专题4一线三等角模型-【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（全国通用）（原卷版）.docx

1、【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题4一线三等角模型解题策略在直线AB上有一点P，以A，B，P为顶点的1，2，3相等，1，2的一条边在直线AB上，另一条边在AB同侧，3两边所在的直线分别交1，2非公共边所在的直线于点C，D1当点P在线段AB上，且3两边在AB同侧时（1）如图，若1为直角，则有ACPBPD （2）如图，若1为锐角，则有ACPBPD2当点P在AB或BA的延长线上，且3两边在AB同侧时如图，则有ACPBPD 3当点P在AB或BA的延长线上，且3两边在AB异侧时如图，则有ACPBPD经典例题【例1】（2022全国八年级课时练习）（1）某学习小组在探究三角形全等时，

2、发现了下面这种典型的基本图形如图1，已知：在ABC中，BAC=90，AB=AC，直线l经过点A，BD直线l，CE直线l，垂足分别为点D，E求证：DE=BD+CE（2）组员小明想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在ABC中，AB=AC，D，A，E三点都在直线l上，并且有BDA=AEC=BAC=，其中为任意锐角或钝角请问结论DE=BD+CE是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过ABC的边AB，AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高延长HA交EG于

3、点I若SAEG=7，则SAEI=_【例2】（2022全国八年级专题练习）在直线m上依次取互不重合的三个点D,A,E，在直线m上方有AB=AC，且满足BDA=AEC=BAC=(1)如图1，当=90时，猜想线段DE,BD,CE之间的数量关系是_；(2)如图2，当0180时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；(3)应用：如图3，在ABC中，BAC是钝角，AB=AC，BADBC点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，BED=CFD=BAC若ABC的面积为15，则ACF与BDE的面积之和为_（直接填写结果，不需要写解答过程）7（2022全国八年级课时练

4、习）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：（1）如图1，BAD90，ABAD，过点B作BCAC于点C，过点D作DEAC于点E由1+22+D90，得1D又ACBAED90，可以推理得到ABCDAE进而得到AC ，BCAE我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；（2）如图2，BADCAE90，ABAD，ACAE，连接BC，DE，且BCAF于点F，DE与直线AF交于点G求证：点G是DE的中点；（深入探究）（3）如图，已知四边形ABCD和DEGF为正方形，AFD的面积为S1，DCE的面积为S2，则有S1 S2（填“、”）8（2021北京东北师范大学附属中学朝阳学校八年级期中）如图

5、，在ABC中，ACB90，ACBC，直线l经过顶点C，过A、B两点分别作l的垂线AE、BF，E、F为垂足（1）当直线l不与底边AB相交时，求证：EACBCF猜想EF、AE、BF的数量关系并证明（2）将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB交于点D（D不与AB点重合），请你探究直线l，EF、AE、BF之间的关系（直接写出）9（2021四川达州九年级期中）模型探究：（1）如图1，在等腰直角三角形ABC中，ACB=90，CB=CA，直线ED经过点C，过A作ADED于点D，过B作BEED于点E求证：BE=CD；模型应用：（2）已知直线l1:y=2x+4与坐标轴交于点A、B，将直线l1绕点A逆时针旋转9

6、0至直线l2，如图2，求直线l2的函数表达式；（3）如图3，已知点A、B在直线y=12x+4上，且AB=42若直线与y轴的交点为M，M为AB中点试判断在x轴上是否存在一点C，使得ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形10（2022全国八年级课时练习）如图，线段AB=6，射线BGAB，P为射线BG上一点，以AP为边做正方形APCD，且点C、D与点B在AP两侧，在线段DP上取一点E，使得EAP=BAP，直线CE与线段AB相交于点F（点F与点A、B不重合），（1）求证：AEPCEP；（2）判断CF与AB的位置关系，并说明理由；（3）AEF的周长是否为定值，若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由11（

7、2022全国八年级课时练习）如图，在ABC中，ABAC2，B40，点D在线段BC上运动（D不与B，C重合），连接AD，作ADE40，DE交线段AC于E（1）当BDE115时，BAD ，点D从B向C运动时，BAD逐渐变 （填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时，ABDDCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，ADE的形状也在改变，判断当BAD等于多少时，ADE是等腰三角形12（2022重庆江北八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A(a,0)、B(0,b)分别在坐标轴的正半轴上（1）如图1，若a、b满足(a4)2+b3=0，以B为直角顶点，AB为直角边在第一象限内作等腰直角ABC，则

8、点C的坐标是（_）；（2）如图2，若a=b，点D是OA的延长线上一点，以D为直角顶点，BD为直角边在第一象限作等腰直角BDE，连接AE，求证：ABD=AED；（3）如图3，设AB=c，ABO的平分线过点D2,2，直接写出ab+c的值13（2021湖北咸宁市第三初级中学八年级期中）如图，在等腰RtABC中，ABC=90，点A、B分别在x轴、y轴上（1）如图，若点C的横坐标为5，求点B的坐标；（2）如图，若x轴恰好平分BAC，BC交x轴于点M，过点C作CDx轴于点D，求CDAM的值；（3）如图，若点A的坐标为4,0，点B在y轴的正半轴上运动时，分别以OB、AB为边在第一、第二象限中作等腰RtOBF

9、，等腰RtABE，连接EF交y轴于点P，当点B在y轴上移动时，PB的长度是否发生改变？若不变求PB的值；若变化，求PB的取值范围14（2022江西丰城九中七年级期末）综合与探究：在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0）且a，b满足（a3）2+|a2b1|0（1）求A，B两点的坐标（2）已知ABC中AB=CB，ABC90，求C点的坐标（3）已知AB10，试探究在x轴上是否存在点P，使ABP是以AB为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由 15（2022全国八年级课时练习）如图，在ABC中，ABAC2，BC40，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连

10、接AD，作ADE40，DE交线段AC于点E（1）当BDA105时，EDC ，DEC ；点D从点B向点C运动时，BDA逐渐变 （填“大”或“小”）（2）当DC等于多少时，ABDDCE？请说明理由（3）在点D的运动过程中，ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出BDA的度数；若不可以，请说明理由16（2021北京北师大实验中学九年级开学考试）在正方形ABCD中，点E在射线CB上（不与点B，C重合），连接DB，DE，过点E作EFDE，并截取EF=DE（点D，F在BC同侧），连接BF（1）如图1，点E在BC边上依题意补全图1；用等式表示线段BD，BE，BF之间的数量关系，并证明；（2）如图2

11、，点E在CB边的延长线上，其他条件均不变，直接写出线段BD，BE，BF之间的数量关系17（2022全国八年级课时练习）在综合实践课上，李老师以“含30的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展数学活动已知，在等腰ABC纸片中，CA=CB=5，ACB=120，将一块含30角的足够大的直角三角尺PMN（M=90，MPN=30）按如图所示放置，顶点P在线段BA上滑动（点P不与A，B重合），三角尺的直角边PM始终经过点C，并与CB的夹角PCB=，斜边PN交AC于点D（1）当BPC=100时，=_；（2）当AP等于何值时，APDBCP？请说明理由；（3）在点P的滑动过程中，存在PCD是等腰三角形吗？若

12、存在，请求出夹角的大小；若不存在，请说明理由18（2021河南舞阳县教研室八年级期中）如图，等腰直角ABC中，BCAC，ACB90，现将该三角形放置在平面直角坐标系中，点B坐标为（0，2），点C坐标为（6，0）（1）过点A作ADx轴，求OD的长及点A的坐标；（2）连接OA，若为坐标平面内不同于点A的点，且以O、P、C为顶点的三角形与OAC全等，请直接写出满足条件的点P的坐标；（3）已知OA10，试探究在x轴上是否存在点Q，使OAQ是以OA为腰的等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由19（2021山东肥城市汶阳镇初级中学七年级阶段练习）已知：CD是经过BCA的顶点C的一条直线

13、，CA=CBE、F是直线CD上两点，BEC=CFA=（1）若直线CD经过BCA的内部，BCDACD如图1，BCA=90，=90，直接写出BE，EF，AF间的等量关系：_如图2，与BCA具有怎样的数量关系，能使中的结论仍然成立？写出与BCA的数量关系，并对结论进行证明；（2）如图3，若直线CD经过BCA的外部，=BCA，中的结论是否成立？若成立，进行证明；若不成立，写出新结论并进行证明20（2022全国八年级课时练习）（1）如图（1）在ABC中，BAC90，ABAC，直线m经过点A，BD直线m，CE直线m，垂足分别为点D、E求证：DEBD+CE；（2）如图（2）将（1）中的条件改为：在ABC中，ABAC，D、A、E三点都在直线m上，并且有BDAAECBAC，其中为任意锐角或钝角请问结论DEBD+CE是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由