与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（不与点O重合）（1）若点A在x轴的负半轴上，且OBC为等腰直角三角形求抛物线的解析式；在抛物线上是否存在一点D，使得点O为BCD的外心，若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由（2）点P在抛物线对称轴上，且点P的纵坐标为9，将直线PC向下平移n（1n4）个单位长度得到直线PC，若直线

25、PC与抛物线有且只有一个交点，求ABC面积的取值范围【分析】（1）分别求出A（m，0），B（3，0），C（0，3m），再由OCOB，求出m即可求解析式；由三角形外心的性质可知OBOCOD3，设D（t，t22t3），则3，求出t即可求D点坐标；（2）由题可知P（，9），求出平移后的直线PC的解析式为y6x+3mn，联立方程组，再由判别式（m3）24n0，可得n，由n的范围求出m的范围，再由SABC（m）2，结合m的范围即可求ABC的面积的取值范围【解析】（1）令y0，则x2（m+3）x+3m0，解得x3或xm，A（m，0），B（3，0），令x0，则y3m，C（0，3m），OBC为等腰直角三角形，

26、3m3解得m1，yx22x3；存在一点D，使得点O为BCD的外心，理由如下：点O为BCD的外心，OBOCOD3，设D（t，t22t3），3，解得t，D（，）或（，）；（2）yx2（m+3）x+3m，抛物线的对称轴为直线x，点P的纵坐标为9，P（，9），设直线PC的解析式为ykx+b，解得，y6x+3m，平移后的直线PC的解析式为y6x+3mn，联立方程组，整理得，x2（m3）x+n0，直线PC与抛物线有且只有一个交点，（m3）24n0，n，1n4，14，1m1或5m7，A（m，0），B（3，0），AB3m，SABC（3m）（3m）（m）2，当1m1时，0SABC6；5m7时，15SABC427

27、（2022将乐县模拟）抛物线yax2+bx+c与直线y有唯一的公共点A，与直线y交于点B，C（C在B的右侧），且ABC是等腰直角三角形过C作x轴的垂线，垂足为D（3，0）（1）求抛物线的解析式；（2）直线y2x与抛物线的交点为P，Q，且P在Q的左侧（）求P，Q两点的坐标；（）设直线y2x+m（m0）与抛物线的交点为M，N，求证：直线PM，QN，CD交于一点【分析】（1）过点A作AMBC交于M，由等腰直角三角形的性质求出AMBM2，从而求出M（1，），A（1，），B（1，），再用待定系数法求解析式即可；（2）（）联立方程组，即可求P、Q点的坐标；（）设M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程

28、组，可得x1+x26，y12x1+m，y222x1+m+12，求出直线PM的解析式后，求直线PM与CD的交点为（3，6+），求出QN的解析式后，求直线QN与CD的交点为（3，6+），从而所求得证【解答】（1）解：过点A作AMBC交于M，ABC是等腰直角三角形，AMBM（）2，CDx轴，D（3，0），C（3，），M（1，），A（1，），B（1，），设yax2+bx+c（a0），解得，yx2x；（2）（）解：联立方程组，解得或，P在Q的左侧，P（0，0），Q（6，12）；（）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程组，整理得x26x2m0，x1+x26，y12x1+m，y222x1+m

29、+12，设直线PM的解析式为yk1x，2x1+mk1x1，k12+，y（2+）x，直线PM与CD的交点为（3，6+），设QN的解析式为yk2x+b2，解得，y（2）x+，直线QN与CD的交点为（3，6+），直线PM，QN，CD交于一点8（2022赣州模拟）如图，二次函数yax2+bx3（x3）的图象过点A（1，0），B（3，0），C（0，c），记为L将L沿直线x3翻折得到“部分抛物线”K，点A，C的对应点分别为点A，C（1）求a，b，c的值；（2）画出“部分抛物线”K的图象，并求出它的解析式；（3）某同学把L和“部分抛物线”K看作一个整体，记为图形“W”，若直线ym和图形“W”只有两个交点M，

30、N（点M在点N的左侧）直接写出m的取值范围；若MNB为等腰直角三角形，求m的值【分析】（1）将A（1，0），B（3，0）代入yax2+bx3，求出函数解析式即可求解；（2）A（1，0），B（3，0），C（0，3）关于x3对称的点分别为A（7，0），B（3，0），C（6，3），再由待定系数法求出抛物线解析式即可；（3）数形结合即可求m的取值范围；当m4时，MNB是等腰三角形但不是直角三角形；当m0时，由2+m，求出m5【解析】（1）将A（1，0），B（3，0）代入yax2+bx3，解得，yx22x3，将C（0，c）代入yx22x3，可得c3；（2）A（1，0），B（3，0），C（0，3）关于x3

31、对称的点分别为A（7，0），B（3，0），C（6，3），设抛物线的解析式为yx2+bx+c，解得，yx210x+21；（3）yx22x3（x1）24，抛物线的顶点为（1，4），当m4时，直线ym和图形“W”只有两个交点；当m0时，直线ym和图形“W”只有两个交点；m0或m4时，直线ym和图形“W”只有两个交点；当m4时，M（1，4），N（5，4），BMBN，MNB是等腰三角形但不是直角三角形；当m0时，M（1，m），N（5+，m），BMBN，当BMAM时，2+m，解得m0（舍）或m5，m59（2022琼海二模）如图1，抛物线yax2+bx+3与x轴交于点A（3，0）、B（1，0），与y轴交于点

32、C，点P为x轴上方抛物线上的动点，点F为y轴上的动点，连接PA，PF，AF（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）如图1，当点F的坐标为（0，4），求出此时AFP面积的最大值；（3）如图2，是否存在点F，使得AFP是以AP为腰的等腰直角三角形？若存在，求出所有点F的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；（2）如图1，过点P作PQy轴交直线AF于点Q，运用待定系数法可得直线AF的解析式为yx4，设P（t，t2+2t+3）（1t3），则Q（t，t4），利用三角形面积公式可得SAFPPQOA（t2+t+7）3（t）2+，再运用二次函数性质即可求得答案；（3）设P（m，

33、m2+2m+3）（1m3），F（0，n），分两种情况：当APAF，PAF90时，当APPF，APF90时，分别讨论计算即可【解析】（1）抛物线yax2+bx+3与x轴交于点A（3，0）、B（1，0），解得：，该抛物线所对应的函数解析式为yx2+2x+3；（2）如图1，过点P作PQy轴交直线AF于点Q，设直线AF的解析式为ykx+d，A（3，0），F（0，4），解得：，直线AF的解析式为yx4，设P（t，t2+2t+3）（1t3），则Q（t，t4），PQt2+2t+3（t4）t2+t+7，SAFPPQOA（t2+t+7）3（t）2+，0，1t3，当t时，AFP面积的最大值为；（3）设P（m，m2

34、+2m+3）（1m3），F（0，n），A（3，0），OA3，OF|n|，当APAF，PAF90时，如图2，过点P作PDx轴于点D，则ADP90AOF，PAD+APD90，PAD+FAO90，APDFAO，在APD和FAO中，APDFAO（AAS），PDOA，ADOF，PDm2+2m+3，AD3m，m2+2m+33，解得：m0或2，当m0时，P（0，3），AD3，OF3，即|n|3，点F在y的负半轴上，n3，F（0，3）；当m2时，P（2，3），AD1，OF1，即|n|1，点F在y的负半轴上，n1，F（0，1）；当APPF，APF90时，如图3，过点P作PDx轴于点D，PGy轴于点G，则PDAP

35、DOPGF90，PDOPGFDOG90，四边形PDOG是矩形，FPG+FPD90，APD+FPDAPF90，FPGAPD，在FPG和APD中，FPGAPD（AAS），PGPD，FGAD，PDm2+2m+3，AD3m，PGm，m2+2m+3m，解得：m（舍去）或m，当m时，P（，），FGAD3m3，F（0，2）；综上所述，点F的坐标为（0，3）或（0，1）或（0，2）10（2022虹口区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2+bx+6与x轴交于点A（2，0）和点B（6，0），与y轴交于点C，顶点为D，联结BC交抛物线的对称轴l于点E（1）求抛物线的表达式；（2）联结CD、BD，点P

36、是射线DE上的一点，如果SPDBSCDB，求点P的坐标；（3）点M是线段BE上的一点，点N是对称轴l右侧抛物线上的一点，如果EMN是以EM为腰的等腰直角三角形，求点M的坐标【分析】（1）由点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）求出点C、D的坐标，利用勾股定理的逆定理可得BCD是直角三角形，BCD90，可得SBCDBCCD12，由三角形的面积公式结合SPDBSCDB可得出PD6，即可求解；（3）设M（m，m+6），且2m6，分两种情况：当MEN90，EMEN时，当EMN90，EMMN时，根据等腰直角三角形的性质求出点M的坐标即可【解析】（1）将A（2，0），B（6，0）代入

37、yax2+bx+6，得：，解得：，二次函数的解析式为yx2+2x+6；（2）如图：yx2+2x+6（x2）2+8，C（0，6）、D（2，8），B（6，0），BC6，CD2，BD4，BC2+CD2BD2，BCD是直角三角形，BCD90，SBCDBCCD12，SPDBPD（62）2PDSCDB12，PD6，P（2，2）；（3）B（6，0），C（0，6）直线BC的解析式为yx+6，OBOC，OBCOCB45，yx2+2x+6，对称轴l为x2，当x2时，yx+64，E（2，4），设M（m，m+6），且2m6，当MEN90，EMEN时，过点E作EHMN于H，MN2EH，EMNENM45，OBCOCB45

38、，NMEOCB，MNy轴，N（m，m2+2m+6），MNm2+2m+6+m6m2+3m，EHm2，m2+3m2（m2），解得m4或m2（不合题意，舍去），M（4，2）；当EMN90，EMMN时，EHNHMHEN，MENENM45，OBCOCB45，MENOBC，ENx轴，点N的纵坐标为4，当y4时，x2+2x+64，解得x2+2或x22（不合题意，舍去），N（2+2，4），EN2+222，EHMHEN，m2+，M（2+，4）；综上所述，点M的坐标为（4，2）或（2+，4）11（2022顺城区模拟）如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于点A和B（5，0），与y轴交于点C（0，5）（1）求抛物线的

39、解析式；（2）抛物线的对称轴与x轴交于点M，与BC交于点F，点D是对称轴上一点，当点D关于直线BC的对称点E在抛物线上时，求点E的坐标；（3）点P在抛物线的对称轴上，点Q在直线BC上方的抛物线上，是否存在以O，P，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）利用待定系数法，将B，C的坐标代入yx2+bx+c，即可求得二次函数的解析式；（2）设点M关于直线BC的对称点为点M，连接MM，BM，则直线FM为抛物线对称轴关于直线BC的对称直线，可得OBC是等腰直角三角形，求得点M的坐标为（5，3），由x2+4x+53，解方程即可求解；（3）设Q（m

40、，m2+4m+5），P（2，p），分三种情况讨论，O，P，Q分别为等腰直角三角形的顶点，分别作出图形，构造全等三角形，利用全等的性质，建立方程，解方程求解即可【解析】（1）点B（5，0），C（0，5）在抛物线yx2+bx+c上，解得，抛物线的解析式为yx2+4x+5；（2）设点M关于直线BC的对称点为点M，连接MM，BM，则直线FM为抛物线对称轴关于直线BC的对称直线，点E是点D关于直线BC的对称点，点E落在抛物线上，直线FM与抛物线的交点E1，E2为D1，D2落在抛物线上的对称点，对称轴与x轴交于点M，与BC交于点F，点M的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，5），点B的坐标为（5，0），O

41、BOC，OBC是等腰直角三角形，OBC45，MBF是等腰直角三角形，MBMF，点F的坐标为F（2，3），点M关于直线BC的对称点为点M，BMBM，MBM90，MBM是等腰直角三角形，BMBM3，点M的坐标为（5，3），FMx轴，x2+4x+53，解得，x1，x2，E1（，3），E2（，3），点E的坐标为（，3）或（，3）；（3）存在，Q1（，），Q2（，），Q3（，2）设Q（m，m2+4m+5），P（2，p），当OPPQ，OPQ90时，作PLy轴于L，过Q作QKx轴，交PL于K，LPO90LOP90KPQ，PLOQKP90，LOPKPQ，OPPQ，LOPKPQ（AAS），LOPK，LPQK，解

42、得m1，m2（舍去），当m1时，m2+4m+5，Q（，）；当QOPQ，PQO90时，作PLy轴于L，过Q作QKx轴于T，交PL于K，同理可得PKQQTO（AAS），QTPK，TOQK，解得m1，m2（舍去），当m1时，m2+4m+5，Q（，）；当QOOP，POQ90时，作PLy轴于L，过Q作QKx轴于T，交PL于K，同理可得OLPQSO（AAS），SQOL，SOLP，解得m12+，m22（舍去），当m12+时，m2+4m+52，Q（，2）；综上，Q1（，），Q2（，），Q3（，2）12（2022襄城区模拟）抛物线yx2（m+3）x+3m与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（1）如图1，若点A在

43、x轴的负半轴上，OBC为等腰直角三角形，求抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，点D（2，5）是抛物线上一点，点M为直线BC下方抛物线上一动点，令四边形BDCM的面积为S，求S的最大值及此时点M的坐标；（3）若点P是抛物线对称轴上一点，且点P的纵坐标为9，作直线PC，将直线PC向下平移n（n0）个单位长度得到直线PC，若直线PC与抛物线有且仅有一个交点直接写出n关于m的函数关系式；直接写出当1n5时m的取值范围【分析】（1）求出A（m，0），B（3，0），C（0，3m），由题意可得33m，求出m1，即可求解；（2）求出SABC16，过点M作MQy轴交直线BC于点Q，设M（m，m22m3），则

44、Q（m，m3），则SBCM（m）2+，可得S16（m）2+，即可求解；（3）求出P（，9），直线PC的解析式为y6x+3m，则直线PC的解析式为y6x+3mn，联立方程组，整理得x2（m3）x+n0，由（m3）24n0，可求n（m3）2；当n1时，m1或m5，当n5时，m2+3或m2+3，则2+3m1或5m2+3【解析】（1）令y0，则x2（m+3）x+3m0，解得x3或xm，A（m，0），B（3，0），令x0，则y3m，C（0，3m），OBC为等腰直角三角形，33m，m1，yx22x3；（2）由（1）知A（1，0），D（2，5），AB4，SBDC5828335515，过点M作MQy轴交直线B

45、C于点Q，设直线BC的解析式为ykx+b，解得，yx3，设M（m，m22m3），则Q（m，m3），MQm2+3m，SBCM3（m2+3m）（m）2+，S15（m）2+，当m时，S有最大值15+，此时M（，）；（3）yx2（m+3）x+3m的对称轴为直线x，P（，9），设直线PC的解析式为ykx+b，解得，y6x+3m，直线PC平移后的直线PC的解析式为y6x+3mn，联立方程组，整理得x2（m3）x+n0，直线PC与抛物线有且仅有一个交点，（m3）24n0，n（m3）2；当n1时，m1或m5，当n5时，m2+3或m2+3，2+3m1或5m2+313（2022山西二模）综合与探究如图，抛物线yx

46、2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且A，B两点的坐标分别是A（2，0），B（8，0）点P是抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作直线lx轴，交直线AC于点G，交直线BC于点H（1）求抛物线的函数表达式及点C的坐标（2）如果点D是抛物线的顶点，点P在点C和点D之间运动时，试判断在抛物线的对称轴上是否存在一点N，使得NGH是等腰直角三角形，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由（3）试探究在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得以点P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）运用待定系数法

47、把A（2，0），B（8，0）代入yx2+bx+c，解方程组即可得出抛物线解析式，令x0，即可求得点C的坐标；（2）求出抛物线对称轴，利用待定系数法分别求出直线AC、BC的解析式，由P（m，m2m2），可得：G（m，m2），H（m，m2），GHm2（m2）m，设N（3，n），分三种情况：当GHN90，GHHN时，当HGN90，GHGN时，当GNH90，GNHN时，分别建立方程求解即可得出答案；（3）分三种情况：当BP为平行四边形的对角线时，当CP为平行四边形的对角线时，当QP为平行四边形的对角线时，分别依据平行四边形的对角线互相平分和中点坐标公式可求得点P的横坐标的值，然后将点P的横坐标代入抛物

48、线的解析式可求得点P的纵坐标【解析】（1）抛物线yx2+bx+c经过A（2，0），B（8，0），解得：，yx2x2，当x0时，y2，C（0，2）；（2）存在理由如下：yx2x2（x3）2，抛物线顶点D（3，），设直线AC的解析式为ykx+d，则，解得：，直线AC的解析式为yx2，设直线BC的解析式为ykx+d，则，解得：，直线BC的解析式为yx2，点P在点C和点D之间抛物线上运动，P（m，m2m2），且0m3，G（m，m2），H（m，m2），GHm2（m2）m，点N在对称轴上，N（3，n），如图1，当GHN90，GHHN时，NGH是等腰直角三角形，解得：，N（3，）；当HGN90，GHGN时，

49、NGH是等腰直角三角形，解得：，N（3，）；当GNH90，GNHN时，NGH是等腰直角三角形，解得：，N（3，）；综上所述，点N的坐标为（3，）或（3，）或（3，）；（3）存在点Q，使以点P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形，设P（m，m2m2），Q（3，t），又B（8，0），C（0，2），当BP为平行四边形的对角线时，如图2，由中点公式可得：，解得：m5，当m5时，m2m2（5）2（5）2，P（5，）；当CP为平行四边形的对角线时，由中点公式可得：，解得：m11，当m11时，m2m2112112，P（11，）；当QP为平行四边形的对角线时，由中点公式可得：，解得：m5，当m5时，m2m2

50、5252，P（5，）；综上所述，当点P的坐标为（5，）或（11，）或（5，）时，以点P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形14（2022长沙模拟）已知抛物线C1：ymx2+n与x轴于A，B两点，与y轴交于点C，ABC为等腰直角三角形，且n1（1）求抛物线C1的解析式；（2）将C1向上平移一个单位得到C2，点M、N为抛物线C2上的两个动点，O为坐标原点，且MON90，连接点M、N，过点O作OEMN于点E求点E到y轴距离的最大值；（3）如图，若点F的坐标为（0，2），直线l分别交线段AF，BF（不含端点）于G，H两点若直线l与抛物线C1有且只有一个公共点，设点G的横坐标为b，点H的横坐标为a，则

51、ab是定值吗？若是，请求出其定值，若不是，请说明理由【分析】（1）根据已知条件得到点C（0，1），A（1，0），B（1，0），根据待定系数法即可求解；（2）将C1向上平移一个单位得到C2：yx2，设MN的直线解析式为ykx+b，设M点坐标为（xM，xM2），N（xN，xN2），联立方程组，整理得x2kxb0，由根与系数的关系可得xMxNb，过点M作MEx轴交于E，过点N作NFx轴交于点F，证明MEOOFN，可得xNxM1，能够确定直线MN经过定点（0，1），则E点在以（0，）为圆心，直径为1的圆上运动，所以点E到y轴距离的最大值为；（3）分别求出直线BF的表达式为y2x2，直线AF的表达式为y

52、2x2，设直线l的表达式为ytx+n，联立方程组，由0，可得nt21，则直线l的表达式为ytxt21，联立并解得a，联立可得，b，可求ab1【解析】（1）n1，点C（0，1），抛物线C1：ymx21，对称轴为x0，ACBC，ABC为等腰直角三角形，C为顶点，OAOBOC1，A（1，0），B（1，0），将B（1，0）代入ymx21得，m10，m1，抛物线C1：yx21；（2）将C1向上平移一个单位得到C2，抛物线C2：yx2，设MN的直线解析式为ykx+b，直线MN与y轴的交点为（0，b），设M点坐标为（xM，xM2），N（xN，xN2），联立方程组，整理得x2kxb0，xMxNb，过点M作ME

53、x轴交于E，过点N作NFx轴交于点F，MON90，MOE+NOF90，MOE+OME90，NOFOME，MEOOFN，xNxM1，b1，直线MN经过定点（0，1），OEMN，E点在以（0，）为圆心，直径为1的圆上运动，点E到y轴距离的最大值为；（3）ab是定值，理由如下：F的坐标为（0，2），设直线BF的解析式为yk1x+b1，解得，直线BF的表达式为y2x2，同理可得，直线AF的表达式为y2x2，设直线l的表达式为ytx+n，联立方程组，整理得：x2txn10，直线l与抛物线只有一个公共点，故（t）24（n1）0，解得nt21，直线l的表达式为ytxt21，联立并解得a，联立可得，b，ab1

54、为常数15（2022永川区模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线yax2+4x+c与直线AB相交于点A（0，1）和点B（3，4）（1）求该抛物线的解析式；（2）设C为直线AB上方的抛物线上一点，连接AC，BC，以AC，BC为邻边作平行四边形ACBP，求四边形ACBP面积的最大值；（3）将该抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线（a10），平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，是否存在点E使得ADE是以AD为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）将A，B两点代入到解析式中，得到a与c的值，即可求得抛物线的解析式；（2）设C（m，m2+4m+1），过C作

55、CMy轴交AB于M，则可以得到M的坐标（m，m+1），表示出线段CM的长，则S四边形ACBP2SABC，ABC的面积可以分解为ACM与BCM之和，可以用m表示出ABC的面积，得到关于m的二次函数，根据m的范围，确定函数的最值，从而求得C点坐标；（3）将抛物线配成顶点式，直接写出平移后的抛物线解析式，联立两个抛物线解析式，求得D的坐标，以AD为腰够等腰直角三角形，分四类讨论，即A和D可以均为直角顶点，同时，E的位置可以在AD右侧，也可以在AD左侧，构造一线三等角模型，求出E点坐标即可【解析】（1）将A、B两点代入到解析式中，得，解得，抛物线的解析式为：yx2+4x+1；（2）设直线AB为：yk1

56、x+1，代入点B，得，3k1+14，解得k11，直线AB为：yx+1，设C（m，m2+4m+1），过C作CMy轴交AB于M，如图，则M（m，m+1），CMm2+4m+1m1m2+3m，四边形ACBP为平行四边形，S四边形ACBP2SABC2（SACM+SBCM）2CM34CM3（m2+3m）3（m）2+，30，m时，四边形ACBP面积的最大值为；（3）抛物线yx2+4x+1（x2）2+5，将抛物线向左平移2个单位后得到的抛物线为：yx2+5，联立，解得，D（1，4），如图，当DADE，EDA90，E在AD右侧时，过D作x轴平行线交y轴于N，过E作y轴平行线，两线交于F点，DAN+NDANDA+

57、EDF90DANEDF，又DNAEFD90，DADE，DNAEFD（AAS），DNEF1，ANDF3，E（4，3），当DADE，EDA90，E在AD左侧，同理可得，E（2，5），当ADAE，DAE90，E在AD左侧时，同理可得，E（3，2），当ADAE，DAE90，E在AD右侧时，同理可得，E（3，0），综上所述，E（4，3）或（2，5）或（3，2）或（3，0）16（2022兴城市一模）如图，抛物线与x轴交于点A和点B（5，0），与y轴交于点C（0，3），连接AC，BC，点E是对称轴上的一个动点（1）求抛物线的解析式；（2）当SBCE2SABC时，求点E的坐标；（3）在抛物线上是否存在点P，使

58、BPE是以BE为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；（2）设E（3，m），对称轴交BC于点F，运用待定系数法可得直线BC的解析式为yx3，则F（3，），进而可得EF|m+|，再运用三角形面积公式建立方程求解即可得出答案；（3）设E（3，m），P（n，n2+n3），分两种情况：当点P1在x轴上方时，如图2，过点P1作对称轴的垂线，垂足为F，过点B作BGP1F于点G，可证得BP1GP1E1F（AAS），得出BGP1F，P1GE1F，建立方程求解即可求得点P的坐标；当点P2在x轴下方时，如图2，过点P2作x轴的垂线，垂足为

59、H，过点E作EKP2H于点K，同理可证BP2HP2E2K（AAS），得出BHP2K，P2HE2K，建立方程求解即可得出答案【解析】（1）抛物线经过B（5，0），C（0，3），解得：，该抛物线的解析式为yx2+x3；（2）yx2+x3，抛物线对称轴为直线x3，点A与B（5，0）关于直线x3对称，A（1，0），AB514，SABC436，设E（3，m），对称轴交BC于点F，设直线BC的解析式为ykx+d，则，解得：，直线BC的解析式为yx3，F（3，），EF|m+|，SBCEEFOB|m+|，SBCE2SABC，|m+|12，解得：m或6，点E的坐标为（3，）或（3，6）；（3）设E（3，m），P

60、（n，n2+n3），当点P在x轴上方时，如图2，过点P作对称轴的垂线，垂足为F，过点B作BGPF于点G，BPE是以BE为斜边的等腰直角三角形，BPE90，PBPE，BPG+EPF90，GPFE90，BPG+PBG90，PBGEPF，BPGPEF（AAS），BGPF，PGEF，解得：，当n0时，P（0，3）；当n时，BGPFn33，P（，）；当点P在x轴下方时，如图2，过点P作x轴的垂线，垂足为H，过点E作EKPH于点K，BPE是以BE为斜边的等腰直角三角形，BPE90，PBPE，BPH+EPK90，KPHB90，BPH+PBH90，PBHEPK，BPHPEK（AAS），BHPK，PHEK，n2

61、n+3n3，解得：n6或n（舍去），P（6，3）；综上所述，点P的坐标为（0，3）或（，）或（6，3）17（2021昆明模拟）已知抛物线：yax22ax+c（a0）过点（1，0）与（0，3）直线yx6交x轴、y轴分别于点A、B（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是抛物线上的任意一点连接PA，PB，使得PAB的面积最小，求PAB的面积最小时，P的横坐标；（3）作直线xt分别与抛物线yax22ax+c（a0）和直线yx6交于点E，F，点C是抛物线对称轴上的任意点，若CEF是以点E或点F为直角顶点的等腰直角三角形，求点C的纵坐标【分析】（1）将点（1，0）、（0，3）分别代入得到方程组，然后求出a、

62、c，最后得到解析式；（2）对于直线yx6，先求出点A、B的坐标，过点P作x轴的垂线交直线AB于点D，然后设点P的坐标，然后即可表示出点D的坐标，最后利用三角形的面积表示出PAB的面积，从而利用二次函数的性质求得面积小值时点P的横坐标；（3）用含有t的式子表示点E和点F的坐标，然后表示出EC和EF的长度，最后利用等腰直角三角形的性质列出方程求解【解答】解：（1）将点（1，0）、（0，3）分别代入yax22ax+c（a0）得，解得：，抛物线的解析式为yx22x3（2）对直线yx6，当x0时，y6，当y0时，x6，A（6，0），B（0，6），过点P作x轴的垂线交直线AB于点，连接PA和PB，设P（x

63、，x22x3），则D（x，x6），PDx22x3（x6）x23x+3，SPABSPBD+SPADxPD+（6x）PD3（x23x+3）3（x）2+，x时，SPAB有最小值，PAB的面积最小时，点P的横坐标为（3）由题意可设，E（m，m22m3），F（m，m6），EFm22m3（m6）m23m+3，由yx22x3可知抛物线的对称轴为直线x1，CEF是以点E或点F为直角顶点的等腰直角三角形，点C在抛物线对称轴上，点C的横坐标为1，m1，当点E为直角顶点时，CEEF，C（1，m22m3），CE|m1|，|m1|m23m+3，解得：m2，点C的纵坐标为222233；当点F为直角顶点时，CFEF，C（1

64、，m6），CF|m1|，|m1|m23m+3，解得：m2，点C的纵坐标为264；综上所述，点C的纵坐标为3或418（2021新泰市一模）如图，抛物线yax2+bx+2交x轴于点A（3，0）和点B（1，0），交y轴于点C已知点D的坐标为（1，0），点P为第二象限内抛物线上的一个动点，连接AP、PC、CD（1）求这个抛物线的表达式（2）点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值（3）点M在平面内，当CDM是以CM为斜边的等腰直角三角形时，求出满足条件的所有点M的坐标；在的条件下，点N在抛物线对称轴上，当MNC45时，求出满足条件的所有点N的坐标【分析】（1）由交点式可求a的值

65、，即可求解；（2）由S四边形ADCPSAPO+SCPOSODC，即可求解；（3）分两种情况讨论，通过证明MADDOC，可得AMDO，MADDOC90，可求解；可证点M，点C，点M在以MM为直径的圆上，当点N在以MM为直径的圆上时，MNCMMC45，延长MC交对称轴与N，可证MMCMNC45，即可求解【解答】解：（1）抛物线yax2+bx+2交x轴于点A（3，0）和点B（1，0），抛物线的表达式为：ya（x+3）（x1）a（x2+2x3）ax2+2ax3a，即3a2，解得：a，故抛物线的表达式为：yx2x+2；（2）连接OP，设点P（x，x2x+2），抛物线yx2x+2交y轴于点C，点C（0，2

66、），则SS四边形ADCPSAPO+SCPOSODC3（x2x+2）+2（x）21x23x+2，10，S有最大值，当x时，S的最大值为（3）如图2，若点M在CD左侧，连接AM，MDC90，MDA+CDO90，且CDO+DCO90，MDADCO，且ADCO2，MDCD，MADDOC（SAS）AMDO，MADDOC90，点M坐标（3，1），若点M在CD右侧，同理可求点M（1，1）；如图3，抛物线的表达式为：yx2x+2（x+1）2+；对称轴为直线x1，点D在对称轴上，MDCDMD，MDCMDC90，点D是MM的中点，MCDMCD45，MCM90，点M，点C，点M在以MM为直径的圆上，当点N在以MM为

67、直径的圆上时，MNCMMC45，符合题意，点C（0，2），点D（1，0）DC，DNDN，且点N在抛物线对称轴上，点N（1，），点N（1，）延长MC交对称轴与N，点M（1，1），点C（0，2），直线MC解析式为：y3x+2，当x1时，y5，点N的坐标（1，5），点N的坐标（1，5），点M（1，1），点C（0，2），NCMC，且MCM90，MMMN，MMCMNC45点N（1，5）符合题意，综上所述：点N的坐标为（1，）或（1，）或（1，5）19.（2021广安）如图，在平面直角坐标系中，二次函数yx2+bx+c的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为（3，0），B点坐标为（1，0），连接

68、AC、BC动点P从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒（1）求b、c的值（2）在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？（3）在线段AC上方的抛物线上是否存在点M，使MPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）过点P作PHx轴，垂足为E，利用S四边形BCPQSABCSAPQ表示出四边形BCPQ的面积，求出t的范围，利

69、用二次函数的性质求出最值即可；（3）画出图形，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与EP交于F，证明PFMQEP，得到MFPEt，PFQE42t，得到点M的坐标，再代入二次函数表达式，求出t值，即可算出M的坐标【解答】解：（1）二次函数yx2+bx+c的图象经过点A（3，0），B（1，0），则 ，解得：；（2）由（1）得：抛物线表达式为yx2+2x+3，C（0，3），A（3，0），OAC是等腰直角三角形，BAC45，由点P的运动可知：APt，过点P作PHx轴，垂足为H，如图，AHPHt，即H（3t，0），又Q（1+t，0），S四边形BCPQSABCSAPQ（t2）2+4，当其中一

70、点到达终点时，另一点随之停止运动，AC，AB4，0t3，当t2时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为4；（3）存在假设点M是线段AC上方的抛物线上的点，如图，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与EP交于F，连接MQ，MPPMQ是等腰直角三角形，PMPQ，MPQ90，MPF+QPE90，又MPF+PMF90，PMFQPE，在PFM和QEP中，PFMQEP（AAS），MFPEt，PFQE42t，EF42t+t4t，又OE3t，点M的坐标为（32t，4t），点M在抛物线yx2+2x+3上，4t（32t）2+2（32t）+3，解得：t或（舍），M点的坐标为（，）20.（2021上海）已

71、知抛物线yax2+c（a0）经过点P（3，0）、Q（1，4）（1）求抛物线的解析式；（2）若点A在直线PQ上，过点A作ABx轴于点B，以AB为斜边在其左侧作等腰直角三角形ABC当Q与A重合时，求C到抛物线对称轴的距离；若C在抛物线上，求C的坐标【分析】（1）P（3，0）、Q（1，4）代入yax2+c即可得抛物线的解析式为yx2+；（2）过C作CHAB于H，交y轴于G，A与Q（1，4）重合时，AB4，GH1，由ABC是等腰直角三角形，得CHAHBHAB2，C到抛物线对称轴的距离是CG1；过C作CHAB于H，先求出直线PQ为y2x+6，设A（m，2m+6），则AB2m+6，yCm+3，xC（m+3

72、m）2m3，将C（2m3，m+3）代入yx2+解得m或m3（与P重合，舍去），即可求出C（2，）【解答】解：（1）P（3，0）、Q（1，4）代入yax2+c得：，解得，抛物线的解析式为：yx2+；（2）过C作CHAB于H，交y轴于G，如图：当A与Q（1，4）重合时，AB4，GH1，ABC是等腰直角三角形，ACH和BCH也是等腰直角三角形，CHAHBHAB2，CGCHGH1，而抛物线yx2+的对称轴是y轴（x0），C到抛物线对称轴的距离是CG1；过C作CHAB于H，如图：设直线PQ解析式为ykx+b，将P（3，0）、Q（1，4）代入得：，解得，直线PQ为y2x+6，设A（m，2m+6），则AB|2m+6|，CHAHBHAB|m+3|，当m+30，yCm+3时，xC（m+3m）2m3，将C（2m3，m+3）代入yx2+得：m+3（2m3）2+，解得m或m3（与P重合，舍去），m，2m32，m+3，C（2，）当m+30，yCm+3时，xCm（m3）3，C（3，m+3），由P（3，0）可知m3，此时A、B、C重合，舍去，C（2，）