专题43 圆锥曲线中角的常见问题的处理（教师版）.docx

1、专题43 圆锥曲线中角的常见问题的处理一、题型选讲题型一 、由角求圆锥曲线的离心率等基本量问题例1、【2020届北京市西城区师范大学附属实验中学高三摸底数学试题】已知双曲线的两条渐近线分别与抛物线交于第一、四象限的A，B两点，设抛物线焦点为F，若，则双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】B【解析】双曲线的两条渐近线方程为，由抛物线和，联立可得，由抛物线的方程可得，设AF的倾斜角为，斜率为，而，解得（负的舍去），设，可得，解得，则，故选：B.例2、（2020届山东省济宁市高三上期末）已知是双曲线的左、右焦点，若点关于双曲线渐近线的对称点满足（为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（）ABCD【答案

2、】B【解析】如图所示：由对称性可得：为的中点，且，所以，因为，所以，故而由几何性质可得，即，故渐近线方程为，故选B.例3、（多选题）（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线的焦点为F，准线为l.设l与x轴的交点为K，P为C上异于O的任意一点，P在l上的射影为E，的外角平分线交x轴于点Q，过Q作交的延长线于，作交线段于点，则（ ）ABCD【答案】ABD【解析】由抛物线的定义，A正确；，是的平分线，B正确；若，由是外角平分线，得，从而有，于是有，这样就有，为等边三角形，也即有，这只是在特殊位置才有可能，因此C错误；连接，由A、B知，又，是平行四边形，显然，D正确题

3、型二、角度问题的证明例4、【2018年高考全国卷理数】设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为（1）当与轴垂直时，求直线的方程；（2）设为坐标原点，证明：【解析】（1）由已知得，l的方程为x=1由已知可得，点A的坐标为或，所以AM的方程为或（2）当l与x轴重合时，当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为，则，直线MA，MB的斜率之和为由得将代入得所以，则从而，故MA，MB的倾斜角互补，所以综上，例5、（八省联考数学）双曲线的左顶点为，右焦点为，动点在上当时，（1）求的离心率；（2）若在第一象限，证明：【解析】（1）设双曲线的半焦距为，则，因

4、为，故，故，即，故.（2）设，其中.因为，故，故渐近线方程为：，所以，又，所以，因为故，故.例6、（2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟）如图，已知抛物线的焦点为.若点为抛物线上异于原点的任一点，过点作抛物线的切线交轴于点，证明：.，是抛物线上两点，线段的垂直平分线交轴于点 (不与轴平行)，且.过轴上一点作直线轴，且被以为直径的圆截得的弦长为定值，求面积的最大值.【解析】由抛物线的方程可得，准线方程：，设，由抛物线的方程可得，所以在处的切线的斜率为：，所以在处的切线方程为：，令，可得，即，所以，而到准线的距离，由抛物线的性质可得所以，可证得：.设直线的方程为：，直线与抛物线联立，整理可得：，

5、即，所以的中点坐标为：，所以线段的中垂线方程为：，由题意中垂线过，所以，即，由抛物线的性质可得：，所以，即，设，的中点的纵坐标为，所以以为直径的圆与直线的相交弦长的平方为：，要使以为直径的圆截得的弦长为定值则可得，时相交弦长的平方为定值，即所以到直线的距离为：，而弦长，所以，将代入可得，设为偶函数，只看的情况即可，令，当，单调递增；当，单调递减，所以且上，为最大值，所以的最大值为：.例7、（2020秋河南月考）已知椭圆E：+1（ab0），直线l：x+my10过E的右焦点F当m1时，椭圆的长轴长是下顶点到直线l的距离的2倍（）求椭圆E的方程；（）设直线l与椭圆E交于A，B两点，在x轴上是否存在定

6、点P，使得当m变化时，总有OPAOPB（O为坐标原点）？若存在，求P点的坐标；若不存在，说明理由【解析】（）设椭圆的焦距为2c，直线l恒过定点（1，0），所以c1，当m1时，直线l：x+y10，椭圆的下顶点（0，b）到直线l的距离d，由题意可得，解得a，b1，所以椭圆的方程为+y21；（）当m0时，显然在x轴上存在点P，使得OPAOPB；当m0时，由消去x，可得（2+m2）y22my10，设A（x1，y1），B（x2，y2），y1+y2，y1y2，设P（t，0）满足题设条件，kPA+kPB+0，则（1t）（y1+y2）2my1y20，即2m（1t）+2m2m（2t）0，t2时，上式恒成立所以在

7、x轴上存在点P（2，0）满足题设条件题型三、由角求参数问题例8、（2020届山东省烟台市高三上期末）已知椭圆的离心率为，是其右焦点，直线与椭圆交于，两点，.（1）求椭圆的标准方程；（2）设，若为锐角，求实数的取值范围.【解析】（1）设为椭圆的左焦点,连接,由椭圆的对称性可知,所以,所以, 又,解得,所以椭圆的标准方程为（2）设点,则,联立,得,所以,因为为锐角,所以,所以, 解得或例9、（江苏省徐州市2021届高三第一学期期中考试）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：(ab0)的右焦点为F(1，0)，且过点(1，)（1）求椭圆C的方程；（2）设A是椭圆C上位于第一象限内的点，连接AF并延长交椭圆

8、C于另一点B，点P(2，0)，若PAB为锐角，求ABP的面积的取值范围【解析】（1）由题意知， 解得所以椭圆的方程为3分（2）由题意可设直线的方程为，联立 消去并整理得，设，则，5分所以的面积，当且仅当时，取等号，此时为锐角，符合题意9分由为锐角可知，即，即，即，解得，由函数的单调性可知，所以的面积的取值范围为12分二、达标训练1、【2016年新课标2理科11】已知F1，F2是双曲线E：x2a2y2b2=1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sinMF2F1=13，则E的离心率为（）A2B32C3D2【解析】：由题意，M为双曲线左支上的点，则丨MF1丨=b2a，丨MF2丨=4c2+(b

9、2a)2，sinMF2F1=13，b2a4c2+b4a2=13，可得：2b4a2c2，即2b2ac，又c2a2+b2，可得2e2e2=0，e1，解得e=2故选：A2、【2018年新课标2理科12】已知F1，F2是椭圆C：x2a2+y2b2=1（ab0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为36的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2P120，则C的离心率为（）A23B12C13D14【解析】：由题意可知：A（a，0），F1（c，0），F2（c，0），直线AP的方程为：y=36（x+a），由F1F2P120，|PF2|F1F2|2c，则P（2c，3c），代入直线AP：3c=36（2c

10、+a），整理得：a4c，题意的离心率e=ca=14故选：D3、（2020浙江温州中学高三3月月考）过点斜率为正的直线交椭圆于，两点.，是椭圆上相异的两点，满足，分别平分，.则外接圆半径的最小值为（ ）ABCD【答案】D【解析】如图，先固定直线AB，设，则，其中为定值，故点P，C，D在一个阿波罗尼斯圆上，且外接圆就是这个阿波罗尼斯圆，设其半径为r，阿波罗尼斯圆会把点A，B其一包含进去，这取决于BP与AP谁更大，不妨先考虑的阿波罗尼斯圆的情况，BA的延长线与圆交于点Q，PQ即为该圆的直径，如图：接下来寻求半径的表达式，由，解得，同理，当时有，综上，；当直线AB无斜率时，与椭圆交点纵坐标为，则；当直

11、线AB斜率存在时，设直线AB的方程为，即，与椭圆方程联立可得，设，则由根与系数的关系有，注意到与异号，故，设，则，当，即，此时，故，又，综上外接圆半径的最小值为.故选：D4、(2017常州期末）已知圆C：(xt)2y220(t0)与椭圆E：1(ab0)的一个公共点为B(0，2)，F(c,0)为椭圆E的右焦点，直线BF与圆C相切于点B.(1) 求t的值以及椭圆E的方程；(2) 过点F任作与两坐标轴都不垂直的直线l与椭圆交于M，N两点，在x轴上是否存在一定点P，使PF恰为MPN的平分线？【解析】 (1) 由题意b2.(2分)因为C(t,0)，B(0，2)，所以BC，所以t4.因为t0，所以t4.(

12、4分)因为BCBF，所以20c24(c4)2，所以c1，所以a2b2c25.所以椭圆E的方程为1.(6分)(2) 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，设l：yk(x1)(k0)，代入1，化简得(45k2)x210k2x5k2200.所以(8分)若点P存在，设P(m,0)，由题意kPMkPN0.所以0.(10分)所以(x11)(x2m)(x21)(x1m)0，即2x1x2(1m)(x1x2)2m2(1m)2m0，所以8m400，所以m5.(13分)即在x轴上存在一定点P(5,0)，使PF恰为MPN的平分线(14分)5、【北京师范大学第二附属中学2019-2020学年高三上学期期中】设椭圆的右焦

13、点为，过的直线与交于两点，点的坐标为.（1）当与轴垂直时，求直线的方程；（2）设为坐标原点，证明：.【解析】（1）由已知得，l的方程为.由已知可得，点的坐标为或.所以的方程为或.（2）当与轴重合时，.当与轴垂直时，为的垂直平分线，所以.当与轴不重合也不垂直时，设的方程为，则，直线、的斜率之和为.由得.将代入得.所以，.则.从而，故、的倾斜角互补，所以.综上，.6、(2017苏州期末）已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，且过点P(2，1)(1) 求椭圆C的方程；(2) 设点Q在椭圆C上，且PQ与x轴平行，过点P作两条直线分别交椭圆C于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若直线PQ平分APB，

14、求证：直线AB的斜率是定值，并求出这个定值【解析】 (1) 由e，得abc21，椭圆C的方程为1.(2分)把P(2，1)的坐标代入，得b22，所以椭圆C的方程是1.(5分)(2) 由已知得PA，PB的斜率存在，且互为相反数(6分)设直线PA的方程为y1k(x2)，其中k0.由消去y，得x24kx(2k1)28，即(14k2)x28k(2k1)x4(2k1)280.(8分)因为该方程的两根为2，xA，所以2xA，即xA.从而yA.(10分)把k换成k，得xB，yB.(12分)计算，得kAB，是定值(14分)解后反思 利用直线PA与椭圆C已经有一个交点P(2，1)，可使得解答更简单由得当(x，y)(2，1)时，可得解得以下同解答下面介绍一个更优雅的解法由A，B在椭圆C：x24y28上，得(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0，所以kAB.同理kPA，kPB.由已知，得kPAkPB，所以，且，即x1y2x2y12(y1y2)(x1x2)4，且x1y2x2y1(x1x2)2(y1y2)4.从而可得x1x22(y1y2)所以kAB，是定值