专题4-2数列的通项与求和 （专题分层练）（5种题型）解析版.docx

1、专题验收评价专题4-2 数列的通项与求和 内容概览A常考题不丢分一等差数列的通项公式（共3小题）二等差数列的前n项和（共8小题）三等比数列的通项公式（共2小题）四等比数列的前n项和（共3小题）五数列的求和（共14小题）B拓展培优拿高分（压轴题）（11题）C挑战真题争满分（14题）一等差数列的通项公式（共3小题）1（2023杨浦区二模）若在等差数列中，则通项公式【分析】根据所给的，设出未知数，列出方程，解得首项和公差，写出要求的通项公式【解答】解：设数列的公差为，故答案为：【点评】在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”首项、公差、公比、通项公式、前项和是常用的方法，但有时灵活地运用性

2、质，可使运算简便2（2023松江区二模）参考九章算术中“竹九节”问题，提出：一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共2升，下面3节的容积共3升，则第5节的容积为 升【分析】设此等差数列为，公差，由题意可得：与的方程组，联立解出即可【解答】解：设此等差数列为，公差，由题意可得：，则，联立解得，故答案为：【点评】本题考查了等差数列的通项公式，属于基础题3（2023松江区校级模拟）已知等差数列，则【分析】求出首项和公差，再根据等差数列的通项即可得解【解答】解：设公差为，由，得，解得，所以故答案为：【点评】本题主要考查等差数列的通项公式，考查运算求解能力，属于基础题二等差数列的前

3、n项和（共8小题）4（2023黄浦区校级模拟）等差数列的前项之和为，若，则90【分析】由等差数列的性质可得：，成等差数列，即可得出【解答】解：由等差数列的性质可得：，成等差数列，解得，故答案为：90【点评】本题考查了等差数列的前项和的性质、等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5（2023浦东新区校级一模）等差数列的前10项和为30，则12【分析】利用等差数列的前项和公式即可得到由等差数列的性质可得，进而可得答案【解答】解：等差数列的前10项和为30，解得由等差数列的性质可得，故答案为12【点评】熟练掌握等差数列的前项和公式、等差数列的性质是解题的关键6（2023松江区模拟）在等

4、差数列中，则数列的前11项和66【分析】先利用等差数列的性质求出，再通过求和公式计算即可【解答】解：由等差数列的性质可得，故答案为：66【点评】本题主要考查等差数列的前项和公式，属于基础题7（2023宝山区二模）若数列为等差数列，且，则该数列的前项和为【分析】直接代入等差数列通项公式，前项和公式即可【解答】解：设等差数列的公差为，则，解得，所以故答案为：【点评】本题考查等差数列通项公式，前项和公式，属于基础题8（2023黄浦区校级三模）设等差数列的前项和为，若，则下列结论中正确的是ABCD【分析】根据，求出，从而判断；举反例判断；根据等差数列的性质，结合基本不等式判断【解答】解：等差数列的前项

5、和为，故错误；，公差，故错误；，等差数列是增数列，故正确；当，时，此时，故错误故选：【点评】本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题9（2023杨浦区校级模拟）我国古代数学著作九章算术中有如下问题：“今有善走男，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何？”，该问题中，善走男第5日所走的路程里数是A110B120C130D140【分析】由题意，利用等差数列前项和公式即可求出公差【解答】解：今有善走男，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，设善走男每天走的路程为，则数列为等差数列，设公差为，则，由题意，可得，解得该善走男第5日所走的路程里数为，故

6、选：【点评】本题考查等差数列的公差的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题10（2023普陀区校级模拟）德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响他幼年时就表现出超人的数学天赋，10岁时，他在进行的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法已知某数列通项，则A98B99C100D101【分析】由题意可知，从而所求可转化为50个2相加进行求解【解答】解：由题意，所以，所以故选：【点评】本题考查倒序相减法，考查学生找规律和运算求解的能力，属于中档题11（2023杨浦

7、区校级三模）记为等差数列的前项和已知（1）若，求的通项公式；（2）若，求使得的的取值范围【分析】（1）根据题意，等差数列中，设其公差为，由，即可得，变形可得，结合，计算可得的值，结合等差数列的通项公式计算可得答案；（2）若，则，分与两种情况讨论，求出的取值范围，综合即可得答案【解答】解：（1）根据题意，等差数列中，设其公差为，若，则，变形可得，即，若，则，则，（2）若，则，当时，不等式成立，当时，有，变形可得，又由，即，则有，即，则有，又由，则有，则有，综合可得：的取值范围是，【点评】本题考查等差数列的性质以及等差数列的前项和公式，涉及数列与不等式的综合应用，属于中档题三等比数列的通项公式（共

8、2小题）12（2023闵行区二模）已知在等比数列中，、分别是函数的两个驻点，则【分析】由题意，利用函数的驻点的定义、韦达定理、等比数列的性质，求得的值【解答】解：等比数列中，设公比为，、分别是函数的两个驻点，、分别是函数的两个实数根，与都是正值也是正值，故答案为：【点评】本题主要考查函数的驻点的定义，韦达定理，等比数列的性质，属于基础题13（2023黄浦区校级三模）在等比数列中，若公比，前3项的和等于21，则该数列的通项公式【分析】根据等比数列的通项公式，把代入前3项的和，进而求得则数列的通项公式可得【解答】解：由题意知，解得，所以通项故答案为：【点评】本题考查等比数列的通项公式与前项和公式的

9、应用，属基础题四等比数列的前n项和（共3小题）14（2023浦东新区校级三模）设等比数列的前项和为，则使成立的的最小值为 7【分析】根据题意，等比数列中，其公比为，求出数列的通项公式和前项和公式，分析可得答案【解答】解：根据题意，等比数列中，其公比为，则，故，变形可得，而，则，即使成立的的最小值为7故答案为：7【点评】本题考查等比数列的求和，涉及等比数列的通项公式，属于基础题15（2023青浦区校级模拟）无穷等比数列的前项和为，若其首项为，且，则的取值范围是 【分析】首先可判断，即可得到，再根据数列极限可得及，由的取值范围求出的取值范围【解答】解：依题意显然公比，则，又且，所以，且，即，因为，

10、所以，则，所以或，又，所以，即故答案为：【点评】本题主要考查等比数列的前项和，属于基础题16（2023浦东新区模拟）记为等比数列的前项和，若，则52【分析】根据已知条件，结合等比数列的性质，即可求解【解答】解：，则，成等比数列，所以故答案为：52【点评】本题主要考查等比数列的性质，属于基础题五数列的求和（共14小题）17（2023宝山区二模）将正整数分解为两个正整数、的积，即，当、两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解如，其中即为20的最优分解，当、是的最优分解时，定义，则数列的前2023项的和为ABCD【分析】根据已知条件，结合，分奇数、偶数讨论，即可求解【解答】解：当时，则，当时，则，故

11、数列的前2023项的和为故选：【点评】本题主要考查数列的求和，考查转化能力，属于中档题18（2023虹口区二模）在数列中，若有，均为正整数，且，就有，则称数列为“递等数列”已知数列满足，且，将“递等数列” 前项和记为，若，则A4720B4719C4718D4716【分析】由题意可得，然后结合题意可得数列是周期为3的周期数列，然后求解即可【解答】解：已知数列满足，且，则，则，则，即，又，则，又若有，均为正整数，且，就有，即，又，即，则，依次类推可得数列是周期为3的周期数列，则故选：【点评】本题考查了利用数列递推式求数列的通项公式，重点考查了阅读理解能力，属中档题19（2023普陀区校级三模）若数

12、列满足，则称该数列为“切线零点数列”，已知函数有两个零点1、2，数列为“切线零点数列”，设数列满足，数列的前项和为，则【分析】根据二次函数的零点可求得，的值，求出，推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，进而可求得【解答】解：因为有两个零点1、2，由韦达定理可得，解得，所以，由题意可得，所以，又因为，所以，又，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以故答案为：【点评】考查数列与函数的综合，函数的导数的运算，考查转化思想以及计算能力，属于中档题20（2023嘉定区校级三模）已知，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则【分析】首先求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的

13、和【解答】解：数列为正奇数列，对于数列，设时，为偶数，当为偶数时，则为奇数，故，所以，故故答案为：【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，数列的求和，裂项相消法的求和，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题21（2023宝山区校级模拟）将关于的方程为实常数，在区间，上的解从小到大依次记为，设数列的前项和为，若，则的取值范围是 【分析】令，则为函数在轴右侧第一条对称轴的2倍，数列，为等差数列，公差为，然后根据取值来分类讨论函数在轴右侧第一条对称轴即可【解答】解：令，则为函数在轴右侧第一条对称轴的2倍，数列，为等差数列，公差为，函数的最小正周期为，其对称轴为，令，得或，当，函数在轴

14、右侧第一条对称轴为，令，得，符合假设，当，函数在轴右侧第一条对称轴为，令，得，所以此时，当，函数在轴右侧第一条对称轴为，令，得，与假设矛盾，综上，的取值范围为，故答案为：【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题22（2023长宁区校级三模）已知数列是等差数列，若，则数列的项数的最大值是 44【分析】设等差数列的公差为，函数，则的函数图像与直线至少有5个公共点，横坐标分别为，分两种情况：当为奇数时，当为偶数时，讨论函数图像与交点个数，即可得出答案【解答】解：设等差数列的公差为，函数，则的函数图像与直线至少有5个公共点，横坐标

15、分别为，根据绝对值函数的性质知：当为奇数时，函数图像关于对称，时有最小值，此时最多有2个交点，不满足题意，当为偶数时，函数图像在，上是一条水平的线段，可以有5个交点，所以，且，所以，即，所以，所以，故答案为：44【点评】本题考查等差数列的性质，解题中需要理清思路，属于中档题23（2023奉贤区校级三模）若数列满足：对于任意正整数都有成立，则【分析】先设数列的前项和为，根据题意有，再结合公式推导出数列的通项公式，进一步计算出的表达式，再运用分组求和法及等比数列的求和公式计算出的表达式，最后根据数列求和与极限关系式计算出的结果【解答】解：由题意，设数列的前项和为，则，当时，当时，当时，也满足上式，

16、故答案为：【点评】本题主要考查数列求和与极限的综合问题考查了分类讨论思想，整体思想，转化与化归思想，分组求和法及等比数列求和公式的运用，数列极限的运算，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题24（2023闵行区校级三模）数列共有项（常数为大于5的正整数），对任意正整数，有，且当时，记的前项和为，若对任意，2，3，都成立，则的最大值是 21【分析】根据题中的条件可得数列具有对称性，故通过对称性计算即可【解答】解：根据条件可知，有，数列具有性质为：距首尾等距离的两个数互为相反数，如果中间数为1个，则必为0，下面对讨论：当为偶数（数列各个数非零），所以，当为奇数（数列，解得，故的最大值为21故答案

17、为：21【点评】本题考查了数列的性质，数列的求和等知识，属于中档题25（2023徐汇区二模）已知数列满足：对于任意有，且，其中若，数列的前项和为，则10【分析】对求导，可证得是以为首项，1为公差的等差数列，可求出，再由并项求和法求出【解答】解：因为，则，由，可得，所以是以为首项，1为公差的等差数列，所以，则，所以，所以故答案为：10【点评】本题主要考查数列递推式，数列的求和，考查运算求解能力，属于中档题26（2023宝山区校级三模）已知为等差数列，为等比数列，（1）求和的通项公式；（2）记的前项和为，求证：【分析】（1）分别根据等差数列的通项公式和等比数列的通项公式即可求出；（2）根据等差数列

18、的求和公式和作差法即可比较大小，则可证明【解答】解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由，则，可得，解得，；（2）证明：由（1）可得，【点评】本题考查了等差数列等比数列的通项公式和求和公式，考查了不等式的证明，考查了运算求解能力，属于中档题27（2023普陀区二模）已知均为不是1的正实数，设函数的表达式为（1）设且，求的取值范围；（2）设，记，现将数列中剔除的项后、不改变其原来顺序所组成的数列记为，求的值【分析】（1）由指数函数的单调性和不等式的性质，可得所求取值范围；（2）分别求得，运用等差数列的通项公式和求和公式，以及等比数列的通项公式，计算可得所求和【解答】解：（1）由且，可得

19、，又，且，均为不是1的正实数，可得，由，可得，即的取值范围是，；（2）由，而的前100项中有，0，4，6，8，194，196，其中属于的有4，16，64，所以的前100项是的前103项去掉4，16，64三个元素，则【点评】本题指数函数的性质、等差数列的通项公式和求和公式，考查转化思想和运算能力，属于中档题28（2023浦东新区校级三模）数列满足为正整数（1）求的值；（2）求数列前项和；（3）令若数列的前项和为，求证：【分析】（1）利用数列的递推关系即可求的值；（2）利用作差法求出数列的通项公式，利用等比数列的前项和公式即可求数列的前项和；（3）利用构造法，结合裂项法进行求解即可证明不等式【解答

20、】解：（1），解得，两式相减得，则，当时，也满足，则；（2），数列是公比，则数列的前项和（3）证明：，设，则即在上为增函数，（1），即，且时，即，即，即【点评】本题主要考查数列通项公式以及前项和的计算，以及数列和不等式的综合，利用作差法求出数列的通项公式是解决本题的关键考查学生的计算能力，综合性较强，难度较大29（2023虹口区校级三模）若数列满足为正整数，为常数），则称数列为等方差数列，为公方差（1）已知数列，的通项公式分别为，判断上述两个数列是否为等方差数列，并说明理由；（2）若数列是首项为1，公方差为2的等方差数列，数列满足，且，求正整数的值；（3）在 （1）、（2）的条件下，若在与之间

21、依次插入数列中的项构成新数列，求数列中前50项的和【分析】（1）直接验证即可判断；（2）利用等方差数列的定义可求正整数的值；（3）判断新数列中的前50项含有数列的前9项，含有数列 的前41项，可求数列中前50项的和【解答】解：（1）因为 （常数），所以数列为等方差数列，1为公方差，因为，所以数列不是等方差数列（2）由题意得， ，显然，解得（3）由题意得：新数列中， （含 前共有： 项，由，得，所以新数列中的前50项含有数列的前9项，含有数列 的前41项，即【点评】本题考要新定义题型，考查运算求解能力，属中档题30（2023上海模拟）记无穷数列的前项中最大值为，最小值为，令，则称是 “极差数列”

22、（1）若，求的前项和；（2）证明：的“极差数列”仍是；（3）求证：若数列是等差数列，则数列也是等差数列【分析】（1）由是递增数列，得，由此能求出的前项和；（2）推导出，2，3，由此能证明的“极差数列”仍是；（3）证当数列是等差数列时，设其公差为，是一个单调递增数列，从而，由，分类讨论，能证明若数列是等差数列，则数列也是等差数列【解答】（1）解：无穷数列的前项中最大值为，最小值为，是递增数列，的前项和（2）证明：，2，3，2，3，2，3，2，3，的“极差数列”仍是（3）证明：当数列是等差数列时，设其公差为，根据，的定义，得：，且两个不等式中至少有一个取等号，当时，必有，是一个单调递增数列，是等差

23、数列，当时，则必有，是一个单调递减数列，是等差数列，当时，中必有一个为0，根据上式，一个为0，为一个必为0，数列是常数数列，则数列是等差数列综上，若数列是等差数列，则数列也是等差数列【点评】本题主要考查新定义数列的理解和运用，考查等差数列的证明，考查数列的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题一选择题（共1小题）1（2020上海自主招生）非零实数，若，成等差数列，则下列不等式成立的是ABCD【分析】由等差数列的性质得，推导出，进而得到，或，由此能求出结果【解答】解：由题意得，即，即，又，或，即，或故选：【点评】本题考查命题真假的判断，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基

24、础题二填空题（共3小题）2（2020上海自主招生）向量数列满足，且满足，令，则当取最大时，的值为6或7【分析】直接利用向量的运算求出数列的通项公式，进一步利用前项和公式的应用求出结果为二次函数的形式，最后利用二次函数的性质求出结果【解答】解：数列满足，所以，所有的式子相加得到：，所以，由于，由于，由于二次函数的对称轴方程为为整数），所以或7时，取最大值故答案为：6或7【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式，向量的运算，数列的前项和，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题3（2020上海自主招生）实数，满足，则0【分析】本题先根据，可得到，以及根据，可得，然后列出关于、的方程

25、组，解出、的值，代入求和表达式，根据等比数列的求和公式即可计算出结果【解答】解：依题意，由，可知，或，解得，或，当时，；当时，故答案为：0【点评】本题主要考查根据多项式求值，以及求和的问题考查了方程思想，等比数列的求和公式，以及定义法，转化法，逻辑推理能力和数学运算能力本题属中档题4（2020上海自主招生）小于1000的正整数中，既不是5的倍数也不是7的倍数的整数有686个【分析】先求出5的倍数有200个，7的倍数有142个，35的倍数有28个，从而可求【解答】解：因为小于1000的正整数中，5的倍数有个，即7的倍数有142个，因为即35的倍数有28个，故既不是5的倍数也不是7的倍数的整数有个

26、故答案为：686【点评】本题主要考查了等差数列的简单应用，属于基础试题三解答题（共7小题）5（2022上海自主招生），求的值【分析】易知，可得，再采用裂项求和法，推出，然后求得，即可得解【解答】解：因为，所以，即，所以，因为，所以，且，所以，所以，所以【点评】本题考查数列的求和，熟练掌握裂项求和法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题6（2022上海自主招生）数列，求【分析】变形可得，设，可得数列是首项为4，公差为2的等差数列，根据等差数列的通项公式求得，再利用累加法求得，然后由裂项求和法，得解【解答】解：因为，所以，设，则，且，所以数列是首项为4，公差为2的等差数列，所以，所以

27、，所以，所以，所以【点评】本题考查数列的求和，根据数列递推式，构造新数列，熟练掌握累加法，裂项求和法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题7（2022浦东新区校级二模）设是公差不为零的等差数列，满足，设正项数列的前项和为，且（1）求数列和的通项公式；（2）在和之间插入1个数，使、成等差数列；在和之间插入2个数、，使、成等差数列；在和之间插入个数、，使、成等差数列，求；（3）对于（2）中求得的，是否存在正整数、，使得成立？若存在，求出所有的正整数对；若不存在，请说明理由【分析】（1）设数列的公差为，利用等差数列的通项公式求出，从而，再由，当时，推导出是首项为，公比为的等比数列，由此

28、能求出（2）在和之间插入个数，推导出，从而，进而，由此利用错位相减法能求出（3），当时，当时，当时，再证明当时，由此能求出所有的正整数对【解答】（1）解：设等差数列的公差为，则由，得，；由，当时，得，又，是首项为，公比为的等比数列，（2）在和之间插入个数，成等差数列，设公差为，则，则，得，（3）假设存在正整数，使成立，当时，当时，当时，下证，当时，有，即证，设，则，在，上单调递增，故时，时，不是整数，所有的正整数对为及【点评】本题考查了等差数列的通项公式，数列的递推关系，数列的求和以及数列与函数的综合，属于综合题8（2022徐汇区二模）对于数列，记（1）若数列通项公式为：，求（5）；（2）若数

29、列满足：，且，求证：的充分必要条件是，2，；（3）已知，若，2，2022求的最大值【分析】（1）直接求出，即可求（5）；（2）用定义法，分充分性和必要性分别进行证明；（3）先计算出，利用放缩法和裂项求和法求出的最大值【解答】解：（1）由通项公式得：，所以（5）；（2）证明：充分性：若数列的前项单调不增，即此时有：；必要性：用反证法若数列不满足，2，则存在，使得，那么，由于，所以，与已知矛盾，所以假设不成立，必要性得证；综上所述：的充分必要条件是，2，（3）解：由，令，则，所以，（因为当且仅当，时，取得最大值2021【点评】本题主要考查了数列的递推关系，充分必要条件的证明以及数列的求和问题，属于

30、综合题9（2023普陀区校级模拟）已知数列，是其前项的和，且满足（）求证：数列为等比数列；（）记，求的表达式【分析】（）由，类比可得，两式相减，整理即证得数列是以为首项，3为公比的等比数列；（）由（）得，分组求和，利用等比数列与等差数列的求和公式，即可求得的表达式【解答】（）证明：，两式相减得：，又，数列是以为首项，3为公比的等比数列；（）解：由（）得，【点评】本题考查数列的求和，着重考查等比关系的确定，突出考查分组求和，熟练应用等比数列与等差数列的求和公式是关键，属于难题10（2023嘉定区二模）已知，等差数列的前项和为，记（1）求证：函数的图像关于点中心对称；（2）若、是某三角形的三个内角

31、，求的取值范围；（3）若，求证：反之是否成立？并请说明理由【分析】（1）根据已知条件，设出点的坐标，通过判断是否满足的解析式，即可求证；（2）根据已知条件，结合等差数列的性质，求出，再结合三角函数的恒等变换，以及三角函数的有界性，即可求解；（3）根据已知条件，先求出，再结合等差数列的性质，以及特例法，即可求证【解答】证明：（1）在函数的图像上任取一点，点关于点的对称点为，则，即点在函数图像上，故函数的图像关于点中心对称（2）解：若、是某三角形的三个内角，则由三角形内角和性质可知，又为等差数列，则，解得，则，不妨设，则，即，故的取值范围为，；（3）证明：若，又，因为为等差数列且，所以当时，于是，

32、故，所以，得证，若，则，考虑存在等差数列，满足，则，则与关于对称，故下面证明，存在可以使得且不妨设，又，则，考虑函数，其中，因为，由零点存在定理可知，存在使得，所以存在，使得即，但是，故反之不成立【点评】本题主要考查数列的求和，考查转化能力，属于难题11（2022宝山区二模）已知无穷数列的前项和为，且满足，其中、是常数（1）若，求数列的通项公式；（2）若，且，求数列的前项和；（3）试探究、满足什么条件时，数列是公比不为的等比数列【分析】（1）利用公式，结合等比数列的性质能求出数列的通项公式（2）利用公式，结合题设条件进行因式分解，得到是等差数列，由此能求出数列的前项和（3）设数列是公比为的等比

33、数列，分别讨论当，时的情况，由此入手能够求出结果【解答】解：（1），当时，解得；当时，整理，得，（2），当时，解得，当时，整理，得，是首项为，公差为的等差数列，（3）若数列是公比为的等比数列，当时，由，得恒成立，与数列是等比数列矛盾；当，时，由恒成立，得对于一切正整数都成立，或或0，事实上，当，或或0，时，时，得或数列是以为首项，以为公比的等比数列【点评】本题考查数列的通项公式和数列的前项和的求法，探究、满足什么条件时，数列是公比不为的等比数列，对数学思维能力要求较高，解题时要注意分类讨论思想的合理运用一填空题（共6小题）1（2021上海）已知等差数列的首项为3，公差为2，则21【分析】由已知

34、结合等差数列的通项公式即可直接求解【解答】解：因为等差数列的首项为3，公差为2，则故答案为：21【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式，属于基础题2（2022上海）已知等差数列的公差不为零，为其前项和，若，则，2，中不同的数值有 98个【分析】由等差数前项和公式求出，从而，由此能求出结果【解答】解：等差数列的公差不为零，为其前项和，解得，1，中，其余各项均不相等，中不同的数值有：故答案为：98【点评】本题考查等差数列的前项和公式、通项公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题3（2020上海）已知数列是公差不为零的等差数列，且，则【分析】根据等差数列的通项公式可由，得，在利用等差数列前项和公

35、式化简即可得出结论【解答】解：根据题意，等差数列满足，即，变形可得，所以故答案为：【点评】本题考查等差数列的前项和与等差数列通项公式的应用，注意分析与的关系，属于基础题4（2023上海）已知首项为3，公比为2的等比数列，设等比数列的前项和为，则189【分析】直接利用等比数列的前项和公式求解【解答】解：等比数列的首项为3，公比为2，故答案为：189【点评】本题主要考查了等比数列的前项和公式，属于基础题5（2021上海）已知为无穷等比数列，的各项和为9，则数列的各项和为 【分析】设的公比为，由无穷递缩等比数列的求和公式，解方程可得，进而得到，求得数列的首项和公比，再由无穷递缩等比数列的求和公式，可

36、得所求和【解答】解：设的公比为，由，的各项和为9，可得，解得，所以，可得数列是首项为2，公比为的等比数列，则数列的各项和为故答案为：【点评】本题考查等比数列的通项公式和无穷递缩等比数列的求和公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题6（2024上海）数列，的取值范围为 【分析】由已知结合等差数列的求和公式及性质的应用，属于基础题【解答】解：等差数列由，知数列为等差数列，即，解得故的取值范围为故答案为：【点评】本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的应用，属于基础题二解答题（共8小题）7（2022全国）设是首项为1，公差不为0的等差数列，且，成等比数列（1）求的通项公式；（2）令，求数列的前项和【

37、分析】（1）由已知条件可得：，求得，然后求通项公式即可；（2）由（1）可得：，则，然后分两种情况讨论：当为偶数时，当为奇数时，然后求和即可【解答】解：（1）已知是首项为1，公差不为0的等差数列，又，成等比数列，则，即，又，即，则；（2）由（1）可得：，则，则当为偶数时，当为奇数时，即【点评】本题考查了等差数列通项公式的求法，重点考查了捆绑求和法，属基础题8（2023全国）已知为等比数列，其前项和为，（1）求的通项公式；（2）若，求的前项和【分析】（1）利用等比数列的前项和公式，建立方程组进行求解即可（2）求出的通项公式，得到是等比数列，利用等比数列的前项和公式进行求解即可【解答】解：（1）为等

38、比数列，其前项和为，则，两式作商得，即，得，则，（2），当时，即是公比为的等比数列，首项，则【点评】本题主要考查等比数列的通项公式和前项和公式的计算，利用方程组法建立方程求出首项和公比是解决本题的关键，是中档题9（2023新高考）已知为等差数列，记，为，的前项和，（1）求的通项公式；（2）证明：当时，【分析】（1）根据已知条件，结合等差数列的性质，以及等差数列的前项和公式，即可求解；（2）根据已知条件，求出，再结合作差法，并分类讨论，即可求证【解答】解：（1）设等差数列的公差为，为的前项和，则，即，解得，故；（2）证明：由（1）可知，当为偶数时，当为奇数时，故原式得证【点评】本题主要考查数列的

39、求和，考查转化能力，属于中档题10（2023甲卷）已知数列中，设为前项和，（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和【分析】（1）求得，进而可得当时，可得，由累乘法可求的通项公式；（2），利用错位相减法可求数列的前项和【解答】解：（1）当时，解得，当时，当时，可得，当或时，适合上式，的通项公式为；（2）由（1）可得，【点评】本题考查求数列的通项公式，考查数列的前项的和的求法，属中档题11（2022甲卷）记为数列的前项和已知（1）证明：是等差数列；（2）若，成等比数列，求的最小值【分析】（1）由已知把换为作差可得递推关系从而证明，（2）由，成等比数列，求出首项，利用等差数列通项公式找出正负分界点计

40、算即可【解答】解：（1）证明：由已知有：，把换成，可得：，整理得：，由等差数列定义有为等差数列；（2）由已知有，设等差数列的首项为，由（1）有其公差为1，故，解得，故，所以，故可得：，故在或者时取最小值，故的最小值为【点评】本题主要考查利用数列递推关系求通项及等差数列前项和的最小值，属于中档题12（2023乙卷）记为等差数列的前项和，已知，（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和【分析】（1）建立方程组求出首项和公差即可（2）求出的表达式，讨论的取值，然后进行求解即可【解答】解：（1）在等差数列中，即，得，则（2），即时，当时，当时，数列的前项和，当时，数列的前项和【点评】本题主要考查等差数列

41、的通项公式和数列求和，建立方程组求出首项和公差是解决本题的关键，是中档题13（2023新高考）设等差数列的公差为，且令，记，分别为数列，的前项和（1）若，求的通项公式；（2）若为等差数列，且，求【分析】（1）根据题意及等差数列的通项公式与求和公式，建立方程组，即可求解；（2）根据题意及等差数列的通项公式的特点，可设，则，且；或设，则，且，再分类讨论，建立方程，即可求解【解答】解：（1），根据题意可得，又，解得，；（2）为等差数列，为等差数列，且，根据等差数列的通项公式的特点，可设，则，且；或设，则，且，当，时，则，又，解得；当，时，则，又，此时无解，综合可得【点评】本题考查等差数列的性质，等差

42、数列的通项公式与求和公式的应用，方程思想，化归转化思想，分类讨论思想，属中档题14（2023天津）已知是等差数列，（）求的通项公式和；（）已知为等比数列，对于任意，若，则当时，求证：；求的通项公式及其前项和【分析】（）建立方程组求出首项和公差即可求解（）根据数列递推关系，利用极限思想分别求出公比和首项，即可得到结论【解答】解：（）是等差数列，得，则的通项公式，中的首项为，项数为，则（），即，当时，且，即，综上，故成立；成立，为等比数列，设公比为，当时，则，即，即，当，时，即，即，当，则，则，即的通项公式为，则的其前项和【点评】本题主要考查等比数列和等差数列的通项公式以及求和公式的应用，利用方程组法以及数列的递推关系进行求解是解决本题的关键，是中档题