专题4一线三等角模型-【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（全国通用）（解析版）.docx

1、【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题4一线三等角模型解题策略在直线AB上有一点P，以A，B，P为顶点的1，2，3相等，1，2的一条边在直线AB上，另一条边在AB同侧，3两边所在的直线分别交1，2非公共边所在的直线于点C，D1当点P在线段AB上，且3两边在AB同侧时（1）如图，若1为直角，则有ACPBPD （2）如图，若1为锐角，则有ACPBPD2当点P在AB或BA的延长线上，且3两边在AB同侧时如图，则有ACPBPD 3当点P在AB或BA的延长线上，且3两边在AB异侧时如图，则有ACPBPD经典例题【例1】（2022全国八年级课时练习）（1）某学习小组在探究三角形全等时，

2、发现了下面这种典型的基本图形如图1，已知：在ABC中，BAC=90，AB=AC，直线l经过点A，BD直线l，CE直线l，垂足分别为点D，E求证：DE=BD+CE（2）组员小明想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在ABC中，AB=AC，D，A，E三点都在直线l上，并且有BDA=AEC=BAC=，其中为任意锐角或钝角请问结论DE=BD+CE是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过ABC的边AB，AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高延长HA交EG于

3、点I若SAEG=7，则SAEI=_【答案】（1）见解析；（2）结论成立，理由见解析；（3）3.5【分析】（1）由条件可证明ABDCAE，可得DA=CE，AE=BD，可得DE=BD+CE；（2）由条件可知BAD+CAE=180-，且DBA+BAD=180-，可得DBA=CAE，结合条件可证明ABDCAE，同（1）可得出结论；（3）由条件可知EM=AH=GN，可得EM=GN，结合条件可证明EMIGNI，可得出结论I是EG的中点【详解】解：（1）证明：如图1中，BD直线l，CE直线l，BDA=CEA=90，BAC=90，BAD+CAE=90，BAD+ABD=90，CAE=ABD，在ADB和CEA中，

4、ABD=CAEBDA=CEAAB=AC，ADBCEA（AAS），AE=BD，AD=CE，DE=AE+AD=BD+CE（2）解：成立理由：如图2中，BDA=BAC=，DBA+BAD=BAD+CAE=180-，DBA=CAE，在ADB和CEA中，BDA=AECDBA=CAEAB=AC，ADBCEA（AAS），AE=BD，AD=CE，DE=AE+AD=BD+CE（3）如图3，过E作EMHI于M，GNHI的延长线于NEMI=GNI=90由（1）和（2）的结论可知EM=AH=GNEM=GN在EMI和GNI中，GIN=EIMEM=GNGNI=EMI，EMIGNI（AAS），EI=GI，I是EG的中点SAE

5、I=12SAEG=3.5故答案为：3.5【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键【例2】（2022全国八年级专题练习）在直线m上依次取互不重合的三个点D,A,E，在直线m上方有AB=AC，且满足BDA=AEC=BAC=(1)如图1，当=90时，猜想线段DE,BD,CE之间的数量关系是_；(2)如图2，当0180时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；(3)应用：如图3，在ABC中，BAC是钝角，AB=AC，BADBC点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上

6、，BED=CFD=BAC若ABC的面积为15，则ACF与BDE的面积之和为_（直接填写结果，不需要写解答过程）【答案】（1）0.8cm；（2）见解析（3）5【分析】（1）利用AAS定理证明CEBADC，根据全等三角形的性质解答即可；（2）由条件可得BEAAFC，4ABE，根据AAS可证明ABECAF；（3）先证明ABECAF，得到ACF与BDE的面积之和为ABD的面积，再根据CD=2BD故可求解【详解】解：（1）BECE，ADCE，EADC90，EBCBCE90BCEACD90，EBCDCA在CEB和ADC中，E=ADCEBC=DCABC=ACCEBADC（AAS），BEDC，CEAD2.5c

7、mDCCEDE，DE1.7cm，DC2.51.70.8cm，BE0.8cm故答案为：0.8cm；（2）证明：12，BEAAFC1ABE3，34BAC，1BAC，BACABE3，4ABEAEBAFC，ABE4，ABAC，ABECAF（AAS）（3）BED=CFD=BACABE+BAE=FAC+BAE=FAC+ACFABE=CAF，BAE=ACF又AB=ACABECAF，SABE=SCAFACF与BDE的面积之和等于ABE与BDE的面积之和，即为ABD的面积，CD=2BD，ABD与ACD的高相同则SABD=13SABC=5故ACF与BDE的面积之和为5故答案为：5【点睛】本题考查的是全等三角形的判

8、定和性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键7（2022全国八年级课时练习）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：（1）如图1，BAD90，ABAD，过点B作BCAC于点C，过点D作DEAC于点E由1+22+D90，得1D又ACBAED90，可以推理得到ABCDAE进而得到AC ，BCAE我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；（2）如图2，BADCAE90，ABAD，ACAE，连接BC，DE，且BCAF于点F，DE与直线AF交于点G求证：点G是DE的中点；（深入探究）（3）如图，已知四边形ABCD和DEGF为正方形，AFD的面积为S1，DC

9、E的面积为S2，则有S1 S2（填“、”）【答案】（1）DE；（2）见解析；（3）=【分析】（1）根据全等三角形的性质可直接进行求解；（2）分别过点D和点E作DHFG于点H，EQFG于点Q，进而可得BAF=ADH，然后可证ABFDAH，则有AF=DH，进而可得DH=EQ，通过证明DHGEQG可求解问题；（3）过点D作DOAF交AF于O，过点E作ENOD交OD延长线于N，过点C作CMOD交OD延长线于M，由题意易得ADC=90，AD=DC，DF=DE，然后可得ADO=DCM，则有AODDMC，FODDNE，进而可得OD=NE，通过证明ENPCMP及等积法可进行求解问题【详解】解：（1）ABCDA

10、E，AC=DE；（2）分别过点D和点E作DHFG于点H，EQFG于点Q，如图所示：DAH+ADH=90，BAD=90，BAF+DAH=90，BAF=ADH，BCAF，BFA=AHD=90，AB=DA，ABFDAH，AF=DH，同理可知AF=EQ，DH=EQ，DHFG，EQFG，DHG=EQG=90，DGH=EGQDHGEQG，DG=EG，即点G是DE的中点；（3）S1=S2，理由如下：如图所示，过点D作DOAF交AF于O，过点E作ENOD交OD延长线于N，过点C作CMOD交OD延长线于M四边形ABCD与四边形DEGF都是正方形ADC=90，AD=DC，DF=DEDOAF，CMOD，AOD=CM

11、D=90，OAD+ODA=90，CDM+DCM=90，又ODA+CDM=90，ADO=DCM，AODDMC，SAOD=SDMC，OD=MC，同理可以证明FODDNE，SFOD=SDNE，OD=NE，MC =NE，ENOD，CMOD，EPN=CMP，ENPCMP，SENP=SCMP，SADF=SAOD+SFOD,SDCE=SDCMSCMP+SDEN+SENP，SDCE=SDCM+SDEN=SAOD+SFOD,SDCE=SADF即S1=S2【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、直角三角形的两个锐角互余及等积法，熟练掌握全等三角形的判定条件是解题的关键8（2021北京东北师范大学附属中学朝阳学

12、校八年级期中）如图，在ABC中，ACB90，ACBC，直线l经过顶点C，过A、B两点分别作l的垂线AE、BF，E、F为垂足（1）当直线l不与底边AB相交时，求证：EACBCF猜想EF、AE、BF的数量关系并证明（2）将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB交于点D（D不与AB点重合），请你探究直线l，EF、AE、BF之间的关系（直接写出）【答案】（1）证明见解析，EFAE+BF；证明见解析；（2）AEBF+EF或BFAE+EF【分析】（1）根据AECBFC90，利用同角的余角相等证明EACFCB即可；根据AAS证EACFCB，推出CEBF，AECF即可；（2）类比（1）证得对应的两个三角形全等

13、，求出线段之间的关系即可【详解】（1）证明：AEEF，BFEF，ACB90，AECBFCACB90，EAC+ECA90，ECA+FCB90，EACFCB，EFAE+BF；证明：在EAC和FCB中，AEC=CFBEAC=FCBAC=BC，EACFCB（AAS），CEBF，AECF，EFCE+CFAE+BF，即EFAE+BF；（2）当ADBD时，如图，ACB90，AEl直线，同理可证BCFCAE（同为ACD的余角），又ACBC，BFl直线即BFCAEC90，ACECBF（AAS），CFAE，CEBF，CFCE+EFBF+EF，AEBF+EF；当ADBD时，如图，ACB90，BFl直线，同理可证CB

14、FACE（同为BCD的余角），又ACBC，BEl直线，即AECBFC90ACECBF（AAS），CFAE，BFCE，CECF+EFAE+EF，BFAE+EF【点睛】本题考查了三角形综合题，主要涉及到了全等三角形的判定与性质，解题关键是证明ACECBF（AAS），利用全等三角形的性质得出线段之间的关系9（2021四川达州九年级期中）模型探究：（1）如图1，在等腰直角三角形ABC中，ACB=90，CB=CA，直线ED经过点C，过A作ADED于点D，过B作BEED于点E求证：BE=CD；模型应用：（2）已知直线l1:y=2x+4与坐标轴交于点A、B，将直线l1绕点A逆时针旋转90至直线l2，如图2，

15、求直线l2的函数表达式；（3）如图3，已知点A、B在直线y=12x+4上，且AB=42若直线与y轴的交点为M，M为AB中点试判断在x轴上是否存在一点C，使得ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形【答案】（1）见解析；（2）y=12x1；（3）不存在这样的点C【分析】（1）证明ACDCBEAAS，即可得到结论；（2）设点B绕点A逆时针旋转90到点C，过点C作CDx轴于点D，根据（1）求出C的坐标，将A、C的坐标代入解析式即可求出答案；（3）先求出点M0,4，得到OM=4，假设存在这样的点C，利用反证法根据等腰直角三角形的性质得到MC=12AB=224，由此得到假设不成立进行论证【详解】（1）证明：

16、 ADED，BEED，D=E=90，ACB=90，ACD+BCE=18090=90，又EBC+BCE=90，ACD=EBC，在ACD与CBE中，D=EACD=EBCCA=CB，ACDCBEAAS，CD=BE；（2）设点B绕点A逆时针旋转90到点C，过点C作CDx轴于点D，由（1）可知：ACDBAO，CD=AO，AD=OB，l1:y=2x+4，当x=0时，y=4，点B0,4，当y=0时，2x+4=0，x=2，点A2,0，CD=AO=2，AD=OB=4，OD=OA+AD=6，C6,2，设l2的解析式为y=kx+b，把A、C两点坐标代入，得2k+b=06k+b=2，解得k=12b=1，l2的解析式：

17、y=12x1；（3）不存在理由：当x=0时，y=4，点M0,4，OM=4，假设存在这样的点C，ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形，点C在AB的垂直平分线与x轴的交点处，ACB=90又MA=MB，MC=12AB=22C，ADE为等腰三角形时，只能是AD=DE或AE=DE，当AD=DE时，DAE=DEA=1218040=70，BAD=BACDAC=10070=30，当EA=ED时，ADE=DAE=40，AED=1804040=100，BAD=BACDAC=10040=60，综上所述，当BAD得度数为30或60时，ADE是等腰三角形【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，

18、三角形外角的性质等知识点，此题涉及到的知识点较多，综合性较强12（2022重庆江北八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A(a,0)、B(0,b)分别在坐标轴的正半轴上（1）如图1，若a、b满足(a4)2+b3=0，以B为直角顶点，AB为直角边在第一象限内作等腰直角ABC，则点C的坐标是（_）；（2）如图2，若a=b，点D是OA的延长线上一点，以D为直角顶点，BD为直角边在第一象限作等腰直角BDE，连接AE，求证：ABD=AED；（3）如图3，设AB=c，ABO的平分线过点D2,2，直接写出ab+c的值【答案】（1）点C的坐标是3,7；（2）见解析；（3）ab+c=4【分析】（1）根据偶次

19、幂的非负性以及算术平方根的非负性得出a,b的值，过点C作CDy轴于点D，然后证明OABDBC，进而得出结论；（2）过点E作EMx轴于点M，根据题意证明OBDMDE(AAS)，在ABN和DNE中，根据三角形内角和定理可得结论；（3）作DFy轴于H，DHx轴于H，DKBA交BA的延长线于K，先证明FBDKBD(AAS)可得BKBFb2，然后证明RtDAHRtDAK可得BKca2，进一步可得结果【详解】解：（1）(a4)2+b3=0，a=4,b=3，OA=4,OB=3，过点C作CDy轴于点D，ABC为等腰直角三角形，BA=BC,ABC=90，CBD+ABO=90,ABO+BAO=90，CBD=BAO

20、，在BAO和CBD中，CBD=BAOCDB=BOABC=AB，BAOCBD(AAS),OA=DB=4,CD=BO=3,OD=OB+BD=3+4=7，点C的坐标是3,7；（2）证明：过点E作EMx轴于点M，依题意有，BDE为等腰直角三角形，BD=DE，BDE=90，BDO+EDM=90，EDM+MED=90，ODB=MED，在RtOBD和RtMDE中，BD=DEODB=MEDBOD=DME，OBDMDE(AAS)，OB=DM，OD=ME，又a=b，即OA=OB，AM=AD+DM=AD+OB=AD+OA=OD=ME，EAM=45，即BAAE，又BDDE，设BD与AE相交于点N，在ABN和DNE中，

21、BAN=EDN=90，ANB=DNE，ABD=AED；（3）作DFy轴于H，DHx轴于H，DKBA交BA的延长线于K，则DFDH2，BD平分ABO，DFy轴，DKBA，DFDK2，BFD=BKD=90，FBD=KBD,BD=BD，FBDKBD(AAS),DFDHDK，BKBFb2，在RtDAH和RtDAK中，DH=DKDA=DA，RtDAHRtDAK（HL）AKAHa2，BKca2，ca2b2，abc4【点睛】本题考查了坐标与图形，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，偶次方与算数平方根的非负性的性质，根据题意构建出全等三角形是解本题的关键13（2021湖北咸宁市第三初级中学八年级期中）如

22、图，在等腰RtABC中，ABC=90，点A、B分别在x轴、y轴上（1）如图，若点C的横坐标为5，求点B的坐标；（2）如图，若x轴恰好平分BAC，BC交x轴于点M，过点C作CDx轴于点D，求CDAM的值；（3）如图，若点A的坐标为4,0，点B在y轴的正半轴上运动时，分别以OB、AB为边在第一、第二象限中作等腰RtOBF，等腰RtABE，连接EF交y轴于点P，当点B在y轴上移动时，PB的长度是否发生改变？若不变求PB的值；若变化，求PB的取值范围【答案】（1）（0，5）（2）12（3）不变，等于2【分析】（1）作CDBO，易证ABOBCD，根据全等三角形对应边相等的性质即可解题；（2）设ABBCa

23、，根据勾股定理求出AC2a，根据MA（即x轴）平分BAC，得到BMMC=ABAC=22，求得BM（21）a，MC（2 2）a，AM422a，再证明RtABMRtCDM，得到ABCD=AMCM，即CDABCMAM，即可解答，（3）作EGy轴，易证BAOEBG和EGPFBP，可得BGAO和PBPG，即可求得PB12AO，即可解题【详解】解：（1）如图1，作CDBO于D，CBDABO90，ABOBAO90，CBDBAO，在ABO和BCD中，BOA=BDC=90CBD=BAOAB=BC，ABOBCD（AAS），CDBO5，B点坐标（0，5）；（2）设ABBCa，则AC2a，MA（即x轴）平分BAC，B

24、MMC=ABAC=22，即MC2BM，BCBMMCa，BM2BMa，解得BM（21）a，MC（22）a则AMAB2+BM2= 422a，ABMCDM90且AMBCMDRtABMRtCDM，ABCD=AMCM，即CDABCMAM，CDAM=a22a422a2=12；（3）PB的长度不变，理由如下：如图3，作EGy轴于G，BAOOBA90，OBAEBG90，BAOEBG，在BAO和EBG中，AOB=BGE=90BAO=EBGAB=BE，BAOEBG（AAS），BGAO，EGOB，OBBF，BFEG，在EGP和FBP中，EPG=FPBEGP=FBP=90EG=BF，EGPFBP（AAS），PBPG，

25、PB12BG12AO2【点睛】本题考查了勾股定理、角平分线的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的证明是解本题的关键14（2022江西丰城九中七年级期末）综合与探究：在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0）且a，b满足（a3）2+|a2b1|0（1）求A，B两点的坐标（2）已知ABC中AB=CB，ABC90，求C点的坐标（3）已知AB10，试探究在x轴上是否存在点P，使ABP是以AB为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】（1）A（0，3）、B（1，0）；（2）C（4，1）；（3）存在，P1(110,0)，P2(1+10,0)，P3(

26、1,0)【分析】（1）由平方数和绝对值的非负性可得a30，a2b10，从而求得a3，b1，即可得到A，B两点的坐标（2）过点向x轴作垂线，垂足为D，结合已知条件可构造一线三等角模型，即可证明AOBBDC，则CD=OB=1，BD=OA=3，易得点C的坐标（3）若ABP是以AB为腰的等腰三角形，则需分两种情况讨论：BP=BA10，则P在B的左侧，P110,0；P在B右侧，P1+10,0；AP=AB，则易证OP=OB=1，故P1,0【详解】解：（1）a、b满足（a3）2+|a2b1|0a30，a2b10，a3，b1，A（0，3）、B（1，0）；（2）如图，过点C向x轴作垂线，垂足为D，则AOB=AB

27、C=BDC90，1+3=90，2+3=90，1=2在AOB和BDC中，AOB=BDC1=2AB=BCAOBBDCCD=0B=1，BD=OA=3，C（4，1）（3）若AB为腰，则分两种情况讨论：当BP=BA10时，若P在B的左侧，则OP=BPOB=101，P110,0；若P在B的右侧，则OP=OB+BP=1+10，P1+10,0；当AP=AB =10时，AOBP，由等腰三角形三线合一可知OP=OB=1，P1,0综上所述，存在P1(110,0)，P2(1+10,0)，P3(1,0)【点睛】本题考查点的坐标，等腰三角形的性质，掌握一线三等角证全等及等腰三角形的存在性的方法为解题关键15（2022全国

28、八年级课时练习）如图，在ABC中，ABAC2，BC40，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作ADE40，DE交线段AC于点E（1）当BDA105时，EDC ，DEC ；点D从点B向点C运动时，BDA逐渐变 （填“大”或“小”）（2）当DC等于多少时，ABDDCE？请说明理由（3）在点D的运动过程中，ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出BDA的度数；若不可以，请说明理由【答案】（1）35，105，小；（2）2，理由见解析；（3）110或80【分析】（1）根据已知条件， 三角形内角和定理和平角的定义，可得BAD=EDC，ADB=DEC，进而可得EDC，DEC，根

29、据题意，可得当点D从点B向点C运动时，BAD逐渐变大，根据三角形内角和定理，即可得BDA逐渐变小；（2）由（1）可得BAD=EDC，ADB=DEC，只要DC=AB,即可证明ABDDCE，进而可得DC；（3）根据题意，分ADE为顶角和底角两种情况讨论，进而计算BDA的度数【详解】（1）B=C=40，ADE=40，BAC=180BC=1804040=100， ADB+EDC=180ADE=140，ADB+BAD=180B=140，DEC+EDC=180C=140，BAD=EDC，ADB=DEC，当BDA105时，EDCBAD=180ADBB=18010540=35，DECADB =105；当点D从

30、点B向点C运动时，BAD逐渐变大，BDA=180BBAD=140BAD,则BDA逐渐变小，故答案为：35，105，小；（2） BAD=EDC，ADB=DEC，当DC=AB =2时， ABDDCE（AAS），DC=2，（3）ADE的形状可以是等腰三角形，BDA= 110或80，B=C=40，BAC=1804040=100，当DA=DE时，DAE=DEA=1218040=70，BAD=BACDAC=10070=30，BDA=180BBAD=1804030=110；当EA=ED时，ADE= DAE=40,DEA=1804040=100，BAD=BACDAE=10040=60，BDA=180BBAD=

31、1804060=80，当AE=AD时，ADE = DEA=40,DAE=1804040=100，BAC=100，此时D点与B点重合，由题意可知点D不与点B、C重合，此种情况不存在，综上所述，当ADE是等腰三角形时，BDA= 110或80【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，分了他了是解题的关键16（2021北京北师大实验中学九年级开学考试）在正方形ABCD中，点E在射线CB上（不与点B，C重合），连接DB，DE，过点E作EFDE，并截取EF=DE（点D，F在BC同侧），连接BF（1）如图1，点E在BC边上依题意补全图1；用等式表

32、示线段BD，BE，BF之间的数量关系，并证明；（2）如图2，点E在CB边的延长线上，其他条件均不变，直接写出线段BD，BE，BF之间的数量关系【答案】（1）见解析；BD=2BE+BF，见解析；（2）2BE=BFBD，见解析【分析】（1）根据要求画出图形即可；过点F作FHCB，交CB的延长线于H证明DCEEHF（AAS），推出ECFH，DCEH，推出CEBHFH，再利用勾股定理解决问题即可；（2）由可得DCEEHF，推出ECFH，DCEH，推出CEBHFH，再利用等腰直角三角形的性质解决问题即可【详解】解（1）图形如图所示结论：BD=2BE+BF理由：过点F作FHCB，交CB的延长线于H，四边形

33、ABCD是正方形，CD=AB=6，C=90，DEF=C=90，DEC+FEH=90，DEC+EDC=90，FEH=EDC，在DEC和EFH中，H=C=90FEH=EDCEF=DE，DECEFH(AAS)，EC=FH，CD=BC=EH，BH=EC=FH，BD=2BC=2(BE+EC)=2BE+2EC=2BC+2FH=2BE+BF（2）结论：2BE=BFBD理由：过点F作FHCB，交CB于H，四边形ABCD是正方形，CD=AB，ACB=90，DEF=ACB=90，DEC+FEH=90，DEC+EDC=90，FEH=EDC，在DEC和EFH中，FHE=DCE=90FEH=EDCEF=DE，DECEF

34、H(AAS)，EC=FH，CD=BC=EH，HB=EC=HF，DCB和BHF都是等腰直角三角形，BD=2BC=2HE，BF=2BH，BE=ECBC， 2BE=2EC2BC， 2BE=2FHBD， 2BE=BFBD【点睛】本题属于四边形综合题，考查作图旋转变换，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题17（2022全国八年级课时练习）在综合实践课上，李老师以“含30的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展数学活动已知，在等腰ABC纸片中，CA=CB=5，ACB=120，将一块含30角的足够大的直角三角尺PMN（M=90，

35、MPN=30）按如图所示放置，顶点P在线段BA上滑动（点P不与A，B重合），三角尺的直角边PM始终经过点C，并与CB的夹角PCB=，斜边PN交AC于点D（1）当BPC=100时，=_；（2）当AP等于何值时，APDBCP？请说明理由；（3）在点P的滑动过程中，存在PCD是等腰三角形吗？若存在，请求出夹角的大小；若不存在，请说明理由【答案】（1）50；（2）AP=5时，APDBCP，理由见详解；（3）当45或90或0时，PCD是等腰三角形【分析】（1）先求出B=30，再根据三角形内角和定理即可求解；（2）根据CACB，且ACB度数，求出A与B度数，再由外角性质得到APD，根据APBC，利用ASA

36、即可得证；（3）点P在滑动时，PCD的形状可以是等腰三角形，分三种情况考虑：当PCPD；PDCD；PCCD，分别求出夹角的大小即可【详解】解：（1）CA=CB=5，ACB=120，B=（180-120）2=30，BPC=100，=180-100-30=50，故答案是：50；（2）当AP5时，APDBCP，理由为：ACB120，CACB，AB30，又APC是BPC的一个外角，APCB30，APCDPCAPD30APD，APD，又APBC5，APDBCP；（3）PCD的形状可以是等腰三角形，则PCD120，CPD30，PCPD时，PCD是等腰三角形，PCDPDC（18030）275，即12075，

37、45；当PDCD时，PCD是等腰三角形，PCDCPD30，即12030，90；当PCCD时，PCD是等腰三角形，CDPCPD30，PCD180230120，即120120，0，此时点P与点B重合，点D和A重合，综合所述：当45或90或0时，PCD是等腰三角形【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，外角性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键18（2021河南舞阳县教研室八年级期中）如图，等腰直角ABC中，BCAC，ACB90，现将该三角形放置在平面直角坐标系中，点B坐标为（0，2），点C坐标为（6，0）（1）过点A作ADx轴，求

38、OD的长及点A的坐标；（2）连接OA，若为坐标平面内不同于点A的点，且以O、P、C为顶点的三角形与OAC全等，请直接写出满足条件的点P的坐标；（3）已知OA10，试探究在x轴上是否存在点Q，使OAQ是以OA为腰的等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）OD8，点A的坐标（8，6）；（2）（8，-6）或（-2，6）或（-2，-6）；（3）（16，0）或（10，0）或（-10，0）【分析】（1）通过证明BOCCDA，可得CDOB2，即可求OD的长，进而即可得到A的坐标；（2）分三种情况：作OAC关于x轴的对称图形得到OP1C；作OAC关于直线x=3的对称图形得到OP

39、2C；作OP2C关于x轴的对称图形得到OP3C，分别求解，即可；（3）分三种情况：当以点A为顶角顶点时，且OA是腰；当以点A为底角顶点时，且OA是腰，形成锐角三角形时；当以点A为底角顶点时，且OA是腰，形成钝角三角形时，分别求解即可【详解】解：（1）点B坐标为（0，2），点C坐标为（6，0），OB2，OC6，ACB90，BCOACD90，且BCOOBC90，ACDOBC，且ACBC，BOCADC90，BOCCDA（AAS），CDOB2，ODOCCD8，AD=OC=6，点A的坐标（8，6）；（2）作OAC关于x轴的对称图形得到OP1C，OACOP1C，P1（8，-6）；点O，C关于直线x=3对称

40、，作OAC关于直线x=3的对称图形得到OP2C，OACCP2O，P2（-2，6）；作OP2C关于x轴的对称图形得到OP3C，OP2COP3C，即：OP3COCA，P3（-2，-6），综上所述：P的坐标为：（8，-6）或（-2，6）或（-2，-6）；（3）当以点A为顶角顶点时，且OA是腰，ADx轴，点Q1，O关于直线AD对称，即：Q1（16，0）；当以点A为底角顶点时，且OA是腰，形成锐角三角形时，则OQ2=OA=10，Q2（10，0）；当以点A为底角顶点时，且OA是腰，形成钝角三角形时，则OQ3=OA=10，Q2（-10，0），综上所述：Q的坐标为：（16，0）或（10，0）或（-10，0）【

41、点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理，掌握分类讨论思想方法是本题的关键19（2021山东肥城市汶阳镇初级中学七年级阶段练习）已知：CD是经过BCA的顶点C的一条直线，CA=CBE、F是直线CD上两点，BEC=CFA=（1）若直线CD经过BCA的内部，BCDACD如图1，BCA=90，=90，直接写出BE，EF，AF间的等量关系：_如图2，与BCA具有怎样的数量关系，能使中的结论仍然成立？写出与BCA的数量关系，并对结论进行证明；（2）如图3，若直线CD经过BCA的外部，=BCA，中的结论是否成立？若成立，进行证明；若不成立，写

42、出新结论并进行证明【答案】（1）EF=BEAF；+BCA=180，证明见解析；（2）不成立，EF=FA+BE，理由见解析【分析】（1）根据题意，推导得ACF=CBE，通过证明ACFCBE，得BE=CF，CE=AF，结合EF=CFCE，即可得到答案；结合题意，根据三角形内角和性质，推导得CBE=ACF，通过证明BCECAF，即可完成证明；（2）根据题意，结合三角形内角和的性质，推导得CBE=ACF，通过证明BCECAF，得EC=FA，BE=CF；根据EF=CE+CF，即可得到答案【详解】（1）BCA=90，=90ACF+BCE=90,CBE+BCE=90 ACF=CBE BEC=CFAACF=C

43、BECA=CB ACFCBE BE=CF，CE=AF EF=CFCE EF=BEAF；满足+BCA=180，理由如下：CBE+BCE+BEC=180，+BCA=180CBE+BCE+BEC=+BCACBE+BCE+=+BCE+ACFCBE=ACFBEC=CFA，CA=CB，BCECAFBE=CF，CE=AFEF=CFCE，EF=BEAF（2）不成立，EF=BE+AF，理由如下：CBE+BCE+BEC=180，BCE+BCA+ACF=180，BEC=CFA=BCA=CBE+BCE+=BCE+ACFCBE=ACFBEC=CFA，CA=CB，BCECAFBE=CF，CE=AFEF=CF+CE，EF=

44、BE+AF【点睛】本题考查了三角形内角和、余角、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内角和、全等三角形的性质，从而完成求解20（2022全国八年级课时练习）（1）如图（1）在ABC中，BAC90，ABAC，直线m经过点A，BD直线m，CE直线m，垂足分别为点D、E求证：DEBD+CE；（2）如图（2）将（1）中的条件改为：在ABC中，ABAC，D、A、E三点都在直线m上，并且有BDAAECBAC，其中为任意锐角或钝角请问结论DEBD+CE是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析【分析】（1）根据AAS证明ADBCEA，得到AEBD，

45、ADCE，即可证明；（2）同理证明ADBCEA，得到AEBD，ADCE，即可证明；【详解】证明：（1）BD直线m，CE直线m，BDACEA90，BAC90，BAD+CAE90，BAD+ABD90，CAEABD，在ADB和CEA中，ABD=CAEBDA=CEAAB=AC，ADBCEA（AAS），AEBD，ADCE，DEAE+ADBD+CE；（2）BDABAC，DBA+BADBAD+CAE180，CAEABD，在ADB和CEA中，ABD=CAEBDA=CEAAB=AC，ADBCEA（AAS），AEBD，ADCE，DEAE+ADBD+CE【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理.